2023年九年級數(shù)學(xué)中考專題復(fù)習(xí)《平行四邊形綜合解答題》專題提升訓(xùn)練（含解析）

2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)《平行四邊形綜合解答題》專題提升訓(xùn)練（附答案）1．如圖，在?ABCD中，O是對角線AC、BD的交點(diǎn)，延長邊CD到點(diǎn)F，使DF＝DC，過點(diǎn)F作EF∥AC，連接OF、EC．（1）求證△ODC≌△EDF．（2）連接AF，已知．（從以下兩個條件中選擇一個作為已知，填寫序號），請判斷四邊形OCEF的形狀，并證明你的結(jié)論．條件①：AF＝FC且AC＝2DC；條件②：OD＝DC且∠BEC＝45°．2．如圖，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且∠AFE＝∠B．（1）求證：∠DFA＝∠ECD；（2）△ADF與△DEC相似嗎？為什么？（3）若AB＝4，AD＝3，AE＝3，求AF的長．3．如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝BD＝，AB＝4，點(diǎn)P沿AD→DB方向以每秒個單位長度運(yùn)動，點(diǎn)M為AB中點(diǎn)，連結(jié)MD，作點(diǎn)A關(guān)于直線PM的對稱點(diǎn)A′．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t秒．（t＞0）（1）求MD的長．（2）求PD的長（用含t的代數(shù)式表示）．（3）當(dāng)點(diǎn)M、P、C三點(diǎn)共線時，求t的值．（4）當(dāng)點(diǎn)A′落在直線MD上時，直接寫出△PDA′的面積．4．點(diǎn)A是線段MN的中點(diǎn)，在MN同側(cè)有B，D兩點(diǎn)，連結(jié)AD，AB，∠DAM＝∠BAN，DM∥BN，以AD，AB為邊作平行四邊形ABCD，分別延長BA與DM相交于點(diǎn)E，連結(jié)CA．（1）求證：四邊形EACD是平行四邊形．（2）已知AC＝7．①若四邊形ABCD是菱形，求BN的長．②若DM：ME＝4：3，當(dāng)平行四邊形ABCD、平行四邊形EACD其中一個為矩形時，則平行四邊形ABCD的周長為．（直接寫出答案）5．如圖，AM是△ABC的中線，D是線段AM上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合）．DE∥AB交AC于點(diǎn)F，CE∥AM，連接AE．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D與M重合時，求證：四邊形ABDE是平行四邊形；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D不與M重合時，MG∥DE交CE于點(diǎn)G，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由．（3）如圖3，延長BD交AC于點(diǎn)H，若BH⊥AC，且BH＝AM，則∠CAM＝．6．點(diǎn)P是平行四邊形ABCD的對角線AC所在直線上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合），分別過點(diǎn)A、C向直線BP作垂線，垂足分別為點(diǎn)E、F．點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時，線段OE和OF的關(guān)系是；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到如圖2所示的位置時，請在圖中補(bǔ)全圖形并通過證明判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立？（3）如圖3，點(diǎn)P在線段OA的延長線上運(yùn)動，當(dāng)∠OEF＝30°，AE＝1，CF＝3時，求線段OE的長．7．已知，如圖1，在?ABCD中，∠B＝60°，將△ABC沿AC翻折至△AEC，連結(jié)DE．（1）求證：AD＝CE；（2）若點(diǎn)E在直線AD下方，如圖2，AB＝2，AE⊥CD，求BC的長；（3）在翻折過程中，若△AED為直角三角形，求的值．8．在?ABCD中，O是對角線AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線EF交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，連結(jié)AF、CE．（1）如圖1，求證：四邊形AFCE為平行四邊形；（2）如圖2，若AB＝AF，∠ACB＝45°，過點(diǎn)B作BG⊥CE于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)H，交AF于點(diǎn)M．①試判斷線段BH與AB的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②當(dāng)∠CBG＝15°，BC＝2時，連結(jié)EH，求△CEH的面積．9．如圖，AC為?ABCD的對角線，∠BAC＝90°，CE平分∠ACB，F(xiàn)為射線BC上一點(diǎn)．（1）如圖1，F(xiàn)在BC延長線上，連接AF與CD交于點(diǎn)G，若AC＝8，CD＝6；①當(dāng)G為CD中點(diǎn)時，求證：CF＝BC；②當(dāng)CF＝CA時，求CG長度；（2）如圖2，F(xiàn)在線段BC上，連接AF與CE交點(diǎn)于H，若∠D＝3∠ACE，F(xiàn)A＝FC，試探究AD，AC，AH三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．10．如圖①，在平行四邊形ABCD中，AB＝5cm，BC＝2cm，∠BCD＝120°，CE平分∠BCD交AB于點(diǎn)E，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿AB方向以1cm/s的速度運(yùn)動，連接CP，將△PCE繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)60°，使CE與CB重合，得到△QCB，連接PQ．（1）求證：△PCQ是等邊三角形；（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在線段EB上運(yùn)動時，△PBQ的周長是否存在最小值？若存在，求出△PBQ周長的最小值；若不存在，請說明理由；（3）如圖③，當(dāng)點(diǎn)P在射線AM上運(yùn)動時，是否存在以點(diǎn)P、B、Q為頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．11．問題提出（1）如圖1，在?ABCD中，連接AC，∠DAC＝60°，AD＝6，點(diǎn)F是對角線AC上一點(diǎn)，CF＝4，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接EF，求△EFB的面積；問題解決（2）節(jié)能環(huán)保日益受到人們的重視，水污染治理工程仍然任重道遠(yuǎn)．如圖2，某工廠有一塊四邊形空地ABCD，其中AD∥BC，CD⊥BC，AB＝AD＝100m，BC＝150m，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，BE＝2EC．AE與DE是兩條排污管道，管理者現(xiàn)要建一個四邊形凈化水池BMNC，要求點(diǎn)M、N分別在AE、DE上，EN＝2AM．設(shè)AM的長為x（m），四邊形BMNC的面積為y（m2）．①求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；②按照要求，發(fā)現(xiàn)當(dāng)AM的長度為40m時，整體布局比較合理．試求當(dāng)AM＝40m時，四邊形BMNC的面積．12．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝6cm，BC＝10cm，動點(diǎn)P、Q分別從A、C同時出發(fā)，點(diǎn)P以lcm/s的速度由A向D運(yùn)動，點(diǎn)Q以2cm/s的速度由C向B運(yùn)動，其中一動點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一動點(diǎn)隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒．（1）AP＝，CQ＝，（分別用含有t的式子表示）；（2）當(dāng)點(diǎn)P、Q與四邊形ABCD的任意兩個頂點(diǎn)所形成的四邊形是平行四邊形時，求t的值；（3）當(dāng)四邊形PQCD的面積為四邊形ABCD面積的一半時，直接寫出t的值．13．如圖，在?ABCD中，AB＝5，BC＝10，?ABCD的面積為40，點(diǎn)E從B出發(fā)沿BC以每秒1個單位長的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)C時停止運(yùn)動；點(diǎn)F從D出發(fā)沿DA以相同速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，兩點(diǎn)同時出發(fā)，同時停止，連接AE、CF．設(shè)點(diǎn)E、F運(yùn)動的時間是t秒（t＞0）．（1）?ABCD中BC邊上的高＝；（2）求證：四邊形AECF是平行四邊形；（3）當(dāng)t＝3時，?AECF是形；（4）在點(diǎn)E、F運(yùn)動的過程中，判斷四邊形AECF能否成為菱形，如果能，求出t的值；如果不能，說明理由．14．如圖，平行四邊形ABCD中，DB＝2，AB＝4，AD＝2，動點(diǎn)E、F同時從A點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)E沿著A→D→B的路線勻速運(yùn)動，點(diǎn)F沿著A→B→D的路線勻速運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)相遇時停止運(yùn)動．（1）如圖1，設(shè)點(diǎn)E的速度為1個單位每秒，點(diǎn)F的速度為4個單位每秒，當(dāng)運(yùn)動時間為秒時，設(shè)CE與DF交于點(diǎn)P，求線段EP與CP長度的比值；（2）如圖2，設(shè)點(diǎn)E的速度為1個單位每秒，點(diǎn)F的速度為個單位每秒，運(yùn)動時間為x秒，△AEF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出當(dāng)x為何值時，y的值最大，最大值為多少？（3）如圖3，H在線段AB上且AH＝HB，M為DF的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E、F分別在線段AD、AB上運(yùn)動時，探究點(diǎn)E、F在什么位置能使EM＝HM，并說明理由．15．（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①，已知矩形ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD，BC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)．求證：四邊形AFCE是菱形；（2）【類比應(yīng)用】如圖②，直線EF分別交矩形ABCD的邊AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，將矩形ABCD沿EF翻折，使點(diǎn)C的對稱點(diǎn)與點(diǎn)A重合，點(diǎn)D的對稱點(diǎn)為D'，若AB＝3，BC＝4，求四邊形ABFE的周長；（3）【拓展延伸】如圖③，直線EF分別交平行四邊形ABCD的邊AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，將平行四邊形ABCD沿EF翻折，使點(diǎn)C的對稱點(diǎn)與點(diǎn)A重合，點(diǎn)D的對稱點(diǎn)為D'，若，BC＝4，∠C＝45°，求EF的長．16．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，將△ABC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度α得到△AED，點(diǎn)B，C的對應(yīng)點(diǎn)分別是E，D．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E恰好在AC上時，求∠CDE的度數(shù)；（2）如圖2，若α＝60°時，點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，且，求證：①DF⊥AC；②四邊形BFDE是平行四邊形．17．在?ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝6．點(diǎn)E'在BC邊上且BE'＝4，將BE'繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)a°得到．BE（0°＜a＜180°）．（1）如圖1，當(dāng)∠EBA＝90°時，求S△BCE；（2）如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，連接CE，取CE中點(diǎn)F，作射線BF交直線AD于點(diǎn)G．①求線段BF的取值范圍；②當(dāng)∠EBF＝120°時，求證：BC﹣DG＝2BF；（3）如圖3．當(dāng)∠EBA＝90°時，點(diǎn)S為線段BE上一動點(diǎn)，過點(diǎn)E作EM⊥射線AS于點(diǎn)M，N為AM中點(diǎn)，直接寫出BN的最大值與最小值．18．已知：四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E是AB邊的中點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)A作AF⊥DE，垂足為點(diǎn)G，交BC邊于點(diǎn)F，點(diǎn)H是線段GF上一點(diǎn)，連接BH、DH，DH＝BC．（1）如圖1，求證：BH∥DE；（2）如圖2，延長BH交CD邊于點(diǎn)K，連接FK，若DH∥FK，求證：BH＝HK；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接KE，延長KE至點(diǎn)M，連接AM、BM，若∠AMB＝135°，AD＝AE，BK＝2，求AM的長．19．在平行四邊形ABCD中，∠BAD的平分線交邊BC于點(diǎn)E，交DC的延長線于點(diǎn)F．（1）如圖1，求證：CE＝CF；（2）如圖2，F(xiàn)G∥BC，F(xiàn)G＝EC，連接DG、EG，當(dāng)∠ABC＝120°時，求證：∠BDG＝60°；（3）如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)BE＝2CE，AE＝4時，求線段BD的長．20．【數(shù)學(xué)初探】在數(shù)學(xué)課上，葉老師提出了一個探究型問題：“如圖1，你能借助銳角△ABC畫出一個菱形，使∠A為該菱形的一個內(nèi)角嗎？”雷同學(xué)提出了自己的見解：如圖2，①作∠BAC的平分線AE，交BC于點(diǎn)E；②作AE的中垂線l分別交AB、AC、AE于點(diǎn)F、G、H；③連接EF，EG，則四邊形AFEG是菱形．（1）請你幫助雷同學(xué)證明四邊形AFEG是菱形．【深入探究】雷同學(xué)開啟大膽嘗試，如圖3，將△ABC的中線BO延長至點(diǎn)D，使DO＝OB，連接AD，CD，平移圖2中的直線l（平移過程中直線l與AB、AC、AE的交點(diǎn)仍為F、G、H），當(dāng)直線l恰好經(jīng)過點(diǎn)D時，他通過測量發(fā)現(xiàn)了線段OG與線段BF存在特定的數(shù)量關(guān)系．（2）請你寫出線段OG與線段BF的數(shù)量關(guān)系，并求證．【遷移應(yīng)用】（3）如圖4，在（2）的條件下，若∠BAC＝60°，且時，求的值．參考答案1．（1）證明：∵EF∥AC，∴∠EFC＝∠DCO，∠FED＝∠DOC，∵DF＝DC，∴△ODC≌△EDF（AAS）；（2）選擇②，四邊形OCEF是正方形，證明：∵△ODC≌△EDF（AAS），∴OD＝DE，CD＝DF，∴四邊形OCEF是平行四邊形，∵OD＝DC，∴OD＝DE＝CD＝DF，∴四邊形OCEF是矩形，∵∠BEC＝45°，∴∠EOC＝45°，∴∠OEC＝∠EOC，∴OC＝CE，∴四邊形OCEF是正方形，2．（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠B+∠ECD＝180°，∵∠AFE＝∠B，∴∠AFE+∠ECD＝180°，∵∠AFE+∠AFD＝180°，∴∠DFA＝∠ECD．（2）解：相似，理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，CD＝AB＝4，∴∠ADF＝∠CED，又∵∠DFA＝∠ECD，∴△ADF∽△DEC．（3）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∵AE⊥BC，∴AE⊥AD，在Rt△EAD中，DE＝＝6，∵△ADF∽△DEC，∴，即．∴AF＝2．3．解：（1）∵AD＝BD，M為AB中點(diǎn)，∴DM⊥AB，AM＝BM＝AB＝2，∴DM＝＝3；（2）當(dāng)0＜t≤1時，此時點(diǎn)P在AD上，由題意得：PA＝t，∴PD＝AD﹣PA＝﹣t；當(dāng)1＜t≤2時，此時點(diǎn)P在BD上，由題意得：點(diǎn)P移動的距離＝AD+PD＝t，∴PD＝t﹣AD＝t﹣，綜上，PD的長為﹣t（0＜t≤1）或PD＝t﹣（1＜t≤2）；（3）當(dāng)點(diǎn)M、P、C三點(diǎn)共線時，如圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD＝4，AB∥CD，∵M(jìn)為AB中點(diǎn)，∴AM＝BM＝AB＝2，∴CD＝2BM．∵AB∥CD，∴＝2，∴DP＝2PB，∵BD＝，∴PD＝．由（2）知：PD＝t﹣（1＜t≤2），∴t﹣＝．∴t＝．∴當(dāng)點(diǎn)M、P、C三點(diǎn)共線時，t的值為；（4）當(dāng)點(diǎn)A′落在直線MD上時，△PDA′的面積為或3．理由：當(dāng)0＜t≤1時，此時點(diǎn)P在AD上，過點(diǎn)P作PE⊥MD于點(diǎn)E，如圖，由軸對稱的性質(zhì)得：PA＝PA′＝t，∠PMA＝∠PMA′＝∠AMD＝45°，MA＝MA′＝2．∴DA′＝MD﹣MA′＝3﹣2＝1．∵PE⊥MD，DM⊥AB，∴PE∥AM，∴，∴．∴PE＝2﹣2t，DE＝3﹣3t，∴ME＝DM﹣DE＝3﹣（3﹣3t）＝3t，∵PE⊥MD，∠PMA′＝45°，∴PE＝ME，∴2﹣2t＝3t．解得：t＝，∴PE＝2﹣2t＝．∴△PDA′的面積＝DA′?PE＝1×＝；當(dāng)1＜t≤2時，此時點(diǎn)P在BD上，過點(diǎn)P作PE⊥MD于點(diǎn)E，如圖，由軸對稱的性質(zhì)得：∠FMA＝∠FMA′＝∠AMA′＝45°，MA＝MA′＝2．∴DA′＝MD+MA′＝3+2＝5．∵PE⊥MD，DM⊥AB，∴PE∥AM，∴，∴，∴PE＝2t﹣2，DE＝3t﹣3，∴ME＝DM﹣DE＝3﹣（3t﹣3）＝6﹣3t，∵PE⊥MD，∠PMA′＝45°，∴PE＝ME，∴2t﹣2＝6﹣3t．解得：t＝，∴PE＝2t﹣2＝．∴△PDA′的面積＝DA′?PE＝5×＝3，綜上，當(dāng)點(diǎn)A′落在直線MD上時，△PDA′的面積為或3．4．（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD∥AB，CD＝AB，∵點(diǎn)A是MN的中點(diǎn)，∴MA＝AN，∵BN∥DM，∴∠ANB＝∠AME，∠ABN＝∠AEM，∴△ABN≌△AEN（AAS），∴AE＝AB，EM＝BN，∴AE＝CD，∴四邊形EACD是平行四邊形；（2）①解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∵四邊形EACD是平行四邊形，∴AC＝DE＝7，AE＝AD＝AB，又∵∠DAM＝∠BAN＝∠EAM，∴DM＝EM＝，AM⊥DE，∴BN＝EM＝；②解：如圖，過點(diǎn)M作MH⊥AE于H，MG⊥AD，交AD的延長線于G，∵∠MAE＝∠MAD，MH⊥AE，MG⊥AD，∴MG＝MH，∵DM：ME＝4：3，∴S△AMD：S△AME＝4：3，∴（×AD×MG）：（AE×MH）＝4：3，∴AD：AE＝4：3，∴設(shè)AD＝4x，AE＝3x，當(dāng)四邊形ACDE是矩形時，即∠E＝90°，∴AD2＝DE2+AE2，∴16x2＝49+9x2，∴x＝（負(fù)值舍去），∴AD＝4，AE＝3＝AB，∴平行四邊形ABCD的周長＝2×（4+3）＝14；當(dāng)四邊形ABCD是矩形，即∠DAB＝90°＝∠DAE，∴DE2＝AE2+AD2，∴49＝16x2+9x2，∴x＝（負(fù)值舍去），∴AD＝，AE＝＝AB，∴平行四邊形ABCD的周長＝2×（+）＝；故答案為：或14．5．（1）證明：∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠ABM，∵CE∥AM，∴∠ECD＝∠ADB，∵AM是△ABC的中線，且D與M重合，∴BD＝DC，∴△ABD≌△EDC（ASA），∴AB＝ED，∵AB∥ED，∴四邊形ABDE是平行四邊形；（2）解：結(jié)論成立，理由如下：如圖2，∵CE∥AM，MG∥DE，∴四邊形DMGE是平行四邊形，∴ED＝GM，且ED∥GM，由（1）知，AB＝GM，AB∥GM，∴AB∥DE，AB＝DE，∴四邊形ABDE是平行四邊形；（3）解：如圖3，取線段CH的中點(diǎn)I，連接MI，∵BM＝MC，∴MI是△BHC的中位線，∴MI∥BH，MI＝BH，∵BH⊥AC，且BH＝AM，∴MI＝AM，MI⊥AC，∴∠CAM＝30°．故答案為：30°．6．解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝CO，又∵∠AEO＝∠CFO＝90°，∠AOE＝∠COF，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴OE＝OF，故答案為：OE＝OF；（2）補(bǔ)全圖形如圖所示，結(jié)論仍然成立，理由如下：如圖2，延長EO交CF于點(diǎn)G，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF，∴∠EAO＝∠GCO，∵點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，∴AO＝CO，又∵∠AOE＝∠COG，∴△AOE≌△COG（ASA），∴OE＝OG，∵∠GFE＝90°，∴OE＝OF；（3）點(diǎn)P在線段OA的延長線上運(yùn)動時，如圖3，延長EO交FC的延長線于點(diǎn)H，由（2）可知△AOE≌△COH，∴AE＝CH＝1，OE＝OH，又∵∠OEF＝30°，∠HFE＝90°，∴HF＝EH＝OE，∴OE＝CF+CH＝3+1＝4．7．（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，∵將△ABC沿AC翻折至△AEC，∴BC＝CE，∴AD＝CE；（2）如圖，設(shè)AE和CD的交點(diǎn)為O，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD＝AB＝2，∵將△ABC沿AC翻折至△AEC，∴AB＝AE＝2，∠B＝∠AEC＝60°，∴AE＝CD，又∵AD＝CE，DE＝DE，∴△ADE≌△CED（SSS），∴∠CDE＝∠AED，∴DO＝EO，∵AE⊥CD，∠AEC＝60°，∴∠DCE＝30°，∴CE＝2EO，CO＝EO，∵CD＝CO+DO，∴2＝EO+EO，∴EO＝﹣1，∴BC＝CE＝2EO＝2﹣2；（3）如圖，當(dāng)∠ADE＝90°時，∵∠B＝∠ADC＝60°，∴∠CDE＝30°，由（2）可知：△ADE≌△CED，∴∠AED＝∠CDE＝30°，∴AE＝2AD，∴AB＝2BC，∴＝2；如圖，當(dāng)∠AED＝90°時，同理可求：＝；如圖，當(dāng)∠DAE＝90°，點(diǎn)E在AD的上方時，過點(diǎn)A作AH⊥AB，交BC于H，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠B＝60°，∴∠BAD＝120°，∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝210°，∵將△ABC沿AC翻折至△AEC，∴∠BAC＝105°，∵AH⊥AB，∴∠HAC＝15°，∠AHB＝30°，∴∠HAC＝∠HCA＝15°，∴AH＝HC，∵AH⊥AB，∠AHB＝30°，∴AH＝AB，BH＝2AB，∴BC＝（2+）AB，∴＝＝2﹣，如圖，當(dāng)∠DAE＝90°，點(diǎn)E在AD的下方時，同理可求：，綜上所述：的值為2+或2﹣或2或．8．（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，又∵AO＝CO，∠AOE＝∠FOC，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE＝CF，又∵AE∥CF，∴四邊形AFCE為平行四邊形；（2）解：①AB＝BH，理由如下：設(shè)∠CAF＝x，∵四邊形AFCE是平行四邊形，∴∠CAF＝∠ACE＝x，∵∠ACB＝45°，BG⊥EC，∴∠CBG＝45°﹣x，∴∠AHB＝∠CBG+∠ACB＝90°﹣x，∵AB＝AF，∴∠ABC＝∠AFB，∵∠AFB＝∠ACB+∠FAC，∴∠ABC＝∠AFB＝45°+x，∴∠BAF＝90°﹣2x，∴∠BAC＝∠BAF+∠CAF＝90°﹣x，∴∠BAC＝∠BHA，∴AB＝BH；②如圖，過點(diǎn)B作BR⊥AC于R，過點(diǎn)E作EP⊥AC于P，∵BR⊥AC，∠ACB＝45°，∴∠ACB＝∠CBR＝45°，∴BR＝RC，∴△BRC是等腰直角三角形，∴BC＝BR，∵BC＝2，∴BR＝2＝CR，∵∠CBG＝15°，∴∠AHB＝∠ACB+∠CBG＝60°，又∵AB＝BH，∴△ABH是等邊三角形，∴AB＝AH，∵BR⊥AH，∴∠ABR＝30°，∴AB＝2AR，∵AB2﹣AR2＝BR2，∴3AR2＝4，∴AR＝，∴AB＝，∴AB＝AH＝，∵AC＝AR+RC＝+2，∴CH＝AC﹣AH＝2﹣，∵∠CBG＝15°，∴∠ABC＝75°，∴∠AFC＝∠ABC＝75°，∴∠FAC＝∠AFB﹣∠ACB＝30°＝∠ACE，∵四邊形AFCE是平行四邊形，∴AF＝CE＝AB＝，∵EP⊥AC，∠ACE＝30°，∴EP＝EC＝，∴S△ECH＝×EP×HC＝××（2﹣）＝﹣．9．解（1）①∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC＝AD，AD∥BF，∴∠D＝∠FCD，∵G是CD中點(diǎn)，∴DG＝CG，∵∠FGC＝∠DGA，∴△ADG≌△FCG（ASA），∴AD＝FC，∴FC＝BC．②在Rt△ABC中，AC＝8，CD＝6，∴AD＝＝＝10，∴BC＝10，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE，∵AC＝AF，∴∠F＝∠CAF，∵∠ACB＝∠F+∠CAF＝2∠F＝∠ACE+∠BCE＝2∠BCE，∴∠F＝∠BCE，∴CE∥AG，又∵AB∥CD，∴四邊形AECG是平行四邊形，∴AE＝CG，如圖1，過點(diǎn)E作EN⊥BC于N，∵∠ACE＝∠ECN，∠EAC＝∠ENC＝90°，CE＝CE，∴△ACE≌△NCE（AAS），∴AC＝CN＝8，AE＝EN，∴BN＝2，∵BE2＝BN2+EN2，∴（6﹣EN）2＝EN2+4，∴EN＝，∴AE＝CG＝；（3）AC＝AH+AD，理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠B＝∠D，AD＝BC，∵∠D＝3∠ACE，∴∠B＝3∠ACE，∵∠ACE+∠BCE+∠B+∠BAC＝180°，∴∠ACE＝∠BCE＝18°，∠B＝54°，∵AF＝CF，∴∠CAF＝∠ACF＝36°，∴∠B＝∠BAF＝54°，∴AF＝BF＝CF＝BC＝AD，如圖2，以C為頂點(diǎn)作∠BCP＝36°，交AF的延長線于P，∴∠ACP＝72°，又∵∠CAF＝36°，∴∠P＝72°＝∠ACP，∴AC＝AP，∵∠CHP＝∠ACE+∠CAF＝54°，∠PCH＝∠BCE+∠BCP＝54°，∴∠CHP＝∠PCH，∴CP＝PH，∵∠CFP＝∠ACF+∠FAC＝72°，∴∠CFP＝∠P，∴CP＝CF＝PH，∵AC＝AP＝AH+PH，∴AC＝AH+AD．10．證明：（1）∵將△PCE繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)60°，使CE與CB重合，得到△QCB，∴△PCE≌△QCB，∴CP＝CQ，∠PCE＝∠QCB，∵∠BCD＝120°，CE平分∠BCD，∴∠PCQ＝60°，∴∠PCE+∠QCE＝∠QCB+∠QCE＝60°，即∠PCQ＝60°，∴△PCQ為等邊三角形；（2）存在，∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝60°，∵在平行四邊形ABCD中，∴AB∥CD，∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°，∴△BCE為等邊三角形，∴BE＝CB＝2cm，∵將△PCE繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)60°，∴△PCE≌△QCB，∴EP＝BQ，∴C△PBQ＝PB+BQ+PQ＝PB+EP+PQ＝BE+PQ＝2+CP，∴CP⊥AB時，△PBQ周長最小，當(dāng)CP⊥AB時，CP＝BCsin60°＝∴△PBQ周長最小為（2+）cm；（3）①當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)P重合時，P，B，Q不能構(gòu)成三角形；②當(dāng)0≤t＜3時，由旋轉(zhuǎn)可知，∠CPE＝∠CQB，∵∠CPQ＝∠CPB+∠BPQ＝60°，則：∠BPQ+∠CQB＝60°，又∵∠QPB+∠PQC+∠CQB+∠PBQ＝180°，∴∠CBQ＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠QBP＝60°，∠BPQ＜60°，所以∠PQB可能為直角；由（1）知，△PCQ為等邊三角形，∴∠PBQ＝60°，∠CQB＝30°，∵∠CQB＝∠CPB，∴∠CPB＝30°，∵∠CEB＝60°，∴∠ECP＝∠EPC＝30°，∴PE＝CE＝2，∴AP＝AE﹣EP＝3﹣2＝1，∴t＝1÷1＝1s，③當(dāng)3＜t＜5時，由∠PBQ＝120°＞90°，所以不存在；④當(dāng)t＞5時，由旋轉(zhuǎn)得：∠PBQ＝60°，由（1）得∠CPQ＝60°∴∠BPQ＝∠CPQ+∠BPC＝60°+∠BPC，而∠BPC＞0°，∴∠BPQ＞60°∴∠BPQ＝90°，從而∠BCP＝30°，∴BP＝BC＝2所以AP＝7cm所以t＝7s．綜上所述：t為1s或7s時，以點(diǎn)P、B、Q為頂點(diǎn)的直角三角形．11．解：（1）過點(diǎn)F作FG⊥BC于G，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC＝6，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴BE＝BC＝3，在Rt△CGF中，F(xiàn)G＝CFsin∠ACB＝4×sin60°＝2，∴S△EFB＝＝3；（2）①連接DB，與AE交于點(diǎn)O，分別過點(diǎn)N作NQ⊥ME于Q，NH⊥BC于H，∵BE＝2EC，BC＝150m，∴BE+EC＝150m，即3EC＝150m，∴EC＝50m，BE＝100m，∵AD＝AB＝100m，∴AD＝BE＝100m，又∵AD∥BC，∴四邊形ABED是平行四邊形，又∵AD＝AB，∴四邊形ABED是菱形，∴ED＝100m，BD⊥AE，∴EC＝ED，∵CD⊥BC，∴∠EDC＝30°，∠DEC＝60°，∴∠BED＝120°，∴∠AED＝∠AEB＝60°，∴∠AED＝∠CED＝60°，∴△ABE是等邊三角形，∴AB＝AE＝100m，∵NQ⊥AE，NH⊥BC，∴NQ＝NH，∵AM＝xm，∴EN＝2AM＝2xm，EM＝AE﹣AM＝（100﹣x）m，在Rt△ENQ中，NQ＝EN?sin∠AED＝2x?sin60°＝x（m），∴NH＝x（m），∴S△ENM＝EM?NQ＝＝（50x﹣）m2，＝25x（m2），在Rt△BOE中，BO＝EB?sin∠AEB＝100×sin60°＝50m，∴S△BEM＝EM?BO＝（100﹣x）?50＝（2500﹣25x）m2，∴y＝S△ENM+S△CEN+S△BEM＝50x﹣+25x+2500﹣25x＝﹣x2+50x+2500；②當(dāng)AM＝40m時，y＝﹣×402+50×40+2500＝3700（m2），∴當(dāng)AM＝40m時，四邊形BMNC的面積為3700m2．12．解：（1）∵點(diǎn)P以lcm/s的速度由A向D運(yùn)動，點(diǎn)Q以2cm/s的速度由C向B運(yùn)動，∴設(shè)運(yùn)動時間為t秒，則AP＝tcm，CQ＝2tcm，故答案為：tcm；2tcm；（2）設(shè)t秒后四邊形ABQP是平行四邊形；根據(jù)題意得：AP＝tcm，CQ＝2tcm，則BQ＝（6﹣2t）cm；∵AD∥BC，∴當(dāng)AP＝BQ時，四邊形ABQP是平行四邊形，∴t＝10﹣2t，解得：t＝，即秒時四邊形ABQP是構(gòu)成平行四邊形；當(dāng)四邊形DCQP是平行四邊形，根據(jù)題意得：AP＝xcm，CQ＝2xcm，則PD＝（6﹣x）cm；∵AD∥BC，∴當(dāng)AP＝BQ時，四邊形DCQP是平行四邊形，∴2x＝6﹣x，解得：x＝2，當(dāng)PD＝BQ時，10﹣2x＝6﹣x，解得：x＝4，因此2或或4秒時直線PQ將四邊形ABCD截出一個平行四邊形；（3）設(shè)運(yùn)動時間為t秒，則AP＝tcm，CQ＝2t，∵AD＝6cm，BC＝10cm，∴PD＝（6﹣t）cm，QB＝（10﹣2t）cm，當(dāng)四邊形PDCQ的面積為四邊形ABCD面積的一半時，四邊形ABQP和PDCQ的面積相等，則6﹣t+2t＝t+10﹣2t，解得：t＝2，答：當(dāng)四邊形PDCQ的面積為四邊形ABCD面積的一半時，則運(yùn)動時間為2秒．13．（1）解：設(shè)?ABCD中BC邊上的高為h，∵?ABCD的面積為40，BC＝10，∴10h＝40，∴h＝4，故答案為：4；（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，由題意得：BE＝DF，∴BC﹣BE＝AD﹣DF，∴CE＝AF，∴四邊形AECF是平行四邊形；（3）解：如圖1，過點(diǎn)A作AM⊥BC于M，∴AM＝4，由勾股定理得：BM＝＝3，當(dāng)t＝3時，BE＝DF＝3，∴M與E重合，∴∠AEC＝90°，∴?AECF是矩形；故答案為：矩；（4）四邊形AECF能成為菱形，理由如下：如圖2，過點(diǎn)A作AM⊥BC于M，則BM＝3，由題意得：BE＝DF＝t，則CE＝10﹣t，∴EM＝t﹣3，當(dāng)四邊形AECF是菱形時，AE＝CE，∴42+（t﹣3）2＝（10﹣t）2，∴t＝＜10，∵0＜t＜10，∴當(dāng)t＝時，四邊形AECF能成為菱形．14．解：（1）延長DF交CB的延長線于G，∵平行四邊形ABCD中，∴CG∥AD，∴∠A＝∠GBF，∴△AFD∽△BFG，∴＝，∵運(yùn)動時間為秒，∴AF＝，∵AB＝4，∴BF＝，∵AD＝2，∴BG＝1，∴CG＝3，∵AD∥CG，∴＝，∵AE＝，∴ED＝，∴＝；（2）當(dāng)0≤x≤2時，E點(diǎn)在AD上，F(xiàn)點(diǎn)在AB上，由題意可知，AE＝x，AF＝x，∵DB＝2，AB＝4，AD＝2，∴△ABD是直角三角形，且∠A＝60°，過點(diǎn)E作EH⊥AB交于H，∴EH＝AE?sin60°＝x，∴y＝×AF×EH＝×x×x＝x2；此時當(dāng)x＝2時，y有最大值3；當(dāng)2≤x≤時，E點(diǎn)在BD上，F(xiàn)點(diǎn)在AB上，過點(diǎn)E作EN⊥AB交于N，過點(diǎn)D作DM⊥AB交于M，∵AD+DE＝x，AD＝2，∴DE＝x﹣2，∵BD＝2，∴BE＝2﹣x+2，在Rt△ABD中，DM＝，∵EN∥DM，∴＝，∴＝，∴EN＝1+﹣x，∴y＝×AF×EN＝×（x）×（1+﹣x）＝﹣x2+x+x；此時當(dāng)x＝時，y有最大值2+；當(dāng)≤x≤2時，過點(diǎn)E作EQ⊥AB交于Q，過點(diǎn)F作FP⊥AB交于P，∴AB+BF＝x，DA+DE＝x，∵AB＝4，AD＝2，∴BE＝2﹣x+2，BF＝x﹣4，∵PF∥DM，∴＝，即＝，∴PF＝x﹣2，∵EQ∥DM，∴＝，即＝，∴EQ＝+1﹣x，∴y＝×AB×（EQ﹣PF）＝×4×（+1﹣x﹣x+2）＝6+2﹣x﹣x；此時當(dāng)x＝時，y有最大值2+；綜上所述：當(dāng)0≤x≤2時，y＝x2；當(dāng)2≤x≤時，y＝﹣x2+x+x；當(dāng)≤x≤2時，y＝6+2﹣x﹣x；y的最大值為2+；（3）連接DH，∵AH＝HB，AB＝4，∴AH＝1，∴DH⊥AB，∵M(jìn)是DF的中點(diǎn)，∴HM＝DM＝MF，∵EM＝HM，∴EM＝DF，∴△EDF是直角三角形，∴EF⊥AD，∵AD⊥BD，∴EF∥BD．15．（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AE∥CF，∴∠EAO＝∠FCO，∵EF垂直平分AC，∴∠AOE＝∠COF＝90°，AO＝OC，∴△EAO≌△FCO（ASA），∴OE＝OF，∴四邊形AFCE為平行四邊形，∵EF⊥AC，∴平行四邊形AFCE為菱形；（2）解：過點(diǎn)F作FH⊥AD于H，由折疊可知：AF＝CF，∠AFE＝∠EFC，在Rt△ABF中，AF2＝BF2+AB2，即（4﹣BF）2＝BF2+9，∴，∴，∵AD∥BC，∴∠AEF＝∠EFC＝∠AFE，∴，∵∠B＝∠BAD＝∠AHF＝90°，∴四邊形ABFH是矩形，∴AB＝FH＝3，，∴，∴，∴四邊形ABFE的周長＝；（3）解：過點(diǎn)A作AN⊥BC，交CB的延長線于N，過點(diǎn)F作FM⊥AD于M，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠C＝45°，∴∠ABC＝135°，∴∠ABN＝45°，∵AN⊥BC，∴∠ABN＝∠BAN＝45°，∴，由折疊的性質(zhì)可知：AF＝CF，∠AFE＝∠EFC，∵AD∥BC，∴∠AEF＝∠EFC＝∠AFE，∴AE＝AF，∵AF2＝AN2+NF2，∴AF2＝4+（6﹣AF）2，∴，∴，∵AN∥MF，AD∥BC，∴四邊形ANFM是平行四邊形，∵AN⊥BC，∴四邊形ANFM是矩形，∴AN＝MF＝2，在Rt△AMF中，，∴，在Rt△MFE中，．16．（1）解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ACB＝60°．∵△ABC繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，點(diǎn)E恰好在AC上，∴CA＝AD，∠EAD＝∠BAC＝30°，∴∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣30°）＝75°．∵∠EDA＝∠ACB＝60°，∴∠CDE＝∠ADC﹣∠EDA＝15°．（2）證明：①∵∠CAD＝α＝60°，AD＝AC，∴△ACD是等邊三角形，∵點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，∴DF⊥AC；②∵點(diǎn)F是邊AC中點(diǎn)，∴AF＝AC，∵BF＝AC，∴AF＝BF，∴∠ABF＝∠BAC＝30°，∵∠BAC＝30°，∠ABC＝90°，∴BC＝AC，∵△ABC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ADE，∴∠BAE＝∠CAD＝60°，CB＝DE，∠DEA＝∠ABC＝90°，∴DE＝BF．延長BF交AE于點(diǎn)G，則∠BGE＝∠GBA+BAG＝90°，如圖3，∴∠BGE＝∠DEA，∴BF∥ED，∴四邊形BFDE為平行四邊形．17．（1）解：如圖1，過點(diǎn)E作EH⊥BC交CB的延長線于點(diǎn)H，∴∠EHC＝90°，∵∠ABC＝60°，∠EBA＝90°，∴∠EBH＝180°﹣∠EBA﹣∠ABC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∵點(diǎn)E'在BC邊上且BE'＝4，將BE'繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)a°得到BE，∴BE＝BE′＝4，∴EH＝BE＝×4＝2，又∵BC＝6，∴S△BCE＝BC?EH＝×6×2＝6；（2）①解：方法一：過點(diǎn)E作EK∥BC交BG于點(diǎn)K，則∠FEK＝∠FCB，∵點(diǎn)F是CE的中點(diǎn)，∴EF＝CF，在△EFK和△CFB中，，∴△EFK≌△CFB（ASA），∴EK＝BC＝6，F(xiàn)K＝FB，∴BK＝2BF，由旋轉(zhuǎn)得：BE＝BE'＝4，在△BEK中，EK﹣BE＜BK＜EK+BE，∴6﹣4＜BK＜6+4，即2＜2BF＜10，∴1＜BF＜5；方法二：如圖2′，在線段FG上截取FK＝BF，連接EK、CK，∵EF＝FC，BF＝FK，∴四邊形BCKE是平行四邊形，∴BE＝CK＝AB＝4，BC＝6，在△BCK中，BC﹣CK＜BK＜BC+CK，∴6﹣4＜BK＜6+4，即2＜2BF＜10，∴1＜BF＜5；②證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，且∠ABC＝60°，AB＝4，∴∠A＝180°﹣∠ABC＝180°﹣60°＝120°，AD∥BC，AD＝BC，BE＝AB，∵∠EBF＝120°，即∠EBK＝120°，∴∠EBK＝∠A，∵EK∥BC，∴EK∥AD，∴∠EKB＝∠BGA，在△EKB和△BGA中，，∴△EKB≌△BGA（AAS），∴BK＝AG，由①知：BK＝2BF，又∵AG＝AD﹣DG，∴2BF＝BC﹣DG；（3）方法一：如圖3，延長AB至P，使BP＝AB＝4，連接PM，∵B、N分別是AP、AM的中點(diǎn)，∴BN＝PM，當(dāng)PM最小或最大時，BN最小或最大，以AE為直徑作⊙O，連接PO交⊙O于點(diǎn)M′，連接PE，∵∠EBA＝90°，BE＝BA＝4，∴AE＝4，∵EM⊥AM，∴∠AME＝∠ABE＝90°，∴點(diǎn)M始終在以AE為直徑劣弧上運(yùn)動，∴PM的最大值為PE，此時點(diǎn)M″與E重合，點(diǎn)N″與點(diǎn)O重合，BN″＝BO＝2；PM的最小值為PM′，在Rt△POE中，OP＝＝＝2，∴PM′＝OP﹣OM′＝2﹣2，∴BN′＝PM′＝×（2﹣2）＝﹣，故BN的最大值為2，最小值為﹣．方法二：連接AE，取AE的中點(diǎn)P，PA的中點(diǎn)Q，連接BP、NP、NQ、BQ，∵∠ABE＝90°，AB＝BE＝4，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE＝AB＝4，∵點(diǎn)P是AE的中點(diǎn)，∴BP⊥AE，且BP＝AP＝EP＝2，∵N是AM的中點(diǎn)，P是AE的中點(diǎn)，∴PN是△AEM的中位線，∴PN∥EM，∴∠ANP＝∠AME＝90°，∵點(diǎn)Q是AP的中點(diǎn)，∴QN＝PQ＝AP＝，在Rt△BPQ中，BQ＝＝＝，當(dāng)B、Q、N三點(diǎn)共線時，BN的最小值＝BQ﹣NQ＝﹣，當(dāng)點(diǎn)S與點(diǎn)E重合時，EM＝0，PN＝0，此時，BN的最大值＝BP＝2．18．（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵DH＝BC，∴AD＝DH，∵DE⊥AF，∴AG＝GH，又∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴BH∥DE；（2）證明：∵EG∥BH，AF⊥DE，∴AF⊥BK，∴∠BHF＝∠FHK＝90°，∵DA＝DH，∴∠DAH＝∠DHA，∵AD∥BC，DH∥FK，∴∠DAH＝∠AFB，∠DHA＝∠KFH，∴∠AFB＝∠KFH，又∵FH＝FH，∴△BFH≌△KFH（AAS），∴BH＝HK；（3）解：如圖，連接AK，過點(diǎn)A作AR⊥EK于R，AN⊥AM交BM的延長線于點(diǎn)N，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∵BK∥DE，∴四邊形BEDK是平行四邊形，∴BE＝DK，∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE，∴AE＝DK，設(shè)AE＝BE＝m＝DK，∵AD＝AE，∴AD＝m，∵BH＝HK，AH⊥BK，∴AB＝AK＝2m，∵m2+（2m）2＝（m）2，∴AK2+DK2＝AD2，∴∠AKD＝90°，∵AB∥CD，∴∠BAK＝∠AKD＝90°，∴BK＝＝2m，∵BK＝2，∴2m＝2，∴m＝，∴AE＝BE＝＝DK，AK＝AB＝2，∴EK＝＝5，∵S△AEK＝×AE×AK＝×