工程流體力學(xué)2

第二章流體靜力學(xué)

運(yùn)動(dòng)是絕對(duì)的，靜止是相對(duì)的。流體靜止，就是流體相對(duì)于地球這個(gè)慣性坐標(biāo)系是靜止的。因此流體靜力學(xué)研究流體處于相對(duì)靜止或相對(duì)平衡狀態(tài)的特性，即研究流體平衡的規(guī)律。由于處在相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)的流體流層之間沒有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，因而粘性作用反映不出，故流體靜力學(xué)所討論的內(nèi)容，不論對(duì)理想流體，還是實(shí)際流體都是適用的。第二章流體靜力學(xué)§2.1流體靜壓強(qiáng)及其特性§2.2流體平衡微分方程式§2.3流體靜力學(xué)基本方程式§2.4液柱式測(cè)壓計(jì)§2.1流體靜壓強(qiáng)及其特性

當(dāng)流體處于靜止或相對(duì)靜止時(shí)，作用在流體上的力只有法向應(yīng)力，切向應(yīng)力為零。此時(shí)作用在流體上的法向應(yīng)力，或流體壓強(qiáng)稱為流體靜壓強(qiáng)。即流體靜壓強(qiáng)有兩個(gè)重要特性。特性一：流體靜壓強(qiáng)方向沿作用面的內(nèi)法線方向?！吡黧w受任何微小剪切力作用都要連續(xù)變形，流體靜止，沒有剪切力；流體受任何拉力作用也將產(chǎn)生流動(dòng)，流體靜止，沒有拉力。∴靜止?fàn)顟B(tài)，沒有剪切力，沒有拉力，只有沿作用面內(nèi)法線方向的壓強(qiáng)作用?！囔o止流體對(duì)容器的靜壓強(qiáng)恒垂直于器壁。(器壁對(duì)流體的壓強(qiáng)沿器壁的內(nèi)法線方向)

特性二：靜止流體中任一點(diǎn)的流體靜壓強(qiáng)與其作用面在空間的方位無關(guān)，只是該點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)。證：取微元四面體ABCD各面上的表面力px×1/2dydz，py×1/2dxdz，pz×1/2dxdy，pn×△BCD四面體質(zhì)量力沿坐標(biāo)軸的分力：fxρ×1/6dxdydz，fyρ×1/6dxdydz，fzρ×1/6dxdydz，微元四面體在這些表面力和質(zhì)量力作用下處于平衡狀態(tài)，故諸力在三坐標(biāo)方向投影的代數(shù)和為零。

考慮X方向:px×1/2dydz-pn×△BCD×cos(pn^x)+fxρ×1/6dxdydz=0△BCD×cos(pn^x)是△BCD在Ayz平面上的投影面積,就等于1/2dydz，所以:(px-pn)×1/2dydz+fxρ×1/6dxdydz=0,

或px-pn+1/3fxρdx=0

當(dāng)微元體以A點(diǎn)為極限，

dx，dy，dz趨近于零時(shí)，上式成為：px=pn同理可證：py=pn

,pz=pn∴px=py=pz=pn

因此，靜止流體中任一點(diǎn)的流體靜壓強(qiáng)與其作用面在空間的方位無關(guān)。但空間不同點(diǎn)的靜壓強(qiáng)則可以是不一樣的，即流體靜壓強(qiáng)是空間點(diǎn)的坐標(biāo)的函數(shù),

p=f(x,y,z).§2.2流體平衡微分方程式一.流體平衡微分方程式

微元平行六面體dxdydz，中心點(diǎn)a，a點(diǎn)壓強(qiáng)為p，p=f(x,y,z)，平均密度為ρ，單位質(zhì)量流體質(zhì)量力的分力fx,fy,fz

?！呶⒃骟w處于平衡狀態(tài),各個(gè)方向所受質(zhì)量力與表面力的合力為零。對(duì)X方向：即同理可得沿y軸和z軸的平衡方程各式除以六面體的質(zhì)量ρdxdydz得，寫成矢量形式或這就是流體的平衡微分方程式。它是Eular在1755年首先提出的。故又稱Eular平衡方程式。由于流體靜壓強(qiáng)是坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)，它的全微分為：將

代入得：§2.3流體靜力學(xué)基本方程式一.重力場(chǎng)中的流體靜力學(xué)基本方程式

作用在流體上的質(zhì)量力與流體所受力場(chǎng)的作用有關(guān)，若流體僅受重力場(chǎng)的作用，則作用在流體上的質(zhì)量力僅為重力，自然界或工程實(shí)際中經(jīng)常遇到的是此類情況。

如圖，坐標(biāo)系的x,y軸水平，z軸垂直向上，單位質(zhì)量的質(zhì)量力沿坐標(biāo)軸的分力fx=0,fy=0,fz=-g代入：得：dp=-ρgdz或設(shè)流體不可壓縮,ρ等于常數(shù)，則積分上式得：式中C為積分常數(shù)，由邊界條件確定。

將上式應(yīng)用于右圖中的1，2兩點(diǎn)，得：

上面兩式稱為流體靜力學(xué)的基本方程式。它適用于平衡狀態(tài)下的不可壓縮重力流體。對(duì)于可壓縮流體是不適用的。二、流體靜力學(xué)基本方程式的意義1．位置水頭（位勢(shì)能）流體靜力學(xué)基本方程式:式中g(shù)z代表單位質(zhì)量流體的位勢(shì)能（物理書上物體的勢(shì)能為mgh，單位質(zhì)量的勢(shì)能為gh，與gz相當(dāng)），z又是流體質(zhì)點(diǎn)（微團(tuán)）距離某基準(zhǔn)面的高度，所以gz又稱為位置高度或位置水頭。

2．壓強(qiáng)水頭（壓強(qiáng)勢(shì)能）

第二項(xiàng)代表單位質(zhì)量流體的壓強(qiáng)勢(shì)能,如圖所示,當(dāng)把已被抽成完全真空的閉口測(cè)壓管bc連接到容器上具有壓強(qiáng)p的a點(diǎn)時(shí),容器內(nèi)的液體將在壓強(qiáng)p和完全真空之間的壓差作用下在測(cè)壓管中上升一定的高度?？梢姡谝褐仙^程中，壓差克服重力作了功，從而增加了液柱的位勢(shì)能。也稱為壓強(qiáng)高度，它可通過將流體靜力學(xué)方程式應(yīng)用于圖中a，b二點(diǎn)得到：即單位質(zhì)量流體的壓強(qiáng)勢(shì)能與一段液柱高度相當(dāng),故又稱它為壓強(qiáng)高度或壓強(qiáng)水頭。3．靜水頭（總勢(shì)能）位置水頭+壓強(qiáng)水頭=靜水頭位勢(shì)能+壓強(qiáng)勢(shì)能=總勢(shì)能∴流體靜力學(xué)基本方程式的意義：在靜止的不可壓縮重力流體中，任意點(diǎn)的單位質(zhì)量流體的總勢(shì)能保持不變。即：它們的靜水頭的連線為平行于基準(zhǔn)的水平線。稱靜水頭線。

閉口測(cè)壓管（抽真空）與開口測(cè)壓管（接大氣）之間相差一個(gè)與大氣壓強(qiáng)相當(dāng)?shù)囊褐叨?。用開口測(cè)壓管測(cè)得的靜水頭又稱為計(jì)示靜水頭。靜水頭線A′A′又稱為計(jì)示靜水頭線。4．流體內(nèi)任一點(diǎn)的靜壓強(qiáng)

由流體靜力學(xué)基本方程式得：

淹深為h液面上∴流體內(nèi)任一點(diǎn)的靜壓強(qiáng)由兩部分組成：一部分是來自表面上的壓強(qiáng)p0，另一部分是深度為h，密度為ρ的液柱所產(chǎn)生的壓強(qiáng)ρgh。深度相等的諸點(diǎn)壓強(qiáng)都相等，這便是等壓面?！嘣谥亓ψ饔孟?，流體的等壓面為水平面，自由表面就是一個(gè)等壓面。5．帕斯卡原理

自由表面壓強(qiáng)p0有任何變化，都會(huì)引起流體內(nèi)所有流體質(zhì)點(diǎn)壓強(qiáng)的同樣變化。對(duì)于這種壓強(qiáng)在流體中傳遞的現(xiàn)象，法國(guó)人帕斯卡歸納為帕斯卡原理：施加在不可壓縮重力流體表面上的壓強(qiáng)將以同一數(shù)量沿各方向傳遞至流體中的所有流體質(zhì)點(diǎn)。水壓機(jī)、液壓傳動(dòng)裝置的設(shè)計(jì)都是以此原理為基礎(chǔ)的?！?.4液柱式測(cè)壓計(jì)一.絕對(duì)壓強(qiáng)，相對(duì)壓強(qiáng)，真空

與大氣交界的液面上的壓強(qiáng)就是大氣壓，即p0=pa∴p=pa+ρghp-pa=ρgh=pe式中的p稱為流體的絕對(duì)靜壓強(qiáng),是以完全真空為基準(zhǔn)計(jì)量的壓強(qiáng)。簡(jiǎn)稱為絕對(duì)壓強(qiáng)。式中的pe代表絕對(duì)靜壓強(qiáng)與大氣壓強(qiáng)之差，稱為流體的相對(duì)壓強(qiáng)（或計(jì)示壓強(qiáng)），它是以大氣壓強(qiáng)為基準(zhǔn)計(jì)量的壓強(qiáng)。

當(dāng)流體的絕對(duì)靜壓強(qiáng)低于大氣壓強(qiáng)，即相對(duì)壓強(qiáng)pe為負(fù)值，便說它處于真空狀態(tài)，負(fù)的相對(duì)壓強(qiáng)——真空，用pv表示：pv=pa–p當(dāng)流體的絕對(duì)壓強(qiáng)為零時(shí)，達(dá)到完全真空。這在實(shí)際中很難辦到，特別是當(dāng)容量中盛有液體時(shí)，只要壓強(qiáng)降低到液體的飽和蒸汽壓，液體便要汽化，壓強(qiáng)就不會(huì)再下降。流體壓強(qiáng)的計(jì)量單位主要用SI制中的帕斯卡。如表2-1示。

絕對(duì)壓強(qiáng)，大氣壓強(qiáng)，相對(duì)壓強(qiáng)，真空的相互關(guān)系示于右圖。物理學(xué)中一般用絕對(duì)壓強(qiáng)去計(jì)量壓強(qiáng)。工程技術(shù)中大都用相對(duì)壓強(qiáng)去計(jì)量壓強(qiáng)。這是由于工程技術(shù)中用以測(cè)量壓強(qiáng)的儀表，都與大氣相通，（如U形管測(cè)壓計(jì)），因而實(shí)際測(cè)量的就是絕對(duì)壓強(qiáng)與大氣壓強(qiáng)之差。二、液柱式測(cè)壓計(jì)1．U形管測(cè)壓計(jì)如圖所示，在圖中取1，2兩點(diǎn)，由于1,2兩點(diǎn)在同一水平面，即同一等壓面上,故:p1=p2p1=p+ρ1gh1p2=pa+ρ2gh2解得：p=pa+ρ2gh2-ρ1gh1其相對(duì)壓強(qiáng)為：Pe=p-pa=ρ2gh2-ρ1gh1對(duì)圖b，p<pa，是真空的情況p+ρ1gh1+ρ2gh2=papv=pa-p=ρ2gh2+ρ1gh1當(dāng)被測(cè)流體是氣體時(shí)，氣體的ρ1很小，ρ1gh1這一項(xiàng)可忽略不計(jì)。

例1.如圖，有一直徑d=12cm的圓柱體，其重量W=520N，在力F=588N的作用下，當(dāng)淹深h=0.5m處于靜止?fàn)顟B(tài)，求測(cè)壓管中水柱的高度H。解：圓柱體底面上各點(diǎn)上所受的壓強(qiáng)：pe=ρg（H+h）H=pe/(ρg)-h=10-0.5=9.5m

例2．如圖所示的測(cè)壓裝置，假設(shè)容器A中水面上的相對(duì)壓強(qiáng)pe=2.45×104N/m2,h=500mm，h1=200mm，h2=100mm，h3=300mm,水的密度ρ1=1000kg/m3,乙醇的密度ρ2=800kg/m3，水銀的密度ρ3=13612kg/m3，試求B容器中空氣的相對(duì)壓強(qiáng)p。解：標(biāo)出如圖所示的1,2，3，4四個(gè)交界面.1點(diǎn)的相對(duì)壓強(qiáng)為：p1=pe+ρ1g(h+h1)2點(diǎn)的相對(duì)壓強(qiáng)為：p2=p1-ρ3gh1=pe+ρ1g

(h+h1)-ρ3gh13點(diǎn)的相對(duì)壓強(qiáng)為：p3=p2+ρ2g