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第四章頻率特性分析在頻率域內(nèi)研究控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)與系統(tǒng)性能的關(guān)系。頻率特性分析就是以頻率ω作為獨立變量,以諧波信號作為基本輸入信號來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、準確性和快速性。研究的方法是通過系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性,用圖解的方法間接地分析閉環(huán)系統(tǒng)的性能。頻率特性分析的特點頻率特性具有明確的物理意義,它可以用實驗的方法來確定,這對于難以列寫微分方程式的元部件或系統(tǒng)來說,具有重要的實際意義。由于頻率響應(yīng)法主要通過開環(huán)頻率特性的圖形對系統(tǒng)進行分析,因而具有形象直觀和計算量少的特點。頻率響應(yīng)法不僅適用于線性定常系統(tǒng),而且還適用于傳遞函數(shù)不是有理數(shù)的純滯后系統(tǒng)和部分非線性系統(tǒng)的分析。本章內(nèi)容§4-1頻率特性概述§4-2頻率特性的圖示方法§4-3閉環(huán)頻率特性§4-4頻率特性的特征量§4-5最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)§4-1頻率特性概述頻率響應(yīng):線性定常系統(tǒng)對諧波輸入信號的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。頻率響應(yīng)的幅值Xo(ω)與輸入諧波信號的幅值Xi之比隨輸入信號的頻率ω的變化而改變;頻率響應(yīng)與輸入諧波信號之間存在相位差(ω),其相位差(ω)隨輸入信號的頻率ω的變化而改變。即輸出信號與輸入信號的幅值比和相位差都是頻率ω的非線性函數(shù)。頻率響應(yīng)演示頻率響應(yīng)示例頻率響應(yīng)推導線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可表示為:頻率響應(yīng)因為G(jω)是一個復(fù)數(shù),設(shè)其幅值|G(jω)|=A(ω)
相角∠G(jω)=∠(ω)則線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出是和輸入具有相同頻率的諧波信號頻率特性線性定常系統(tǒng)在諧波輸入信號作用下的頻率響應(yīng)與輸入信號頻率的關(guān)系稱為頻率特性,它包括幅頻特性和相頻特性。系統(tǒng)的頻率響應(yīng)幅值與諧波輸入信號幅值之比隨輸入信號頻率變化的關(guān)系稱為幅頻特性,即系統(tǒng)的頻率響應(yīng)相位與諧波輸入信號相位之差(ω)隨輸入信號頻率變化的關(guān)系稱為相頻特性。頻率特性記作A(ω)·∠(ω)頻率特性的求法根據(jù)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)來求取;將系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(s)中的s換為jω來求??;用試驗方法求取。根據(jù)定義,G(jω)就是系統(tǒng)的頻率特性。頻率特性的求法由于頻率特性G(jω)是一個復(fù)變函數(shù),故可以在復(fù)平面上將其分解為實部和虛部,即即幅頻特性和相頻特性分別是G(jω)的模和相角。實頻特性虛頻特性幅頻特性相頻特性以R-C電路為例,說明頻率特性的物理意義。如右圖所示電路的傳遞函數(shù)為:設(shè)輸入電壓式中T=RCG(jω)稱為電路的頻率特性。它由該電路的結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定,與輸入信號的幅值與相位無關(guān)。表示在穩(wěn)態(tài)時,電路的輸出與輸入的幅值之比。表示在穩(wěn)態(tài)時,輸出信號與輸入信號的相位差。和都是輸入信號頻率ω的函數(shù),它們被稱為電路的幅頻特性和相頻特性。R-C電路的幅頻特性當輸入信號的頻率ω逐漸增大時,電路的輸出與輸入的幅值之比。R-C電路的相頻特性當輸入信號的頻率ω逐漸增大時,電路的輸出與輸入的相位之差。數(shù)學模型之間的關(guān)系系統(tǒng)微分方程傳遞函數(shù)頻率特性ddtsddtjωsjω頻率特性的特點和作用對頻率特性的分析就是對單位脈沖響應(yīng)函數(shù)的頻譜分析。在某一特定頻率下,系統(tǒng)的頻率響應(yīng)和諧波輸入信號之間的幅值比和相位差并不能完全說明系統(tǒng)的性能,只有在頻率從0變到∞過程中,幅值比和相位差的全體才能完全地反映出系統(tǒng)的性能,才是系統(tǒng)的頻率特性。即頻率特性分析是通過分析不同頻率的諧波輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),以獲得系統(tǒng)的動態(tài)特性。
在研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及參數(shù)的變化對系統(tǒng)性能的影響時,頻域分析往往比時域分析要容易。高階系統(tǒng)用頻域分析比較方便。G(jω)是ω的復(fù)變函數(shù),故可以在復(fù)平面上用復(fù)矢量表示。對于給定的ω,矢量的長度為其幅值A(chǔ)(ω),與正實軸的夾角為其相角(ω)。§4-2頻率特性的圖示方法——極坐標圖相角(ω)的符號規(guī)定為從正實軸開始,逆時針方向旋轉(zhuǎn)為正,順時針方向旋轉(zhuǎn)為負。該矢量在實軸和虛軸上的投影分別為其實部和虛部。當頻率ω從0變化到∞時,矢量G(jω)的幅值和相位也隨之作相應(yīng)的變化,其端點在復(fù)平面上移動的軌跡就是系統(tǒng)頻率特性的極坐標圖又稱Nyquist圖,也稱幅相頻率特性圖。典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖(一)比例環(huán)節(jié)Kω=0~∞ImRe0典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖(二)積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的極坐標圖是負虛軸。典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖(三)微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)的極坐標圖是正虛軸。典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖(四)慣性環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖(五)一階微分環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖(六)振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)的極坐標圖高頻部分與負實軸相切。極坐標圖的精確形狀與阻尼比有關(guān),但對于欠阻尼和過阻尼的情況,極坐標圖的形狀大致相同。振蕩環(huán)節(jié)的極坐標圖振蕩環(huán)節(jié)的極坐標圖振蕩環(huán)節(jié)的極坐標圖振蕩環(huán)節(jié)的極坐標圖振蕩環(huán)節(jié)的極坐標圖典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖(七)延時環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖(八)二階微分環(huán)節(jié)例題:考慮下列二階傳遞函數(shù):試畫出這個傳遞函數(shù)的極坐標圖。解:極坐標圖的低頻部分為:極坐標圖的高頻部分為:Nyquist圖的一般形狀控制系統(tǒng)總是由若干個環(huán)節(jié)組成,其開環(huán)傳遞函數(shù)可表示為:則其開環(huán)頻率特性可表示為:系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的幅值等于各環(huán)節(jié)頻率特性幅值的乘積,相位為各環(huán)節(jié)在該頻率下的相位之和。Nyquist圖的繪制方法分別求出起點(ω=0)和終點(ω=∞)的值并標在極坐標上,補充必要的幾點,根據(jù)A(ω)、(ω)的變化趨勢,畫出Nyquist曲線的大致形狀。系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可寫成:因此,系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性還可以寫成:當ν=0,1,2,···
時,系統(tǒng)稱為0型、Ⅰ型、Ⅱ型系統(tǒng)。0型系統(tǒng)Nyquist圖的一般形狀曲線的起點(ω=0)是正實軸上的一個有限值K,終點(ω=∞)為原點,相位是(m-n)×90°。隨著ω→∞,曲線按順時針方向越過n-m個象限后與坐標軸相切而趨于原點。Ⅰ型系統(tǒng)Nyquist圖的一般形狀ω=0時,A(ω)=∞,(ω)=-90°,在低頻段曲線漸近于與負虛軸平行的直線。當ω→∞,曲線按順時針方向越過n-m-1個象限后與坐標軸相切而趨于原點。Ⅱ型系統(tǒng)Nyquist圖的一般形狀ω=0時,A(ω)=∞,(ω)=-180°,在低頻段曲線漸近于與負實軸平行的直線。當ω→∞,曲線按順時針方向越過n-m-2個象限后與坐標軸相切而趨于原點。Nyquist圖的共同特性低頻段幅值很大,隨著頻率的升高,幅值逐漸變小,當ω→∞時,幅值A(chǔ)(ω)→0。當GK(s)包含有振蕩環(huán)節(jié)時,不改變上述特點。當GK(s)包含有導前環(huán)節(jié)時,由于相位非單調(diào)下降,則曲線將發(fā)生“彎曲”。頻率特性的對數(shù)坐標圖將頻率特性表示在對數(shù)坐標中,由對數(shù)幅頻特性圖和對數(shù)相頻特性圖組成,稱為頻率特性的對數(shù)坐標圖或Bode圖。對數(shù)幅頻特性圖的縱坐標(線性分度)表示頻率特性G(jω)的對數(shù)幅值,單位為分貝(dB);橫坐標(對數(shù)分度)表示頻率ω的對數(shù),單位是弧度/秒(rad/s)。橫坐標按lgω來刻度,所以是不均勻刻度,但仍標以ω的值。對數(shù)相頻特性圖的縱坐標(線性分度)表示頻率特性G(jω)的相位,單位為度;橫坐標與上述相同。數(shù)值與分貝轉(zhuǎn)換直線典型環(huán)節(jié)的Bode圖(一)比例環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié)的Bode圖(二)積分環(huán)節(jié)1/(jω)ν的對數(shù)頻率特性曲線-20dB/dec-40dB/dec-60dB/dec這些幅頻特性曲線都通過點典型環(huán)節(jié)的Bode圖(三)微分環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié)的Bode圖(四)慣性環(huán)節(jié)低頻時的對數(shù)幅值曲線是一條0分貝的直線在低頻時,即在高頻時,即高頻時的對數(shù)幅頻特性曲線是一條斜率為-20dB/dec的直線慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性(精確曲線與漸近線)漸近線
漸近線
精確曲線
精確曲線
以漸近線表示時引起的對數(shù)幅值誤差典型環(huán)節(jié)的Bode圖(五)一階微分環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié)的Bode圖(六)振蕩環(huán)節(jié)低頻時的對數(shù)幅值曲線是一條0分貝的直線在低頻時,即在高頻時,即高頻時的對數(shù)幅頻特性曲線是一條斜率為-40dB/dec的直線幅頻特性與ξ關(guān)系幅頻特性與ξ關(guān)系幅頻特性與ξ關(guān)系幅頻特性與ξ關(guān)系幅頻特性與ξ關(guān)系幅頻特性與ξ關(guān)系相頻特性與ξ關(guān)系相頻特性與ξ關(guān)系相頻特性與ξ關(guān)系相頻特性與ξ關(guān)系相頻特性與ξ關(guān)系相頻特性與ξ關(guān)系幅值誤差與ξ關(guān)系幅值誤差與ξ關(guān)系幅值誤差與ξ關(guān)系幅值誤差與ξ關(guān)系幅值誤差與ξ關(guān)系幅值誤差與ξ關(guān)系諧振頻率ωr與諧振峰值Mr當ξ>0.707時,幅值曲線不可能有峰值出現(xiàn),即不會有諧振。諧振峰值Mr與阻尼比ξ的關(guān)系曲線典型環(huán)節(jié)的Bode圖(七)二階微分環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié)的Bode圖(八)延時環(huán)節(jié)對數(shù)坐標圖(Bode圖)綜述互為鏡像對稱
對數(shù)幅頻特性圖
對數(shù)相頻特性圖積分環(huán)節(jié)過點(1,0),斜率為-20db/dec的直線-90°水平線微分環(huán)節(jié)過點(1,0),斜率為20db/dec的直線90°水平線
低頻漸近線高頻漸近線直線斜率慣性環(huán)節(jié)0db水平線始于點(1/T,0)-20db/dec0~-90°隨ω減小一階微分環(huán)節(jié)同上20db/dec0~90°隨ω增大對稱于(1/T,45°)
低頻漸近線高頻漸近線直線斜率振蕩環(huán)節(jié)0db水平線始于點(1/T,0)-40db/dec0~-180°隨ω減小二階微分環(huán)節(jié)同上40db/dec0~180°隨ω增大對稱于(1/T,90°)Bode圖的繪制方法由系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)求出頻率特性G(jω);將G(jω)寫成若干個典型環(huán)節(jié)的頻率特性相乘的形式;找出k和ν(積分環(huán)節(jié)的個數(shù))以及各典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率ωT1、ωT2、ωT3、···(從小到大);畫出第一個轉(zhuǎn)角頻率ωT1前系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性的低頻部分。它是一條通過橫坐標為ω=1、縱坐標為20lgK、斜率為-ν×20db/dec的直線;依次從低頻到高頻,每遇到一個轉(zhuǎn)角頻率就將對數(shù)幅頻特性的斜率相應(yīng)地改變一次;作出各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性并相加,就得到系統(tǒng)的對數(shù)相頻特性曲線圖。例:已知一反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制開環(huán)系統(tǒng)的伯德圖(幅頻特性用分段直線表示)
解:開環(huán)頻率特性為-20dB/dec-40dB/dec-20dB/dec§4-3閉環(huán)頻率特性具有單位反饋的系統(tǒng),其閉環(huán)頻率特性GB(jω)與開環(huán)頻率特性GK(jω)的關(guān)系為:對于非單位反饋系統(tǒng),其閉環(huán)頻率特性為:§4-4頻率特性的特征量零頻幅值A(chǔ)(0)
頻率接近于零時,系統(tǒng)輸出的幅值與輸入的幅值之比。復(fù)現(xiàn)頻率ωM與復(fù)現(xiàn)帶寬0~ωM
幅頻特性值與A(0)的差第一次達到允許誤差Δ時的頻率值。諧振頻率ωr及相對諧振峰值Mr
幅頻特性出現(xiàn)最大值A(chǔ)max時的頻率為ωr;相對諧振峰值Mr為Amax與A(0)之比。截止頻率ωb和截止帶寬0~ωb
幅頻特性的值由A(0)下降到0.707A(0)時的頻率?!?-5最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)若系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(s)的所有零點和極點均在復(fù)平面[
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