第十四次文概率

29.兩個離散變量的函數(shù)的分布（1）P492.24（2）30.兩個離散變量的函數(shù)的分布計算9種情形，合并整理得到：若r.vX具有概率密度為常數(shù),則稱

X

服從參數(shù)為

的指數(shù)分布.指數(shù)分布λf(x)x

正態(tài)分布的定義

若r.vX的概率密度為記作

f(x)所確定的曲線叫作正態(tài)曲線.其中和都是常數(shù)，任意，>0，則稱X服從參數(shù)為和的正態(tài)分布.

P92當x→∞時，f(x)→0,x=μσ故f(x)以μ為對稱軸，并在x=μ處達到最大值:

決定了圖形的中心位置，決定了圖形中峰的陡峭程度.正態(tài)分布的圖形特點

設X~,X的分布函數(shù)是標準正態(tài)分布的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布.P93

一個服從正態(tài)分布的隨機變量X的線性函數(shù)Y=aX+b仍然服從正態(tài)分布。,則

~N(0,1)

設定理P94正態(tài)分布表表中給的是x>0的值.當x<0時P260若~N(0,1)

若

X～N(0,1),一般正態(tài)分布的計算：時，可以認為，Y的取值幾乎全部集中在區(qū)間內(nèi).

這在統(tǒng)計學上稱作“3準則”

（三倍標準差原則）.自然界許多指標都服從或近似服從正態(tài)分布

成年人的各種生理指標：身高、體重、血壓、視力、智商等例一個班的某門課程的考試成績例海浪的高度例一個地區(qū)的日耗電量例各種測量的誤差例炮彈落點例一個地區(qū)的家庭年收入例正態(tài)分布的背景和應用服從正態(tài)分布的指標有什么特點一般說，若影響某一數(shù)量指標的隨機因素很多，而每個因素所起的作用都不太大，則這個指標服從正態(tài)分布.為什么叫“正態(tài)”分布正態(tài)分布密度呈現(xiàn)“中間高，兩頭低”的形態(tài)，它描述了自然界大量存在的隨機現(xiàn)象，所以正態(tài)分布是自然界的一種“正常狀態(tài)

(normal)”的分布.問題？問題？Ox-8-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

12345678正態(tài)分布的密度曲線高爾頓釘板試驗

例公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰頭機會在0.01以下來設計的.設男子身高X～N(170,62),問車門高度應如何確定?

解:設車門高度為hcm,按設計要求P(X≥h)≤0.01或

P(X<h)≥0.99，下面我們來求滿足上式的最小的

h.因為X～N(170,62),故

P(X<h)=0.99查表得(2.33)=0.9901>0.99所以=2.33,即

h=170+13.98184設計車門高度為184厘米時，可使男子與車門碰頭機會不超過0.01.P(X<h)0.99求滿足的最小的

h.正態(tài)分布的和

服從正態(tài)分布的獨立變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布。例設并且相互獨立，則：

若二維隨機變量（X,Y）具有概率密度

則稱（X,Y）服從參數(shù)為

的二維正態(tài)分布.其中均為常數(shù),且記作（X,Y）～N().二元正態(tài)分布P97

二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布都是一維正態(tài)分布,并且不依賴于參數(shù)（相關系數(shù)）.

若（X，Y）服從二維正態(tài)分布，則邊緣分布X與Y獨立的充分必要條件是X與Y不相關。

P98，定理4.6定理4.5由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布.

也就是說,對于給定的

不同的

對應不同的二維正態(tài)分布,但它們的邊緣分布卻都是一樣的.此例再次表明:兩個獨立的正態(tài)分布的聯(lián)合分布是一個二維正態(tài)分布（相關系數(shù)

）.

二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布都是一維正態(tài)分布,并且不依賴于參數(shù)（相關系數(shù)）.

若（X，Y）服從二維正態(tài)分布，則邊緣分布X與Y獨立的充分必要條件是X與Y不相關。

兩個獨立的正態(tài)分布的聯(lián)合分布是一個二維正態(tài)分布（相關系數(shù)

）.二元正態(tài)分布總結(jié)：

二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布都是一維正態(tài)分布,并且不依賴于參數(shù)（相關系數(shù)）.第五章大數(shù)定理與中心極限定理

研究大量的隨機現(xiàn)象，常常采用極限形式，由此導致對極限定理進行研究.極限定理的內(nèi)容很廣泛，其中最重要的有兩種:

與大數(shù)定律中心極限定理大數(shù)定律切比雪夫不等式中心極限定理

切比雪夫不等式

設隨機變量X有期望E(X)和方差，則對于任給>0,或

若

越小，則事件{|X-E(X)|<}的概率越大，即隨機變量X集中在期望附近的可能性越大.P104

切比雪夫不等式對此作了精確的描述。當方差已知時，切比雪夫不等式給出了r.v

X與它的期望的偏差不小于

的概率的估計式.如取

可見，對任給的分布，只要期望和方差

存在，則

r.vX取值偏離E(X)超過3的概率小于0.111.正態(tài)分布：例

已知正常男性成人血液中，每一毫升白細胞數(shù)平均是7300，均方差是700.利用切比雪夫不等式估計每毫升白細胞數(shù)在5200~9400之間的概率.解：設每毫升白細胞數(shù)為X依題意，E(X)=7300,D(X)=7002所求為

P(5200

X

9400)P(5200X9400)=P(5200-7300

X-7300

9400-7300)=P(-2100X-E(X)2100)=P{|X-E(X)|

2100}由切比雪夫不等式

P{|X-E(X)|2100}即估計每毫升白細胞數(shù)在5200~9400之間的概率不小于8/9.E(X)=7300,D(X)=7002大數(shù)定律大數(shù)定律的客觀背景幾個常見的大數(shù)定律大量的隨機現(xiàn)象下平均結(jié)果具有穩(wěn)定性

大數(shù)定律的客觀背景大量拋擲硬幣正面出現(xiàn)頻率字母使用頻率生產(chǎn)過程中的廢品率……幾個常見的大數(shù)定律貝努里大數(shù)定律辛欽大數(shù)定律切比雪夫大數(shù)定律問題:伯努利

設nA是n重貝努里試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，是事件A發(fā)生的頻率.實踐證明：當試驗次數(shù)n增大時，fn(A)逐漸趨向一個穩(wěn)定值。可將此穩(wěn)定值記作P(A)，作為事件A的概率.P8如何從數(shù)學的角度描述這一極限？

已知事件的概率，事件的頻率是否確實（數(shù)學的證明）可以代替事件的概率？

P107

設Sn是n重貝努里試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，頻率事件A的概率記？

設Sn是n重貝努里試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，則對任給的ε>0，定理（貝努里大數(shù)定律）或P106伯努利

貝努里大數(shù)定律表明，當重復試驗次數(shù)n充分大時，事件A發(fā)生的頻率Sn/n與事件A的概率p有較大偏差的概率很小.

貝努里大數(shù)定律提供了通過試驗來確定事件概率的方法（數(shù)學基礎）.任給ε>0，

這個定理說明在試驗條件不變的情況下,重復進行多次試驗時,任何事件A發(fā)生的頻率將趨向（依概率收斂）于概率.頻率事件A的概率？

設Sn是n重貝努里試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，則對任給的ε>0，定理（貝努里大數(shù)定律）P106

設隨機變量序列X1,X2,…獨立同分布，具有有限的數(shù)學期望E(Xi)=μ,i=1,2,…，則對任給ε>0，定理（辛欽大數(shù)定律）辛欽注：貝努里大數(shù)定律是辛欽大數(shù)定律的特殊情況。P107

辛欽大數(shù)定律為尋找隨機變量的期望值提供了一條實際可行的途徑.辛欽定理說明我們應當相信只要反復試驗,則一個隨機變量的算術平均值將趨向于常數(shù),通常就是數(shù)學期望.

設隨機變量序列X1,X2,…獨立同分布，具有有限的數(shù)學期E(Xi)=μ,i=1,2,…，則對任給ε>0，

設隨機變量序列X1,X2,…獨立同分布，具有有限的數(shù)學期望E(Xi)=μ,i=1,2,…，則對任給ε>0，定理（辛欽大數(shù)定律）P107定理（切比雪夫大數(shù)定律）

設

X1,X2,…是相互獨立的隨機變量序列，它們都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即

D(Xi)≤K，i=1,2,…，切比雪夫則對任意的ε>0，P105

證明切比雪夫大數(shù)定律主要的數(shù)學工具是切比雪夫不等式.

設隨機變量X有期望E(X)和方差，則對于任給>0,

設

X1,X2,…是相互獨立的隨機變量序列，它們都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即

D(Xi)≤K，i=1,2,…，則對任意的ε>0，證明:記:由切比雪夫不等式：