經(jīng)典計量經(jīng)濟學模型

2023/2/212023/2/21經(jīng)典計量經(jīng)濟學模型

.2023/2/222023/2/22第一節(jié)回歸分析概述一、變量間的關系及回歸分析的基本概念

二、總體回歸函數(shù)三、隨機擾動項四、樣本回歸函數(shù)（SRF）2023/2/232023/2/23

回歸分析概述

（1）確定性關系或函數(shù)關系：研究的是確定現(xiàn)象非隨機變量間的關系。（2）統(tǒng)計依賴或相關關系：研究的是非確定現(xiàn)象隨機變量間的關系。一、變量間的關系及回歸分析的基本概念

1、變量間的關系經(jīng)濟變量之間的關系，大體可分為兩類：2023/2/242023/2/24

由于變量間關系的隨機性，回歸分析關心的是根據(jù)解釋變量的已知或給定值，考察被解釋變量的總體均值，即當解釋變量取某個確定值時，與之統(tǒng)計相關的被解釋變量所有可能出現(xiàn)的對應值的平均值。

例1：一個假想的社區(qū)有100戶家庭組成，要研究該社區(qū)每月家庭消費支出Y與每月家庭可支配收入X的關系。即如果知道了家庭的月收入，能否預測該社區(qū)家庭的平均月消費支出水平。

二、總體回歸函數(shù)

為達到此目的，將該100戶家庭劃分為組內(nèi)收入差不多的10組，以分析每一收入組的家庭消費支出。2023/2/252023/2/252023/2/262023/2/26

（1）由于不確定因素的影響，對同一收入水平X，不同家庭的消費支出不完全相同；（2）但由于調(diào)查的完備性，給定收入水平X的消費支出Y的分布是確定的，即以X的給定值為條件的Y的條件分布（Conditionaldistribution）是已知的，如：P(Y=561|X=800）=1/4。因此，給定收入X的值Xi，可得消費支出Y的條件均值（conditionalmean）或條件期望（conditionalexpectation）：

E(Y|X=Xi)該例中：E(Y|X=800)=605分析：2023/2/27..2023/2/27收入水平800110014001700200023002600290032003500條件概率

1/4

1/61/111/131/131/141/131/10

1/9

1/6條件均值605825104512651485170519252145236525852023/2/282023/2/28

描出散點圖發(fā)現(xiàn)：隨著收入的增加，消費“平均地說”也在增加，且Y的條件均值均落在一根正斜率的直線上。這條直線稱為總體回歸線。05001000150020002500300035005001000150020002500300035004000每月可支配收入X（元）每月消費支出Y（元）

2023/2/292023/2/29概念：

在給定解釋變量Xi條件下被解釋變量Yi的期望軌跡稱為總體回歸線（populationregressionline），或更一般地稱為總體回歸曲線（populationregressioncurve）。稱為（雙變量）總體回歸函數(shù)（populationregressionfunction,PRF）。

相應的函數(shù)：2023/2/2102023/2/210

回歸函數(shù)（PRF）說明被解釋變量Y的平均狀態(tài)（總體條件期望）隨解釋變量X變化的規(guī)律。含義：

函數(shù)形式：可以是線性或非線性的。

例中，將居民消費支出看成是其可支配收入的線性函數(shù)時:為一線性函數(shù)。其中，0，1是未知參數(shù)，稱為回歸系數(shù)（regressioncoefficients）。2023/2/2112023/2/211

三、隨機擾動項

總體回歸函數(shù)說明在給定的收入水平Xi下，該社區(qū)家庭平均的消費支出水平。但對某一個別的家庭，其消費支出可能與該平均水平有偏差。稱i為觀察值Yi圍繞它的期望值E(Y|Xi)的離差（deviation），是一個不可觀測的隨機變量，又稱為隨機干擾項（stochasticdisturbance）或隨機誤差項（stochasticerror）。記2023/2/2122023/2/212例中，個別家庭的消費支出為：

（*）式稱為總體回歸函數(shù)（方程）PRF的隨機設定形式。表明被解釋變量除了受解釋變量的系統(tǒng)性影響外，還受其他因素的隨機性影響。

（1）該收入水平下所有家庭的平均消費支出E(Y|Xi)，稱為系統(tǒng)性（systematic）或確定性（deterministic)部分。（2）其他隨機或非確定性（nonsystematic)部分i。即，給定收入水平Xi,個別家庭的支出可表示為兩部分之和:(*)

由于方程中引入了隨機項，成為計量經(jīng)濟學模型，因此也稱為總體回歸模型。2023/2/2132023/2/213隨機誤差項主要包括下列因素的影響：1）在解釋變量中被忽略的因素的影響；2）變量觀測值的觀測誤差的影響；3）模型關系的設定誤差的影響；4）其它隨機因素的影響。產(chǎn)生并設計隨機誤差項的主要原因：1）理論的含糊性；2）數(shù)據(jù)的欠缺；3）節(jié)省原則。2023/2/2142023/2/214

四、樣本回歸函數(shù)（SRF）

問題：能從一次抽樣中獲得總體的近似的信息嗎？如果可以，如何從抽樣中獲得總體的近似信息？

問：能否從該樣本估計總體回歸函數(shù)PRF？回答：能

例2在例1的總體中有如下一個樣本，

總體的信息往往無法掌握，現(xiàn)實的情況只能是在一次觀測中得到總體的一個樣本。2023/2/2152023/2/215該樣本的散點圖（scatterdiagram)：

樣本散點圖近似于一條直線，畫一條直線以盡好地擬合該散點圖，由于樣本取自總體，可以該線近似地代表總體回歸線。該線稱為樣本回歸線（sampleregressionlines）。

記樣本回歸線的函數(shù)形式為：稱為樣本回歸函數(shù)（sampleregressionfunction，SRF）。

2023/2/2162023/2/216

這里將樣本回歸線看成總體回歸線的近似替代則

注意：2023/2/2172023/2/217

樣本回歸函數(shù)的隨機形式/樣本回歸模型：同樣地，樣本回歸函數(shù)也有如下的隨機形式：

由于方程中引入了隨機項，成為計量經(jīng)濟模型，因此也稱為樣本回歸模型（sampleregressionmodel）。2023/2/2182023/2/218

▼回歸分析的主要目的：根據(jù)樣本回歸函數(shù)SRF，估計總體回歸函數(shù)PRF。注意：這里PRF可能永遠無法知道。即，根據(jù)

估計2023/2/2192023/2/219第二節(jié)一元線性回歸模型的參數(shù)估計

一、一元線性回歸模型的基本假設二、參數(shù)的普通最小二乘估計（OLS）三、最小二乘估計量的性質(zhì)四、參數(shù)估計量的概率分布及隨機干擾項方差的估計

2023/2/2202023/2/220單方程計量經(jīng)濟學模型分為兩大類：線性模型和非線性模型線性模型中，變量之間的關系呈線性關系非線性模型中，變量之間的關系呈非線性關系

一元線性回歸模型：只有一個解釋變量

i=1,2,…,nY為被解釋變量，X為解釋變量，0與1為待估參數(shù)，為隨機干擾項2023/2/2212023/2/221

回歸分析的主要目的是要通過樣本回歸函數(shù)（模型）SRF盡可能準確地估計總體回歸函數(shù)（模型）PRF。

估計方法有多種，其種最廣泛使用的是普通最小二乘法（ordinaryleastsquares,OLS）。

為保證參數(shù)估計量具有良好的性質(zhì)，通常對模型提出若干基本假設。

注：實際這些假設與所采用的估計方法緊密相關。2023/2/2222023/2/222

一、線性回歸模型的基本假設

假設1、解釋變量X是確定性變量，不是隨機變量；假設2、隨機誤差項具有零均值、同方差和不序列相關性：

E(i)=0i=1,2,…,nVar(i)=2i=1,2,…,nCov(i,j)=0i≠ji,j=1,2,…,n

假設3、隨機誤差項與解釋變量X之間不相關：

Cov(Xi,i)=0i=1,2,…,n

假設4、服從零均值、同方差、零協(xié)方差的正態(tài)分布i~N(0,2)i=1,2,…,n2023/2/2232023/2/223

1、如果假設1、2滿足，則假設3也滿足;

2、如果假設4滿足，則假設2也滿足。

以上假設也稱為線性回歸模型的經(jīng)典假設或高斯（Gauss）假設，滿足該假設的線性回歸模型，也稱為經(jīng)典線性回歸模型（ClassicalLinearRegressionModel,CLRM）。

2023/2/2242023/2/224

另外，在進行模型回歸時，還有兩個暗含的假設：

假設5：隨著樣本容量的無限增加，解釋變量X的樣本方差趨于一有限常數(shù)。即

假設6：回歸模型是正確設定的

假設5旨在排除時間序列數(shù)據(jù)出現(xiàn)持續(xù)上升或下降的變量作為解釋變量，因為這類數(shù)據(jù)不僅使大樣本統(tǒng)計推斷變得無效，而且往往產(chǎn)生所謂的偽回歸問題（spuriousregressionproblem）。假設6也被稱為模型沒有設定偏誤（specificationerror）2023/2/2252023/2/225案例分析

某地個人儲蓄Y，個人可支配收入X。根據(jù)經(jīng)濟理論建立計量經(jīng)濟模型2023/2/2262023/2/226圖形檢驗

2023/2/2272023/2/227二、參數(shù)的普通最小二乘估計（OLS）

給定一組樣本觀測值（Xi,Yi）（i=1,2,…n）要求樣本回歸函數(shù)盡可能好地擬合這組值.

普通最小二乘法（Ordinaryleastsquares,OLS）給出的判斷標準是：二者之差的平方和最小。2023/2/2282023/2/229求平方和的極值2023/2/2302023/2/230方程組（*）稱為正規(guī)方程組（normalequations）。

2023/2/231可以寫成.2023/2/2312023/2/2322023/2/232

例2：在上述家庭可支配收入-消費支出例中，對于所抽出的一組樣本數(shù)，參數(shù)估計的計算可通過下面的表2.2.1進行。

2023/2/2332023/2/233因此，由該樣本估計的回歸方程為：

2023/2/234幾個常用的結(jié)果.2023/2/2342023/2/235....35(1)、估計殘差均值為零2023/2/22023/2/236..2023/2/236..36(2)、估計殘差與自變量不相關

（Residualsareunrelatedwithindependentvariable）2023/2/22023/2/237..37(3)、Y的真實值和擬合值有共同的均值2023/2/22023/2/2382023/2/238記上述參數(shù)估計量可以寫成：

稱為OLS估計量的離差形式（deviationform）。由于參數(shù)的估計結(jié)果是通過最小二乘法得到的，故稱為普通最小二乘估計量（ordinaryleastsquaresestimators）。

2023/2/2392023/2/239順便指出，記則有

可得

（**）式也稱為樣本回歸函數(shù)的離差形式。（**）注意：在計量經(jīng)濟學中，往往以小寫字母表示對均值的離差。

2023/2/2402023/2/240

三、最小二乘估計量的性質(zhì)

當模型參數(shù)估計出后，需考慮參數(shù)估計值的精度，即是否能代表總體參數(shù)的真值，或者說需考察參數(shù)估計量的統(tǒng)計性質(zhì)。

一個用于考察總體的估計量，可從如下幾個方面考察其優(yōu)劣性：

（1）線性性，即它是否是另一隨機變量的線性函數(shù)；

（2）無偏性，即它的均值或期望值是否等于總體的真實值；

（3）有效性，即它是否在所有線性無偏估計量中具有最小方差。2023/2/2412023/2/241（4）漸近無偏性，即樣本容量趨于無窮大時，是否它的均值序列趨于總體真值；（5）一致性，即樣本容量趨于無窮大時，它是否依概率收斂于總體的真值；（6）漸近有效性，即樣本容量趨于無窮大時，是否它在所有的一致估計量中具有最小的漸近方差。

這三個準則也稱作估計量的小樣本性質(zhì)。擁有這類性質(zhì)的估計量稱為最佳線性無偏估計量（bestlinerunbiasedestimator,BLUE）。

當不滿足小樣本性質(zhì)時，需進一步考察估計量的大樣本或漸近性質(zhì)：2023/2/2422023/2/242高斯—馬爾可夫定理(Gauss-Markovtheorem)

在給定經(jīng)典線性回歸的假定下，最小二乘估計量是具有最小方差的線性無偏估計量。2023/2/2432023/2/243證：易知故同樣地，容易得出

2023/2/2442023/2/2442023/2/2452023/2/24545（2）證明最小方差性2023/2/2462023/2/246462023/2/2472023/2/247

由于最小二乘估計量擁有一個“好”的估計量所應具備的小樣本特性，它自然也擁有大樣本特性。

2023/2/248總體2023/2/248

在給定解釋變量Xi條件下被解釋變量Yi的期望軌跡稱為總體回歸線（populationregressionline），或更一般地稱為總體回歸曲線（populationregressioncurve）。2023/2/249樣本.總體的信息往往無法掌握，現(xiàn)實的情況只能是在一次觀測中得到總體的一個樣本。記樣本回歸線的函數(shù)形式為：同樣地，樣本回歸函數(shù)也有如下的隨機形式：2023/2/2492023/2/250回歸分析的主要目的根據(jù)樣本回歸函數(shù)SRF，估計總體回歸函數(shù)PRF。根據(jù)：估計：2023/2/2502023/2/2512023/2/2512023/2/2512023/2/252估計假設條件：對隨機擾動項的五個假定估計方法：最小二乘法估計結(jié)果：參數(shù)具有線性性、無偏性、有效性2023/2/2522023/2/2532023/2/253

四、參數(shù)估計量的概率分布及隨機干擾項方差的估計

2023/2/2542023/2/2552023/2/2552023/2/2562023/2/2562、隨機誤差項的方差2的估計

由于隨機項i不可觀測，只能從i的估計——殘差ei出發(fā)，對總體方差進行估計。

2又稱為總體方差。

可以證明，2的最小二乘估計量為它是關于2的無偏估計量。

2023/2/2572023/2/2572023/2/2582023/2/2592023/2/2592023/2/2602023/2/260第三節(jié)一元線性回歸模型統(tǒng)計檢驗

一、擬合優(yōu)度檢驗

二、變量的顯著性檢驗

三、參數(shù)的置信區(qū)間

2023/2/2612023/2/261回歸分析是要通過樣本所估計的參數(shù)來代替總體的真實參數(shù)，或者說是用樣本回歸線代替總體回歸線。

盡管從統(tǒng)計性質(zhì)上已知，如果有足夠多的重復抽樣，參數(shù)的估計值的期望（均值）就等于其總體的參數(shù)真值，但在一次抽樣中，估計值不一定就等于該真值。那么，在一次抽樣中，參數(shù)的估計值與真值的差異有多大，是否顯著，這就需要進一步進行統(tǒng)計檢驗。主要包括擬合優(yōu)度檢驗、變量的顯著性檢驗及參數(shù)的區(qū)間估計。2023/2/2622023/2/262

一、擬合優(yōu)度檢驗

擬合優(yōu)度檢驗：對樣本回歸直線與樣本觀測值之間擬合程度的檢驗。

度量擬合優(yōu)度的指標：判定系數(shù)（可決系數(shù)）R2

問題：采用普通最小二乘估計方法，已經(jīng)保證了模型最好地擬合了樣本觀測值，為什么還要檢驗擬合程度？2023/2/2632023/2/263

1、總離差平方和的分解

已知由一組樣本觀測值（Xi,Yi），i=1,2…,n得到如下樣本回歸直線

2023/2/2642023/2/264

如果Yi=?i即實際觀測值落在樣本回歸“線”上，則擬合最好。可認為，“離差”全部來自回歸線，而與“殘差”無關。2023/2/2652023/2/265

對于所有樣本點，則需考慮這些點與樣本均值離差的平方和,可以證明：記總體平方和（TotalSumofSquares）回歸平方和（ExplainedSumofSquares）殘差平方和（ResidualSumofSquares）2023/2/266總體平方和（TotalSumofSquares）回歸平方和（RegressionSumofSquares）殘差平方和（ErrorSumofSquares）

對于所有樣本點，則需考慮這些點與樣本均值離差的平方和,可以證明：2023/2/2672023/2/267TSS=ESS+RSS

Y的觀測值圍繞其均值的總離差(totalvariation)可分解為兩部分：一部分來自回歸線(ESS)，另一部分則來自隨機勢力(RSS)。在給定樣本中，TSS不變，如果實際觀測點離樣本回歸線越近，則ESS在TSS中占的比重越大，因此

擬合優(yōu)度：回歸平方和ESS/Y的總離差TSS2023/2/2682023/2/2682、可決系數(shù)R2統(tǒng)計量

稱R2為（樣本）可決系數(shù)/判定系數(shù)（coefficientofdetermination)。

可決系數(shù)的取值范圍：[0，1]R2越接近1，說明實際觀測點離樣本線越近，擬合優(yōu)度越高。2023/2/2692023/2/2702023/2/2712023/2/271

在例2.1.1的收入-消費支出例中，

注：可決系數(shù)是一個非負的統(tǒng)計量。它也是隨著抽樣的不同而不同。為此，對可決系數(shù)的統(tǒng)計可靠性也應進行檢驗。

2023/2/2722023/2/272

二、變量的顯著性檢驗

回歸分析是要判斷解釋變量X是否是被解釋變量Y的一個顯著性的影響因素。在一元線性模型中，就是要判斷X是否對Y具有顯著的線性性影響。這就需要進行變量的顯著性檢驗。

變量的顯著性檢驗所應用的方法是數(shù)理統(tǒng)計學中的假設檢驗。計量經(jīng)濟學中，主要是針對變量的參數(shù)真值是否為零來進行顯著性檢驗的。

2023/2/2732023/2/273

1、假設檢驗

所謂假設檢驗，就是事先對總體參數(shù)或總體分布形式作出一個假設，然后利用樣本信息來判斷原假設是否合理，即判斷樣本信息與原假設是否有顯著差異，從而決定是否接受或否定原假設。假設檢驗采用的邏輯推理方法是反證法。先假定原假設正確，然后根據(jù)樣本信息，觀察由此假設而導致的結(jié)果是否合理，從而判斷是否接受原假設。判斷結(jié)果合理與否，是基于“小概率事件不易發(fā)生”這一原理的2023/2/274復習某商品標準規(guī)定重量u250克，標準差σ3克,重量服從正態(tài)分布。任意抽取100件，平均重量251克，規(guī)定顯著性水平α為0.05，問該批商品重量是否符合要求。1、提出假設：H0u≠250；H1

u=2502、統(tǒng)計量：

由X～N(250,9)

服從N(0,1)分布。2023/2/274：：：：：～2023/2/275復習3、確定顯著性水平α=0.054、統(tǒng)計量分布的臨界值5、觀察z是否小于下端或大于上端的臨界值，作出否定或接受原假設的判斷。2023/2/2752023/2/2762023/2/276

2、變量的顯著性檢驗

2023/2/2772023/2/277

檢驗步驟：

（1）對總體參數(shù)提出假設

H0：1=0，H1：10（2）以原假設H0構(gòu)造t統(tǒng)計量，并由樣本計算其值（3）給定顯著性水平，查t分布表，得臨界值t/2(n-2)(4)比較，判斷若|t|>t/2(n-2)，則拒絕H0

，接受H1

；若|t|

t/2(n-2)，則拒絕H1

，接受H0

；2023/2/2782023/2/278

對于一元線性回歸方程中的0，可構(gòu)造如下t統(tǒng)計量進行顯著性檢驗：

在上述收入-消費支出例中，首先計算2的估計值

2023/2/2792023/2/279t統(tǒng)計量的計算結(jié)果分別為：

給定顯著性水平=0.05，查t分布表得臨界值t0.05/2(8)=2.306|t1|>2.306，說明家庭可支配收入在95%的置信度下顯著，即是消費支出的主要解釋變量；

|t0|<2.306,表明在95%的置信度下，無法拒絕截距項為零的假設。

2023/2/2802023/2/280

假設檢驗可以通過一次抽樣的結(jié)果檢驗總體參數(shù)可能的假設值的范圍（如是否為零），但它并沒有指出在一次抽樣中樣本參數(shù)值到底離總體參數(shù)的真值有多“近”。要判斷樣本參數(shù)的估計值在多大程度上可以“近似”地替代總體參數(shù)的真值，往往需要通過構(gòu)造一個以樣本參數(shù)的估計值為中心的“區(qū)間”，來考察它以多大的可能性（概率）包含著真實的參數(shù)值。這種方法就是參數(shù)檢驗的置信區(qū)間估計。

三、參數(shù)的置信區(qū)間

2023/2/2812023/2/281

如果存在這樣一個區(qū)間，稱之為置信區(qū)間（confidenceinterval）；

1-稱為置信系數(shù)（置信度）（confidencecoefficient），

稱為顯著性水平（levelofsignificance）；置信區(qū)間的端點稱為置信限（confidencelimit）或臨界值（criticalvalues）。2023/2/2822023/2/282一元線性模型中，i(i=1，2）的置信區(qū)間:在變量的顯著性檢驗中已經(jīng)知道：

意味著，如果給定置信度（1-），從分布表中查得自由度為(n-2)的臨界值，那么t值處在(-t/2,t/2)的概率是(1-)。表示為：

即2023/2/2832023/2/283于是得到:(1-)的置信度下,i的置信區(qū)間是

在上述收入-消費支出例中，如果給定

=0.01，查表得：由于于是，1、0的置信區(qū)間分別為：（0.6345,0.9195)

（-433.32,226.98）

2023/2/2842023/2/284

由于置信區(qū)間一定程度地給出了樣本參數(shù)估計值與總體參數(shù)真值的“接近”程度，因此置信區(qū)間越小越好。

要縮小置信區(qū)間，需

（1）增大樣本容量n，因為在同樣的置信水平下，n越大，t分布表中的臨界值越小；同時，增大樣本容量，還可使樣本參數(shù)估計量的標準差減??；

（2）提高模型的擬合優(yōu)度，因為樣本參數(shù)估計量的標準差與殘差平方和呈正比，模型擬合優(yōu)度越高，殘差平方和應越小。2023/2/2852023/2/285

例、消費模型

例收入與消費支出的關系。GDP：

國內(nèi)生產(chǎn)總值（當年價）CS1：居民消費（當年價）cs=cs1/pInc=GDP(1-t)/p2023/2/2862023/2/286

該兩組數(shù)據(jù)是1978~2002年的時間序列數(shù)據(jù)（timeseriesdata）；

1、建立模型

擬建立如下一元回歸模型

采用Eviews軟件進行回歸分析的結(jié)果見下表

前述收入-消費支出例中的數(shù)據(jù)是截面數(shù)據(jù)（cross-sectionaldata）。2023/2/2872023/2/287一般可寫出如下回歸分析結(jié)果：

(3.56)(49.82)R2=0.9908F=2482.37DW=0.36932023/2/2882023/2/288

2、模型檢驗

R2=0.9908T值：α：3.56，β：49.82

臨界值:t0.05/2(25)=2.063、預測

點估計：Cs(2003)=414.88+0.5123737=12935.63（元）

2023/2/2882023/2/289第四節(jié)多元線性回歸模型

一、多元線性回歸模型

二、多元線性回歸模型的基本假定

2023/2/2892023/2/290例題：需求函數(shù)2023/2/2902023/2/2912023/2/291

一、多元線性回歸模型

多元線性回歸模型:表現(xiàn)在線性回歸模型中的解釋變量有多個。

一般表現(xiàn)形式：i=1,2…,n其中:k為解釋變量的數(shù)目，j稱為回歸參數(shù)（regressioncoefficient）。習慣上：把常數(shù)項看成為一虛變量的系數(shù)，該虛變量的樣本觀測值始終取1。這樣：模型中解釋變量的數(shù)目為（k+1）2023/2/2922023/2/292也被稱為總體回歸函數(shù)的隨機表達形式。它的非隨機表達式為:

方程表示：各變量X值固定時Y的平均響應。

j也被稱為偏回歸系數(shù)，表示在其他解釋變量保持不變的情況下，Xj每變化1個單位時，Y的均值E(Y)的變化;

或者說j給出了Xj的單位變化對Y均值的“直接”或“凈”（不含其他變量）影響。2023/2/2932023/2/293總體回歸模型n個隨機方程的矩陣表達式為

其中2023/2/2942023/2/294樣本回歸函數(shù)：用來估計總體回歸函數(shù)其隨機表示式:

ei稱為殘差或剩余項(residuals)，可看成是總體回歸函數(shù)中隨機擾動項i的近似替代。

樣本回歸函數(shù)的矩陣表達:或其中：2023/2/2952023/2/295二、多元線性回歸模型的基本假定

假設1，解釋變量是非隨機的或固定的，且各X之間互不相關（無多重共線性）。

假設2，隨機誤差項具有零均值、同方差及不序列相關性

假設3，解釋變量與隨機項不相關假設4，隨機項滿足正態(tài)分布

2023/2/2962023/2/296上述假設的矩陣符號表示式：

假設1，n(k+1)矩陣X是非隨機的，且X的秩=k+1，即X滿秩。假設2，假設3，E(X’)=0，即

2023/2/29705001000150020002500300035005001000150020002500300035004000每月可支配收入X（元）每月消費支出Y（元）2023/2/2982023/2/298假設4，向量

有一多維正態(tài)分布，即

同一元回歸一樣，多元回歸還具有如下兩個重要假設：假設5，樣本容量趨于無窮時，各解釋變量的方差趨于有界常數(shù)，即n∞時，或

其中：Q為一非奇異固定矩陣，矩陣x是由各解釋變量的離差為元素組成的nk階矩陣假設6，回歸模型的設定是正確的。

2023/2/2992023/2/299第五節(jié)多元線性回歸模型的估計和檢驗

估計方法：OLS2023/2/21002023/2/2100一、普通最小二乘估計對于隨機抽取的n組觀測值如果樣本函數(shù)的參數(shù)估計值已經(jīng)得到，則有：

i=1,2…n根據(jù)最小二乘原理，參數(shù)估計值應該是下列方程組的解

其中2023/2/21012023/2/2101于是得到關于待估參數(shù)估計值的正規(guī)方程組：

2023/2/21022023/2/2102正規(guī)方程組的矩陣形式即由于X’X滿秩，故有

2023/2/2103.將上述過程用矩陣表示如下：

2023/2/2104矩陣導數(shù).2023/2/2105使用的公式.2023/2/2106

.2023/2/2107根據(jù)矩陣求導法則可得：2023/2/21082023/2/21082023/2/21092023/2/21092023/2/21102023/2/2110隨機誤差項的方差的無偏估計

可以證明，隨機誤差項的方差的無偏估計量為

2023/2/21112023/2/2111

二

、參數(shù)估計量的性質(zhì)

在滿足基本假設的情況下，其結(jié)構(gòu)參數(shù)的普通最小二乘估計、最大或然估計及矩估計仍具有：

線性性、無偏性、有效性。

同時，隨著樣本容量增加，參數(shù)估計量具有：

漸近無偏性、漸近有效性、一致性。

1、線性性

其中,C=(X’X)-1X’為一僅與固定的X有關的行向量

2023/2/21122023/2/2112

2、無偏性

這里利用了假設:E(X’)=0

3、有效性（最小方差性）

2023/2/21132023/2/2113其中利用了

和2023/2/21142023/2/2114三、

可決系數(shù).2023/2/21152023/2/2115.

1、可決系數(shù)與調(diào)整的可決系數(shù)則

總離差平方和的分解2023/2/21162023/2/2116由于

=0所以有：

2023/2/21172023/2/2117

可決系數(shù)該統(tǒng)計量越接近于1，模型的擬合優(yōu)度越高。

問題：在應用過程中發(fā)現(xiàn)，如果在模型中增加一個解釋變量，R2往往增大

這就給人一個錯覺：要使得模型擬合得好，只要增加解釋變量即可。

但是，現(xiàn)實情況往往是，由增加解釋變量個數(shù)引起的R2的增大與擬合好壞無關，R2需調(diào)整。2023/2/21182023/2/2118

調(diào)整的可決系數(shù)（adjustedcoefficientofdetermination）

在樣本容量一定的情況下，增加解釋變量必定使得自由度減少，所以調(diào)整的思路是:將殘差平方和與總離差平方和分別除以各自的自由度，以剔除變量個數(shù)對擬合優(yōu)度的影響:其中：n-k-1為殘差平方和的自由度，n-1為總體平方和的自由度。2023/2/21192023/2/21192023/2/21202023/2/2120

四、方程的顯著性檢驗(F檢驗)

方程的顯著性檢驗，旨在對模型中被解釋變量與解釋變量之間的線性關系在總體上是否顯著成立作出推斷。

1、方程顯著性的F檢驗

即檢驗模型

Yi=0+1X1i+2X2i++kXki+ii=1,2,,n中的參數(shù)j是否顯著不為0。

可提出如下原假設與備擇假設：

H0：0=1=2==k=0H1：j不全為02023/2/21212023/2/2121

F檢驗的思想來自于總離差平方和的分解式：

TSS=ESS+RSS

如果這個比值較大，則X的聯(lián)合體對Y的解釋程度高，可認為總體存在線性關系，反之總體上可能不存在線性關系。

因此,可通過該比值的大小對總體線性關系進行推斷。2023/2/21222023/2/2122

根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計學中的知識，在原假設H0成立的條件下，統(tǒng)計量

服從自由度為(k,n-k-1)的F分布

給定顯著性水平，可得到臨界值F(k,n-k-1)，由樣本求出統(tǒng)計量F的數(shù)值，通過

F

F(k,n-k-1)或FF(k,n-k-1)來拒絕或接受原假設H0，以判定原方程總體上的線性關系是否顯著成立。2023/2/21232023/2/2123例題2023/2/21242023/2/2124

2、關于擬合優(yōu)度檢驗與方程顯著性檢驗關系的討論

由可推出：與或2023/2/21252023/2/2125

五、變量的顯著性檢驗（t檢驗）

方程的總體線性關系顯著每個解釋變量對被解釋變量的影響都是顯著的

因此，必須對每個解釋變量進行顯著性檢驗，以決定是否作為解釋變量被保留在模型中。這一檢驗是由對變量的t檢驗完成的。2023/2/21262023/2/2126

1、t統(tǒng)計量

由于

以cii表示矩陣(X’X)-1

主對角線上的第i個元素，于是參數(shù)估計量的方差為：

其中2為隨機誤差項的方差，在實際計算時，用它的估計量代替:

2023/2/21272023/2/2127因此，可構(gòu)造如下t統(tǒng)計量

2023/2/21282023/2/2128

2、t檢驗

設計原假設與備擇假設：

H1：i0

給定顯著性水平，可得到臨界值t/2(n-k-1)，由樣本求出統(tǒng)計量t的數(shù)值，通過

|t|

t/2(n-k-1)或|t|t/2(n-k-1)來拒絕或接受原假設H0，從而判定對應的解釋變量是否應包括在模型中。

H0：i=0

（i=1,2…k）

2023/2/21292023/2/2129注意：一元線性回歸中，t檢驗與F檢驗一致

一方面，t檢驗與F檢驗都是對相同的原假設H0：1=0

進行檢驗;

另一方面，兩個統(tǒng)計量之間有如下關系：

2023/2/21302023/2/2130例題2023/2/21312023/2/2131

六、參數(shù)的置信區(qū)間

參數(shù)的置信區(qū)間用來考察：在