經(jīng)典計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型

2023/2/212023/2/21經(jīng)典計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型

.2023/2/222023/2/22第一節(jié)回歸分析概述一、變量間的關(guān)系及回歸分析的基本概念

二、總體回歸函數(shù)三、隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)四、樣本回歸函數(shù)（SRF）2023/2/232023/2/23

回歸分析概述

（1）確定性關(guān)系或函數(shù)關(guān)系：研究的是確定現(xiàn)象非隨機(jī)變量間的關(guān)系。（2）統(tǒng)計(jì)依賴或相關(guān)關(guān)系：研究的是非確定現(xiàn)象隨機(jī)變量間的關(guān)系。一、變量間的關(guān)系及回歸分析的基本概念

1、變量間的關(guān)系經(jīng)濟(jì)變量之間的關(guān)系，大體可分為兩類：2023/2/242023/2/24

由于變量間關(guān)系的隨機(jī)性，回歸分析關(guān)心的是根據(jù)解釋變量的已知或給定值，考察被解釋變量的總體均值，即當(dāng)解釋變量取某個(gè)確定值時(shí)，與之統(tǒng)計(jì)相關(guān)的被解釋變量所有可能出現(xiàn)的對(duì)應(yīng)值的平均值。

例1：一個(gè)假想的社區(qū)有100戶家庭組成，要研究該社區(qū)每月家庭消費(fèi)支出Y與每月家庭可支配收入X的關(guān)系。即如果知道了家庭的月收入，能否預(yù)測該社區(qū)家庭的平均月消費(fèi)支出水平。

二、總體回歸函數(shù)

為達(dá)到此目的，將該100戶家庭劃分為組內(nèi)收入差不多的10組，以分析每一收入組的家庭消費(fèi)支出。2023/2/252023/2/252023/2/262023/2/26

（1）由于不確定因素的影響，對(duì)同一收入水平X，不同家庭的消費(fèi)支出不完全相同；（2）但由于調(diào)查的完備性，給定收入水平X的消費(fèi)支出Y的分布是確定的，即以X的給定值為條件的Y的條件分布（Conditionaldistribution）是已知的，如：P(Y=561|X=800）=1/4。因此，給定收入X的值Xi，可得消費(fèi)支出Y的條件均值（conditionalmean）或條件期望（conditionalexpectation）：

E(Y|X=Xi)該例中：E(Y|X=800)=605分析：2023/2/27..2023/2/27收入水平800110014001700200023002600290032003500條件概率

1/4

1/61/111/131/131/141/131/10

1/9

1/6條件均值605825104512651485170519252145236525852023/2/282023/2/28

描出散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)：隨著收入的增加，消費(fèi)“平均地說”也在增加，且Y的條件均值均落在一根正斜率的直線上。這條直線稱為總體回歸線。05001000150020002500300035005001000150020002500300035004000每月可支配收入X（元）每月消費(fèi)支出Y（元）

2023/2/292023/2/29概念：

在給定解釋變量Xi條件下被解釋變量Yi的期望軌跡稱為總體回歸線（populationregressionline），或更一般地稱為總體回歸曲線（populationregressioncurve）。稱為（雙變量）總體回歸函數(shù)（populationregressionfunction,PRF）。

相應(yīng)的函數(shù)：2023/2/2102023/2/210

回歸函數(shù)（PRF）說明被解釋變量Y的平均狀態(tài)（總體條件期望）隨解釋變量X變化的規(guī)律。含義：

函數(shù)形式：可以是線性或非線性的。

例中，將居民消費(fèi)支出看成是其可支配收入的線性函數(shù)時(shí):為一線性函數(shù)。其中，0，1是未知參數(shù)，稱為回歸系數(shù)（regressioncoefficients）。2023/2/2112023/2/211

三、隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)

總體回歸函數(shù)說明在給定的收入水平Xi下，該社區(qū)家庭平均的消費(fèi)支出水平。但對(duì)某一個(gè)別的家庭，其消費(fèi)支出可能與該平均水平有偏差。稱i為觀察值Yi圍繞它的期望值E(Y|Xi)的離差（deviation），是一個(gè)不可觀測的隨機(jī)變量，又稱為隨機(jī)干擾項(xiàng)（stochasticdisturbance）或隨機(jī)誤差項(xiàng)（stochasticerror）。記2023/2/2122023/2/212例中，個(gè)別家庭的消費(fèi)支出為：

（*）式稱為總體回歸函數(shù)（方程）PRF的隨機(jī)設(shè)定形式。表明被解釋變量除了受解釋變量的系統(tǒng)性影響外，還受其他因素的隨機(jī)性影響。

（1）該收入水平下所有家庭的平均消費(fèi)支出E(Y|Xi)，稱為系統(tǒng)性（systematic）或確定性（deterministic)部分。（2）其他隨機(jī)或非確定性（nonsystematic)部分i。即，給定收入水平Xi,個(gè)別家庭的支出可表示為兩部分之和:(*)

由于方程中引入了隨機(jī)項(xiàng)，成為計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型，因此也稱為總體回歸模型。2023/2/2132023/2/213隨機(jī)誤差項(xiàng)主要包括下列因素的影響：1）在解釋變量中被忽略的因素的影響；2）變量觀測值的觀測誤差的影響；3）模型關(guān)系的設(shè)定誤差的影響；4）其它隨機(jī)因素的影響。產(chǎn)生并設(shè)計(jì)隨機(jī)誤差項(xiàng)的主要原因：1）理論的含糊性；2）數(shù)據(jù)的欠缺；3）節(jié)省原則。2023/2/2142023/2/214

四、樣本回歸函數(shù)（SRF）

問題：能從一次抽樣中獲得總體的近似的信息嗎？如果可以，如何從抽樣中獲得總體的近似信息？

問：能否從該樣本估計(jì)總體回歸函數(shù)PRF？回答：能

例2在例1的總體中有如下一個(gè)樣本，

總體的信息往往無法掌握，現(xiàn)實(shí)的情況只能是在一次觀測中得到總體的一個(gè)樣本。2023/2/2152023/2/215該樣本的散點(diǎn)圖（scatterdiagram)：

樣本散點(diǎn)圖近似于一條直線，畫一條直線以盡好地?cái)M合該散點(diǎn)圖，由于樣本取自總體，可以該線近似地代表總體回歸線。該線稱為樣本回歸線（sampleregressionlines）。

記樣本回歸線的函數(shù)形式為：稱為樣本回歸函數(shù)（sampleregressionfunction，SRF）。

2023/2/2162023/2/216

這里將樣本回歸線看成總體回歸線的近似替代則

注意：2023/2/2172023/2/217

樣本回歸函數(shù)的隨機(jī)形式/樣本回歸模型：同樣地，樣本回歸函數(shù)也有如下的隨機(jī)形式：

由于方程中引入了隨機(jī)項(xiàng)，成為計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型，因此也稱為樣本回歸模型（sampleregressionmodel）。2023/2/2182023/2/218

▼回歸分析的主要目的：根據(jù)樣本回歸函數(shù)SRF，估計(jì)總體回歸函數(shù)PRF。注意：這里PRF可能永遠(yuǎn)無法知道。即，根據(jù)

估計(jì)2023/2/2192023/2/219第二節(jié)一元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)

一、一元線性回歸模型的基本假設(shè)二、參數(shù)的普通最小二乘估計(jì)（OLS）三、最小二乘估計(jì)量的性質(zhì)四、參數(shù)估計(jì)量的概率分布及隨機(jī)干擾項(xiàng)方差的估計(jì)

2023/2/2202023/2/220單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型分為兩大類：線性模型和非線性模型線性模型中，變量之間的關(guān)系呈線性關(guān)系非線性模型中，變量之間的關(guān)系呈非線性關(guān)系

一元線性回歸模型：只有一個(gè)解釋變量

i=1,2,…,nY為被解釋變量，X為解釋變量，0與1為待估參數(shù)，為隨機(jī)干擾項(xiàng)2023/2/2212023/2/221

回歸分析的主要目的是要通過樣本回歸函數(shù)（模型）SRF盡可能準(zhǔn)確地估計(jì)總體回歸函數(shù)（模型）PRF。

估計(jì)方法有多種，其種最廣泛使用的是普通最小二乘法（ordinaryleastsquares,OLS）。

為保證參數(shù)估計(jì)量具有良好的性質(zhì)，通常對(duì)模型提出若干基本假設(shè)。

注：實(shí)際這些假設(shè)與所采用的估計(jì)方法緊密相關(guān)。2023/2/2222023/2/222

一、線性回歸模型的基本假設(shè)

假設(shè)1、解釋變量X是確定性變量，不是隨機(jī)變量；假設(shè)2、隨機(jī)誤差項(xiàng)具有零均值、同方差和不序列相關(guān)性：

E(i)=0i=1,2,…,nVar(i)=2i=1,2,…,nCov(i,j)=0i≠ji,j=1,2,…,n

假設(shè)3、隨機(jī)誤差項(xiàng)與解釋變量X之間不相關(guān)：

Cov(Xi,i)=0i=1,2,…,n

假設(shè)4、服從零均值、同方差、零協(xié)方差的正態(tài)分布i~N(0,2)i=1,2,…,n2023/2/2232023/2/223

1、如果假設(shè)1、2滿足，則假設(shè)3也滿足;

2、如果假設(shè)4滿足，則假設(shè)2也滿足。

以上假設(shè)也稱為線性回歸模型的經(jīng)典假設(shè)或高斯（Gauss）假設(shè)，滿足該假設(shè)的線性回歸模型，也稱為經(jīng)典線性回歸模型（ClassicalLinearRegressionModel,CLRM）。

2023/2/2242023/2/224

另外，在進(jìn)行模型回歸時(shí)，還有兩個(gè)暗含的假設(shè)：

假設(shè)5：隨著樣本容量的無限增加，解釋變量X的樣本方差趨于一有限常數(shù)。即

假設(shè)6：回歸模型是正確設(shè)定的

假設(shè)5旨在排除時(shí)間序列數(shù)據(jù)出現(xiàn)持續(xù)上升或下降的變量作為解釋變量，因?yàn)檫@類數(shù)據(jù)不僅使大樣本統(tǒng)計(jì)推斷變得無效，而且往往產(chǎn)生所謂的偽回歸問題（spuriousregressionproblem）。假設(shè)6也被稱為模型沒有設(shè)定偏誤（specificationerror）2023/2/2252023/2/225案例分析

某地個(gè)人儲(chǔ)蓄Y，個(gè)人可支配收入X。根據(jù)經(jīng)濟(jì)理論建立計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型2023/2/2262023/2/226圖形檢驗(yàn)

2023/2/2272023/2/227二、參數(shù)的普通最小二乘估計(jì)（OLS）

給定一組樣本觀測值（Xi,Yi）（i=1,2,…n）要求樣本回歸函數(shù)盡可能好地?cái)M合這組值.

普通最小二乘法（Ordinaryleastsquares,OLS）給出的判斷標(biāo)準(zhǔn)是：二者之差的平方和最小。2023/2/2282023/2/229求平方和的極值2023/2/2302023/2/230方程組（*）稱為正規(guī)方程組（normalequations）。

2023/2/231可以寫成.2023/2/2312023/2/2322023/2/232

例2：在上述家庭可支配收入-消費(fèi)支出例中，對(duì)于所抽出的一組樣本數(shù)，參數(shù)估計(jì)的計(jì)算可通過下面的表2.2.1進(jìn)行。

2023/2/2332023/2/233因此，由該樣本估計(jì)的回歸方程為：

2023/2/234幾個(gè)常用的結(jié)果.2023/2/2342023/2/235....35(1)、估計(jì)殘差均值為零2023/2/22023/2/236..2023/2/236..36(2)、估計(jì)殘差與自變量不相關(guān)

（Residualsareunrelatedwithindependentvariable）2023/2/22023/2/237..37(3)、Y的真實(shí)值和擬合值有共同的均值2023/2/22023/2/2382023/2/238記上述參數(shù)估計(jì)量可以寫成：

稱為OLS估計(jì)量的離差形式（deviationform）。由于參數(shù)的估計(jì)結(jié)果是通過最小二乘法得到的，故稱為普通最小二乘估計(jì)量（ordinaryleastsquaresestimators）。

2023/2/2392023/2/239順便指出，記則有

可得

（**）式也稱為樣本回歸函數(shù)的離差形式。（**）注意：在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中，往往以小寫字母表示對(duì)均值的離差。

2023/2/2402023/2/240

三、最小二乘估計(jì)量的性質(zhì)

當(dāng)模型參數(shù)估計(jì)出后，需考慮參數(shù)估計(jì)值的精度，即是否能代表總體參數(shù)的真值，或者說需考察參數(shù)估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。

一個(gè)用于考察總體的估計(jì)量，可從如下幾個(gè)方面考察其優(yōu)劣性：

（1）線性性，即它是否是另一隨機(jī)變量的線性函數(shù)；

（2）無偏性，即它的均值或期望值是否等于總體的真實(shí)值；

（3）有效性，即它是否在所有線性無偏估計(jì)量中具有最小方差。2023/2/2412023/2/241（4）漸近無偏性，即樣本容量趨于無窮大時(shí)，是否它的均值序列趨于總體真值；（5）一致性，即樣本容量趨于無窮大時(shí)，它是否依概率收斂于總體的真值；（6）漸近有效性，即樣本容量趨于無窮大時(shí)，是否它在所有的一致估計(jì)量中具有最小的漸近方差。

這三個(gè)準(zhǔn)則也稱作估計(jì)量的小樣本性質(zhì)。擁有這類性質(zhì)的估計(jì)量稱為最佳線性無偏估計(jì)量（bestlinerunbiasedestimator,BLUE）。

當(dāng)不滿足小樣本性質(zhì)時(shí)，需進(jìn)一步考察估計(jì)量的大樣本或漸近性質(zhì)：2023/2/2422023/2/242高斯—馬爾可夫定理(Gauss-Markovtheorem)

在給定經(jīng)典線性回歸的假定下，最小二乘估計(jì)量是具有最小方差的線性無偏估計(jì)量。2023/2/2432023/2/243證：易知故同樣地，容易得出

2023/2/2442023/2/2442023/2/2452023/2/24545（2）證明最小方差性2023/2/2462023/2/246462023/2/2472023/2/247

由于最小二乘估計(jì)量擁有一個(gè)“好”的估計(jì)量所應(yīng)具備的小樣本特性，它自然也擁有大樣本特性。

2023/2/248總體2023/2/248

在給定解釋變量Xi條件下被解釋變量Yi的期望軌跡稱為總體回歸線（populationregressionline），或更一般地稱為總體回歸曲線（populationregressioncurve）。2023/2/249樣本.總體的信息往往無法掌握，現(xiàn)實(shí)的情況只能是在一次觀測中得到總體的一個(gè)樣本。記樣本回歸線的函數(shù)形式為：同樣地，樣本回歸函數(shù)也有如下的隨機(jī)形式：2023/2/2492023/2/250回歸分析的主要目的根據(jù)樣本回歸函數(shù)SRF，估計(jì)總體回歸函數(shù)PRF。根據(jù)：估計(jì)：2023/2/2502023/2/2512023/2/2512023/2/2512023/2/252估計(jì)假設(shè)條件：對(duì)隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的五個(gè)假定估計(jì)方法：最小二乘法估計(jì)結(jié)果：參數(shù)具有線性性、無偏性、有效性2023/2/2522023/2/2532023/2/253

四、參數(shù)估計(jì)量的概率分布及隨機(jī)干擾項(xiàng)方差的估計(jì)

2023/2/2542023/2/2552023/2/2552023/2/2562023/2/2562、隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差2的估計(jì)

由于隨機(jī)項(xiàng)i不可觀測，只能從i的估計(jì)——?dú)埐頴i出發(fā)，對(duì)總體方差進(jìn)行估計(jì)。

2又稱為總體方差。

可以證明，2的最小二乘估計(jì)量為它是關(guān)于2的無偏估計(jì)量。

2023/2/2572023/2/2572023/2/2582023/2/2592023/2/2592023/2/2602023/2/260第三節(jié)一元線性回歸模型統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)

一、擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

二、變量的顯著性檢驗(yàn)

三、參數(shù)的置信區(qū)間

2023/2/2612023/2/261回歸分析是要通過樣本所估計(jì)的參數(shù)來代替總體的真實(shí)參數(shù)，或者說是用樣本回歸線代替總體回歸線。

盡管從統(tǒng)計(jì)性質(zhì)上已知，如果有足夠多的重復(fù)抽樣，參數(shù)的估計(jì)值的期望（均值）就等于其總體的參數(shù)真值，但在一次抽樣中，估計(jì)值不一定就等于該真值。那么，在一次抽樣中，參數(shù)的估計(jì)值與真值的差異有多大，是否顯著，這就需要進(jìn)一步進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。主要包括擬合優(yōu)度檢驗(yàn)、變量的顯著性檢驗(yàn)及參數(shù)的區(qū)間估計(jì)。2023/2/2622023/2/262

一、擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

擬合優(yōu)度檢驗(yàn)：對(duì)樣本回歸直線與樣本觀測值之間擬合程度的檢驗(yàn)。

度量擬合優(yōu)度的指標(biāo)：判定系數(shù)（可決系數(shù)）R2

問題：采用普通最小二乘估計(jì)方法，已經(jīng)保證了模型最好地?cái)M合了樣本觀測值，為什么還要檢驗(yàn)擬合程度？2023/2/2632023/2/263

1、總離差平方和的分解

已知由一組樣本觀測值（Xi,Yi），i=1,2…,n得到如下樣本回歸直線

2023/2/2642023/2/264

如果Yi=?i即實(shí)際觀測值落在樣本回歸“線”上，則擬合最好?？烧J(rèn)為，“離差”全部來自回歸線，而與“殘差”無關(guān)。2023/2/2652023/2/265

對(duì)于所有樣本點(diǎn)，則需考慮這些點(diǎn)與樣本均值離差的平方和,可以證明：記總體平方和（TotalSumofSquares）回歸平方和（ExplainedSumofSquares）殘差平方和（ResidualSumofSquares）2023/2/266總體平方和（TotalSumofSquares）回歸平方和（RegressionSumofSquares）殘差平方和（ErrorSumofSquares）

對(duì)于所有樣本點(diǎn)，則需考慮這些點(diǎn)與樣本均值離差的平方和,可以證明：2023/2/2672023/2/267TSS=ESS+RSS

Y的觀測值圍繞其均值的總離差(totalvariation)可分解為兩部分：一部分來自回歸線(ESS)，另一部分則來自隨機(jī)勢力(RSS)。在給定樣本中，TSS不變，如果實(shí)際觀測點(diǎn)離樣本回歸線越近，則ESS在TSS中占的比重越大，因此

擬合優(yōu)度：回歸平方和ESS/Y的總離差TSS2023/2/2682023/2/2682、可決系數(shù)R2統(tǒng)計(jì)量

稱R2為（樣本）可決系數(shù)/判定系數(shù)（coefficientofdetermination)。

可決系數(shù)的取值范圍：[0，1]R2越接近1，說明實(shí)際觀測點(diǎn)離樣本線越近，擬合優(yōu)度越高。2023/2/2692023/2/2702023/2/2712023/2/271

在例2.1.1的收入-消費(fèi)支出例中，

注：可決系數(shù)是一個(gè)非負(fù)的統(tǒng)計(jì)量。它也是隨著抽樣的不同而不同。為此，對(duì)可決系數(shù)的統(tǒng)計(jì)可靠性也應(yīng)進(jìn)行檢驗(yàn)。

2023/2/2722023/2/272

二、變量的顯著性檢驗(yàn)

回歸分析是要判斷解釋變量X是否是被解釋變量Y的一個(gè)顯著性的影響因素。在一元線性模型中，就是要判斷X是否對(duì)Y具有顯著的線性性影響。這就需要進(jìn)行變量的顯著性檢驗(yàn)。

變量的顯著性檢驗(yàn)所應(yīng)用的方法是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中的假設(shè)檢驗(yàn)。計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中，主要是針對(duì)變量的參數(shù)真值是否為零來進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)的。

2023/2/2732023/2/273

1、假設(shè)檢驗(yàn)

所謂假設(shè)檢驗(yàn)，就是事先對(duì)總體參數(shù)或總體分布形式作出一個(gè)假設(shè)，然后利用樣本信息來判斷原假設(shè)是否合理，即判斷樣本信息與原假設(shè)是否有顯著差異，從而決定是否接受或否定原假設(shè)。假設(shè)檢驗(yàn)采用的邏輯推理方法是反證法。先假定原假設(shè)正確，然后根據(jù)樣本信息，觀察由此假設(shè)而導(dǎo)致的結(jié)果是否合理，從而判斷是否接受原假設(shè)。判斷結(jié)果合理與否，是基于“小概率事件不易發(fā)生”這一原理的2023/2/274復(fù)習(xí)某商品標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定重量u250克，標(biāo)準(zhǔn)差σ3克,重量服從正態(tài)分布。任意抽取100件，平均重量251克，規(guī)定顯著性水平α為0.05，問該批商品重量是否符合要求。1、提出假設(shè)：H0u≠250；H1

u=2502、統(tǒng)計(jì)量：

由X～N(250,9)

服從N(0,1)分布。2023/2/274：：：：：～2023/2/275復(fù)習(xí)3、確定顯著性水平α=0.054、統(tǒng)計(jì)量分布的臨界值5、觀察z是否小于下端或大于上端的臨界值，作出否定或接受原假設(shè)的判斷。2023/2/2752023/2/2762023/2/276

2、變量的顯著性檢驗(yàn)

2023/2/2772023/2/277

檢驗(yàn)步驟：

（1）對(duì)總體參數(shù)提出假設(shè)

H0：1=0，H1：10（2）以原假設(shè)H0構(gòu)造t統(tǒng)計(jì)量，并由樣本計(jì)算其值（3）給定顯著性水平，查t分布表，得臨界值t/2(n-2)(4)比較，判斷若|t|>t/2(n-2)，則拒絕H0

，接受H1

；若|t|

t/2(n-2)，則拒絕H1

，接受H0

；2023/2/2782023/2/278

對(duì)于一元線性回歸方程中的0，可構(gòu)造如下t統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)：

在上述收入-消費(fèi)支出例中，首先計(jì)算2的估計(jì)值

2023/2/2792023/2/279t統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算結(jié)果分別為：

給定顯著性水平=0.05，查t分布表得臨界值t0.05/2(8)=2.306|t1|>2.306，說明家庭可支配收入在95%的置信度下顯著，即是消費(fèi)支出的主要解釋變量；

|t0|<2.306,表明在95%的置信度下，無法拒絕截距項(xiàng)為零的假設(shè)。

2023/2/2802023/2/280

假設(shè)檢驗(yàn)可以通過一次抽樣的結(jié)果檢驗(yàn)總體參數(shù)可能的假設(shè)值的范圍（如是否為零），但它并沒有指出在一次抽樣中樣本參數(shù)值到底離總體參數(shù)的真值有多“近”。要判斷樣本參數(shù)的估計(jì)值在多大程度上可以“近似”地替代總體參數(shù)的真值，往往需要通過構(gòu)造一個(gè)以樣本參數(shù)的估計(jì)值為中心的“區(qū)間”，來考察它以多大的可能性（概率）包含著真實(shí)的參數(shù)值。這種方法就是參數(shù)檢驗(yàn)的置信區(qū)間估計(jì)。

三、參數(shù)的置信區(qū)間

2023/2/2812023/2/281

如果存在這樣一個(gè)區(qū)間，稱之為置信區(qū)間（confidenceinterval）；

1-稱為置信系數(shù)（置信度）（confidencecoefficient），

稱為顯著性水平（levelofsignificance）；置信區(qū)間的端點(diǎn)稱為置信限（confidencelimit）或臨界值（criticalvalues）。2023/2/2822023/2/282一元線性模型中，i(i=1，2）的置信區(qū)間:在變量的顯著性檢驗(yàn)中已經(jīng)知道：

意味著，如果給定置信度（1-），從分布表中查得自由度為(n-2)的臨界值，那么t值處在(-t/2,t/2)的概率是(1-)。表示為：

即2023/2/2832023/2/283于是得到:(1-)的置信度下,i的置信區(qū)間是

在上述收入-消費(fèi)支出例中，如果給定

=0.01，查表得：由于于是，1、0的置信區(qū)間分別為：（0.6345,0.9195)

（-433.32,226.98）

2023/2/2842023/2/284

由于置信區(qū)間一定程度地給出了樣本參數(shù)估計(jì)值與總體參數(shù)真值的“接近”程度，因此置信區(qū)間越小越好。

要縮小置信區(qū)間，需

（1）增大樣本容量n，因?yàn)樵谕瑯拥闹眯潘较?，n越大，t分布表中的臨界值越??；同時(shí)，增大樣本容量，還可使樣本參數(shù)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差減??；

（2）提高模型的擬合優(yōu)度，因?yàn)闃颖緟?shù)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差與殘差平方和呈正比，模型擬合優(yōu)度越高，殘差平方和應(yīng)越小。2023/2/2852023/2/285

例、消費(fèi)模型

例收入與消費(fèi)支出的關(guān)系。GDP：

國內(nèi)生產(chǎn)總值（當(dāng)年價(jià)）CS1：居民消費(fèi)（當(dāng)年價(jià)）cs=cs1/pInc=GDP(1-t)/p2023/2/2862023/2/286

該兩組數(shù)據(jù)是1978~2002年的時(shí)間序列數(shù)據(jù)（timeseriesdata）；

1、建立模型

擬建立如下一元回歸模型

采用Eviews軟件進(jìn)行回歸分析的結(jié)果見下表

前述收入-消費(fèi)支出例中的數(shù)據(jù)是截面數(shù)據(jù)（cross-sectionaldata）。2023/2/2872023/2/287一般可寫出如下回歸分析結(jié)果：

(3.56)(49.82)R2=0.9908F=2482.37DW=0.36932023/2/2882023/2/288

2、模型檢驗(yàn)

R2=0.9908T值：α：3.56，β：49.82

臨界值:t0.05/2(25)=2.063、預(yù)測

點(diǎn)估計(jì)：Cs(2003)=414.88+0.5123737=12935.63（元）

2023/2/2882023/2/289第四節(jié)多元線性回歸模型

一、多元線性回歸模型

二、多元線性回歸模型的基本假定

2023/2/2892023/2/290例題：需求函數(shù)2023/2/2902023/2/2912023/2/291

一、多元線性回歸模型

多元線性回歸模型:表現(xiàn)在線性回歸模型中的解釋變量有多個(gè)。

一般表現(xiàn)形式：i=1,2…,n其中:k為解釋變量的數(shù)目，j稱為回歸參數(shù)（regressioncoefficient）。習(xí)慣上：把常數(shù)項(xiàng)看成為一虛變量的系數(shù)，該虛變量的樣本觀測值始終取1。這樣：模型中解釋變量的數(shù)目為（k+1）2023/2/2922023/2/292也被稱為總體回歸函數(shù)的隨機(jī)表達(dá)形式。它的非隨機(jī)表達(dá)式為:

方程表示：各變量X值固定時(shí)Y的平均響應(yīng)。

j也被稱為偏回歸系數(shù)，表示在其他解釋變量保持不變的情況下，Xj每變化1個(gè)單位時(shí)，Y的均值E(Y)的變化;

或者說j給出了Xj的單位變化對(duì)Y均值的“直接”或“凈”（不含其他變量）影響。2023/2/2932023/2/293總體回歸模型n個(gè)隨機(jī)方程的矩陣表達(dá)式為

其中2023/2/2942023/2/294樣本回歸函數(shù)：用來估計(jì)總體回歸函數(shù)其隨機(jī)表示式:

ei稱為殘差或剩余項(xiàng)(residuals)，可看成是總體回歸函數(shù)中隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)i的近似替代。

樣本回歸函數(shù)的矩陣表達(dá):或其中：2023/2/2952023/2/295二、多元線性回歸模型的基本假定

假設(shè)1，解釋變量是非隨機(jī)的或固定的，且各X之間互不相關(guān)（無多重共線性）。

假設(shè)2，隨機(jī)誤差項(xiàng)具有零均值、同方差及不序列相關(guān)性

假設(shè)3，解釋變量與隨機(jī)項(xiàng)不相關(guān)假設(shè)4，隨機(jī)項(xiàng)滿足正態(tài)分布

2023/2/2962023/2/296上述假設(shè)的矩陣符號(hào)表示式：

假設(shè)1，n(k+1)矩陣X是非隨機(jī)的，且X的秩=k+1，即X滿秩。假設(shè)2，假設(shè)3，E(X’)=0，即

2023/2/29705001000150020002500300035005001000150020002500300035004000每月可支配收入X（元）每月消費(fèi)支出Y（元）2023/2/2982023/2/298假設(shè)4，向量

有一多維正態(tài)分布，即

同一元回歸一樣，多元回歸還具有如下兩個(gè)重要假設(shè)：假設(shè)5，樣本容量趨于無窮時(shí)，各解釋變量的方差趨于有界常數(shù)，即n∞時(shí)，或

其中：Q為一非奇異固定矩陣，矩陣x是由各解釋變量的離差為元素組成的nk階矩陣假設(shè)6，回歸模型的設(shè)定是正確的。

2023/2/2992023/2/299第五節(jié)多元線性回歸模型的估計(jì)和檢驗(yàn)

估計(jì)方法：OLS2023/2/21002023/2/2100一、普通最小二乘估計(jì)對(duì)于隨機(jī)抽取的n組觀測值如果樣本函數(shù)的參數(shù)估計(jì)值已經(jīng)得到，則有：

i=1,2…n根據(jù)最小二乘原理，參數(shù)估計(jì)值應(yīng)該是下列方程組的解

其中2023/2/21012023/2/2101于是得到關(guān)于待估參數(shù)估計(jì)值的正規(guī)方程組：

2023/2/21022023/2/2102正規(guī)方程組的矩陣形式即由于X’X滿秩，故有

2023/2/2103.將上述過程用矩陣表示如下：

2023/2/2104矩陣導(dǎo)數(shù).2023/2/2105使用的公式.2023/2/2106

.2023/2/2107根據(jù)矩陣求導(dǎo)法則可得：2023/2/21082023/2/21082023/2/21092023/2/21092023/2/21102023/2/2110隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差的無偏估計(jì)

可以證明，隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差的無偏估計(jì)量為

2023/2/21112023/2/2111

二

、參數(shù)估計(jì)量的性質(zhì)

在滿足基本假設(shè)的情況下，其結(jié)構(gòu)參數(shù)的普通最小二乘估計(jì)、最大或然估計(jì)及矩估計(jì)仍具有：

線性性、無偏性、有效性。

同時(shí)，隨著樣本容量增加，參數(shù)估計(jì)量具有：

漸近無偏性、漸近有效性、一致性。

1、線性性

其中,C=(X’X)-1X’為一僅與固定的X有關(guān)的行向量

2023/2/21122023/2/2112

2、無偏性

這里利用了假設(shè):E(X’)=0

3、有效性（最小方差性）

2023/2/21132023/2/2113其中利用了

和2023/2/21142023/2/2114三、

可決系數(shù).2023/2/21152023/2/2115.

1、可決系數(shù)與調(diào)整的可決系數(shù)則

總離差平方和的分解2023/2/21162023/2/2116由于

=0所以有：

2023/2/21172023/2/2117

可決系數(shù)該統(tǒng)計(jì)量越接近于1，模型的擬合優(yōu)度越高。

問題：在應(yīng)用過程中發(fā)現(xiàn)，如果在模型中增加一個(gè)解釋變量，R2往往增大

這就給人一個(gè)錯(cuò)覺：要使得模型擬合得好，只要增加解釋變量即可。

但是，現(xiàn)實(shí)情況往往是，由增加解釋變量個(gè)數(shù)引起的R2的增大與擬合好壞無關(guān)，R2需調(diào)整。2023/2/21182023/2/2118

調(diào)整的可決系數(shù)（adjustedcoefficientofdetermination）

在樣本容量一定的情況下，增加解釋變量必定使得自由度減少，所以調(diào)整的思路是:將殘差平方和與總離差平方和分別除以各自的自由度，以剔除變量個(gè)數(shù)對(duì)擬合優(yōu)度的影響:其中：n-k-1為殘差平方和的自由度，n-1為總體平方和的自由度。2023/2/21192023/2/21192023/2/21202023/2/2120

四、方程的顯著性檢驗(yàn)(F檢驗(yàn))

方程的顯著性檢驗(yàn)，旨在對(duì)模型中被解釋變量與解釋變量之間的線性關(guān)系在總體上是否顯著成立作出推斷。

1、方程顯著性的F檢驗(yàn)

即檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?/p>

Yi=0+1X1i+2X2i++kXki+ii=1,2,,n中的參數(shù)j是否顯著不為0。

可提出如下原假設(shè)與備擇假設(shè)：

H0：0=1=2==k=0H1：j不全為02023/2/21212023/2/2121

F檢驗(yàn)的思想來自于總離差平方和的分解式：

TSS=ESS+RSS

如果這個(gè)比值較大，則X的聯(lián)合體對(duì)Y的解釋程度高，可認(rèn)為總體存在線性關(guān)系，反之總體上可能不存在線性關(guān)系。

因此,可通過該比值的大小對(duì)總體線性關(guān)系進(jìn)行推斷。2023/2/21222023/2/2122

根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中的知識(shí)，在原假設(shè)H0成立的條件下，統(tǒng)計(jì)量

服從自由度為(k,n-k-1)的F分布

給定顯著性水平，可得到臨界值F(k,n-k-1)，由樣本求出統(tǒng)計(jì)量F的數(shù)值，通過

F

F(k,n-k-1)或FF(k,n-k-1)來拒絕或接受原假設(shè)H0，以判定原方程總體上的線性關(guān)系是否顯著成立。2023/2/21232023/2/2123例題2023/2/21242023/2/2124

2、關(guān)于擬合優(yōu)度檢驗(yàn)與方程顯著性檢驗(yàn)關(guān)系的討論

由可推出：與或2023/2/21252023/2/2125

五、變量的顯著性檢驗(yàn)（t檢驗(yàn)）

方程的總體線性關(guān)系顯著每個(gè)解釋變量對(duì)被解釋變量的影響都是顯著的

因此，必須對(duì)每個(gè)解釋變量進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，以決定是否作為解釋變量被保留在模型中。這一檢驗(yàn)是由對(duì)變量的t檢驗(yàn)完成的。2023/2/21262023/2/2126

1、t統(tǒng)計(jì)量

由于

以cii表示矩陣(X’X)-1

主對(duì)角線上的第i個(gè)元素，于是參數(shù)估計(jì)量的方差為：

其中2為隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差，在實(shí)際計(jì)算時(shí)，用它的估計(jì)量代替:

2023/2/21272023/2/2127因此，可構(gòu)造如下t統(tǒng)計(jì)量

2023/2/21282023/2/2128

2、t檢驗(yàn)

設(shè)計(jì)原假設(shè)與備擇假設(shè)：

H1：i0

給定顯著性水平，可得到臨界值t/2(n-k-1)，由樣本求出統(tǒng)計(jì)量t的數(shù)值，通過

|t|

t/2(n-k-1)或|t|t/2(n-k-1)來拒絕或接受原假設(shè)H0，從而判定對(duì)應(yīng)的解釋變量是否應(yīng)包括在模型中。

H0：i=0

（i=1,2…k）

2023/2/21292023/2/2129注意：一元線性回歸中，t檢驗(yàn)與F檢驗(yàn)一致

一方面，t檢驗(yàn)與F檢驗(yàn)都是對(duì)相同的原假設(shè)H0：1=0

進(jìn)行檢驗(yàn);

另一方面，兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量之間有如下關(guān)系：

2023/2/21302023/2/2130例題2023/2/21312023/2/2131

六、參數(shù)的置信區(qū)間

參數(shù)的置信區(qū)間用來考察：在