2022衡水中學地理內(nèi)部學習資料專題08 外接球與內(nèi)切球（新高考地區(qū)專用）（解析版）

專題08外接球與內(nèi)切球技巧導圖技巧導圖技巧詳講技巧詳講外接球8大模型秒殺公式推導1.墻角模型使用范圍：3組或3條棱兩兩垂直；或可在長方體中畫出該圖且各頂點與長方體的頂點重合（2）推導過程：長方體的體對角線就是外接球的直徑秒殺公式：（4）圖示過程秒殺公式：2.漢堡模型（1）使用范圍：有一條側(cè)棱垂直與底面的柱體或椎體（2）推導過程第一步：取底面的外心O1,，過外心做高的的平行且長度相等，在該線上中點為球心的位置第二步：根據(jù)勾股定理可得（3）秒殺公式：（4）圖示過程3.斗笠模型（1）使用范圍：正棱錐或頂點的投影在底面的外心上（2）推導過程第一步：取底面的外心O1,，連接頂點與外心，該線為空間幾何體的高h第二步：在h上取一點作為球心O第三步：根據(jù)勾股定理（3）秒殺公式：（4）圖示過程4.折疊模型使用范圍：兩個全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊推導過程第一步：過兩個平面取其外心H1、H2，分別過兩個外心做這兩個面的垂線且垂線相交于球心O第二步：計算第三步：（3）秒殺技巧：（4）圖示過程5.切瓜模型（1）使用范圍：有兩個平面互相垂直的棱錐（2）推導過程：第一步：分別在兩個互相垂直的平面上取外心F、N，過兩個外心做兩個垂面的垂線，兩條垂線的交點即為球心O，取BC的中點為M，連接FM、MN、OF、ON第二步：（3）秒殺公式：（4）圖示過程6.麻花模型（1）使用范圍：對棱相等的三棱錐（2）推導過程：設3組對棱的長度分別為x、y、z,長方體的長寬高分別為a、b、c秒殺公式：圖示過程7.矩形模型（1）使用范圍：棱錐有兩個平面為直角三角形且斜邊為同一邊（2）推導過程：根據(jù)球的定義可知一個點到各個頂點的距離相等該點為球心可得，斜邊為球的直徑（3）秒殺公式：（4）圖示過程鱷魚模型使用范圍：適用所有的棱錐推導過程：（3）秒殺公式：（4）圖示過程內(nèi)切球的半徑---等體積法推導過程秒殺公式：圖示過程特別說明：下面例題或練習都是常規(guī)方法解題，大家可以利用模型的秒殺公式例題舉證例題舉證技巧1外接球之墻角模型【例1】（2020·河南高三月考）已知長方體中，，，與平面所成角的正弦值為，則該長方體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】作，垂足為，連接，.因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以是與平面所成的平面角.又，.所以，解得.故該長方體的體對角線為.設長方體的外接球的半徑為，則，解得.所以該長方體的外接球的表面積為.故選B.【舉一反三】1．（2020·全國高三專題練習）棱長為的正方體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為正方體的外接球的直徑為正方體的體對角線的長，所以，解得，所以球的表面積為：.故選：C2．（2019·綏德中學）球面上有四個點，若兩兩垂直，且，則該球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知，該球是一個棱長為4的正方體的外接球，設球的半徑為，由題意可得：,據(jù)此可得：，外接球的表面積為：.本題選擇D選項.技巧2外接球之漢堡模型【例2】（2020·四川瀘州市·高三）已知四棱錐中，四邊形是邊長為2的正方形，且平面，則該四棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，四棱錐中，四邊形是邊長為2的正方形，且平面，可把四棱錐放置在如圖所示的一個長方體內(nèi)，其中長方體的長、寬、高分別為，則四棱錐的外接球和長方體的外接球表示同一個球，設四棱錐的外接球的半徑為，可得，解得，所以該四棱錐外接球的表面積為.故選：C.【舉一反三】1．（2020·廣州市廣外）各頂點都在一個球面上的正四棱柱（底面是正方形，側(cè)棱垂直于底面）高為2，體積為8，則這個球的表面積是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為正四棱柱高為2，體積為8，所以它的底面邊長是2，所以它的體對角線的長是，因此它的外接球的直徑是，所以這個球的表面積是：.故選：B．2．（2020·遼寧省高三）如圖，在三棱錐A﹣BCD中，BD⊥平面ADC，BD＝1，AB＝2，BC＝3，AC＝，則三棱錐A﹣BCD外接球的體積為（）A．4π B．3π C．2π D．4π【答案】D【解析】因為BD⊥平面ADC，所以，，所以，，所以，所以，所以以、、為棱的長方體與三棱錐A﹣BCD具有相同的外接球，所以該外接球的直徑為，半徑為，則該外接球的體積為故選：D.3．（2020·廣東廣州市·高三月考）在長方體中，，，點在正方形內(nèi)，平面，則三棱錐的外接球表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】長方體中，平面，平面，∴，又平面，平面，∴，∵，∴平面，而平面，∴，是正方形，∴是與交點，即為的中點，也是的中點．是直角三角形，設是中點，是中點，則由可得平面（長方體中棱與相交面垂直），是的外心，三棱錐的外接球球心在直線上（線段或的延長線上）．設，則，解得，∴外接球半徑為，表面積為．故選：C．4．（2020·全國高三月考（文））三棱柱中，平面，，，，，則該三棱柱的外接球的體積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，取中點，連交于點，，為的外接圓圓心，，，，外接圓半徑為,，平面，平面，又，點為三棱柱的外接球球心，外接球半徑，外接球體積.故選：B.技巧3外接球之斗笠模型【例3】（2020·江蘇南通市·高三期中）正三棱錐中，，，則該棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】正三棱錐中，，,所以,故,同理可得,,以為棱構造正方體，則該棱錐外接球即為該正方體的外接球，如圖，所以，故球的表面積為,故選：C【舉一反三】1．（2020·秦皇島市撫寧區(qū)第一中學）已知正三棱錐的側(cè)棱長為，底面邊長為6，則該正三棱錐外接球的表面積是________.【答案】【解析】過點作平面于點，記球心為.

∵在正三棱錐中，底面邊長為6，側(cè)棱長為，∴，∴.∵球心到四個頂點的距離相等，均等于該正三棱錐外接球的半徑長，∴，.在中，，即，解得，∴外接球的表面積為.故答案為：.2．正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】正四棱錐P-ABCD的外接球的球心在它的高上，記為O，PO=AO=R，，=4-R，在Rt△中，，由勾股定理得，∴球的表面積，故選A.技巧4外接球之折疊模型【例4】（2020·廣東省高三）在三棱錐A﹣BCD中，△ABD與△CBD均為邊長為2的等邊三角形，且二面角的平面角為120°，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A．7π B．8π C． D．【答案】D【解析】如圖，取BD中點H，連接AH，CH因為△ABD與△CBD均為邊長為2的等邊三角形所以AH⊥BD，CH⊥BD，則∠AHC為二面角A﹣BD﹣C的平面角，即∠AHD＝120°設△ABD與△CBD外接圓圓心分別為E，F(xiàn)則由AH＝2可得AEAH，EHAH分別過E，F(xiàn)作平面ABD，平面BCD的垂線，則三棱錐的外接球一定是兩條垂線的交點記為O，連接AO，HO，則由對稱性可得∠OHE＝60°所以OE＝1，則R＝OA則三棱錐外接球的表面積故選：D【舉一反三】1．（2020·山東棗莊市·高三期中）已知二面角的大小為120°，且，，.若點P、A、B、C都在同一個球面上，則該球的表面積的最小值為______.【答案】【解析】設，則，設和的外心分別為、，則分別為的中點，過點分別作和所在平面的垂線，兩垂線的交點為點，則為三棱錐的外心，連接，則為三棱錐外接球的半徑．取的中點，連接、、，如圖所示，由題意可知，，，，且，，為二面角的平面角，即，連接，平面，平面，，，四點共圓，且該圓的直徑為．在中，由余弦定理知，的外接圓直徑，當時，取得最小值，為，此時該球的表面積取得最小值，為．故答案為：．2．（2020·南昌市八一中學）如圖所示，三棱錐S一ABC中，△ABC與△SBC都是邊長為1的正三角形，二面角A﹣BC﹣S的大小為，若S，A，B，C四點都在球O的表面上，則球O的表面積為（）A．π B．π C．π D．3π【答案】A【解析】取線段BC的中點D，連結(jié)AD，SD，由題意得AD⊥BC，SD⊥BC，∴∠ADS是二面角A﹣BC﹣S的平面角，∴∠ADS，由題意得BC⊥平面ADS，分別取AD，SD的三等分點E，F(xiàn)，在平面ADS內(nèi)，過點E，F(xiàn)分別作直線垂直于AD，SD，兩條直線的交點即球心O，連結(jié)OA，則球O半徑R＝|OA|，由題意知BD，AD，DE，AE，連結(jié)OD，在Rt△ODE中，，OEDE，∴OA2＝OE2+AE2，∴球O的表面積為S＝4πR2．故選：A．技巧5外接球之切瓜模型【例5】（2020·內(nèi)蒙古赤峰市·高三月考）已知三棱錐中，，，，，面面，則此三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，，，，，，所以的外接圓的圓心為斜邊的中點,，為等腰三角形.取的中點，連接，，，,,又面面，面面，面，面，過點作的平行線，則球心一定在該直線上.設的外接圓的圓心為，,則點在上，連接,由球的性質(zhì)則，平面，則為矩形.在中，,則所以的外接圓的半徑所以，則則所以球的半徑為所以三棱錐的外接球的表面積為故選：B【舉一反三】1．（2020·四川瀘州市·高三一模）已知三棱錐中，平面平面，且和都是邊長為2的等邊三角形，則該三棱錐的外接球表面積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，

由已知可得，與均為等邊三角形，

取中點，連接，，則，

∵平面平面，則平面，

分別取與的外心，過分別作兩面的垂線，相交于，

則為三棱錐的外接球的球心，

由與均為邊長為的等邊三角形，可得，

，

，

∴三棱錐A?BCD的外接球的表面積為.故選：D.技巧6外接球之麻花模型【例6】（2020·四川省眉山市彭山區(qū)第二中學）在四面體中，若，，，則四面體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可采用割補法，考慮到四面體ABCD的四個面為全等的三角形，所以可在其每個面補上一個以，2，為三邊的三角形作為底面，且以分別x，y，z長、兩兩垂直的側(cè)棱的三棱錐，從而可得到一個長、寬、高分別為x，y，z的長方體，并且x2+y2＝3，x2+z2＝5，y2+z2＝4，則有（2R）2＝x2+y2+z2＝6（R為球的半徑），得2R2＝3，所以球的表面積為S＝4πR2＝6π．故答案為．技巧7外接球之矩形模型【例7】（2020·新疆維吾爾自治區(qū)）在四面體中，，，則四面體的外接球的表面積為()A． B． C． D．【答案】B【解析】由，，所以，可得，所以，即為外接球的球心，球的半徑所以四面體的外接球的表面積為：.故選：B【舉一反三】1．（2020·黑龍江省哈爾濱三中）四面體中，，平面，，，，則該四面體外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示：由已知可得與為直角三角形，所以該幾何體的外接球球心為的中點O，因為,且,所以,所以,所以四面體的外接球半徑,則表面積.故答案選：C2．（2020·重慶一中高三）已知四面體滿足：，，則四面體外接球的表面積為_______.【答案】【解析】因為，，所以，，所以△△均為直角三角形，取斜邊的中點，連接、，如圖：易得，所以點為該四面體外接球的球心，所以球的半徑，故其表面積.故答案為：.技巧8內(nèi)切球半徑【例8】（2020·全國）正四面體的外接球與內(nèi)切球的表面積比為（）A． B． C． D．不確定【答案】A【解析】如圖，正四面體的中心即為外接球與內(nèi)切球的球心，設正四面體的棱長為，可得，，又，，，，．所以故選：【舉一反三】1．（2020·北京）如圖所示，球內(nèi)切于正方體．如果該正方體的棱長為a，那么球的體積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為球內(nèi)切于正方體，所以球的半徑等于正方體棱長的，所以球的半徑為，所以球的體積為，故選：D.2．（2020·山西大同一中）已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC為等邊三角形，若該棱柱存在外接球與內(nèi)切球，則其外接球與內(nèi)切球表面積之比為（）A．25︰1 B．1︰25 C．1︰5 D．5︰1【答案】D【解析】設點是三棱柱外接球和內(nèi)切球的球心，點是底面等邊三角形的中心，點是底邊的中點，連結(jié)，，，，設底面三角形的邊長為，則，，因為三棱錐內(nèi)切球與各面都相切，所以三棱柱的高是內(nèi)切球的直徑，底面三角形內(nèi)切圓的直徑也是三棱柱內(nèi)切球的直徑，所以，即三棱柱內(nèi)切球的半徑，，所以，即三棱柱外接球的半徑，所以內(nèi)切球的表面積為，外接球的表面積，所以三棱柱外接球和內(nèi)切球表面積的比值為故選：D3．（2020·江蘇無錫市第六高級中學）正三棱柱有一個半徑為的內(nèi)切球，則此棱柱的體積是（）.A． B． C． D．【答案】B【解析】∵正三棱柱有一個半徑為的內(nèi)切球，則正三棱柱的高為cm，底面正三角形的內(nèi)切圓的半徑為cm，設底面正三角形的邊長為cm,則，解得cm，∴正三棱柱的底面面積為cm2，故此正三棱柱的體積V＝cm3．故選：B．技巧強化技巧強化1．（2020·江蘇鎮(zhèn)江市·高三期中）直三棱柱的所有頂點都在同一球面上，且，，，則該球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖所示，直三棱柱的所有頂點都在同一球面上，且，，，可將直三棱柱補成長方體，其中，，長方體的對角線，即為球的直徑，則球的半徑為.球的表面積為.故選:A.2．（2020·江西高三其他模擬）在三棱錐中，，，，，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】在中，，即，又，∴為等邊三角形根據(jù)題意，有如下示意圖：如圖，設的外接圓的圓心為，連接，，，連接PH.由題意可得，且，.∴由上知：且，又，∴，由，平面ABC.設O為三棱錐外接球的球心，連接，，OC過O作，垂足為D，則外接球的半徑R滿足，，，代入解得，即有，∴三棱錐外接球的表面積為.故選：A.3．（2020·四川瀘州市·高三）已知四棱錐中，平面，底面是邊長為2的正方形，且，則該四棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，四棱錐中，四邊形是邊長為2的正方形，且平面，可把四棱錐放置在如圖所示的一個長方體內(nèi)，其中長方體的長、寬、高分別為，則四棱錐的外接球和長方體的外接球表示同一個球，設四棱錐的外接球的半徑為，可得，解得，所以該四棱錐外接球的表面積為.故選：C.4．（2020·四川宜賓市·高三）已知點P，A，B，C在同一個球的球表面上，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PB=，BC=，PC=，則該球的表面積為（）A．6π B．8π C．12π D．16π【答案】A【解析】如圖，三棱錐補體在長方體中，三棱錐的外接球就是補體后長方體的外接球，長方體的外接球的直徑，即，則該球的表面積.故選：A5．（2020·江西贛州市·高三）四面體中，底面，，，則四面體的外接球表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，在四面體中，底面，，，可得，補形為長方體，則過一個頂點的三條棱長分別為1，1，，則長方體的對角線長為，則三棱錐的外接球的半徑為1．其表面積為．故選：B．6．（2020·全國高三專題練習））平行四邊形中，，且，沿將四邊形折起成平面平面，則三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，平面平面，又因為平面平面，平面，，可得平面，因為四邊形為平行四邊形，所以，同理平面，所以、均為，設中點為，連、，則，其中為三棱錐外接球半徑，則，，則，故三棱錐外接球的表面積為.故選：C.7．（2020·湖北省鄂州高中高三月考）張衡(78年~139年)是中國東漢時期偉大的天文學家?文學家?數(shù)學家.他的數(shù)學著作有《算罔論》，他曾經(jīng)得出結(jié)論：圓周率的平方除以十六等于八分之五.已知正方體的外接球與內(nèi)切球上各有一個動點，，若線段的最小值為，利用張衡的結(jié)論可得該正方體的外接球的表面積為（）A．30 B． C． D．36【答案】C【解析】設正方體的棱長為，正方體的內(nèi)切球半徑為，正方體的外接球半徑滿足：，則.由題意知：，則，，該正方體的外接球的表面積為，又因為圓周率的平方除以十六等于八分之五，即，所以，所以外接球的表面積為.故選：C.8．（2020·江蘇南京市第二十九中學高三期中）已知直三棱柱的頂點都在球上，且，，，則此直三棱柱的外接球的表面積是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示：設點為外接圓的圓心，因為，所以，又，所以是等邊三角形，所以，又直三棱柱的頂點都在球上，所以外接球的半徑為，所以直三棱柱的外接球的表面積是，故選：C9．（2020·全國高三專題練習）已知三棱柱(側(cè)棱底面，底面是正三角形)內(nèi)接于球O，與底面所成的角是45°.若正三棱柱的體積是，則球O的表面積是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】易知是與底面所成的角，則．故由，得．設，則，解得．所以球的半徑，所以球的表面積．故選：A．10．（2020·甘肅省民樂縣第一中學高三）在四棱錐中，，，，，，，則三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，取的兩個三等分點、，連接、、，設，連接、.則，，又，，所以，四邊形為平行四邊形，，為的中點，所以，，由勾股定理可得，則，在中，，，，，又，則為等邊三角形，，則是的外接圓的圓心.因為，為的中點，，，，，，，，又，，平面，且.設為三棱錐外接球的球心，連接、、，過作，垂足為，則外接球的半徑滿足，設，則，解得，從而，故三棱錐外接球的表面積為.故選：D.11．（2020·天津紅橋區(qū)·高三期中）已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個球的表面積是（）A．10 B．20 C．24 D．32【答案】C【解析】因為正四棱柱高為4，體積為16，所以正四棱柱的底面積為，正四棱柱的底面的邊長為，正四棱柱的底面的對角線為，正四棱柱的對角線為，而球的直徑等于正四棱柱的對角線，即，,故選：C12．（2020·河南洛陽市·高三月考）我國古代數(shù)學名著《九章算術》中，將底面是直角三角形的直三棱柱（側(cè)棱垂直于底面的三棱柱）稱之為“塹堵”．如圖，三棱柱為一個“塹堵”，底面是以為斜邊的直角三角形且，，點在棱上，且，當?shù)拿娣e取最小值時，三棱錐的外接球表面積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】解法一：由“塹堵”的定義可知，為直角三角形，故，易知，又，，所以平面，而平面，于是得．設，，則，則，，，由，得，整理得，所以，所以，當且僅當，即時的面積取得最小值18．此時．設三棱錐的外接球半徑為，因為，，故線段為外接球的直徑，故所求外接球的表面積．故選：D．解法二：令，則，，，又因為平面，所以，又．所以平面，所以．的面積當且僅當時，取最小值，此時，．在三棱錐中，因為，取中點為，則，故為三棱錐的外接球的球心，所以為外接球直徑，．故選：D．13．（2020·山西高三月考）已知正三棱柱的體積為54，，記三棱柱的外接球為球，則外接球的表面積是__________．【答案】【解析】因為正三棱柱的底面積，底面外接圓半徑，所以正三棱柱的高，所以外接球的半徑，則，故答案為：．14．（2020·濟南市·山東省實驗中學高三月考）在三棱錐中，側(cè)棱底面且則該三棱錐的外接球的體積為__________．【答案】【解析】在中，由余弦定理可知：因為，所以是頂角為鈍角的等腰三角形，設的外接圓的直徑為，由正弦定理可知：，因為側(cè)棱底面，，所以三棱錐的外接球的直徑為，由勾股定理可知：，所以三棱錐的外接球的半徑為：，所以三棱錐的外接球的體積為：故答案為：15．（2020·湖南懷化市·高三期中）如圖所示，在三棱錐中，，，，則三棱錐的外接球的表面積為______.【答案】【解析】由題意知：在中，根據(jù)余弦定理有：，，，∴中有，即為等邊三角形，若為中點，連接，可得，而，則在中有，∴，又且，即面，又由面知：面面，∴三棱錐的外接球球心：在中，過三等份點作的垂線與的垂直平分線的交點即為球心，所以令外接球半徑為R，，則：，解得，所以由球的表面積，故答案為：.16．（2020·廣東肇慶市·高三月考）鱉臑（biēnào）出自《九章算術·商功》：“斜解立方，得兩重堵．斜解壍堵，其一為陽馬，一為鱉臑．”鱉臑是我國對四個面均為直角三角形的三棱錐的古稱．如圖，三棱錐是一個鱉臑，其中，，，且，過點B向AC引垂線，垂足為E，過E作CD的平行線，交AD于點F，連接BF．設三棱錐的外接球的表面積為，三棱錐的外接球的表面積為，則________．【答案】．【解析】，，，則平面，平面，∴，又，，∴平面，平面，∴，．又，∴，，又，∴三棱錐可補形成以為棱的一個長方體，其外接球的直徑的平方等于的平方和，而由，則是三棱錐外接球的直徑．∵，∴，，，，，，∴，，，∴．故答案為：．17．（2020·上海市松江二中高三期中）若體積為8的正方體的各個頂點均在一球面上，則該球的體積為______.【答案】【解析】因為正方體的體積為8，故棱長為2，因此正方體的體對角線的長為，故正方體外接球的直徑為，所以半徑為，故球的體積為，故答案為：.18．（2020·江蘇南通市·高三期中）在我國古代數(shù)學名著《九章算術》中，把兩底面為直角三角形的直棱柱稱為“塹堵”，已知三棱柱是一個“塹堵”，其中，，，則這個“塹堵”的外接球的表面積為________.【答案】【解析】因為，所以，所以，所以可將三棱柱補成一個長方體，如圖：則該長方體的對角線長等于這個“塹堵”的外接球的直徑，所以，所以.所以外接球的表面積為.故答案為：19．（2020·合肥市第六中學高三期中）在長方體中，，，點在正方形內(nèi)，平面，則三棱錐的外接球表面積為______.【答案】【解析】如圖所示：平面，連接，又為正方形，點為正方形對角線的交點，則是等腰直角三角形，是直角頂點，設是中點，則是的外心，取是中點，則，而平面，平面，三棱錐的外接球的球心在直線上，由已知可計算，，在的延長線上，設，則由得，解得，，外接球表面積：．故答案為：．20．（2020·湖南高三開學考試）在四面體中，平面，，，，則該四面體的外接球的表面積為________.【答案】【解析】在中，因為，，可得的外圓球直徑為，又由