第四章 淺基礎(chǔ)

第四章淺基礎(chǔ)4.1概述（略）4.2條形基礎(chǔ)柱下條形基礎(chǔ)廣泛用于框架結(jié)構(gòu)，也間或用于排架結(jié)構(gòu)下的基礎(chǔ)，它在局部軟土上具有跨越作用?；A(chǔ)寬度B由地基承載力和變形條件決定，高度H經(jīng)常取為跨徑的1/6。不應(yīng)片面強(qiáng)調(diào)減少基礎(chǔ)斷面以降低造價(jià)，而應(yīng)當(dāng)這樣來選擇斷面及其勁度，使整個建筑物的形變狀態(tài)和內(nèi)力分布處于最優(yōu)狀態(tài)圖4.1條形基礎(chǔ)的撓度、分布反力和集中反力圖4.2基礎(chǔ)的內(nèi)力在圖4.1中，把條形基礎(chǔ)分為若干長度為L的梁單元。每一跨徑則分成四個最好是六個單元，以便更準(zhǔn)確地把握撓曲和內(nèi)力的分布每個單元有i,j兩個結(jié)點(diǎn)，每個結(jié)點(diǎn)兩個自由度，撓度ω和轉(zhuǎn)角θ。相應(yīng)的結(jié)點(diǎn)力為剪力V和彎矩M(圖4.2)。聯(lián)系結(jié)點(diǎn)力和結(jié)點(diǎn)位移的單元勁度矩陣可以用Galerkin原理建立。

或式中把所有的單元勁度矩陣集合成總勁度矩陣[K]，它是對稱的帶狀矩陣，同時把單元荷載列向量集合成總荷載列向量{P}。于是得條形基礎(chǔ)的平衡方程：式中{P}是外荷列向量，而{R}是地基集中反力列向量。為了求{R}我國設(shè)計(jì)單位很多采用基床系數(shù)假說，即假設(shè)某點(diǎn)地基反力分布p(x)只與該點(diǎn)沉降s成正比，而與鄰近各點(diǎn)的沉降無關(guān)，即或?qū)懗删仃囆问饺缦拢夯蚴街衚(kN/m3)是地基的基床系數(shù)，表示基礎(chǔ)產(chǎn)生單位沉降所需的反力。因?yàn)榈鼗系拿奎c(diǎn)只有豎直位移自由度，而基礎(chǔ)梁每個結(jié)點(diǎn)有兩個自由度。應(yīng)當(dāng)把地基勁度矩陣[KS]增廣以后才能迭加到基礎(chǔ)梁總勁度矩陣[K]的主對角元中去。現(xiàn)在考慮地基沉降{s}與基礎(chǔ)撓曲{ω}之間的位移連續(xù)性條件：將式（4.5）和（4.4a）帶入式（4.2），于是有對于自由支承在地基上的條形基礎(chǔ)，有邊界條件V1=M1=0以及Vn=Mn=0因此在端結(jié)點(diǎn)1和n的平衡方程中，使主對角元為1，并劃行劃列，同時在右端項(xiàng)的相應(yīng)位置上以、和、代替，即表示已考慮了全部邊界條件。求解方程式（4.6），得到全部撓度和轉(zhuǎn)角?；卮剑?.1a），用以計(jì)算彎矩和剪力分布。4.3片筏基礎(chǔ)4.31板單元的勁度矩陣設(shè)基礎(chǔ)-圖體系的總坐標(biāo)系為XYZ，而基礎(chǔ)單元的局部坐標(biāo)系xyz。矩形板單元ijmp有四個結(jié)點(diǎn)，相鄰單元通過這些結(jié)點(diǎn)勁性地聯(lián)結(jié)，使之即能傳遞橫向力，又能傳遞彎曲應(yīng)力。每個結(jié)點(diǎn)有三個自由度，即撓度，轉(zhuǎn)角和相應(yīng)地，有三個結(jié)點(diǎn)力，即剪力V，彎矩和。以結(jié)點(diǎn)i為例聯(lián)系單元結(jié)點(diǎn)和結(jié)點(diǎn)位移的單元勁度矩陣(B表示板)已經(jīng)建立。它是12階方陣。用子矩陣表示為或記為對稱式中E，v為基礎(chǔ)板材料的彈性模量和泊松比，而2a,2b,t分別為分別為板單元的長度和厚度。板單元勁度矩陣[KB]中有21個獨(dú)立變量，它們是：利用式（4.9）和（4.10）很容易編寫板單元勁度矩陣[KB]的子程序。先完成下三角，然后利用對稱性，再完成上三角。4.3.2基礎(chǔ)梁單元勁度矩陣zxy圖4.4基礎(chǔ)梁的受力狀態(tài)每個梁單元有兩個結(jié)點(diǎn)i，j。略去軸向變形，每個結(jié)點(diǎn)也有三個自由度，ω、和與此相對應(yīng)的結(jié)點(diǎn)力為剪力V、彎矩M，和扭矩T?？v向梁在某一結(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角必然使橫向梁在同一結(jié)點(diǎn)產(chǎn)生，于是橫向梁就產(chǎn)生扭矩T。反之依然（圖4.4）。在局部坐標(biāo)系xyz中，聯(lián)系結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移的單元勁度矩陣[KL](L表示梁)如下：或記作式中G-基礎(chǔ)材料的剪切模量；J-矩形斷面梁在扭曲時的慣性矩，可由梁斷面的高寬比h/b按式（4.12）求得有的單元板的邊界有一個或幾個梁單元，有的一個也沒有。要按照板單元上梁單元的方位和個數(shù)分為幾種類型，以便集合成總勁度矩陣：式中{R}—地基集中反力列向量。4.3.3地基柔度矩陣為了表達(dá)（4.13）中的集中反力列向量{R}，需要建立地基的勁度矩陣或柔度矩陣。為此目的，有各種不同的土本構(gòu)關(guān)系可供使用。目前經(jīng)常用基床系數(shù)法以及分層總合法?；蚕禂?shù)法大多數(shù)的房屋基礎(chǔ)的邊長比L/B=3～5。把基礎(chǔ)的底面積分為40塊，將實(shí)測反力的平均值P0除以實(shí)測沉降平均值就得到基床系數(shù)k。它在940～2400kN/m3之間變化，而平均值為1620kN/m3。比目前設(shè)計(jì)單位使用的數(shù)值k=8000～10000kN/m3小很多。對各個建筑物的反力實(shí)測資料作統(tǒng)計(jì)分析，得到淤泥質(zhì)粘土和粉質(zhì)粘土上的反力系數(shù)，即平均反力的倍數(shù)。根據(jù)反力系數(shù)對基床系數(shù)進(jìn)行調(diào)整，即用代替原來的平均值k值，使基床系數(shù)的變化與實(shí)測反力的分布相協(xié)調(diào)，這樣，基礎(chǔ)的計(jì)算撓曲與實(shí)測撓曲就比較接近?；谏鲜鱿敕?，可以將反力分布表示為在式（4.14）中已包括了基礎(chǔ)撓度與地基沉降相協(xié)調(diào)的連續(xù)性條件。集中反力R為式中A為地基單元面積。當(dāng)i分別為內(nèi)部結(jié)點(diǎn)、邊緣結(jié)點(diǎn)或角結(jié)點(diǎn)時，A分別為4ab,2ab或ab。地基位移只有一個自由度，而基礎(chǔ)結(jié)點(diǎn)有三個自由度，因此，應(yīng)當(dāng)把式（4.15）增廣，然后把式（4.13）改寫為解出{ω}以后，帶入式（4.8）和（4.11），便可以求得基礎(chǔ)板和基礎(chǔ)梁的內(nèi)力；代入式（4.15），可以的反力分布。分層總和法用土力學(xué)中熟知的分層總和法來建立地基柔度矩陣。其中系數(shù)（i=1,2,…,n為計(jì)算點(diǎn)，j=1,2,…,n為荷載點(diǎn)，n為結(jié)點(diǎn)數(shù)）表示當(dāng)j點(diǎn)有單位反力時，在i點(diǎn)引起的沉降為若干。地基各點(diǎn)的沉降{s}通過柔度矩陣[f]與反力向量{R}建立關(guān)系，即用分層總和法建立地基柔度矩陣或式中為j點(diǎn)有反力作用時，在i點(diǎn)下土層k的中點(diǎn)產(chǎn)生的附加應(yīng)力；而m為自基礎(chǔ)底面到壓縮層下限的分層數(shù)目；及分別為土層k的壓縮模量和層厚。為了減少工作量，可以利用片筏基礎(chǔ)、荷載以及邊界條件的對稱性，而只取二分之一或四分之一基礎(chǔ)來分析。ⅠⅡⅠⅡⅢⅣ分析二分之一或四分之一片筏基礎(chǔ)當(dāng)僅分析二分之一基礎(chǔ)時，沿圖中對稱軸y的法線方向，有邊界條件同時地基的柔度矩陣[f]為當(dāng)分析四分之一基礎(chǔ)時，沿圖的兩個對稱軸線上有邊界條件：以及同時，地基的柔度矩陣[f]為ⅠⅡⅢⅣ應(yīng)當(dāng)注意，在建立基礎(chǔ)板的勁度矩陣時，只需要考慮二分之一或四分之一板塊即可。4.3.4地基-基礎(chǔ)體系在建立地基柔度矩陣[f]以后，對[f]求逆，即可得地基的勁度矩陣[KS]，如式（4.18）所示。于是得地基-基礎(chǔ)體系的矩陣方程式中KB,KL及KS分別為基礎(chǔ)板、梁和地基土的勁度矩陣。{ω}為總位移列向量；{P}為荷載列向量。由于地基表面與基礎(chǔ)底面之間沒有轉(zhuǎn)角的連續(xù)性，而只有豎直位移的連續(xù)性，即為了使基礎(chǔ)的勁度矩陣(KB+KL)得以與地基勁度矩陣[KS]相加，有必要把與當(dāng)作內(nèi)部自由度處理。即從（KB+KL）中把與ω有關(guān)的自由度與、分離開來：或由上式中的第二式解出：并代入第一式，得或記作式中為經(jīng)過自由度凝聚所形成的外荷載。把地基集中反力列向量{R}引入式（4.28），并考慮到式（4.25），于是有或由式（4.29）解出基礎(chǔ)板所有結(jié)點(diǎn)的撓度，代入式（4.27）再求得板結(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角。通過回代，求基礎(chǔ)彎矩的分布；將代入中，可求得反力分布。用反力總和與外荷載合力是否相等來檢查計(jì)算結(jié)果的正確性。4.4不規(guī)則片筏基礎(chǔ)三角薄單元有三個結(jié)點(diǎn)，每個結(jié)點(diǎn)有三個相應(yīng)于總坐標(biāo)系的自由度和。zxzxzzzx三角形板單元的位移和幾何性質(zhì)面積坐標(biāo)單元結(jié)點(diǎn)位移為而相應(yīng)的單元結(jié)點(diǎn)力為單元內(nèi)任意一點(diǎn)P的位置用面積坐標(biāo)L表示：同時有其中A為三角形單元的面積，而為結(jié)點(diǎn)i的對邊與P點(diǎn)所形成的三角形面積，余類推。等由式定義，其中式中為結(jié)點(diǎn)i的對邊與坐標(biāo)系原點(diǎn)0所圍成面積的一半，而及分別為i點(diǎn)的對邊jm在坐標(biāo)軸上的投影。由式（4.32）、（4.33）和（4.34）可以建立面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的關(guān)系：解出x,y得單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移分量為式中的形函數(shù)使式（4.39）中的下標(biāo)ijm輪轉(zhuǎn)，可以寫出其它的形函數(shù)。在建立形變矩陣時，需要求形函數(shù)N的偏導(dǎo)數(shù)：對面積坐標(biāo)的冪函數(shù)在單元范圍內(nèi)求積分時，應(yīng)用下式將更方便：4.4.1單元內(nèi)力矩陣可以證明，單元各結(jié)點(diǎn)的內(nèi)力可以由下式?jīng)Q定：式中[D]是基礎(chǔ)板的彈性矩陣將坐標(biāo)原點(diǎn)放在單元的形心，則矩陣是矩陣如下：矩陣由六個列陣組成式中各個表達(dá)式如下：4.4.2單元勁度矩陣三角形板單元的勁度矩陣為方陣，式中和的形式同前,而矩陣為式中E，v分別為基礎(chǔ)材料的彈性模量和泊松比；t為基礎(chǔ)板厚度。在將各個單元勁度矩陣集合成總勁度矩陣,并把單元荷載列陣集合成總荷載列陣以后，就可以寫出不規(guī)則片筏基礎(chǔ)的矩陣方程：式中基礎(chǔ)底面反力列向量可以用式（4.16）的方式來建立，于是有式中A是各結(jié)點(diǎn)i周圍由各單元形心所圍成的面積。解出基礎(chǔ)板的撓度和轉(zhuǎn)角以后，代入式（4.42）便可求出片筏基礎(chǔ)的內(nèi)力分布。4.5箱形基礎(chǔ)箱形基礎(chǔ)由頂板、底板和若干縱橫隔墻組成。上部結(jié)構(gòu)的柱子就放在縱橫隔墻的交點(diǎn)上。箱形具有很大的勁度和很好的整體性，因而能抵抗不均勻沉降。廣泛用于高層房屋的淺基礎(chǔ)，也間或用作重力式采油平臺、火力發(fā)電廠和人造衛(wèi)星地面接收站的基礎(chǔ)。4.5.1單元的形變和應(yīng)力狀態(tài)用四結(jié)點(diǎn)的矩形板單元將箱形基的頂板、底板和縱橫隔墻離散。箱基是整個建筑物的組成部分，在荷載和反力的作用下會產(chǎn)生彎曲：頂板受壓，底板受拉，偶爾也觀測到相反的情況，這是在澆筑箱基時，由于中間大，兩端小的基坑底面回彈而引起的。這時各個單元處于中面應(yīng)力狀態(tài)（如圖）。頂板和底板以縱橫隔墻為支座，分別在樓面荷載和地基反力作用下產(chǎn)生局部彎曲；外墻在土壓力和水壓力作用下也是這樣（如圖）。板單元的中面位移和應(yīng)力狀態(tài)以及彎曲位移和應(yīng)力狀態(tài)箱基中不同方位的單元有不同的局部坐標(biāo)。單元結(jié)點(diǎn)ijmp編號，其幾何尺寸。不同板單元的局部坐標(biāo)4.5.2中面應(yīng)力狀態(tài)板單元的形變和結(jié)點(diǎn)力均在此發(fā)生板的中面內(nèi)，因而經(jīng)受拉伸或壓縮。每個結(jié)點(diǎn)有二個自有度u和v，而相應(yīng)的結(jié)點(diǎn)力為U和V。取階位移模式：可以建立聯(lián)系結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移的單元勁度矩陣：式中P表示平面應(yīng)力狀態(tài)：4.5.3彎曲狀態(tài)頂板和底板單元分別受到樓面荷載或地基反力作用，而外墻單元在土壓力和水壓力作用下，使單元受到撓曲變形。相應(yīng)的單元勁度矩陣已經(jīng)建立（式4.8）式中結(jié)點(diǎn)力和結(jié)點(diǎn)位移分別為:而單元勁度矩陣4.5.4兩種形變狀態(tài)的疊加由于箱基中的各個單元處于中面應(yīng)力和彎曲應(yīng)力的共同作用下，必需將二者疊加。為了便于坐標(biāo)變換矩陣的建立，再加上繞豎直軸z的轉(zhuǎn)動自由度。于是每個結(jié)點(diǎn)有六個運(yùn)動自由度。單元矩陣矩陣為：或記作式中上面的一撇表示相對于局部坐標(biāo)系。單元勁度矩陣是個由16個子陣組成的24階方陣。把整個箱基放在整體坐標(biāo)系XYZ中，不同方位的單元均有各自的局部坐標(biāo)，在集合成總勁度矩陣以前，應(yīng)先進(jìn)行坐標(biāo)變換，以便把所有變量均統(tǒng)一到總坐標(biāo)系中去。結(jié)點(diǎn)i在局部坐標(biāo)中的位移與整體坐標(biāo)系中的位移通過坐標(biāo)變換矩陣[T]相聯(lián)系：或記作式中（4.62）中，第一行的前三列表示整體坐標(biāo)系中的位移分量u,v,w分別投影到局部坐標(biāo)系的x軸上，并構(gòu)成的組成部分。角位移分量不會產(chǎn)生線位移分量，所以后三列等于零。同理，線位移分量也不會產(chǎn)生角位移，所以下面三行的前三列等于零。一個單元有四個結(jié)點(diǎn)i，j,m和p,于是有或記作同理，總坐標(biāo)系中的單元結(jié)點(diǎn)力與局部坐標(biāo)中的也存在類似的關(guān)系，即用式(4.61a)和(4.63a)代入上式，并注意到[L]是正交矩陣，于是有或4.55荷載列陣作用在結(jié)點(diǎn)上的柱荷載和柱端力矩可直接集合總荷載列陣中去。而分布荷載（反力、土壓力和水壓力）則應(yīng)先化成靜力等效的結(jié)點(diǎn)荷載。單元瘦均布荷載q時，結(jié)點(diǎn)力為或若有三角形分布荷載作用于單元上，則均布荷載下的結(jié)點(diǎn)荷載三角形荷載下的結(jié)點(diǎn)荷載或4.5.6總勁度矩陣將所有單元矩陣集合成總勁度矩陣，同時將單元荷載列陣集合成