第四章 控制策略

第4章計算機控制系統(tǒng)的控制策略4.1

數(shù)字PID控制4.2

串級控制4.3

大林（Dahlin）算法4.4

數(shù)字控制器設計方法

連續(xù)生產(chǎn)過程DDC控制的主要任務:設計一個數(shù)字調(diào)節(jié)器，其方法是：①用經(jīng)典控制理論設計模擬調(diào)節(jié)器，然后在DDC系統(tǒng)中，用數(shù)字方法對PID進行數(shù)字模擬；②用采樣控制理論進行數(shù)字直接分析和設計（離散化系統(tǒng)）。方法系統(tǒng)分類連續(xù)系統(tǒng)離散系統(tǒng)輸入量與輸出量之關系微分方程差分方程數(shù)學工具拉氏變換Z

變換使用函數(shù)傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù)現(xiàn)代控制理論狀態(tài)方程離散時間狀態(tài)方程表4-1

控制系統(tǒng)的研究方法

4.1

數(shù)字PID控制

PID

優(yōu)點：

技術成熟接受程度高

不需要求出數(shù)字模型

控制效果好4.1.1

模擬PID控制器式中u——控制器的輸出；

e(t)——控制器的輸入，一般為

偏差值，即e(t)=y(t)-r(t)；

Kp

——比例系數(shù)；

比例控制器的微分方程為:(4-1)1.比例控制器（P）u(t)

比例調(diào)節(jié)作用的大小，除了與偏差e(t)有關外，主要取決于比例系數(shù)KP。比例系數(shù)愈大調(diào)節(jié)作用愈強，動態(tài)特性也愈好。KP太大時會引起自激震蕩。主要缺點:存在靜差。

TI——積分時間常數(shù)。它表示積分速度的大小，TI越大，積分速度越慢，積分作用越弱。2.

比例積分控制器（PI）其積分方程為:

(4-2)

積分作用優(yōu)點：積分作用能消除靜差。

積分作用缺點：動作緩慢，不能及時克服擾動的影響，致使被調(diào)參數(shù)的動態(tài)偏差增大，調(diào)節(jié)過程增長。

對于PI調(diào)節(jié)器當有一階躍作用時，開始瞬時有一比例輸出uI。隨后在同一方向，在uI的基礎上輸出值不斷增大，這就是積分作用。

如果把比例和積分兩種作用合起來，就構成PI調(diào)節(jié)器，其調(diào)節(jié)規(guī)律為：(4-3)

積分作用具有飽和作用，經(jīng)過一段時間以后，PI調(diào)節(jié)器的輸出趨于穩(wěn)定值KIKPe(t)，其中系數(shù)K1KP是時間t→∞時的增益，稱之為靜態(tài)增益，用K（∞）=K1KP表示。PI控制器既克服了單純比例控制器有靜差存在的缺點，又避免了積分控制器響應慢的缺點?？刂茖ο缶哂休^大的慣性時，用PI控制器就無法得到很好的調(diào)節(jié)品質(zhì)。

如果在控制器中加入微分作用，使偏差盡快消除。3.比例微分控制器（PD）微分方程為:式中TD

——微分時間常數(shù)微分作用的特點:微分作用不能消除靜差，而只能在偏差剛剛出現(xiàn)的時刻產(chǎn)生一個很大的調(diào)節(jié)作用。同積分作用一樣，微分作用一般也不能單獨使用，需要與比例作用配合使用，構成PD控制器。當偏差剛出現(xiàn)的瞬間，PD控制器輸出一個很大的階躍信號，然后按指數(shù)規(guī)律下降，直至最后微分作用完全消失，變成一個純比例調(diào)節(jié)。

微分作用的強弱可以通過改變微分時間常數(shù)TD來進行調(diào)節(jié)。理想的PID微分方程為:

(4-5)把比例、積分、微分三種作用組合起來，形成PID控制器PID結構

對于一個PID三作用控制器，在階躍信號作用下，首先是比例和微分作用，使其調(diào)節(jié)作用加強，然后再進行積分，直到消除靜差為止。

并非所有系統(tǒng)都需要使用PID調(diào)節(jié)器控制器，在工業(yè)控制系統(tǒng)中，PI、PD調(diào)節(jié)器也常常被人們采用。4.1.2數(shù)字PID控制器控制算法式中：u(t)——控制器的輸出信號；

e(t)——控制器的偏差信號，它等于測量值

與給定值之差；

KP

——控制器的比例系數(shù)；

TI——控制器的積分時間；

TD

——控制器的微分時間。1.PID算法的數(shù)字化

由公式(4-5)可知，在模擬調(diào)節(jié)系統(tǒng)中PID算法的模擬表達式為：(4-6)計算機控制系統(tǒng)中，必須把式(4-6)離散化。(4-7)(4-8)(4-6)式中，Δt=T

——采樣周期；

e(n)

——第n次采樣時的偏差值；

e(n-1)

——第(n-1)次采樣時的偏差值；

n

——采樣序號，n=0，1，2……

將式(4-7)和式(4-8)代入式(4-6)，則可得到離散PID表達式：（4-9）

提供了執(zhí)行機構在第n個采樣時刻的位置U（n），其輸出值U（n）與閥門開度的位置一一對應，通常把式(4-9)稱為PID的位置控制算式。根據(jù)推理原理可寫出(n–1)次的PID輸出表達式：

用式(4-9)減去式(4-10)可得：(4-10)（4-9）（4-9）式中

——積分系數(shù)

由式(4-11)可知，要計算第n次輸出值U(n)，只需知道U(n-1)，e(n)，e(n-1)，e(n-2)即可。整理后可得：(4-11)——微分系數(shù)

式(4-12)表示第n次輸出的增量ΔU(n)，等于第n次與第n-1次控制器輸出的差值。PID的增量控制式(4-12)

在位置控制算式中，輸出的是執(zhí)行機構的位置，控制算式要對E(j)進行累加；由于輸出全量，計算機的任何故障都會引起U(n)大幅度變化，對生產(chǎn)不利。（4-9）增量式PID控制算法：例如步進電機作為系統(tǒng)的輸出控制部件。作為一個積分元件，并兼作輸出保持器，對計算機的輸出增量Δu(k)進行累加，實現(xiàn)了u(k)=∑Δu(k)的作用。在可控硅作為執(zhí)行器或對控制精度要求高的系統(tǒng)中，應當采用位置型算法，而在以步進電機或電動閥門作執(zhí)行器的系統(tǒng)中，則應用增量式算法。

例題：設有一個溫度控制系統(tǒng)，溫度測量范圍是0~600℃，溫度采用PID控制，控制指標是(450±2)℃。已知比例系數(shù)KP=4，積分時間TI=60s，微分時間TD=15s，采樣周期T=5s。當測量值c(n)=448,c(n-1)=449,c(n-2)=452時，計算增量輸出Δu(n),若u(n-1)=1860,計算第n次閥位輸出u(n).解：將題中給出的參數(shù)代入有關公式中計算得：由題知，給定值x=450中,將題中給出的測量值代入計算得：代入式4-12得：位置型和增量型PID程序設計。式中

——積分系數(shù)

——微分系數(shù)(4-13)2.PID算法程序設計(1)位置型PID算法的程序設計根據(jù)式(4-9)可寫出第k

次采樣PID表達式為:(4-12)4-11（4-9）由于KP，KI，KD有可能是小數(shù)，E(k)也可能是負數(shù)，編程時通常采用如下處理方法：①將小數(shù)或混合小數(shù)化為整數(shù);②采用16位有符號指令運算。為了計算方便設:則式(4-13)可寫為:(4-14)(4-13)①將小數(shù)或混合小數(shù)化為整數(shù)運算前通過乘以2N將其化為整數(shù)，然后把運算結果再乘以2-N。例如，設KP=3.5，將其擴大28取整數(shù)，則KP=896=380H，編程時可將其定義為符號變量，即KPEQU380H。②采用16位有符號指令運算

負數(shù)應以補碼形式存放，如KP=-3.5，將其擴大28取整數(shù)，則KP=-896=FC80H，定義為符號變量為KPEQU0FC80H或

KPEQU-896即可。

根據(jù)式（4-14）編寫的位置型PID程序如下：DATASEGMENTUREQU0500H;設定值=80HKPEQU0383H;KP=3.5KIEQU0040H;KI=0.25KDEQU0000H;KD=0SAMPDW?;定義A/D采樣值

E0DW0;定義E(k)E1DW0;定義E(k-1)UPKDW2DUP(0);定義UP(K)UIK1DW2DUP(0);定義UI(K-1)UKDW2DUP(0);定義U(k)DATAENDSCODESEGMENTASSUMECS:CODE,DS:DATASTARTPEOCMOVAX,DATAMOVDS,AX(4-14)

PID:MOVAX,UR;取設定值

MOVBX,SAMP;取采樣值

SUBAX,BX;計算E(K)MOVE0,AX;保存E(k)MOVBX,KP;計算UP(k)=KP×E(k)IMULBXMOVUPK,AXMOVDS:UPK+2,DX;存UP(k)MOVAX,E0;計算KI×E(k)MOVBX,KIIMULBXADDUIK1,AX;計算UI(k)=UI(k-1)+KI×E(k)ADCDS:UIK1+2,DXMOVAX,E0;計算UD(k)=KD(E(k)-E(k-1))MOVBX,E1SUBAX,BX

MOVBX,KDIMULBXADDAX,UIK1;計算UD(k)+UI(k)ADCDX,DS:UIK1+2ADDAX,UPK;計算UD(k)+UI(k)+UP(k)

ADCDX,DS:UPK+2MOVUK,AX;存U(k)MOVDS:UK+2,DXMOVAX,E0;E(k-1)=E(k)MOVE1,AXRETCODEENDSENDSTART

（2）增量型PID算法的程序設計根據(jù)式(4-12)可寫出第k次采樣增量型PID表達式為:(4-12)令：(4-15)(4-16)得：

(4-17)式中：對（4-12）加以改進：(4-12)增量式PID控制算法

此外在位置型PID算法中亦可采用增量型PID表達式計算，將式(4-11)改寫為：(4-17)4.1.3數(shù)字PID控制器控制算法改進

用PID數(shù)字控制器對系統(tǒng)進行控制，其控制質(zhì)量一般說來不如采用PID模擬控制器對系統(tǒng)進行控制：

①模擬控制器進行的控制是連續(xù)的，控制作用每時每刻都在進行；而數(shù)字控制器在保持器作用下，控制量在一個采樣周期內(nèi)是不變化的。

②由于計算機的數(shù)值運算和輸入/輸出需要一定的時間，控制作用在時間上有延滯。

③計算機的運算字長有限、A/D、D/A轉換器的分辨率及精度而使控制有誤差。

(1)積分飽和的原因及影響

假設給定值從0突變?yōu)閤*。在執(zhí)行器不存在極限時，偏差e大，控制量u大，y↑;e保持很大，控制量u↑;當e減小到某個值后，u不會再增加，然后開始下降;當y等于設定值x*時，e=0，控制量u仍很大，輸出量y↑,輸出量出現(xiàn)超調(diào)。1.積分飽和及其防止方法一、對積分項的改進

在e變負后，積分項開始減小，使u下降較快。在y下降到小于x*時，偏差e

→+，y↑

。u→

u*，y→

x*，達到穩(wěn)定狀態(tài)。

如果執(zhí)行機構存在極限，在設定值從0突變?yōu)閤*時：控制量u=umax，系統(tǒng)輸出y↑。輸出y=x*，e小于等于0，u仍保持較大的數(shù)值，y>x*e→-，持續(xù)τ后，使u<umax，退出飽和區(qū)，回到正常的控制狀態(tài)。由于執(zhí)行機構的限制和積分項的存在，引起了PID運算的飽和，稱為積分飽和。控制策略：當誤差較大時，取消積分作用，當被調(diào)量接近設定值時，再加入積分作用，以減小靜差。即:

（2）積分飽和的抑制使用PID數(shù)字控制器使用PD數(shù)字控制器

a.

積分分離法偏差值ε：積分界限積分分離的PID控制算法的程序流程圖b

變速積分的PID算法

變速積分的實質(zhì)是改進的積分分離法，其基本思想是根據(jù)偏差的大小改變積分項的累加速度。偏差越大，累加速度越慢，積分作用越弱；偏差越小，累加速度越快，積分作用越強。在變速積分中，積分項前面的系數(shù)a是緩慢變化的，它對積分項采用線性控制。變速積分的PID控制算式為:(4-37)式中:Ae(k)1αAB1αe(k)變速積分則是緩慢變化積分分離的積分項采用開關控制，是突變的

遇限制削弱積分法的思想是：當控制量進入飽和區(qū)后，停止增大積分項的累加，只執(zhí)行削弱積分項的累加。在計算u(k)時，先判斷u(k–1)是否超過umin或umax，若已超過umax，則只累計負偏差；若小于umin，則只累計正偏差。c.遇限制削弱積分法

d.

減小積分整量化誤差的方法增量式PID控制算式中的積分項為:當采樣周期比較小，積分時間常數(shù)比較大，由于計算機字長的限制，其運算結果有可能小于計算機的最低有效位，在運算的時候，積分項的輸出就可能被計算機取整，當作零而舍掉，積分作用消失，產(chǎn)生誤差。由于計算機取整而產(chǎn)生的積分項輸出誤差稱為積分整量化誤差。例如，某字長為8位的計算機控制系統(tǒng)中，采用增量式PID控制器，比例系數(shù)kp=1，積分時間常數(shù)TI=10s，采樣周期T=1s，當數(shù)字量偏差e(k)=0.01，對應的積分項輸出為:此時積分項的輸出小于計算機的最低有效位1/256，計算機會把它當作零舍去，控制器的積分環(huán)節(jié)就沒起作用。例：某溫度控制系統(tǒng)采用PID控制，溫度量程為0~1500℃，A/D的分辨率為8位，并采用8位字長定點計算。已知KP=1，T=1s，TI=10s,試計算當溫差達到多少時，才會有積分作用？

積分整量化誤差的存在勢必使系統(tǒng)存在靜差，必須予以消除。

解：截尾量化誤差：解得e(k)>58.8℃,積分環(huán)節(jié)才能起作用。通常采用兩種方法來解決這個問題：

①擴大計算機的字長，增加計算機的位數(shù)，提高運算精度。。

②當積分項的輸出小于計算機的最低有效位時，不要把它們當作零舍去，而是把它們一次次累加起來，直到積分項輸出的數(shù)字量大于最低有效位，把整數(shù)作為積分項進行運算，小數(shù)部分作為下次累加的基數(shù)值。這種改進的PID控制算法稱為防止積分整量化誤差的PID控制算法，其控制算式可以寫成:每次運算時，把積分項單獨累加，根據(jù)累加結果，決定積分項的輸出值。

(4-35)圖4.14

防止積分整量化誤差的PID控制算法程序流程二、數(shù)字PID控制微分作用的改進（1）數(shù)字PID控制微分作用的特點在PID控制中，微分環(huán)節(jié)加快系統(tǒng)的動作速度，減小調(diào)節(jié)時間，減小超調(diào)，克服振蕩，擴大穩(wěn)定域，改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。偏差的變化率很大，微分輸出很大，如果在一個采樣周期內(nèi)執(zhí)行機構不能達到預期的位置，輸出將會失真，這就產(chǎn)生了“微分失控飽和”。

即僅在t=T時，輸出等于

，在其他采樣時刻輸出均為0。

為了分析數(shù)字PID的微分作用，由式(4-4)中得出微分部分的輸出與偏差的關系：對應的Z變換為：當e(t)為單位階躍輸入時，所以：

標準數(shù)字PID控制器的微分作用的另一個問題是：當偏差e(k)突然變大時，控制器的輸出U(k)在偏差產(chǎn)生的那一個采樣周期內(nèi)，輸出的數(shù)值很大，可能使執(zhí)行機構發(fā)生飽和。

在標準PID數(shù)字控制器算式中，加入一個慣性環(huán)節(jié)可構成微分先行PID數(shù)字控制器。（2）微分先行PID控制一階慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：標準PID控制器的傳遞函數(shù)為：(4-18)(4-19)設：由式(4-18)和(4-19)可得到微分先行PID調(diào)節(jié)器的傳遞函數(shù)：(4-20)即（4-21）

使用后向差分近似方法，利用

，由式(4-21)可得

由式(4-22)可直接得出差分方程為：（4-22）（4-21）設：可得：(4-23)

它僅改變了標準PID控制器的微分部分，使得在偏差發(fā)生突變時，微分作用可比較平緩。

(3)不完全微分PID控制

在標準PID算法的微分環(huán)節(jié)上直接加上一個一階慣性環(huán)節(jié)，也可克服完全微分的缺點，構成不完全微分PID控制器。傳遞函數(shù)為：(4-24)Kd為微分增益，一般在3～10的范圍內(nèi)選取。完全微分數(shù)字PID控制器中的微分作用只在第一個采樣周期產(chǎn)生一個幅度很大的輸出信號，易引起系統(tǒng)振蕩。不完全微分數(shù)字PID微分作用在第一個采樣周期里的輸出幅度小得多，持續(xù)多個采樣周期，信號變化比較緩慢，故不易引起振蕩。3.其他PID控制方法(1)帶死區(qū)的PID控制

B值太小，調(diào)節(jié)動作過于頻繁，達不到穩(wěn)定控制過程的目的；B值太大，又會產(chǎn)生很大的誤差和滯后。問題的提出：有些生產(chǎn)過程，不希望執(zhí)行機構動作過于頻繁，防止由此引起的振蕩。解決方案：設置死區(qū)，在死區(qū)內(nèi)控制器無動作。

砰砰（Bang-Bang）控制是一種時間最優(yōu)控制，又稱快速控制法。它的輸出只有開和關兩種狀態(tài)。

控制思想：在輸出低于設定值時，控制為開狀態(tài)（最大控制量），使輸出量迅速增大。在輸出預計將達到設定值的時刻，關閉控制輸出，依靠系統(tǒng)慣性使輸出達到設定值。

(2)砰砰—PID復合控制

綜合砰砰與PID兩種控制方式。在偏差大時，使用砰砰控制，以加快系統(tǒng)的響應速度。在偏差較小時，使用PID控制，以提高控制精度。即：

|ek|>Q，砰砰控制

|ek|≤Q，PID控制

4.1.4數(shù)字PID調(diào)節(jié)器的參數(shù)整定

根據(jù)被控過程的特性確定PID控制器的比例系數(shù)KP，積分時間TI和微分時間TD，采樣周期T。

1.采樣周期T的確定

香農(nóng)（shannon）采樣定理給出了系統(tǒng)采樣頻率的上限為fn≥2fmax，此時系統(tǒng)可真實地恢復到原來的連續(xù)信號。

從控制器本身來講，大都是依靠偏差E(k)進行調(diào)節(jié)計算的。采樣頻率高，占用計算機工作時間長；E(k)過小，由于整量化誤差的影響，此時計算機將失去調(diào)節(jié)作用。選擇采樣周期應綜合考慮的因素1)給定值的變化頻率。加到被控對象上的給定值變化頻率越高，采樣頻率也越高，以使給定值的改變通過采樣迅速得到反映。2)被控對象的特性?？紤]對象變化的緩急。考慮干擾的情況。當被控對象的純滯后比較顯著時，采樣周期T應取得與純滯后時間基本相等。3)使用的算式和執(zhí)行機構的類型。采樣周期太小，會使積分作用、微分作用不明顯。受計算機計算精度的影響，當采樣周期小到一定程度時，前后兩次采樣的差別反映不出來，控制作用會因此而減弱?？焖賵?zhí)行機構，選擇較短的采樣周期；慢速執(zhí)行機構，則反之。4)測量控制的回路數(shù)。

當要求測量控制的回路較多時，相應的采樣周期越長，以使每個回路的控制算法都有足夠的時間來完成。控制的回路數(shù)n與采樣周期T有如下關系：式中，Tj是第j個回路控制程序的執(zhí)行時間和輸入輸出時間。

采樣周期的選擇方法有兩種，一種是計算法，一種是經(jīng)驗法。

經(jīng)驗法是一種試湊法。即根據(jù)人們在控制工程實踐中積累的經(jīng)驗以及被控對象的特點及參數(shù)，先選擇一個采樣周期T，然后送入微型機控制系統(tǒng)進行試驗，根據(jù)被控對象的實際控制效果，再反復地改變采樣周期T，知道滿意為止。被測參數(shù)采樣周期T（秒）備注流量1~5優(yōu)先選用1~2秒壓力3~10優(yōu)先選用6~8秒液位6~8優(yōu)先選用7s溫度15~20或取純滯后時間成分15~20優(yōu)先選用18s表4-2采樣周期的經(jīng)驗數(shù)據(jù)

簡易工程整定方法之一。整定的步驟：

(1)選擇一個足夠短的采樣周期Tmin。

(2)求出臨界比例度δu和臨界振蕩周期Tu。具體方法是將上述的采樣周期Tmin輸入到計算機控制系統(tǒng)，并只有比例控制，逐漸加大比例系數(shù)，直到系統(tǒng)產(chǎn)生等幅振蕩。此時的比例度即為臨界比例度δu，振蕩周期稱為臨界振蕩周期Tu。2.擴充臨界比例度法整定PID參數(shù)

(3)選擇控制度。所謂控制度，就是以模擬調(diào)節(jié)器為基準，將DDC的控制效果與模擬調(diào)節(jié)器的控制效果相比較，控制效果的評價函數(shù)通常采用

（誤差平方積分）表示。

(4-25)

(4)根據(jù)控制度，查表4-3即可求出T、KP、TI和TD的值。

擴充臨界比例度法整定參數(shù)表控制度控制規(guī)律TKPTITD1.05PI0.03Tu0.53δu0.88Tu—PID0.014Tu0.63δu0.49Tu0.14Tu1.2PI0.05Tu0.49δu0.91Tu—PID0.043Tu0.47δu0.47Tu0.16Tu1.5PI0.14Tu0.42δu0.99Tu—PID0.09Tu0.34δu0.43Tu0.20Tu2.0PI0.22Tu0.36δu1.05Tu—PID0.16Tu0.27δu0.40Tu0.22Tu

斷開數(shù)字調(diào)節(jié)器，使系統(tǒng)在手動狀態(tài)下工作。當系統(tǒng)在給定值處平衡后，給一階躍輸入（如圖4-14(a)所示）。

用儀表記錄下被調(diào)參數(shù)在階躍作用下的變化過程曲線（即廣義對象的飛升特性曲線），如圖4-14(b)所示。

在曲線最大斜率處做切線，求得被控對象滯后時間θ，慣性時間常數(shù)τ以及它們的比值τ/θ。3.擴充響應曲線法

根據(jù)所求得的τ，θ和τ/θ的值，查表4-4即可求得控制器的T、KP、TI和TD。擴充臨界比例度法和擴充響應曲線法特別適用于被控對象是一階滯后慣性環(huán)節(jié)，如果對象為其他特性，用其他方法整定PID參數(shù).4.歸一參數(shù)整定法

RobertsP．D．在1974年提出了一種簡化擴充臨界比例度整定法，由于該方法只需整定一個參數(shù)，故稱其為歸一參數(shù)整定法。根據(jù)大量的經(jīng)驗和研究表明，一個動態(tài)性能好的系統(tǒng)，有關參數(shù)可這樣選?。?/p>

式中TK為純比例控制時的臨界振蕩周期，將上式代入增量式數(shù)字PID控制算式，則增量式PID控制的公式簡化為:

當被控對象存在較大滯后時，可采用D.M.Bain和G.D.Martin提出的適用大滯后過程參數(shù)整定方法。已知被控對象為一階滯后系統(tǒng)，即：

5.大滯后系統(tǒng)的參數(shù)整定(4-27)其中：K=Δy/Δu為相對增益；τ為慣性時間常數(shù)；

θ為純滯后時間。

按下面公式計算KP、TI和TDA，B和C依表4-5的性能指標選擇：表4-5性能指標的選擇性能指標ABC5%超調(diào)013/2501%超調(diào)03/70最小IAE3/103/104/10(4-28)絕對誤差積分(4-27)例4-1：已知某一階滯后被控對象的參數(shù)為K=1.47，τ=750秒，θ=50秒。（1）按擴充響應曲線法求得，當控制度等于1.05時，PID控制器參數(shù)為：

T=2.5，KP=17.25，TI=100，TD

=22.5。例4-1：已知某一階滯后被控對象的參數(shù)為K=1.47，τ=750秒，θ=50秒。（2）按D.M.Bain方法，當T=5秒時，按最小IAE指標選擇PID控制器參數(shù)為：

最小IAE3/103/104/106.試湊法整定PID參數(shù)試湊法是觀察系統(tǒng)的響應曲線，然后根據(jù)各個參數(shù)對系統(tǒng)性能的影響，反復湊試參數(shù)，直到得到滿意的響應過程，從而整定出PID參數(shù)。

遵循先比例、后積分、再微分的整定步驟。

(1)

整定比例系數(shù)在純比例作用下，將比例系數(shù)從小變大，觀察系統(tǒng)的響應，直到得到反應快、超調(diào)小的響應曲線。

(2)

加入積分環(huán)節(jié)

如果系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差，就要加入積分環(huán)節(jié)。整定時，先取積分時間常數(shù)TI為一較大值，并且把第一步整定的比例系數(shù)縮小至原來的0.8，然后減小積分時間常數(shù)TI，加強積分作用，在系統(tǒng)動態(tài)性能滿足要求的前提下，消除穩(wěn)態(tài)誤差。

(3)

加入微分環(huán)節(jié)

如果系統(tǒng)的動態(tài)響應過程不能令人滿意，可以加入微分環(huán)節(jié)，構成PID控制器。整定時，先讓微分時間常數(shù)TD=0，在整定比例系數(shù)和積分時間常數(shù)的基礎上，逐漸增大TD，加強微分作用，同時相應改變比例系數(shù)和積分時間常數(shù)，逐步試湊，直至獲得滿意的響應過程。試湊法整定PID參數(shù)的步驟可總結如下：參數(shù)整定找最佳，從小到大順序查。先是比例后積分，最后再把微分加。曲線振蕩很頻繁，比例度盤要放大。曲線漂浮繞大灣，比例度盤往小扳。曲線偏離回復慢，積分時間往下降。曲線波動周期長，積分時間再加長。曲線振蕩頻率快，先把微分降下來。動差大來波動慢，微分時間應加長。理想曲線兩個波，前高后低4比1。一看二調(diào)多分析，調(diào)節(jié)質(zhì)量不會低。4.3大林（Dahlin）算法純滯后的一階或二階慣性環(huán)節(jié)

這類系統(tǒng)的控制特點是要求其超調(diào)量為零或較小，而快速性是次要的，并且允許有較長的調(diào)整時間。

這類控制系統(tǒng)的被控對象連續(xù)傳遞函數(shù)G0(S)常用帶純滯后的一階或二階慣性環(huán)節(jié)描述，即：

式中，τ為滯后時間，T1、T2為時間常數(shù)，K為放大系數(shù)。或：(4-38)4.3.1

大林算法的設計原理設計原理：以大林算法設計的數(shù)字控制器，使所設計的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)相當于一個帶有滯后的一階慣性環(huán)節(jié)環(huán)節(jié)，其滯后時間與被控對象G0(s)的滯后時間相同，即：

上式中Tτ為閉環(huán)系統(tǒng)的的時間常數(shù)，設τ=NT，T為系統(tǒng)采樣時間。(4-39)

數(shù)字控制器D(z)的脈沖傳遞函數(shù)為：D(z)H0(s)G0(s)c(t)+–r(t)U(z)E(z)R(z)G(z)H(z)C(z)u*(t)e*(t)圖4-21計算機控制系統(tǒng)框圖

計算機控制系統(tǒng)結構框圖如圖4-21所示，圖中H0(s)為零階保持器；大林算法的閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為：(4-40)(4-41)因為將上式代入(4-41)式，得： 1、帶純滯后的一階慣性環(huán)節(jié)的大林算法：(4-42)代入τ=NT，并進行Z變換：(4-43)（4-43）(4-41)將(4-46)、(4-47)、(4-48)式代入(4-41)，得：

2、帶純滯后的二階慣性環(huán)節(jié)的大林算法（4-45）代入τ=NT，并進行Z變換：（4-46）其中：（4-47）（4-48）（4-49）(4-41)例題：已知某工業(yè)對象的傳遞函數(shù)為設采樣周期T=1s，期望的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：試按大林算法設計數(shù)字控制器。解：采樣周期T=1s，延時時間τ=1s，所以N=1，Tτ=2可直接帶入公式計算H(z).(4-40)同理求G(z)得：求數(shù)字控制器D(z)得：(4-43)4.3.2

振鈴現(xiàn)象及其消除

振鈴現(xiàn)象是指數(shù)字控制器的輸出u(kT)以接近1/2采樣頻率（既二倍采樣周期）的頻率大幅度的波動。

衡量振鈴現(xiàn)象強烈程度的量是振鈴幅度RA（RingAmplitude）。它的定義是數(shù)字控制器在單位階躍輸入的作用下，第0次的輸出幅度與第一次的輸出幅度之差，即

RA=u(0)-u(T)

(4-50)

振零現(xiàn)象的產(chǎn)生是由于控制器輸出的Z變換U(z)中含有Z平面單位圓內(nèi)左半平面接近z=-1的極點。在單位階躍作用下振鈴幅度，幾個有代表性的例子如下：極點在z=-1時，振鈴幅度最大。右半平面的極點會削弱振鈴現(xiàn)象。離z=-1越遠則振鈴幅度越小。

大林提出了一種消除振鈴現(xiàn)象的方法，既先找出D(z)中引起振玲現(xiàn)象的極點的因子（z=-1附近的因子），然后令因子的z=1，這樣就消除了這個極點。根據(jù)終值定理，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出保持不變。

U(z)中單位圓右半平面的零點會加劇振鈴現(xiàn)象例4-4

已知被控對象的傳遞函數(shù)

，采樣周期T=0.5s，所期望的閉環(huán)傳遞函數(shù)的時間常數(shù)

=0.5s，試用大林算法設計數(shù)字控制器D(z)，并分析是否產(chǎn)生振鈴現(xiàn)象，若有則消除。分析：τ=2.5s，T=0.5s，N=5,Tτ=0.5(4-39) 其中

，

，

，代入上式，得：

1、求系統(tǒng)的廣義被控對象的脈沖傳遞函數(shù)G(z)以T=0.5代入得：2、求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)H(z)

顯然，數(shù)字控制器輸出U(kT)正負上下擺動，有振鈴現(xiàn)象。因為U(z)中有z=-0.858這個靠近z=-1的極點。3、判斷是否出現(xiàn)振零現(xiàn)象4、求數(shù)字控制器D(z)上式中，令極點因子

中z=1，得：例4-5某一階近似控制系統(tǒng)的大林控制器為：系統(tǒng)響應如圖所示，看上去比較滿意，但閥門控制信號u(nT)呈現(xiàn)出過渡的閥門位移，即出現(xiàn)了振鈴現(xiàn)象。用大林消除振鈴方法，令振鈴因子（1+0.738z-1)中的z=1,得：系統(tǒng)響應y(t)及對應的閥門反應如下圖所示，這樣的算法基本消除了振鈴，y(t)與有振鈴算法的響應十分相似。例4-6已知某控制系統(tǒng)被控對象的傳遞函數(shù)為：試用大林算法設計數(shù)字控制器D(z)。設采樣周期為T=0.5S，并討論該系統(tǒng)是否會發(fā)生振鈴現(xiàn)象，如發(fā)生，該如何消除。解：由題可知：τ=1，K=1,T1=1,N=τ/T=2，當被控對象與零階保持器相連時，系統(tǒng)廣義被控對象的傳遞函數(shù)為：廣義對象的數(shù)字脈沖傳遞函數(shù)為：大林算法的設計目標是使整個閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)相當于一個帶有純滯后的一階慣性環(huán)節(jié)，據(jù)此可設Tτ=0.1s.D(z)有三個極點，z1=1,z2，3=-0.4967±0.864j,所以引起振鈴的極點是后者,應去掉D(z)中的這個因子。令中的z=1得無振鈴時的d(z)為：4.4

數(shù)字控制器設計方法

數(shù)字控制系統(tǒng)設計是基于被控對象數(shù)學模型已知的情況下，用控制理論的方法，設計出數(shù)字控制器，使控制系統(tǒng)滿足一定的性能指標。數(shù)字控制器數(shù)—模轉換器保持器對象模—數(shù)轉換器r(t)+–y(t)離散部分連續(xù)部分圖4-22

計算機控制系統(tǒng)

計算機控制系統(tǒng)的設計方法分為離散化設計方法和連續(xù)化設計方法兩種。

離散化設計方法是將被控對象和保持器組成的連續(xù)部分離散化，直接應用離散控制理論的一套方法進行分析和綜合，設計出滿足控制指標的離散控制器，由計算機去實現(xiàn)。

連續(xù)化設計方法是忽略控制回路中所有的零階保持器和采樣器，在s域中按連續(xù)系統(tǒng)進行初步設計，求出連續(xù)控制器，然后再將連續(xù)控制器變換為離散控制器，由計算機去實現(xiàn)。4.4.1連續(xù)對象的離散化方法1.沖激響應不變法

沖激響應不變法就是指離散環(huán)節(jié)G(z)的單位沖激響應h(kT)與連續(xù)環(huán)節(jié)G(s)的單位脈沖響應h(t)的采樣點的值相等。(4-51)定義：模擬調(diào)節(jié)器離散化的目的就是由模擬調(diào)節(jié)器的傳遞函數(shù)D(S)得到數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(z)，從而求出其差分方程。

若系統(tǒng)的輸入r(t)=δ(t)，在連續(xù)系統(tǒng)的情況下，G(s)=L[h(t)]/L[δ(t)]，由于L[δ(t)]=1，所以G(s)=L[h(t)]，

在離散系統(tǒng)中，G(z)=Z[h(kT)]/Z[δ(kT)]，因為Z[δ(kT)]=1，所以G(z)=Z[h(kT)]，

它可以按照以下三個步驟進行：1.利用拉普拉斯反變換，計算單位脈沖響應

；2.

將h(t)按采樣周期T離散化求得離散序列h(kT),簡寫為h(k)；3.

應用Z變換求等效的離散傳遞函數(shù)：(4-52)利用以上步驟求G(z)的過程通常簡記為：（4-53）解：脈沖響應函數(shù)

，

對采樣周期為T，得

，作為離散環(huán)節(jié)的單位沖激響應，則離散環(huán)節(jié)的Z傳遞函數(shù)：例4-5

設離散化連續(xù)環(huán)節(jié)，求G(z)。例4-6設圖4-23中，

，試求G(z)。解：例4-7設圖4-23中，

，試求G(z)。

由于沖激響應不變法實質(zhì)上是Z變換法，故又稱為Z變換法。

s平面與z平面的映射關系是基于z=esT，因此s平面左半平面映射到z平面單位圓內(nèi)，當G(s)是穩(wěn)定的，變換后的G(z)也是穩(wěn)定的。解：2.

差分變換法

差分變換法也稱為差分反演法。模擬調(diào)節(jié)器如果用微分方程的形式表示，其導數(shù)就可以用差分方程來近似代替，把連續(xù)校正裝置的傳遞函數(shù)D(S)轉換成差分方程，再用差分方程來近似表示這個微分方程。

差分變換法分為前向差分法和后向差分法。(1)前向差分法利用臺勞級數(shù)展開，可將

寫成以下形式：

(4-1)由上式可得：（4-2）把式(4-2)代入模擬調(diào)節(jié)器的傳遞函數(shù)D(S)中，即可求出數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(z)，得到前向差分法的計算公式（4-3）式中：T是系統(tǒng)的采樣周期。(2)

后向差分法

利用臺勞級數(shù)展開，還可將寫成以下形式：(4-5)由上式可得：(4-6)把式(4-6)代入模擬調(diào)節(jié)器的傳遞函數(shù)D(S)中，即可求出數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(z)，得到后向差分法的計算公式：(4-7)

式中：T是系統(tǒng)的采樣周期。例4-1

已知模擬調(diào)節(jié)器的傳遞函數(shù)分別采用前向差分和后向差分法對其進行離散化，求出其脈沖傳遞函數(shù)D(z)以及所對應的差分方程。解：①前向差分法：根據(jù)其變換公式，則對應的差分方程為：②后向差分法：根據(jù)其變換公式，則:對應的差分方程為：3.零階保持器法

在計算機控制系統(tǒng)中，常常需要將連續(xù)的控制對象連同保持器一起離散化，使其變成純粹的離散系統(tǒng)來簡化系統(tǒng)的分析和設計，Gh(s)是零階保持器的傳遞函數(shù)。圖4-24(a)中，若令：(4-54)利用沖激響應不變法，并參考式(4-54)及Z變換的性質(zhì)可以求得：(4-55)例4-8試將帶有零階保持器的對象

變換成G(z)。

解：可以很容易求得從G(z)到G(s)的變換關系為：(4-57)(4-56)4.雙線性變換法雙線性變換法又稱塔斯廷變換或稱梯形積分法。

根據(jù)從G(s)到G(z)的雙線性變換：例4-9試將

雙線性變換成G(z)。解：例4-10試將

雙線性變換成G(s)。解：例

已知模擬調(diào)節(jié)器的傳遞函數(shù)選擇采樣周期T=1s，用雙線性變換法求出數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(z)，并寫出其差分方程。解：根據(jù)式(4-56)，得數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)為所對應的差分方程：（1）雙線性變換方法簡單，容易計算，它適用于G(s)或G(z)的分子和分母已展成多項式的情形。（2）雙線性變換將s左半平面映射到z平面上的單位圓內(nèi)，因而沒有混疊效應，而且雙線性變換不改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（3）

雙線性變換是基于用梯形法則對微分方程進行差分近似，因而這樣的變換是近似的。但是當采樣周期T足夠小時，有較高的變換精度。雙線性變換法的主要特點：5.零極點匹配法

(4-58)(4-59)

應用以上給出的變換規(guī)則，可以寫出相應于式(4-58)的離散傳遞函數(shù)為：G(s)常常以零極點的形式給出，如：其中n≥m。這時獲得離散等效傳遞函數(shù)的一個簡單而有效的方法是利用

的關系，將s平面上的零點（）和極點（）一一對應地映射到z平面上的零點（）和極點（）。式(4-59)中系數(shù)的選擇是使得在某個特征頻率G(s)與G(z)具有同樣的增益。在絕大多數(shù)控制系統(tǒng)的應用中，特征頻率通常選為ω=0，就是使得:(4-61)(4-60)例4-11試應用上述規(guī)則，將

離散為G(z)。解：G(s)有一極點在s=-a，有一零點在s=∞。按上述規(guī)則求得：利用增益匹配原則:

根據(jù)式(4-60)的增益匹配原則:(4-62)(4-66)得:(4-63)將式(4-63)代入式(4-61)得:(4-64)(4-61)若考慮一拍的延遲，則應有:(4-65)(4-60)得

，代入式(4-65)得:(4-67)4.4.2數(shù)字控制器的離散設計方法

直接離散化設計方法--解析設計法。

若根據(jù)系統(tǒng)的性能要求給出適當?shù)拈]環(huán)傳遞函數(shù)H(z)，那么可以很容易地利用解析設計法求得所需求的控制器的傳遞函數(shù)D(z)。

該方法的關鍵不在于式(4-69)的計算，而在于如何根據(jù)性能指標的要求合適地給出閉環(huán)傳遞函數(shù)H(z)，同時考慮到閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性及控制器的可實現(xiàn)性等要求。根據(jù)圖4-25，可以求得從r到y(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為(4-68)從而解得:(4-69)最少拍系統(tǒng)是指如圖4-25所示典型系統(tǒng)對某種特定輸入具有最快的響應速度，被控量能在最短的調(diào)節(jié)時間即最少的采樣周期數(shù)內(nèi)達到設定值。

一、最少拍有紋波控制器的設計原理與設計方法最少拍控制器設計必須從被控對象的特性出發(fā)，依據(jù)系統(tǒng)性能要求，運用解析的方法推得。4.4.3最少拍控制器設計一）．最小拍控制器的一般設計步驟第一步：根據(jù)性能指標要求和約束條件確定H(z)。性能指標要求和約束條件有：

(1)穩(wěn)定性

(2)準確性：閉環(huán)系統(tǒng)對典型輸入的響應誤差必須是穩(wěn)態(tài)誤差。最少拍有紋波控制器只是在采樣點上無穩(wěn)態(tài)誤差。

(3)快速性

(4)物理可實現(xiàn)性

第二步：由G(z)、H(z)確定D(z)。

第三步：根據(jù)D(z)編制控制算法的程序。從性能指標要求和約束條件的四個方面逐步討論H(z)的確定。二）．由準確性要求確定H(z)

假定廣義對象G(z)是穩(wěn)定的，且不含單位圓上和圓外的零點，被控對象G0(s)不含純滯后。根據(jù)準確性要求，系統(tǒng)在采樣點無穩(wěn)態(tài)誤差，即對最少拍隨動系統(tǒng)而言，典型的輸入信號有三種，即：①單位階躍輸入②單位速度輸入(單位斜坡信號)③單位加速度輸入(單位拋物線信號)其中B(z)不含(1-z-1)因子寫成通式：顯然，要使穩(wěn)態(tài)誤差為零，He(z)中必須包含（1-z-1)因子，且冪次不能低于q,即：其中m≥q，F(xiàn)(z)是關于z-1的多項式。快速性要求閉環(huán)系統(tǒng)的響應能在最短時間內(nèi)使采樣點上的誤差為零，這就要求He(z)包含z-1的冪次盡可能小。在滿足準確性的前提下，令m=q，F(xiàn)(z)=1,此時He(z)既能滿足準確性又滿足快速性要求，故有：三）、由快速性要求確定H(z)

這樣選擇不僅可以簡化數(shù)字控制器的結構，而且還可以使E(z)的項數(shù)最少，因而調(diào)節(jié)時間ts最短。對應于上述三種典型輸入信號，其閉環(huán)誤差脈沖傳遞函數(shù)應選擇為：

單位階躍輸入時：單位速度輸入時：單位加速度輸入時：

由此可知，單位速度輸入時，最少拍隨動系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間ts=2T。2拍后穩(wěn)態(tài)誤差為零。

根據(jù)上述分析，可得不同輸入時的誤差序列如下：1、單位階躍輸入時(4-118)求Z反變換得e(k)=δ(k)，即：

由此可知，單位階躍輸入時，最少拍隨動系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間ts=T，T為系統(tǒng)采樣周期。1拍后穩(wěn)態(tài)誤差為零。2、單位速度輸入時誤差序列為：(4-119)3、單位加速度輸入時（4-120）誤差序列為：由此可知，單位加速度輸入時，最少拍隨動系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間ts=3T，3拍后穩(wěn)態(tài)誤差為零。

對于不同的典型輸入，合理地選擇誤差脈沖傳遞函數(shù)He(z)才能獲得最少拍響應。選定He(z)后，根據(jù)廣義對象函數(shù)G(z)特性，可求得最少拍數(shù)字控制器D(z)。三種典型輸入下，最少拍隨動系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間ts分別為T、2T和3T。

閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)：閉環(huán)誤差脈沖傳遞函數(shù)：二者關系：四）、由穩(wěn)定性要求確定H(Z)D(z)H0(s)G0(s)c(t)+–r(t)U(z)E(z)R(z)G(z)H(z)C(z)u*(t)e*(t)由上式可知，D(z)不僅與輸入信號有關，而且與廣義對象G(z)有關。當G(z)含有單位圓上和圓外的零點、極點時，必定對H(z)和He(z)有更多的要求。如果廣義對象G(z)中所有零、極點都在單位圓內(nèi)，那么系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即被控量y和控制量u都是穩(wěn)定的。如果廣義對象G(z)含有單位圓上和圓外的零點、極點時，G(z)和U(z)含有不穩(wěn)定的極點，則控制量u就是不穩(wěn)定的，系統(tǒng)輸出y也就不穩(wěn)定。由上式可以看出，D(z)和G(z)總是成對出現(xiàn)，但不能簡單地用D(z)的相關零極點去抵消G(z)的單位圓上、圓外的零極點。原因：若要抵消G(z)的單位圓上、圓外的零極點，D(z)必含單位圓上、圓外的零極點，從而使D(z)不穩(wěn)定，從而控制量u不穩(wěn)定。觀察上式可以找到正確解決上述問題的辦法：①讓H(z)的零點包含G(z)單位圓上或單位圓外的零點②讓He(z)的零點包含G(z)單位圓上或圓外的極點五）、由D(z)的物理可實現(xiàn)性要求確定H(Z)

D(z)物理可實現(xiàn)性就是指D(z)當前時刻的輸出只取決于當前時刻及過去時刻的輸入，而與未來時刻無關。數(shù)學上體現(xiàn)在保證D(z)分母中z-1的最低冪次不大于分子中z-1的最低冪次。例題：設被控對象的傳遞函數(shù)為，T=1s，初始條件為y(0)=0.試針對單位階躍輸入信號設計無穩(wěn)態(tài)誤差的最少拍控制系統(tǒng)。（e-1=0.368,e-2=0.136)解：首先將廣義對象離散化分析G(z)可看到，G(z)不包括單位圓上及圓外的零極點，所以針對單位階躍輸入，閉環(huán)誤差脈沖傳遞函數(shù)和閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)取為：顯然D(z)是物理可實現(xiàn)的。系統(tǒng)輸出為：誤差輸出為：該系統(tǒng)在單位階躍輸入作用下，瞬態(tài)過程將在一個采樣周期內(nèi)結束，且在采樣時刻的穩(wěn)態(tài)誤差為0例題：設被控對象的傳遞函數(shù)為，T=1s，試針對單位階躍輸入信號設計最少拍控制器D(z)解：首先將廣義對象離散化因為G(z)中含有z-1項和單位圓外零點z=-2.78，故H(z)應包含z-1及（1+2.78z-1)項。G(z)中含有單位圓上極點z=1，He(z)應包含（1-z-1)項，同時考慮到He(z)和H(z)應有相同冪次，故：解方程得：系統(tǒng)的單位階躍響應為：由圖可見，控制量收斂，輸出量穩(wěn)定，系統(tǒng)兩拍后準確跟蹤輸入。例題：已知系統(tǒng)的要求設計D(z)使系統(tǒng)對單位階躍輸入為無穩(wěn)態(tài)誤差的最少拍控制系統(tǒng)。某設計人員設計的D(z)滿足如下差分方程：審查上述設計是否正確，如有錯，請做出正確設計。解：由差分方程得：可見D(z)中有一個極點分布在z平面的單位圓外，D(z)是不穩(wěn)定的，故該設計是不正確的。因為G(z)中含有單位圓外的零點和單位圓上的極點，所以H(z)必須含有（1+1.1z-1)和z-1因子，故設：b1待定He(z)應包括（1-z-1)因子，且應與H(z)同階次，故設：a1待定由于是得：顯然D(z)是穩(wěn)定且物理可實現(xiàn)的。系統(tǒng)輸出：偏差輸出：系統(tǒng)兩拍后準確跟蹤輸入，采樣點上偏差為零最少拍隨動系統(tǒng)數(shù)字控制器的設計方法步驟如下：(1)根據(jù)被控對象的數(shù)學模型，由Z變換公式求出廣義對象的脈沖傳遞函數(shù)G(z)；(2)根據(jù)輸入信號類型，查表4-7確定誤差脈沖傳遞函數(shù)Ge(z)；(3)將G(z)，Ge(z)代入(4-113)式求得最少拍數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(z)；(4)根據(jù)結果分析控制效果，求出輸出序列并畫出響應曲線。3.

設計舉例例4-13

對圖4-31所示的最少拍隨動系統(tǒng)，被控對象的傳遞函數(shù)為

，采樣周期

，試設計單位階躍輸入時的最少拍數(shù)字控制器D(z)。解：該系統(tǒng)中用零階保持器，所以其廣義對象的脈沖傳遞函數(shù)為:

上式中含有因子

和單位圓外零點z＝-1.4815，因此，閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)H(z)中應含有(

)及因子

。又因為式中含有一個極點(z＝1)在單位圓上，因此，He(z)應含有有（1-z-1)因子。由H(z)和He(z)應該是同階次的多項式，應有比較等式兩邊的系數(shù)，可得式中a、b為待定系數(shù)，由上述方程組，可得:

將所得結果代入式(4-113)，可求出最少拍數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)：由此可得：a=0.403，b=0.579將系數(shù)代入方程組，得：單位階躍輸入時，系統(tǒng)輸出響應為：由此可得y(0)=0，y(1)=0.403，y(2)=y(3)=...=1單位階躍輸入時，系統(tǒng)偏差輸出為：例如對單位速度輸入：最少拍設計的局限性1、對不同輸入信號的適應性差單位階躍輸入時，系統(tǒng)偏差輸出兩拍后無差。穩(wěn)態(tài)誤差是固定值例如對單位加速度輸入：

按照某種典型輸入設計的最少拍系統(tǒng)，當輸入形式改變時，系統(tǒng)的性能變壞，輸出響應不一定理想。(2)

對參數(shù)變化過于敏感

最少拍無差系統(tǒng)是針對被控對象的精確的數(shù)學模型來設計的。當被控對象包含不穩(wěn)定的零極點時，為了保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，用閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)H(z)的不穩(wěn)定零點去抵消G(z)的不穩(wěn)定零點，用誤差脈沖傳遞函數(shù)He(z)的不穩(wěn)定零點去抵消G(z)的不穩(wěn)定極點。但是如果被控對象的數(shù)學模型不準確或者由于環(huán)境的變化導致系統(tǒng)參數(shù)改變，不穩(wěn)定的零極點是不可能相消的，系統(tǒng)的性能就會被破壞，致使系統(tǒng)的響應時間延長，不再滿足最少拍設計的快速性要求。(3)

未考慮執(zhí)行機構的飽和特性最少拍系統(tǒng)的設計沒有對控制量做出限制，在設計中強調(diào)系統(tǒng)在最少拍內(nèi)達到穩(wěn)態(tài)，因此是時間最優(yōu)系統(tǒng)，得到的設計結果是在假定控制量沒有限制的基礎上，保證系統(tǒng)的輸出能在最少拍內(nèi)準確地跟蹤輸入。從理論上講，采樣周期越短，調(diào)節(jié)速度就越快，調(diào)節(jié)時間也越短，但這是不切實際的。采樣周期的減小，會使控制量增大。由于執(zhí)行機構的飽和特性，控制量會被限制在一個有限的范圍，實際控制情況與最少拍控制器輸出的控制量不相符，控制效果會因此變差，最少拍設計的目標就不能實現(xiàn)。5.6

數(shù)字控制器的計算機算法實現(xiàn)方法前面幾節(jié)中已經(jīng)介紹了各種數(shù)字控制器的設計方法，求出數(shù)字控制器的傳遞函數(shù)以后，最重要的是如何去實現(xiàn)它的功能。數(shù)字控制器的實現(xiàn)方法有硬件實現(xiàn)和軟件實現(xiàn)兩種，用計算機軟件實現(xiàn)數(shù)字控制器，具有靈活、方便、簡單等優(yōu)點，特別是當控制算式比較復雜時，更能體現(xiàn)其優(yōu)越性。這一節(jié)主要講述數(shù)字控制器在計算機控制系統(tǒng)中的實現(xiàn)方法。5.6.1

直接程序設計法數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(z)的一般表達式為:(5-46)

式中：U(z)和E(z)分別是數(shù)字控制器輸出的控制量序列和輸入的誤差序列的Z變換，為了保證數(shù)字控制器的物理可實現(xiàn)性，要求。式(5-46)對應的差分方程為:

(5-47)用計算機軟件直接實現(xiàn)式(5-47)，就可很方便地實現(xiàn)數(shù)字控制器的功能，這種實現(xiàn)方法稱為數(shù)字控制器的直接程序設計法，式(5-47)就是直接程序設計法所用到的控制算式。從式中可以看出，如果所有的系數(shù)都不為零，要計算一次u(k)，首先需要進行n+1次乘法運算和m次乘法運算，分別求出前面所有時刻的偏差值和控制量。然后再進行n次加法和m-1次加法，分別求出所有時刻的偏差和與控制量的和。最后再進行一次求和運算，才能求出第k個采樣時刻控制器的輸出值u(k)。因此需要進行n+m次加法運算，n+m+1次乘法運算和n+m次數(shù)據(jù)傳送，才能計算機出一次u(k)。

直接程序設計法的算法比較簡單，可大大減少計算機運算的延時，提高系統(tǒng)的動態(tài)性能。但是其運算量比較大，程序占用的內(nèi)存容量也比較大，程序的可讀性較差，調(diào)試不方便。例5-11

設數(shù)字控制器的傳遞函數(shù)為:試用直接程序設計法寫出的差分方程。解：首先對D(z)變形，表示成式(5-46)的形式，即:式中：n=m=4，控制器物理可實現(xiàn)。對應的差分方程為:雖然其算法比較簡單，但是控制算式比較長。因為，所以需要進行7次加法運算，8次乘法運算，7次數(shù)據(jù)傳送，才能計算出u(k)。補充例題:已知某最少拍有紋波控制器為:試寫出直接實現(xiàn)的疊代算法解:先將分式的分子分母展開為z-1的多項式:交叉相乘并移項得:求Z反變換，得差分方程為:用C語言編制的程序如下，由于偏差必須在閉環(huán)系統(tǒng)中得到，所以程序中定義了一個偏差數(shù)組來模擬，程序之后給出了控制量的結果，用于驗證程序的正確性。#include<stdio.h>Intk=10;floate[11]={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10};floatu(intk){if(k<=0)return(0);elsereturn(0.282*u(k-1)+0.718u(k-2)+0.5434*e[k]-0.4716e[k-1]+0.1*e[k-2]);}Main(){floatuk;uk=u(k);printf(“u(%d)=%f\n\n”,k,uk);}測試結果如下：u(1)=0.543400u(2)=0.768439u(3)=1.393861u(4)=1.903608u(5)=2.668210u(6)=3.421626u(7)=4.354873u(8)=5.330801u(9)=7.6354195.6.2

串行