例談貝葉斯統(tǒng)計在經濟管理中的應用

PAGEPAGE9吉林師范大學畢業(yè)論文（設計）論文分類號：密級：無例談貝葉斯統(tǒng)計在經濟管理中的應用學院、專業(yè)：數(shù)學學院**專業(yè)學生姓名：***年級班：20**級*班指導教師：***（**）20**年*月*日例談貝葉斯統(tǒng)計在經濟管理中的應用摘要：在許多復雜情況下，貝葉斯統(tǒng)計方法比經典數(shù)理統(tǒng)計方法能更直接地解決問題。隨著MCMC算法的提出，貝葉斯統(tǒng)計已在各領域獲得廣泛應用。實踐證明，貝葉斯統(tǒng)計是對經濟和經濟管理問題進行量的研究的有效工具，為經濟預測和決策提供了新的手段，有助于提高管理水平和經濟效益。本文將通過實例利用貝葉斯方法解決一些問題，分析研究營銷成功與信譽度的關系、怎樣進行投資決策以及怎樣檢驗產品質量等。關鍵詞：貝葉斯統(tǒng)計經濟管理問題實例應用ExamplesoftheapplicationofBayesFormulainstatisticsAbstract:Insomecertaincomplicatedcases,BayesFormulacanmakemoredirectresolvementthanclassicalmathematic-statisticalmethods.AssoonastheMCMCcountingmethodwasputforward,BayesFormulaisnowbeingwidelyusedinalmosteveryfield.Asalreadyprovedinpractice,BayesFormulaisaneffectivereaserchingtooltoapplyoneconomicandmanagingissues,itprovidesnewmethodstomakeeconomicforecastanddicision,aswellashelpstoimprovemanagingandeconomicbenefit.ThisessayisgoingtoproviedesomepracticalexamplesoftheutilizationofBayesFormula,analyzingtherelationshipbetweencreditworthinessandthemarketingsuccessmeanwhile,andwillalsoanalyzehowtomakeinvestmentdicisionandhowtoinspectthequalityofproducts.Keyword：BayesianStatistics，economicalmanagingissue，practicalexample，application引言統(tǒng)計學中有兩個主要學派：頻率學派（也稱經典學派）和貝葉斯學派，他們之間有共同點，又有不同點。基于總體信息和樣本信息進行的統(tǒng)計推斷被稱為經典統(tǒng)計學，基于總體信息、樣本信息和先驗信息進行的統(tǒng)計推斷被稱為貝葉斯統(tǒng)計學。貝葉斯學派重視已出現(xiàn)的樣本觀察值，而對尚未發(fā)生的樣本觀察值不予考慮，貝葉斯學派很重視先驗信息的搜集、挖掘和加工、使它數(shù)量化，形成先驗分布，參加到統(tǒng)計推斷中來，以提高統(tǒng)計推斷的質量。也就是說貝葉斯方法的基本特征是處理任何統(tǒng)計分析問題時，在利用樣本所提供的信息的同時，也必須利用先驗信息。一、貝葉斯統(tǒng)計的產生和發(fā)展貝葉斯統(tǒng)計起源于英國學者托馬斯·貝葉斯(ReverendThomasBayes，1702—1761)死后發(fā)表的一篇論文“論有關基于問題的求解”。在這次論文中他提出著名的貝葉斯公式和一種歸納推理方法。隨后（1812）拉普拉斯(Laplace，P.C.1749～1827)等人用貝葉斯提出的方法導出一些有意義的結果，首次將貝葉斯思想以貝葉斯定理的形式展示給世人。拉普拉斯不僅重新發(fā)現(xiàn)了貝葉斯定理，而且闡述得遠比貝葉斯更為清晰。之后雖有一些研究和應用，但由于其理論尚不完整，應用中又出現(xiàn)一些問題，致使貝葉斯方法長期未被普遍接受。直到二次大戰(zhàn)后，瓦爾德（Wald,A.1902～1950）提出統(tǒng)計決策論后又引起很多人對貝葉斯研究方法的興趣。因為在這個理論中貝葉斯解被認為是一種最優(yōu)決策函數(shù)。現(xiàn)代貝葉斯統(tǒng)計方法的發(fā)展應歸Jeffreys,H.(1939)、Wa1d(1950)、Savage，L.J.(1954)、Ravffa、andSchleifer(1961)、Lindly,D.V.(1972)、Definelti(1974)、Berger，J.O.(1985)的<統(tǒng)計決策及貝葉斯分析>(StatisticalDecisionTheoryandBayesianAnalysis)一書在1980年和1985年相繼兩版問世把貝葉斯統(tǒng)計作了較完整的敘述。在20世紀90年代，<數(shù)據(jù)分析中的貝葉斯和經驗貝葉斯方法>(BayesandEmpiricalBayesMethodsforDataAnalysis)、<實際應用中的馬爾可夫鏈蒙特卡洛技術>(MarkovChainMonteCarloinPrac—tice)的相繼出版進一步促進了貝葉斯統(tǒng)計應用的傳播。另外在這段時期貝葉斯統(tǒng)計在工業(yè)、經濟、管理等領域內獲得一批無可非議的成功應用（見Singpurwalla主編課題論文集，1993～1995）。如今貝葉斯統(tǒng)計學已日趨成熟，走進了大學教室，貝葉斯學派的發(fā)展成為了一個有影響的學派，打破了百年來統(tǒng)計教學由經典統(tǒng)計學一統(tǒng)天下的局面。這不能不說是貝葉斯統(tǒng)計發(fā)展中的一些重要標志。二、貝葉斯原理１.基本概念eq\o\ac(○,1)先驗分布：總體分布參數(shù)的一個概率分布。貝葉斯學派的最基本的觀點是：任一個未知量都可以看作一個隨機變量，應用一個概率分布去描述對的未知狀況。這個概率分布是在抽樣前就有的關于的先驗信息的概率陳述。這個概率分布被稱為先驗分布。有時還簡稱為先驗（Ｐrior）。因為任一未知量都有不確定性。而在表述不確定性程度時，概率與概率分布是最好的語言。即使是一個幾乎不變的未知量，用一個概率分布去描述它的不確定性也是十分合理的。eq\o\ac(○,2)后驗分布：根據(jù)樣本分布和未知參數(shù)的先驗分布，用概率論中求條件概率分布的方法，求出的在樣本已知下，未知參數(shù)的條件分布。因為這個分布是在抽樣以后才得到的，故稱為后驗分布。eq\o\ac(○,3)狀態(tài)集=｛｝，其中每個元素表示自然界（或社會）可能出現(xiàn)的一種狀態(tài)，所有可能狀態(tài)的全體組成狀態(tài)集。eq\o\ac(○,4)行動集＝｛｝，其中每個元素表示人對自然界（或社會）可能采取的一個行動，所有此種行動的全部就是行動集。eq\o\ac(○,5)損失函數(shù)在一個決策問題中假設狀態(tài)集為=｛｝，行動集為＝｛｝，而定義在A上的二元函數(shù)L（，）稱為損失函數(shù)。假如它能表示在自然界（或社會）處于狀態(tài)，而人們采取行動時對人們引起的（經濟的）損失。它與狀態(tài)集和行動集組成決策問題的三要素。2.貝葉斯公式eq\o\ac(○,1)貝葉斯公式密度函數(shù)形式的推導a.依賴于參數(shù)的密度函數(shù)在貝葉斯統(tǒng)計中記為p(x|），它表示在隨機變量給定某個值時，總體指標X的條件分布。b.根據(jù)參數(shù)的先驗信息確定先驗分布（）。c.從貝葉斯的觀點看，樣本x=(,…,)的產生要分兩步進行。首先設想從先驗分布（）產生一個樣，這一步是老天爺做的，人們是看不到的，故用“設想”二字。第二部是從總體分布p(x|)產生一個樣本，這個樣本是具體的，人們能看得到的，此樣本發(fā)生的概率是與如下聯(lián)合密度函數(shù)成正比。p(x|)=這個聯(lián)合密度函數(shù)是綜合了總體信息和樣本信息，常稱為似然函數(shù)，記為L（）。在有了樣本觀察值x=(,…,)后，總體和樣本中所含的信息都被包含在似然函數(shù)L（）之中。d.由于是設想出來的，它仍然是未知的，它是按先驗分布（）而產生的，要把先驗信息進行綜合，不能只考慮，而應對的一切可能加以考慮。故要用（）參與進一步綜合。這樣一來樣本x和參數(shù)的聯(lián)合分布h(x,)=p(x|)（）把三種可用的信息都綜合進去了。e.我們的任務是要對未知參數(shù)作出統(tǒng)計推斷。在沒有樣本信息時，人們只能根據(jù)先驗分布對作出判斷。在有樣本觀察值x=(,…,)之后，我們應該根據(jù)h(x,)對作出推斷。為此我們需要把h(x,)作如下分解：h(x,)=（|x）m(x)其中m(x)是x的邊緣密度函數(shù)。m(x)==它與無關，或者說m(x)中不含的任何信息。因此能用來對作出推斷的僅是條件分布（|x）。它的計算公式是（|x）==這就是貝葉斯公式的密度函數(shù)形式。這個在樣本x給定下，的條件分布被稱為的后驗分布。它是集中了總體、樣本和先驗等三種信息中有關的一切信息。而又排除一切與無關的信息之后所得到的結果。故基于后驗分布（|x）對進行統(tǒng)計推斷是更為有效，也是最合理的。f.在是離散隨機變量是，先驗分布可用先驗分布列（），i=1,2,．．．,表示。這是后驗分布也是離散形式（｜ｘ）＝．eq\o\ac(○,2)后驗分布是三種信息的綜合一般說來，先驗分布（）是反映人們在抽樣前對的認識，后驗分布（|x）是反映人們在抽樣后對的認識。之前的差異是由于樣本x出現(xiàn)后人們對認識的一種調整。所以后驗分布（|x）可以看作是人們用總體信息和樣本信息（綜合稱為抽樣信息）對先驗分布（）作調整的結果。三、舉例說明貝葉斯統(tǒng)計在經濟管理方面的應用例1假如你是一名公司的經理，限公司為了提高某種產品的質量考慮增加投資來改進生產設備，預計需投資90萬元，但從投資效果看，下屬部門有兩種意見：：改進生產設備后，高質量產品可占90%：改進生產設備后，高質量產品可占70%經理當然希望發(fā)生，公司效益可得到很大提高，投資改進設備也是合算的。但根據(jù)下屬二個部門過去建議被采納的情況，經理認為的可信程度只有40%，的可信程度是60%.即（）=0.4（）=0.6這兩個都是經理的主觀概率。經理不想僅用過去的經驗來決策此事，想慎重一些，通過小規(guī)模試驗后觀其結果再定。為此做了一項實驗，試驗結果（記為A）如下：Ａ：試制五個產品，全市高質量產品.經理對這次試驗結果很高興，希望用此試驗結果來修改他原先對和的看法，即要求后驗概率（｜Ａ）與（｜Ａ）。者可用貝葉斯公式的離散形式來完成。如今已有先驗概率（）與（）。還需要兩個條件概率Ｐ（A｜）與Ｐ（A|），這可用二項分布算得，Ｐ（A|）==0.590Ｐ（A|）==0.168由全概率公式可算得Ｐ（A）=Ｐ（A｜）（）+Ｐ（A|）（）=0.337。最后由公式可得，（|A）=Ｐ（A|）（）／Ｐ（A）＝0.236／0.337＝0.700（|A）＝Ｐ（A|）（）／Ｐ（A）＝0.101／0.337＝0.300這表明，經理根據(jù)試驗Ａ的信息調整自己的看法，把對與的可信程度由0.4和0.6調整到0.7和0.3。后者是綜合了經理的主觀概率和試驗結果而獲得的，要比主觀概率更有吸引力，更貼近當今的實際沒這就是貝葉斯公式的應用。經過試驗A后，經理對增加投資改進質量的興趣增大。但因投資額大，還想再做一次小規(guī)模試驗，觀其結果再作決策。為此又做了一批試驗，試驗結果（記為Ｂ）如下：Ｂ：試制１０個產品，有９個是高質量產品。經理對此試驗結果更為高興。希望用此試驗結果對與再做一次調整。為此把上次后驗概率看作這次的先驗概率，即（）＝0.7（）＝0.3用二項分布還可算得Ｐ（Ｂ|）＝１０（）（０.１）＝0.387Ｐ（Ｂ|）＝１０（）（０.３）＝0.121由此可算得P(B)=0.307和后驗概率（|B）=0.883，（|B）=0.117。經理看到，經過二次試驗，（高質量產品可占90%）的概率已經上升到0.883，此時他便可以下定決心了，因為他能以88.3%的把握保證此項投資能取得較大經濟效益。例2我們知道營銷的成功與信譽度有很大的關系，下面利用貝葉斯公式考察如果一家公司多次不講究信譽會有怎么樣的結果。例1設一家公司的可信度為0.8，不可信度為0.2，問該公司多次失信后客戶對其相信度變?yōu)槎嗌伲楷F(xiàn)在用貝葉斯公式來分析此問題中的可信度是如何下降的首先記事件A為“不可信”，記事件B為“可信”。不妨設客戶過去對該公司的印象為P(B)=0.8，P（）=0.2 （1）用貝葉斯公式來求P（B|A），亦即該公司失信一次后，客戶對其可信程度改變。在貝葉斯公式中我們要用到概率P(A|B)和P(A|)，這兩個概率的含義是：前者是“誠信”(B)的公司“不可信”(A)的可能性，后者為“不誠信”的公司“不可信”的可能性。設P(A|B)=0.1，P(A|)=0.5。第一次客戶相信該公司，發(fā)現(xiàn)該公司不可信?？蛻舾鶕?jù)這個信息對這家公司的可信程度改變?yōu)椋ㄓ秘惾~斯公式）P(B|A)===0.444這表明客戶上了一次當后，對這家公司的可信程度由原來的0.8調整為0.444,也就是(1)式調整為P(B)=0.444，P（）=0.556(2)在此基礎上，我們對這家公司的可信程度再一次用貝葉斯公式來計算P（B|A），亦即該公司第二次不誠信后，客戶對他的可信程度改變?yōu)镻（B|A）==0.138這表明客戶經過再次上當，對這家公司的可信程度已經從0.8下降到了0.138，如此低的可信度，該公司如何奢望對客戶進行第三次營銷的時候會成功，顧客怎么會相信怎么會愿意購買呢？進而必然嚴重影響公司營銷的業(yè)績。如果你是這家公司的營銷部經理，經過這一番計算，你就會知道誠信對一個公司來說有多么重要，不誠信的代價是多么的慘重。要想公司能夠長期經營下去，并且盈利的話，那么講信用恐怕是再好不過的方法了。例3作為廠商其生產的目的就是通過銷售生產的產品獲取利潤，那么產品的不合格頻率是廠商比較關心的問題，因為產品要是不合格的話沒辦法銷售，萬一不小心銷售了不合格產品，對產品的聲譽影響很大，損失是不可估量的。再者如果產品的不合格率太高的話，那么就很有可能導致虧損?，F(xiàn)在王先生是一家彩電生產廠的廠長，該廠生產的產品不合格率為0.1%，但是沒有適當?shù)膬x器進行檢驗，有人聲稱發(fā)明了一種儀器可以用來檢驗，誤判的概率僅為5%，即把合格品判為不合格品的概率為0.05，把不合格品判為合格品的概率也是0.05。王廠長能否采用改人發(fā)明的儀器呢？聽了該人的敘述后王先生做了如下的計算：設事件A表示“隨機地取一件產品為不合格品”，事件B表示“隨機地取一件產品被儀器判為不合格品”，則有P（A）=0.001，P（）=0.999P（|A）=0.05，P（B|）=0.05按貝葉斯公式，被儀器判為不合格的產品實際上也確實是不合格品的概率為P（A|B）===0.02王廠長考慮到產品的成本較高，決定不購買這臺新發(fā)明的儀器，因為被儀器判為不合格品的產品中實際上有98%的產品是合格的。例4對產品的檢驗是一項耗費人力，物力，財力的事情。如果對一些信譽很好的產品實行免檢勢必會節(jié)約大量的資源，防止不必要的浪費。那么“免檢產品”是如何確定的呢？某工廠的產品每天要抽檢幾件，獲得不合格品率的估計。經過一段時間后，就可根據(jù)歷史資料（先驗信息的一種）對過去產品的不合格頻率構造一個分布P（=）=，i=0,1,2,…,n這種對先驗信息進行加工獲得的分布就是先驗分布。有了這種先驗分布就可得到對該產過去產品的不合格品率的一個全面的看法。如果這個分布的概率絕大部分集中在=0附近，那么該產品可以認為是“信得過產品”。假如以后的多次檢驗結果與歷史資料提供的先驗分布是一致的，那就可以對它作出“免檢產品”的決定，或者每月抽檢一次就足夠了，這就省去了大量的人力物力，例5某制藥廠試制成一種新的止痛劑。為了決定此新藥是否投放市場，投放多少，價格如何等問題，需要了解此種新的止痛劑市場占有率是多少。這是一個經營決策問題。在這個問題中，新的止痛劑在市場上的狀態(tài)就是上述占有率，所以狀態(tài)集就是={|01}=[0,1]而決策者所要采取的行動只不過是選一個a作為的估計值。這個值當然也在[0,1]之間，所以行動集=[0,1]。順便指出，這里的狀態(tài)可用一個實數(shù)表示，故又稱為參數(shù)。如今要估計，那就是參數(shù)估計問題。在參數(shù)估計問題中常有=。在這個問題中，要估計收益較為困難，我們改為直接估算損失。大家知道，偏低估計或偏高估計都會給工廠帶來損失。如果偏低估計將會導致供不應求，能賺到的錢沒有賺到，造成工廠損失。因為供不應求只損失應得到的利潤；而供過于求將會造成庫存增加，資金積壓，原材料和設備浪費，影響在生產。廠長認為供過于求給工廠帶來損失要比供不應求的損失高一倍，即偏高估計要比偏低估計給工廠帶來的損失高一倍。假如損失與|-|成正比，那么廠長決定采取如下?lián)p失函數(shù)：L（，a）=有了這個損失函數(shù)，加上狀態(tài)集=[0,1]和行動集A=[0,1]