第四節(jié) 曲面及其方程

曲面方程的概念柱面

二次曲面第四節(jié)曲面及其方程旋轉(zhuǎn)曲面定義

如果曲面

S

與方程

F(x,y,z)=0有下述關(guān)系:(1)曲面

S上任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,稱曲面S為方程F(x,y,z)=0的圖形.(2)不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足上頁下頁返回結(jié)束一、曲面方程的概念例如到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡.曲面看作點(diǎn)的幾何軌跡.球面:在空間直角坐標(biāo)系中,曲面上點(diǎn)的坐標(biāo)x,y,z應(yīng)滿足某個(gè)約束條件方程方程;則稱F(x,y,z)=0為曲面S的方程,球心半徑研究空間曲面有兩個(gè)基本問題：(2)已知一個(gè)三元方程，研究曲面形狀．(1)已知曲面形狀（點(diǎn)的軌跡），求曲面方程．上頁下頁返回結(jié)束例1連接兩點(diǎn)和的線段的垂直平分面的方程。解根據(jù)題意,即化簡(jiǎn)得即所求垂直平分面的方程故所求方程為例2

求球心為特別地,當(dāng)球心為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí),球面方程為解

設(shè)球面上動(dòng)點(diǎn)為即依題意半徑為

R

的球面方程.表示上(下)球面.上頁下頁返回結(jié)束例3研究方程解

配方得此方程表示:的曲面.表示怎樣半徑為的球面.球心為上頁下頁返回結(jié)束注球面方程的特點(diǎn)(1)沒有xy、yz、xz交叉項(xiàng)(2)平方項(xiàng)系數(shù)相同例4考慮z－3=0表示的曲面解

z－3=0表示過點(diǎn)且平行于xoy面的平面定義.一平面曲線二、旋轉(zhuǎn)曲面

繞該平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸.例如:上頁下頁返回結(jié)束曲線C2.旋轉(zhuǎn)曲面方程的建立繞o

z軸上頁下頁返回結(jié)束旋轉(zhuǎn)一周y

zoCx得旋轉(zhuǎn)曲面SSM(x,y,z)SMN從而得旋轉(zhuǎn)曲面S方程：N點(diǎn)在曲線C上,滿足曲線方程M,N兩點(diǎn)豎坐標(biāo)相同M,N兩點(diǎn)到oz軸距離相等坐標(biāo)面yoz面上的曲線C即：繞oz軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面S的方程為：上頁下頁返回結(jié)束繞oy軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面S的方程為：本質(zhì)：繞哪條軸旋轉(zhuǎn)，哪個(gè)變量保持不變，另外一變量變成與第三變量平方和的正負(fù)根號(hào)。坐標(biāo)面zox面上的曲線C繞oz軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面S的方程為：上頁下頁返回結(jié)束繞ox軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面S的方程為：坐標(biāo)面xoy面上的曲線C繞ox軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面S的方程為：上頁下頁返回結(jié)束繞oy軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面S的方程為：xOzy上頁下頁返回結(jié)束繞x軸一周.例5.將下列各曲線繞指定軸旋轉(zhuǎn)一周,求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程．1.雙曲線得雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面axyoz上頁下頁返回結(jié)束2.上述雙曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)一周.得單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面z

yox上頁下頁返回結(jié)束3.兩條相交直線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周.得圓錐面當(dāng)a=b=1時(shí),圓錐面為y.oxz旋轉(zhuǎn)拋物面上頁下頁返回結(jié)束4.拋物線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周,得a=1時(shí),為yxo繞y軸旋轉(zhuǎn)所成曲面.上頁下頁返回結(jié)束5.z環(huán)面得上頁下頁返回結(jié)束注當(dāng)一個(gè)方程含有兩個(gè)變量的平方和的時(shí)候，代表的是一個(gè)旋轉(zhuǎn)曲面。例6考慮下面方程所表示的曲面是如何形成的？解可看成是yoz面的拋物線繞z軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面。(2)~(4)略或三、柱面例7方程表示什么?解曲線C平行于z軸的動(dòng)直線所形成的曲面,故在空間,表示圓柱面.上頁下頁返回結(jié)束平面解析幾何:表示xOy坐標(biāo)面上的圓.空間解析幾何:所以該曲面可看成沿稱為圓柱面.定義平行于定直線并沿定曲線C移動(dòng)的動(dòng)直線l的軌跡C叫做準(zhǔn)線,l

叫做(直)母線.叫做柱面.過且平行于z軸的直線l都在此曲面上，xzy0母線F(x,y)=0z

=0準(zhǔn)線(不含z)M(x,y,z)N(x,y,0)S曲面上每一點(diǎn)都滿足方程曲面外每一點(diǎn)都不滿足方程表示母線平行于z軸的柱面點(diǎn)N滿足方程，故點(diǎn)M滿足方程

一般地,F(x,y)=0上頁下頁返回結(jié)束母線準(zhǔn)線(不含x)F(y,z)=0x=0xzy0F(y,z)=0表示母線平行于x軸的柱面上頁下頁返回結(jié)束(不含y)F(x,z)=0表示母線平行于y軸的柱面表示母線平行于z軸;面上的拋物線.平行于z軸的平行于z軸的平面表示母線該平面上).表示母線上頁下頁返回結(jié)束準(zhǔn)線為xOy(z軸在拋物柱面,橢圓柱面.注柱面方程特點(diǎn)：缺少一個(gè)變量例8考慮下面方程表示的曲面zxy=0yo上頁下頁返回結(jié)束雙曲柱面注準(zhǔn)線是××線，所成柱面就叫做××柱面斜率為1的直線平面解析幾何中空間解析幾何中方程平行于y軸的直線平行于yOz面的平面圓心在(0,0)半徑為3的圓以z軸為中心軸的圓柱面平行于z軸的平面例9指出下列方程的圖形:上頁下頁返回結(jié)束四、二次曲面三元二次方程研究二次曲面特性的基本方法:截痕法、伸縮法

其基本類型有:錐面、橢球面、雙曲面、拋物面、柱面表示的曲面稱為二次曲面.

(二次項(xiàng)系數(shù)不全為0)上頁下頁返回結(jié)束z

yox上頁下頁返回結(jié)束1.橢圓錐面截痕法：z＝0時(shí)，x＝y(tǒng)＝0過原點(diǎn)z＝t時(shí)，橢圓伸縮變形法：圓錐面橢圓錐面即(2)截痕截曲面:abcyx

zo2橢球面標(biāo)準(zhǔn)方程(1)范圍：橢圓用上頁下頁返回結(jié)束(3)當(dāng)a＝b時(shí)為旋轉(zhuǎn)橢球面;當(dāng)a＝b＝c時(shí)為球面.用y=截曲面用x=截曲面xzy0截痕:用z=a截曲面用y=b截曲面用x=c截曲面3拋物面(1)橢圓拋物面標(biāo)準(zhǔn)方程上頁下頁返回結(jié)束橢圓拋物線拋物線xzy0截痕:用z=a截曲面用y=b截曲面用x=c截曲面3拋物面(1)橢圓拋物面上頁下頁返回結(jié)束橢圓拋物線拋物線當(dāng)p=q時(shí)為繞z軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)拋物面.用z=a截曲面用y=b截曲面用x=c截曲面xzy0截痕:（馬鞍面）(2)雙曲拋物面

雙曲線拋物線拋物線上頁下頁返回結(jié)束xzy0上頁下頁返回結(jié)束用z=a截曲面用y=b截曲面用x=c截曲面截痕:（馬鞍面）(2)雙曲拋物面

雙曲線拋物線拋物線xzy0上頁下頁返回結(jié)束用z=a截曲面用y=b截曲面用x=c截曲面截痕:（馬鞍面）(2)雙曲拋物面

雙曲線拋物線拋物線4雙曲面(1)單葉雙曲面上頁下頁返回結(jié)束Oxzy雙曲拋物面(馬鞍面)(2)雙葉雙曲面5柱面(1)橢圓柱面上頁下頁返回結(jié)束(2)雙曲柱面(3)拋物柱面內(nèi)容小結(jié)1.空間曲面三元方程球面旋轉(zhuǎn)曲面如,曲線繞z軸的旋轉(zhuǎn)曲面:

柱面如,曲面表示母線平行z軸的柱面.常用:橢圓柱面,雙曲柱面,拋物柱面等.上頁下頁返回結(jié)束2.二次曲面三元二次方程橢球面拋物面:橢圓拋物面雙曲拋物面雙曲面:單葉雙曲面雙葉雙曲面橢圓錐面:上頁下頁返回結(jié)束柱面:作業(yè)P589－11P591－32.P319(課本),10答案上頁下頁返回結(jié)束在xOy面上練習(xí)平行截割法用z=h截曲面用y=m截曲面用x=n截曲面abcyx

zo橢球面xzy0平行截割法用z=a截曲面用y=b截曲面用x=c截曲面橢圓拋物面用z=a截曲面用y=0截曲面用x=b截曲面xzy0平行截割法

（馬鞍面）雙曲拋物面

平行截割法.雙曲拋物面