2022衡水中學(xué)地理內(nèi)部學(xué)習(xí)資料專題08 外接球與內(nèi)切球（新高考地區(qū)專用）（解析版）

專題08外接球與內(nèi)切球技巧導(dǎo)圖技巧導(dǎo)圖技巧詳講技巧詳講外接球8大模型秒殺公式推導(dǎo)1.墻角模型使用范圍：3組或3條棱兩兩垂直；或可在長(zhǎng)方體中畫出該圖且各頂點(diǎn)與長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)重合（2）推導(dǎo)過程：長(zhǎng)方體的體對(duì)角線就是外接球的直徑秒殺公式：（4）圖示過程秒殺公式：2.漢堡模型（1）使用范圍：有一條側(cè)棱垂直與底面的柱體或椎體（2）推導(dǎo)過程第一步：取底面的外心O1,，過外心做高的的平行且長(zhǎng)度相等，在該線上中點(diǎn)為球心的位置第二步：根據(jù)勾股定理可得（3）秒殺公式：（4）圖示過程3.斗笠模型（1）使用范圍：正棱錐或頂點(diǎn)的投影在底面的外心上（2）推導(dǎo)過程第一步：取底面的外心O1,，連接頂點(diǎn)與外心，該線為空間幾何體的高h(yuǎn)第二步：在h上取一點(diǎn)作為球心O第三步：根據(jù)勾股定理（3）秒殺公式：（4）圖示過程4.折疊模型使用范圍：兩個(gè)全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊推導(dǎo)過程第一步：過兩個(gè)平面取其外心H1、H2，分別過兩個(gè)外心做這兩個(gè)面的垂線且垂線相交于球心O第二步：計(jì)算第三步：（3）秒殺技巧：（4）圖示過程5.切瓜模型（1）使用范圍：有兩個(gè)平面互相垂直的棱錐（2）推導(dǎo)過程：第一步：分別在兩個(gè)互相垂直的平面上取外心F、N，過兩個(gè)外心做兩個(gè)垂面的垂線，兩條垂線的交點(diǎn)即為球心O，取BC的中點(diǎn)為M，連接FM、MN、OF、ON第二步：（3）秒殺公式：（4）圖示過程6.麻花模型（1）使用范圍：對(duì)棱相等的三棱錐（2）推導(dǎo)過程：設(shè)3組對(duì)棱的長(zhǎng)度分別為x、y、z,長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為a、b、c秒殺公式：圖示過程7.矩形模型（1）使用范圍：棱錐有兩個(gè)平面為直角三角形且斜邊為同一邊（2）推導(dǎo)過程：根據(jù)球的定義可知一個(gè)點(diǎn)到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等該點(diǎn)為球心可得，斜邊為球的直徑（3）秒殺公式：（4）圖示過程鱷魚模型使用范圍：適用所有的棱錐推導(dǎo)過程：（3）秒殺公式：（4）圖示過程內(nèi)切球的半徑---等體積法推導(dǎo)過程秒殺公式：圖示過程特別說明：下面例題或練習(xí)都是常規(guī)方法解題，大家可以利用模型的秒殺公式例題舉證例題舉證技巧1外接球之墻角模型【例1】（2020·河南高三月考）已知長(zhǎng)方體中，，，與平面所成角的正弦值為，則該長(zhǎng)方體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】作，垂足為，連接，.因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，所以是與平面所成的平面角.又，.所以，解得.故該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為.設(shè)長(zhǎng)方體的外接球的半徑為，則，解得.所以該長(zhǎng)方體的外接球的表面積為.故選B.【舉一反三】1．（2020·全國(guó)高三專題練習(xí)）棱長(zhǎng)為的正方體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)檎襟w的外接球的直徑為正方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)，所以，解得，所以球的表面積為：.故選：C2．（2019·綏德中學(xué)）球面上有四個(gè)點(diǎn)，若兩兩垂直，且，則該球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知，該球是一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正方體的外接球，設(shè)球的半徑為，由題意可得：,據(jù)此可得：，外接球的表面積為：.本題選擇D選項(xiàng).技巧2外接球之漢堡模型【例2】（2020·四川瀘州市·高三）已知四棱錐中，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，且平面，則該四棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，四棱錐中，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，且平面，可把四棱錐放置在如圖所示的一個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)，其中長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，則四棱錐的外接球和長(zhǎng)方體的外接球表示同一個(gè)球，設(shè)四棱錐的外接球的半徑為，可得，解得，所以該四棱錐外接球的表面積為.故選：C.【舉一反三】1．（2020·廣州市廣外）各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱（底面是正方形，側(cè)棱垂直于底面）高為2，體積為8，則這個(gè)球的表面積是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)檎睦庵邽?，體積為8，所以它的底面邊長(zhǎng)是2，所以它的體對(duì)角線的長(zhǎng)是，因此它的外接球的直徑是，所以這個(gè)球的表面積是：.故選：B．2．（2020·遼寧省高三）如圖，在三棱錐A﹣BCD中，BD⊥平面ADC，BD＝1，AB＝2，BC＝3，AC＝，則三棱錐A﹣BCD外接球的體積為（）A．4π B．3π C．2π D．4π【答案】D【解析】因?yàn)锽D⊥平面ADC，所以，，所以，，所以，所以，所以以、、為棱的長(zhǎng)方體與三棱錐A﹣BCD具有相同的外接球，所以該外接球的直徑為，半徑為，則該外接球的體積為故選：D.3．（2020·廣東廣州市·高三月考）在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)在正方形內(nèi)，平面，則三棱錐的外接球表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】長(zhǎng)方體中，平面，平面，∴，又平面，平面，∴，∵，∴平面，而平面，∴，是正方形，∴是與交點(diǎn)，即為的中點(diǎn)，也是的中點(diǎn)．是直角三角形，設(shè)是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，則由可得平面（長(zhǎng)方體中棱與相交面垂直），是的外心，三棱錐的外接球球心在直線上（線段或的延長(zhǎng)線上）．設(shè)，則，解得，∴外接球半徑為，表面積為．故選：C．4．（2020·全國(guó)高三月考（文））三棱柱中，平面，，，，，則該三棱柱的外接球的體積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，取中點(diǎn)，連交于點(diǎn)，，為的外接圓圓心，，，，外接圓半徑為,，平面，平面，又，點(diǎn)為三棱柱的外接球球心，外接球半徑，外接球體積.故選：B.技巧3外接球之斗笠模型【例3】（2020·江蘇南通市·高三期中）正三棱錐中，，，則該棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】正三棱錐中，，,所以,故,同理可得,,以為棱構(gòu)造正方體，則該棱錐外接球即為該正方體的外接球，如圖，所以，故球的表面積為,故選：C【舉一反三】1．（2020·秦皇島市撫寧區(qū)第一中學(xué)）已知正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為6，則該正三棱錐外接球的表面積是________.【答案】【解析】過點(diǎn)作平面于點(diǎn)，記球心為.

∵在正三棱錐中，底面邊長(zhǎng)為6，側(cè)棱長(zhǎng)為，∴，∴.∵球心到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，均等于該正三棱錐外接球的半徑長(zhǎng)，∴，.在中，，即，解得，∴外接球的表面積為.故答案為：.2．正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長(zhǎng)為2，則該球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】正四棱錐P-ABCD的外接球的球心在它的高上，記為O，PO=AO=R，，=4-R，在Rt△中，，由勾股定理得，∴球的表面積，故選A.技巧4外接球之折疊模型【例4】（2020·廣東省高三）在三棱錐A﹣BCD中，△ABD與△CBD均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，且二面角的平面角為120°，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A．7π B．8π C． D．【答案】D【解析】如圖，取BD中點(diǎn)H，連接AH，CH因?yàn)椤鰽BD與△CBD均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形所以AH⊥BD，CH⊥BD，則∠AHC為二面角A﹣BD﹣C的平面角，即∠AHD＝120°設(shè)△ABD與△CBD外接圓圓心分別為E，F(xiàn)則由AH＝2可得AEAH，EHAH分別過E，F(xiàn)作平面ABD，平面BCD的垂線，則三棱錐的外接球一定是兩條垂線的交點(diǎn)記為O，連接AO，HO，則由對(duì)稱性可得∠OHE＝60°所以O(shè)E＝1，則R＝OA則三棱錐外接球的表面積故選：D【舉一反三】1．（2020·山東棗莊市·高三期中）已知二面角的大小為120°，且，，.若點(diǎn)P、A、B、C都在同一個(gè)球面上，則該球的表面積的最小值為______.【答案】【解析】設(shè)，則，設(shè)和的外心分別為、，則分別為的中點(diǎn)，過點(diǎn)分別作和所在平面的垂線，兩垂線的交點(diǎn)為點(diǎn)，則為三棱錐的外心，連接，則為三棱錐外接球的半徑．取的中點(diǎn)，連接、、，如圖所示，由題意可知，，，，且，，為二面角的平面角，即，連接，平面，平面，，，四點(diǎn)共圓，且該圓的直徑為．在中，由余弦定理知，的外接圓直徑，當(dāng)時(shí)，取得最小值，為，此時(shí)該球的表面積取得最小值，為．故答案為：．2．（2020·南昌市八一中學(xué)）如圖所示，三棱錐S一ABC中，△ABC與△SBC都是邊長(zhǎng)為1的正三角形，二面角A﹣BC﹣S的大小為，若S，A，B，C四點(diǎn)都在球O的表面上，則球O的表面積為（）A．π B．π C．π D．3π【答案】A【解析】取線段BC的中點(diǎn)D，連結(jié)AD，SD，由題意得AD⊥BC，SD⊥BC，∴∠ADS是二面角A﹣BC﹣S的平面角，∴∠ADS，由題意得BC⊥平面ADS，分別取AD，SD的三等分點(diǎn)E，F(xiàn)，在平面ADS內(nèi)，過點(diǎn)E，F(xiàn)分別作直線垂直于AD，SD，兩條直線的交點(diǎn)即球心O，連結(jié)OA，則球O半徑R＝|OA|，由題意知BD，AD，DE，AE，連結(jié)OD，在Rt△ODE中，，OEDE，∴OA2＝OE2+AE2，∴球O的表面積為S＝4πR2．故選：A．技巧5外接球之切瓜模型【例5】（2020·內(nèi)蒙古赤峰市·高三月考）已知三棱錐中，，，，，面面，則此三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，，，，，，所以的外接圓的圓心為斜邊的中點(diǎn),，為等腰三角形.取的中點(diǎn)，連接，，，,,又面面，面面，面，面，過點(diǎn)作的平行線，則球心一定在該直線上.設(shè)的外接圓的圓心為，,則點(diǎn)在上，連接,由球的性質(zhì)則，平面，則為矩形.在中，,則所以的外接圓的半徑所以，則則所以球的半徑為所以三棱錐的外接球的表面積為故選：B【舉一反三】1．（2020·四川瀘州市·高三一模）已知三棱錐中，平面平面，且和都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則該三棱錐的外接球表面積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，

由已知可得，與均為等邊三角形，

取中點(diǎn)，連接，，則，

∵平面平面，則平面，

分別取與的外心，過分別作兩面的垂線，相交于，

則為三棱錐的外接球的球心，

由與均為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，可得，

，

，

∴三棱錐A?BCD的外接球的表面積為.故選：D.技巧6外接球之麻花模型【例6】（2020·四川省眉山市彭山區(qū)第二中學(xué)）在四面體中，若，，，則四面體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可采用割補(bǔ)法，考慮到四面體ABCD的四個(gè)面為全等的三角形，所以可在其每個(gè)面補(bǔ)上一個(gè)以，2，為三邊的三角形作為底面，且以分別x，y，z長(zhǎng)、兩兩垂直的側(cè)棱的三棱錐，從而可得到一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為x，y，z的長(zhǎng)方體，并且x2+y2＝3，x2+z2＝5，y2+z2＝4，則有（2R）2＝x2+y2+z2＝6（R為球的半徑），得2R2＝3，所以球的表面積為S＝4πR2＝6π．故答案為．技巧7外接球之矩形模型【例7】（2020·新疆維吾爾自治區(qū)）在四面體中，，，則四面體的外接球的表面積為()A． B． C． D．【答案】B【解析】由，，所以，可得，所以，即為外接球的球心，球的半徑所以四面體的外接球的表面積為：.故選：B【舉一反三】1．（2020·黑龍江省哈爾濱三中）四面體中，，平面，，，，則該四面體外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示：由已知可得與為直角三角形，所以該幾何體的外接球球心為的中點(diǎn)O，因?yàn)?且,所以,所以,所以四面體的外接球半徑,則表面積.故答案選：C2．（2020·重慶一中高三）已知四面體滿足：，，則四面體外接球的表面積為_______.【答案】【解析】因?yàn)?，，所以，，所以△△均為直角三角形，取斜邊的中點(diǎn)，連接、，如圖：易得，所以點(diǎn)為該四面體外接球的球心，所以球的半徑，故其表面積.故答案為：.技巧8內(nèi)切球半徑【例8】（2020·全國(guó)）正四面體的外接球與內(nèi)切球的表面積比為（）A． B． C． D．不確定【答案】A【解析】如圖，正四面體的中心即為外接球與內(nèi)切球的球心，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，可得，，又，，，，．所以故選：【舉一反三】1．（2020·北京）如圖所示，球內(nèi)切于正方體．如果該正方體的棱長(zhǎng)為a，那么球的體積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)榍騼?nèi)切于正方體，所以球的半徑等于正方體棱長(zhǎng)的，所以球的半徑為，所以球的體積為，故選：D.2．（2020·山西大同一中）已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC為等邊三角形，若該棱柱存在外接球與內(nèi)切球，則其外接球與內(nèi)切球表面積之比為（）A．25︰1 B．1︰25 C．1︰5 D．5︰1【答案】D【解析】設(shè)點(diǎn)是三棱柱外接球和內(nèi)切球的球心，點(diǎn)是底面等邊三角形的中心，點(diǎn)是底邊的中點(diǎn)，連結(jié)，，，，設(shè)底面三角形的邊長(zhǎng)為，則，，因?yàn)槿忮F內(nèi)切球與各面都相切，所以三棱柱的高是內(nèi)切球的直徑，底面三角形內(nèi)切圓的直徑也是三棱柱內(nèi)切球的直徑，所以，即三棱柱內(nèi)切球的半徑，，所以，即三棱柱外接球的半徑，所以內(nèi)切球的表面積為，外接球的表面積，所以三棱柱外接球和內(nèi)切球表面積的比值為故選：D3．（2020·江蘇無錫市第六高級(jí)中學(xué)）正三棱柱有一個(gè)半徑為的內(nèi)切球，則此棱柱的體積是（）.A． B． C． D．【答案】B【解析】∵正三棱柱有一個(gè)半徑為的內(nèi)切球，則正三棱柱的高為cm，底面正三角形的內(nèi)切圓的半徑為cm，設(shè)底面正三角形的邊長(zhǎng)為cm,則，解得cm，∴正三棱柱的底面面積為cm2，故此正三棱柱的體積V＝cm3．故選：B．技巧強(qiáng)化技巧強(qiáng)化1．（2020·江蘇鎮(zhèn)江市·高三期中）直三棱柱的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，且，，，則該球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖所示，直三棱柱的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，且，，，可將直三棱柱補(bǔ)成長(zhǎng)方體，其中，，長(zhǎng)方體的對(duì)角線，即為球的直徑，則球的半徑為.球的表面積為.故選:A.2．（2020·江西高三其他模擬）在三棱錐中，，，，，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】在中，，即，又，∴為等邊三角形根據(jù)題意，有如下示意圖：如圖，設(shè)的外接圓的圓心為，連接，，，連接PH.由題意可得，且，.∴由上知：且，又，∴，由，平面ABC.設(shè)O為三棱錐外接球的球心，連接，，OC過O作，垂足為D，則外接球的半徑R滿足，，，代入解得，即有，∴三棱錐外接球的表面積為.故選：A.3．（2020·四川瀘州市·高三）已知四棱錐中，平面，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，且，則該四棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，四棱錐中，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，且平面，可把四棱錐放置在如圖所示的一個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)，其中長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，則四棱錐的外接球和長(zhǎng)方體的外接球表示同一個(gè)球，設(shè)四棱錐的外接球的半徑為，可得，解得，所以該四棱錐外接球的表面積為.故選：C.4．（2020·四川宜賓市·高三）已知點(diǎn)P，A，B，C在同一個(gè)球的球表面上，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PB=，BC=，PC=，則該球的表面積為（）A．6π B．8π C．12π D．16π【答案】A【解析】如圖，三棱錐補(bǔ)體在長(zhǎng)方體中，三棱錐的外接球就是補(bǔ)體后長(zhǎng)方體的外接球，長(zhǎng)方體的外接球的直徑，即，則該球的表面積.故選：A5．（2020·江西贛州市·高三）四面體中，底面，，，則四面體的外接球表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，在四面體中，底面，，，可得，補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，則過一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為1，1，，則長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為，則三棱錐的外接球的半徑為1．其表面積為．故選：B．6．（2020·全國(guó)高三專題練習(xí)））平行四邊形中，，且，沿將四邊形折起成平面平面，則三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，平面平面，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，，可得平面，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，同理平面，所以、均為，設(shè)中點(diǎn)為，連、，則，其中為三棱錐外接球半徑，則，，則，故三棱錐外接球的表面積為.故選：C.7．（2020·湖北省鄂州高中高三月考）張衡(78年~139年)是中國(guó)東漢時(shí)期偉大的天文學(xué)家?文學(xué)家?數(shù)學(xué)家.他的數(shù)學(xué)著作有《算罔論》，他曾經(jīng)得出結(jié)論：圓周率的平方除以十六等于八分之五.已知正方體的外接球與內(nèi)切球上各有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，若線段的最小值為，利用張衡的結(jié)論可得該正方體的外接球的表面積為（）A．30 B． C． D．36【答案】C【解析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，正方體的內(nèi)切球半徑為，正方體的外接球半徑滿足：，則.由題意知：，則，，該正方體的外接球的表面積為，又因?yàn)閳A周率的平方除以十六等于八分之五，即，所以，所以外接球的表面積為.故選：C.8．（2020·江蘇南京市第二十九中學(xué)高三期中）已知直三棱柱的頂點(diǎn)都在球上，且，，，則此直三棱柱的外接球的表面積是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示：設(shè)點(diǎn)為外接圓的圓心，因?yàn)?，所以，又，所以是等邊三角形，所以，又直三棱柱的頂點(diǎn)都在球上，所以外接球的半徑為，所以直三棱柱的外接球的表面積是，故選：C9．（2020·全國(guó)高三專題練習(xí)）已知三棱柱(側(cè)棱底面，底面是正三角形)內(nèi)接于球O，與底面所成的角是45°.若正三棱柱的體積是，則球O的表面積是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】易知是與底面所成的角，則．故由，得．設(shè)，則，解得．所以球的半徑，所以球的表面積．故選：A．10．（2020·甘肅省民樂縣第一中學(xué)高三）在四棱錐中，，，，，，，則三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，取的兩個(gè)三等分點(diǎn)、，連接、、，設(shè)，連接、.則，，又，，所以，四邊形為平行四邊形，，為的中點(diǎn)，所以，，由勾股定理可得，則，在中，，，，，又，則為等邊三角形，，則是的外接圓的圓心.因?yàn)?，為的中點(diǎn)，，，，，，，，又，，平面，且.設(shè)為三棱錐外接球的球心，連接、、，過作，垂足為，則外接球的半徑滿足，設(shè)，則，解得，從而，故三棱錐外接球的表面積為.故選：D.11．（2020·天津紅橋區(qū)·高三期中）已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是（）A．10 B．20 C．24 D．32【答案】C【解析】因?yàn)檎睦庵邽?，體積為16，所以正四棱柱的底面積為，正四棱柱的底面的邊長(zhǎng)為，正四棱柱的底面的對(duì)角線為，正四棱柱的對(duì)角線為，而球的直徑等于正四棱柱的對(duì)角線，即，,故選：C12．（2020·河南洛陽(yáng)市·高三月考）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱（側(cè)棱垂直于底面的三棱柱）稱之為“塹堵”．如圖，三棱柱為一個(gè)“塹堵”，底面是以為斜邊的直角三角形且，，點(diǎn)在棱上，且，當(dāng)?shù)拿娣e取最小值時(shí)，三棱錐的外接球表面積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】解法一：由“塹堵”的定義可知，為直角三角形，故，易知，又，，所以平面，而平面，于是得．設(shè)，，則，則，，，由，得，整理得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)的面積取得最小值18．此時(shí)．設(shè)三棱錐的外接球半徑為，因?yàn)?，，故線段為外接球的直徑，故所求外接球的表面積．故選：D．解法二：令，則，，，又因?yàn)槠矫妫?，又．所以平面，所以．的面積當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值，此時(shí)，．在三棱錐中，因?yàn)?，取中點(diǎn)為，則，故為三棱錐的外接球的球心，所以為外接球直徑，．故選：D．13．（2020·山西高三月考）已知正三棱柱的體積為54，，記三棱柱的外接球?yàn)榍?，則外接球的表面積是__________．【答案】【解析】因?yàn)檎庵牡酌娣e，底面外接圓半徑，所以正三棱柱的高，所以外接球的半徑，則，故答案為：．14．（2020·濟(jì)南市·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三月考）在三棱錐中，側(cè)棱底面且則該三棱錐的外接球的體積為__________．【答案】【解析】在中，由余弦定理可知：因?yàn)椋允琼斀菫殁g角的等腰三角形，設(shè)的外接圓的直徑為，由正弦定理可知：，因?yàn)閭?cè)棱底面，，所以三棱錐的外接球的直徑為，由勾股定理可知：，所以三棱錐的外接球的半徑為：，所以三棱錐的外接球的體積為：故答案為：15．（2020·湖南懷化市·高三期中）如圖所示，在三棱錐中，，，，則三棱錐的外接球的表面積為______.【答案】【解析】由題意知：在中，根據(jù)余弦定理有：，，，∴中有，即為等邊三角形，若為中點(diǎn)，連接，可得，而，則在中有，∴，又且，即面，又由面知：面面，∴三棱錐的外接球球心：在中，過三等份點(diǎn)作的垂線與的垂直平分線的交點(diǎn)即為球心，所以令外接球半徑為R，，則：，解得，所以由球的表面積，故答案為：.16．（2020·廣東肇慶市·高三月考）鱉臑（biēnào）出自《九章算術(shù)·商功》：“斜解立方，得兩重堵．斜解壍堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉臑．”鱉臑是我國(guó)對(duì)四個(gè)面均為直角三角形的三棱錐的古稱．如圖，三棱錐是一個(gè)鱉臑，其中，，，且，過點(diǎn)B向AC引垂線，垂足為E，過E作CD的平行線，交AD于點(diǎn)F，連接BF．設(shè)三棱錐的外接球的表面積為，三棱錐的外接球的表面積為，則________．【答案】．【解析】，，，則平面，平面，∴，又，，∴平面，平面，∴，．又，∴，，又，∴三棱錐可補(bǔ)形成以為棱的一個(gè)長(zhǎng)方體，其外接球的直徑的平方等于的平方和，而由，則是三棱錐外接球的直徑．∵，∴，，，，，，∴，，，∴．故答案為：．17．（2020·上海市松江二中高三期中）若體積為8的正方體的各個(gè)頂點(diǎn)均在一球面上，則該球的體積為______.【答案】【解析】因?yàn)檎襟w的體積為8，故棱長(zhǎng)為2，因此正方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)為，故正方體外接球的直徑為，所以半徑為，故球的體積為，故答案為：.18．（2020·江蘇南通市·高三期中）在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，把兩底面為直角三角形的直棱柱稱為“塹堵”，已知三棱柱是一個(gè)“塹堵”，其中，，，則這個(gè)“塹堵”的外接球的表面積為________.【答案】【解析】因?yàn)椋?，所以，所以可將三棱柱補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，如圖：則該長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)等于這個(gè)“塹堵”的外接球的直徑，所以，所以.所以外接球的表面積為.故答案為：19．（2020·合肥市第六中學(xué)高三期中）在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)在正方形內(nèi)，平面，則三棱錐的外接球表面積為______.【答案】【解析】如圖所示：平面，連接，又為正方形，點(diǎn)為正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，則是等腰直角三角形，是直角頂點(diǎn)，設(shè)是中點(diǎn)，則是的外心，取是中點(diǎn)，則，而平面，平面，三棱錐的外接球的球心在直線上，由已知可計(jì)算，，在的延長(zhǎng)線上，設(shè)，則由得，解得，，外接球表面積：．故答案為：．20．（2020·湖南高三開學(xué)考試）在四面體中，平面，，，，則該四面體的外接球的表面積為________.【答案】【解析】在中，因?yàn)?，，可得的外圓球直徑為，又由