彈簧振子模型

動量二彈簧振子模型★如下列圖輕彈簧的一端固定，另一端與滑塊B相連，B靜止在水平直導(dǎo)軌上，彈簧處在原長狀態(tài)。另一質(zhì)量與B同樣的滑塊A,從導(dǎo)軌上的P點以某一初速度向B滑行。當A滑過距離li時，與B相碰，碰撞時間極短，碰后A、B緊貼在一起運動，但互不粘連。已知最后A恰好返回到出發(fā)點P并停止?；瑝KA和B與導(dǎo)軌的動摩擦因數(shù)都為，運動過程中彈簧最大形變量為l2,重力加速度為g。求A從P點出發(fā)時的初速度電。「★如圖8所示，木塊B和木塊C的質(zhì)量分別為3/4M和M固定在長為L,勁度系數(shù)為k的彈簧的兩端，靜止于圓滑的水平面上。一質(zhì)量為1/4M的木塊A以速度v水平向右與木塊對心碰撞并粘在一起運動，求彈簧達到最大壓縮量時的彈性勢能?！锶缦铝袌D，為水平氣墊導(dǎo)軌，滑塊A、B用輕彈簧相連，今將彈簧壓緊后用輕繩系在A、B上，爾后以恒定的速度V0向右運動，已知A、B質(zhì)量分別為mi、m2,且mi<m2,滑動中輕繩突然斷開，當彈簧第一次恢復(fù)到自然長度時，滑塊A的速度恰好為零。求：(1)繩斷開到第一次恢復(fù)到自然長度過程中彈簧開釋的彈性勢能EP；(2)在此后運動過程中，滑塊B可否會有速度等于零的時辰？試經(jīng)過定量解析、議論，來證明你的結(jié)論。(Ep=mi(mi+m2)vo2/2m2;不行能)ABv0★如下列圖，質(zhì)量為m2和m3的兩物體靜止在圓滑的水平面上，它們之間有壓縮的彈簧，一質(zhì)量為mi的物體以速度vo向右沖來，為防備觸犯，彈簧將m2、m3向右、左彈開,m3與mi碰后即粘合在一起。問m3的速度最少應(yīng)多大，才能使此后m3和m2不發(fā)生碰撞？m1m2m3(mim2m3)★圖6所示，在圓滑的水平面上，物體A跟物體B用一根不計質(zhì)量的彈簧相連，另物體C跟物體B靠在一起，但不與B相連，它們的質(zhì)量分別為mA=0.2kg,mB=mc=0.1kg.現(xiàn)使勁將C、B和A壓在一起，使彈簧縮短，在這過程中，外力對彈簧做功7.2J.爾后，由靜止開釋三物體.求：(1)彈簧伸長最大時，彈簧的彈性勢能.(2)彈簧從伸長最大回復(fù)到原長時，A、B的速度.(設(shè)彈簧在彈性限度內(nèi))解析：(1)在水平方向上因不受外力，故動能守恒.從靜止開釋到恢復(fù)原長時，物體B、C擁有同樣的速度VBC,物體A的速度為VA,則有:mAVA+(mB+mc)VBC=0由機械能守恒得:E彈=—mAVA2+—(mB+mC)vBC222解得：VA=6(m/s),VBC=-6m/s(取水平向右為正).此后物體C將與B分開而向左做勻速直線運動.物體A、B在彈簧的彈力作用下做減速簧被拉長，因為A的動量大，故在同樣的沖量作用下，B先減速至零爾后向右加速,此時右且大于B的速度，彈簧連續(xù)拉伸，直至A、B速度相等，彈簧伸長最大,設(shè)此時A、B

運動，彈的速度向的速度為V.由水平方向動量守恒可列式:mAVA+mBVBC=(mA+mB)v由機械能守恒可列式：1mAVA2+—mBVBC2=—(mA+mB)v2+E彈，222食軍得:V=2m/s,E彈'=4.8J(2)設(shè)彈簧從伸長最大回到原長時A的速度為VI,B的速度為V2,由動量守恒可列式:(mA+mB)V=mAV1+mBV2由機械能守恒又可列式：—(mA+mB)v2+E彈，=—mAv"+—mBV22222解得：VI=-2m/s(v1=6m/s舍去)；V2=10m/s(V2=-6m/s舍去)此時A向左運動，速度大小為2m/s；B向右運動，速度大小為10m/s.答案：(1)4.8J(2)VA=2m/s,VB=10m/s★質(zhì)量為m的鋼板與直立輕彈簧的上端連接，彈簧下端固定在地上。平衡時，彈簧的壓縮量為h,如下列圖，一物塊從鋼板正上方距離為3h的A處自由著落，打在鋼板上，并馬上與鋼板一起向下運動，但其實不粘連。它們到達最低點后又向上運動。已知物塊質(zhì)量也為m時，點時，

它們恰能回到。點，若物塊質(zhì)量為2m,仍從A點處自由著落，則物塊與鋼板回到o還有向上的速度，求物塊向上運動到達的最高點與。點的距離。h/2)(★質(zhì)量為M的小車置于水平面上，小車的上表面由圓滑的1/4圓弧和圓滑平面組成，圓弧半徑為R,車的右端固定有一不計質(zhì)量的彈簧。現(xiàn)有一質(zhì)量為m的滑塊從圓弧最高處無初速下滑，如下列圖，與彈簧相接觸并壓縮彈簧。求：(1)彈簧擁有最大的彈性勢能；(2)當滑塊與彈簧分別時小車的速度。(mgR；(2m2gR/M(Mm))★在納米技術(shù)中需要搬動或修理原子，一定使在不斷地坐熱熨斗(速率約幾百米每秒)的原子幾乎靜止下來且能在一個小的空間地域內(nèi)停留一段時間，為此已發(fā)了然“激光制冷”技術(shù)，若把原子和入射光子分別類比為一輛小車和一個小球，則“激光制冷”與下述的模型很近似。一輛質(zhì)量為m的小車(一側(cè)固定一輕彈簧)，以速度vo水平向右運動，一動量大小為P,質(zhì)量可以忽略的小球水平向左射入小車并壓縮彈簧至最短，接著被鎖定一準時間t,再清除鎖定使小球以大小為2P的動量水平向右彈出，緊接著不斷重復(fù)上述過程，最后小車將停下來。設(shè)地面和車廂均為圓滑，除鎖準時間t夕卜，不計小球在小車上運動和彈簧壓縮、伸長的時間，求：(1)、小球第一次入射后再彈出時，小車的速度的大小和這一過程中小車動能的減少許；、從小球第一次入射開始到小車停止運動所經(jīng)歷的時間。(1、3voP-9P2/2m;2、ot/3P)(1)如圖1,在圓滑水平長直軌道上，放著一個靜止的彈簧振子，它由一輕彈簧兩端各聯(lián)絡(luò)一個小球組成，兩小球質(zhì)量相等?，F(xiàn)忽然給左端小球一個向右的速度V第一次0,求彈簧恢復(fù)到自然長度時，每個小球的速度。(2)如圖2,將N個這樣的振子放在該軌道上，最左側(cè)的振子1被壓縮至彈簧為某一長度后鎖定，靜止在適合地址上，這時它的彈性勢能為E0。其余各振子間都有必然的距離，現(xiàn)清除對振子1的鎖定，任其自由運動，當它第一次恢復(fù)到自然長度時，恰好與振子2碰撞,Hl此后，連續(xù)發(fā)生一系列碰撞，每個振子被碰后恰好都是在彈簧第一次恢復(fù)到自然長度時與下一個振子相碰.求全部可能的碰撞都發(fā)生后，每個振子彈性勢能的最大值。已知本題中兩球發(fā)生碰撞時，速度交換，即一球碰后的速度等于另一球碰前的速度。解析：(1)設(shè)每個小球質(zhì)量為m,以u1、u2分別表示彈簧恢復(fù)到自然長度時左右兩端小球的速度.由動量守恒和能量守恒定律有mu1mu2mu0(以向右為速度正方向)^mu；1mu21mu2解得i°2?；騣0,u2u°uu,uu212220因為振子從初始狀態(tài)到彈簧恢復(fù)到自然長度的過程中，彈簧素來是壓縮狀態(tài)，彈性力使左端小球連續(xù)減速，使右端小球連續(xù)加速，所以應(yīng)該取解：u10,u2u0(2)以vi、vi'分別表示振子1清除鎖定后彈簧恢復(fù)到自然長度時左右兩小球的速度，規(guī)定向右為速度的正方向，由動量守恒和能量守恒定律，mvi+mvi'=0—mv2—mv2EE°解侍^E0E0E0E02mv2mv^-，v忻或vvvi^-.-，在這一過程中，彈簧素來是壓縮狀態(tài)，彈性力使左端小球向左加速，右端小球向右加速，故應(yīng)取解：乂EMJ旦振子i與振子2碰撞后，因為交換速度，振子i右端小球速?m'.m度變成0,左端小球速度仍為v〔，此后兩小球都向左運動，當它們向左的速度同樣時，彈簧被拉伸至最長，彈性勢能最大，設(shè)此速度為vi0,依據(jù)動量守恒定律：2mvi0mvi用Ei表示最大彈性勢能，由能量守恒有-^mvi20【mv%Ei—mv；2222,i解得Ei-E04★在原子核物理中，研究核子與核子關(guān)系的最有效路子是“雙電荷交換反應(yīng)”，這種反應(yīng)的前半部分過程和下述力學(xué)模型近似，兩個小球A和B用輕質(zhì)彈簧相連，在圓滑的水平直軌道上處于靜止狀態(tài)，在它們左側(cè)有一垂直于軌道的固定擋板P,右側(cè)有一小球C沿軌道以速度v°射向B球，如下列圖，C與B發(fā)生碰撞并馬上結(jié)成一個整體D,在它們連續(xù)向左運動的過程中，當彈簧長度變到最短時，長度忽然被鎖定，不再改變，爾后A球與擋板P發(fā)生碰撞，碰后A、D都靜止不動，A與P接觸而不粘連，過一段時間，忽然清除鎖定(鎖定及清除鎖定均無機械能損失)，已知A、B、C三球的質(zhì)量均為m。(1)求彈簧長度剛被鎖定后A球的速度。(2)求在A球走開擋板P此后的運動過程中，彈簧的最大彈性勢能。■4芝『°七=★質(zhì)量為m的小球B與質(zhì)量為2m的小球C之間用一根輕質(zhì)彈簧連接，現(xiàn)把它們放置在豎直固定的內(nèi)壁圓滑的直圓筒內(nèi)，平衡時彈簧的壓縮量為X0,如下列圖，設(shè)彈簧的彈性勢能與彈簧的形變量(即伸長量或縮短量)的平方成正比。小球A從小球B的正上方距離為3X0的P處自由落下，落在小球B上馬上與小球B粘連在一起向下運動，它們到達最低點后又向上運動。已知小球A的質(zhì)量也為m時，它們恰能回到。點(設(shè)3個小球直徑相等，且遠小于xo，略小于直圓筒內(nèi)徑)，問小球A最少在B球正上方多少距離處自由落下，與B球粘連后一起運動，可帶動小球C離開筒底。解析：設(shè)小球

A由初始地址著落至小球

B碰撞前的速度為

vo,由機械能守恒得mg3x0=2mvo2(1)所以vo=6gxo(2)設(shè)小球A與小球B碰撞后共同速度為Vi,由動量守恒得mvo=2mvi(3)所以vi=2.6gxo(4)設(shè)彈簧初始的彈性勢能為EP,則碰撞后回到。點機會械能守恒得2mgxo=22mvi2+Ep(5)1(6)由⑴(3)(5)式可礙E=2mgxoP小球B處于平衡時，有(設(shè)k為彈簧的勁度系數(shù))kxo=mg當小球C恰好被拉離筒底時，有kx=2mg(8)由(7)(8)可知，x=2xo(9)依據(jù)題中條件可知，小球C恰好被拉離筒底時，彈簧彈性勢能E'P=4EP(10)設(shè)小球A最少在B球正上方h處高處著落，且與小球B碰撞前速度為v3,由機械能守恒