結(jié)構(gòu)力學(xué)第十章總結(jié)

總結(jié)

矩陣位移法與位移法在理論上并無(wú)區(qū)別，只是在表達(dá)方式上有所不同。(1)矩陣位移法的理論基礎(chǔ)與一般位移法完全相同，只是表達(dá)方式不同。用矩陣形式表示具有更強(qiáng)的概括性。

(2)總剛度矩陣是由各單元?jiǎng)偠染仃囇b配成的，只要找出了裝配的規(guī)律，總剛度矩陣不必計(jì)算而可直接由單元?jiǎng)偠染仃囇b配而成。(3)矩陣位移法與一般位移法解題步驟的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以由下表表示：總結(jié)一、基本概念

結(jié)構(gòu)矩陣分析是采用矩陣方法分析結(jié)構(gòu)力學(xué)問(wèn)題的一種方法。與傳統(tǒng)的力法、位移法相對(duì)應(yīng)，在結(jié)構(gòu)矩陣分析中也有矩陣力法和矩陣位移法，或柔度法與剛度法。矩陣位移法易于實(shí)現(xiàn)計(jì)算過(guò)程程序化而被廣泛應(yīng)用。

矩陣位移法是結(jié)構(gòu)力學(xué)中的位移法加上矩陣方法。矩陣位移法的基本未知量也是結(jié)點(diǎn)位移——獨(dú)立的線位移和轉(zhuǎn)角。但由于有時(shí)考慮桿件的軸向變形，且把桿件鉸結(jié)端的轉(zhuǎn)角也作為基本未知量，因此，基本未知量數(shù)目比傳統(tǒng)位移法的基本未知量多一些?？偨Y(jié)

矩陣位移法的基本思路是:(1)先把結(jié)構(gòu)離散成單元，進(jìn)行單元分析,建立單元桿端力與桿端位移之間的關(guān)系；

(2)在單元分析的基礎(chǔ)上，考慮結(jié)構(gòu)的幾何條件和平衡條件，將這些離散單元組合成原來(lái)的結(jié)構(gòu)，進(jìn)行整體分析，建立結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系，即結(jié)構(gòu)的總剛度方程，進(jìn)而求解結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移和單元桿端力。

在從單元分析到整體分析的計(jì)算過(guò)程中，全部采用矩陣運(yùn)算。總結(jié)

集成總剛度矩陣最常用的方法是直接剛度法，即由單元?jiǎng)偠染仃囍苯蛹山Y(jié)構(gòu)剛度矩陣，又可分為后處理法和先處理法。1.后處理法

(1)集成。對(duì)所有單元不做邊界條件處理，均采用自由式的單元?jiǎng)偠染仃嚕磫卧慕Y(jié)點(diǎn)編號(hào)將單元?jiǎng)偠染仃嚪譃樗膫€(gè)子塊（階數(shù)相同），逐塊地將結(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的子塊在結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣中對(duì)號(hào)入座，形成結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣。由于結(jié)點(diǎn)位移分量中包括了非自由結(jié)點(diǎn)的已知位移，原始剛度矩陣為奇異的，需進(jìn)行邊界條件處理，才能求解自由結(jié)點(diǎn)位移。由于原始剛度矩陣的階數(shù)較高，所以后處理法的主要缺點(diǎn)是占用較多的計(jì)算機(jī)內(nèi)存。二、總剛度矩陣的集成及約束處理總結(jié)對(duì)于每個(gè)結(jié)點(diǎn)位移分量數(shù)相同的結(jié)構(gòu)，原始剛度矩陣的階數(shù)為結(jié)構(gòu)的總結(jié)點(diǎn)數(shù)乘以結(jié)點(diǎn)位移分量的數(shù)目，例如，每個(gè)結(jié)點(diǎn)位移分量數(shù)為3的平面剛架，結(jié)構(gòu)原始剛度矩陣的階數(shù)為3n×3n

?？偨Y(jié)

對(duì)于剛性支座，用劃行劃列法處理剛性支座，即直接劃去原始剛度方程中與零位移對(duì)應(yīng)的行和列。這樣做有時(shí)要改變?cè)匠痰呐帕许樞?會(huì)給編程帶來(lái)麻煩。為了不改變?cè)匠痰呐帕许樞?，同時(shí)又要引入邊界條件,采用“主一副零”法。（2）邊界條件處理

設(shè)結(jié)點(diǎn)位移向量中第r個(gè)位移等于零,即r=0

，則在結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣k中的第r行第r列中主對(duì)角元素krr改為1其余元素改為零。同時(shí)將結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)荷載列向量P中的第r個(gè)分量也改為零。即總結(jié)對(duì)于支座位移等于給定值時(shí)，采用“乘大數(shù)法”。設(shè)結(jié)點(diǎn)位移向量中第r個(gè)位移等于d0，在矩陣K與向量P中，主對(duì)角元素krr

改為Gkrr，將Pr改為d0Gkrr，其中G為一大數(shù)通常取108～1010

。，總結(jié)

單元定位向量：按單元連接結(jié)點(diǎn)編號(hào)順序由結(jié)點(diǎn)未知位移編號(hào)組成的向量。2.先處理法

(1)

集成。將單元?jiǎng)偠染仃囅劝催吔鐥l件進(jìn)行處理,然后按照單元連接結(jié)點(diǎn)的總位移編號(hào)將單元?jiǎng)偠染仃嚨脑卦诮Y(jié)構(gòu)的剛度矩陣中對(duì)號(hào)入座，形成總剛后即可進(jìn)行求解。上述過(guò)程可通過(guò)引入定位向量來(lái)實(shí)現(xiàn)。在單元定位向量中考慮邊界條件，凡給定的結(jié)點(diǎn)位移分量，其位移總碼均編為零，與總碼編為零相應(yīng)的行、列元素在集成總剛時(shí)被屏棄在外?？偨Y(jié)

（2）邊界條件處理。對(duì)于剛性支座，其位移總碼均編為零。對(duì)于支座位移等于給定值時(shí)，通常也將其位移總碼均編為零，將支座結(jié)點(diǎn)位移的影響轉(zhuǎn)換成單元非結(jié)點(diǎn)荷載,即，將支座結(jié)點(diǎn)位移轉(zhuǎn)換成與該支座結(jié)點(diǎn)位移連接的各單元在單元坐標(biāo)系中的桿端位移，求出由此給定的桿端位移產(chǎn)生的單元固端力，然后轉(zhuǎn)換成等效結(jié)點(diǎn)荷載。

通常用主對(duì)角元素疊加法處理彈性支座。如果結(jié)構(gòu)的第j個(gè)自由度是彈性約束，那么，把彈性支座的剛度系數(shù)疊加到原始剛度矩陣主對(duì)角線的第j個(gè)元素上即可得到經(jīng)約束處理后的總剛度方程。3.彈性支座的處理

總結(jié)

總剛度方程為整體結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)荷載與結(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系式，是結(jié)構(gòu)應(yīng)滿足的平衡條件。無(wú)論何種結(jié)構(gòu)，其總剛度方程都具有統(tǒng)一的形式:4.

總剛度方程和總剛度矩陣的性質(zhì)與特點(diǎn)K=P

式中K為總剛度矩陣，為結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移列向量，P為結(jié)點(diǎn)力列向量。

總剛度矩陣K反應(yīng)了整個(gè)結(jié)構(gòu)的剛度，是描述結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移之間關(guān)系的系數(shù)矩陣。其矩陣的性質(zhì)與特點(diǎn)：總結(jié)

(1)元素kij的物理意義為：當(dāng)△j=1而其他位移分量為零時(shí)產(chǎn)生在△i方向的桿端力。

（2）主子塊Kii是由結(jié)點(diǎn)i的相關(guān)單元中與結(jié)點(diǎn)i相應(yīng)的主子塊疊加而得。

（3）當(dāng)i、j為相關(guān)結(jié)點(diǎn)時(shí)，副子塊Kij就等于連接ij的桿單元中相應(yīng)的子塊；若i、j不相關(guān)，則Kij為零子塊。（4）總剛度矩陣為對(duì)稱矩陣。

（5）總剛度矩陣為稀疏帶狀矩陣。愈是大型結(jié)構(gòu)，帶狀分布規(guī)律就愈明顯。

（6）總剛度矩陣主對(duì)角元素都大于零。通常是主對(duì)角元素占優(yōu)勢(shì)的矩陣，因此，線形方程組的解有較好的穩(wěn)定性?？偨Y(jié)5.

總剛度矩陣的最大半帶寬

總剛度矩陣的上三角部分，從某行的主對(duì)角元素到該行最末一個(gè)非零元素所具有的元素的個(gè)數(shù)稱為該行的半帶寬。各行半帶寬的最大值稱為總剛度矩陣的最大半帶寬。對(duì)應(yīng)于后處理法，結(jié)構(gòu)內(nèi)部不存在組合結(jié)點(diǎn)時(shí)最大半帶寬的計(jì)算公式為:d=(b+1)c，其中b為單元兩端結(jié)點(diǎn)編碼的最大差;c為結(jié)構(gòu)中一個(gè)結(jié)點(diǎn)的位移分量數(shù)，顯然，最大半帶寬與結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)編碼的順序有關(guān)。通常應(yīng)使相鄰結(jié)點(diǎn)編碼的最大差值為最小，即d值為最小。總結(jié)

例如圖示剛架，按圖a編碼，d=3×(9+1)=30，而按b圖編碼，d=3×(3+1)=12

。總結(jié)

如果結(jié)構(gòu)內(nèi)部存在組合結(jié)點(diǎn)，并采用先處理法，則不能用上述公式計(jì)算總剛度矩陣的最大半帶寬，而應(yīng)按照單元編，利用單元定位向量求出總剛度矩陣的最大半帶寬。設(shè)用MAX表示單元(e)定位向量中的最大分量，MIN表示單元(e)定位向量中的最小分量，則de=MAX-MIN+1總剛度矩陣的最大半帶寬為：d=MAX(d1d2…dn)總結(jié)

（1）初學(xué)者易把單元的固端力與傳統(tǒng)位移法中載常數(shù)混淆，造成求等效荷載時(shí)出錯(cuò)。單元的固端力是在固定單元的桿端其不能有任何位移時(shí)荷載作用下的桿端力（即固端力）。二、需要注意的幾個(gè)問(wèn)題

（2）在考慮軸向變形的單元?jiǎng)偠染仃囍刑蕹鼸A項(xiàng)，即得忽略軸向變形的單元?jiǎng)偠染仃嚒?/p>

（3）為適應(yīng)計(jì)算機(jī)計(jì)算、節(jié)省內(nèi)存和機(jī)時(shí)，在對(duì)結(jié)點(diǎn)編號(hào)時(shí)應(yīng)力求使相關(guān)結(jié)點(diǎn)的最大差值為最小，以減小總剛度矩陣的帶寬。

例如，對(duì)于梁式桿，不論連接該桿的結(jié)點(diǎn)是鉸結(jié)點(diǎn)、定向結(jié)點(diǎn)，均按兩端固定梁計(jì)算固端力?？偨Y(jié)

例：圖示梁用矩陣位移法求解時(shí)的基本未知量數(shù)目為多少？解：基本未知量數(shù)目為2，即A點(diǎn)的豎向位移和轉(zhuǎn)角。三、例題總結(jié)例：圖示結(jié)構(gòu)中單元①的定位向量為——。C.（001324）T

B.（234001）T

D.（324001）T

A.（001234）T

解：答案為B。

總結(jié)例：圖示結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣K中元素k22等于（）

D.16EI/l

A.28EI/3l

B.12EI/l

C.20EI/3l

解：答案選A?？偨Y(jié)

例：矩陣位移法中，結(jié)構(gòu)的原始剛度方程是表示下列兩組量值之間的相互關(guān)系：（）A．桿端力與結(jié)點(diǎn)位移B．桿端力與結(jié)點(diǎn)力

C．結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移D．結(jié)點(diǎn)位移與桿端力

解：答案選C。

例：平面桿件結(jié)構(gòu)用后處理法建立的原始剛度方程組,（）A．可求得全部結(jié)點(diǎn)位移B．可求得可動(dòng)結(jié)點(diǎn)的位移C．可求得支座結(jié)點(diǎn)位移D．無(wú)法求得結(jié)點(diǎn)位移解：答案選D?？偨Y(jié)

例：圖示結(jié)構(gòu)若考慮軸向變形，在未引入支撐條件時(shí)，其整體剛度矩陣K是____階方陣。

解：答案為21×21?？偨Y(jié)

例：圖示結(jié)構(gòu)若只考慮彎曲變形，括號(hào)中的數(shù)字為結(jié)點(diǎn)位移分量編碼，則其整體剛度矩陣中元素k11等于（）.A.

B.

C.

D.

解：答案選D。

提示：在不考率軸向變形時(shí)，結(jié)點(diǎn)2和結(jié)點(diǎn)3只有水平位移和轉(zhuǎn)角，桿件12對(duì)k11的貢獻(xiàn)為12×（2EI）／l3，桿件34對(duì)k11的貢獻(xiàn)為12×EI／（l／2）3?？偨Y(jié)

例：用矩陣位移法計(jì)算圖a所示連續(xù)梁,并畫(huà)M圖，EI=常數(shù)。q=12kN/m,l=6m。

解：

(1)建立坐標(biāo)系、對(duì)單元和結(jié)點(diǎn)編號(hào)如圖b，單元?jiǎng)偠染仃?/p>

單元定位向量λ①=（01）T，λ②=（12）T，λ③=（20）T(2)將各單元?jiǎng)偠染仃囍械脑匕磫卧ㄎ幌蛄吭贙中對(duì)號(hào)入座，得整體剛度矩陣

總結(jié)(3)連續(xù)梁的等效結(jié)點(diǎn)荷載

(4)將整體剛度矩陣K和等效結(jié)點(diǎn)荷載P代入基本方程得

(5)解方程得

(6)求桿端力并繪制彎矩圖如圖所示c。M圖（kN·m）總結(jié)四、思考題1.單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x及其性質(zhì)與特點(diǎn)各是什么？2.單元定位向量是由什么組成？他的用處是什么？3.剛架中有鉸結(jié)點(diǎn)時(shí)應(yīng)該怎樣處理？總結(jié)

一、判斷題

1.在矩陣位移法中整體分析的實(shí)質(zhì)是結(jié)點(diǎn)平衡。()2.單元?jiǎng)偠染仃囀菃卧逃械奶匦裕c坐標(biāo)選取無(wú)關(guān)。(

)3.矩陣位移法中，結(jié)構(gòu)等效節(jié)點(diǎn)荷載作用下的內(nèi)力與結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力相同。（

）

4.結(jié)構(gòu)剛度矩陣是對(duì)稱矩陣，即有kij=kji

，這可由位移互等定理得到證明。()

5.設(shè)整體坐標(biāo)下單元?jiǎng)偠染仃嚍?/p>

ke，桿端力列陣為Fe,桿端位移列陣為⊿e，桿件固端力列陣為F0e，則有

Fe

=ke⊿e+F0e()√√√應(yīng)該是反力互等定理?！翍?yīng)該是位移相同?！磷詼y(cè)題二、選擇填空1.平面桿件結(jié)構(gòu)用后處理法建立的原始剛度方程組。（）

A．可求得全部結(jié)點(diǎn)位移

B．可求得可動(dòng)結(jié)點(diǎn)的移

C．可求得支座結(jié)點(diǎn)位移

D．無(wú)法求得結(jié)點(diǎn)位移2.單元?jiǎng)偠确匠趟硎镜氖莀______兩組物理量之間的關(guān)系。

A.桿端位移與結(jié)點(diǎn)位移B.桿端力與結(jié)點(diǎn)荷載

C.結(jié)點(diǎn)荷載與結(jié)點(diǎn)位移C.桿端力與桿端位移

DD自測(cè)題1.單元i,j在圖示兩種坐標(biāo)系中的剛度矩陣：（）(3分)（大連理工1995年）

A.完全相同B.第2，5行（列）等值異號(hào)