材料力學(xué)第六章簡(jiǎn)單的超靜定問題

第六章簡(jiǎn)單的超靜定問題材料力學(xué)§6-1超靜定問題約束反力可由靜力平衡方程全部求得靜定結(jié)構(gòu)：約束反力不能全部由平衡方程求得超靜定結(jié)構(gòu)：結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度和剛度均得到提高超靜定次數(shù)：約束反力多于獨(dú)立平衡方程的數(shù)獨(dú)立平衡方程數(shù)：平面任意力系：3個(gè)平衡方程平面共點(diǎn)力系：2個(gè)平衡方程平面平行力系：2個(gè)平衡方程共線力系：1個(gè)平衡方程C'變形圖精確畫法，圖中弧線；求各桿的變形量△Li，如圖；變形圖近似畫法，圖中弧之切線。一、小變形放大圖與位移的求法。6-2拉壓超靜定問題ABCL1L2PC"

AB長(zhǎng)2m,面積為200mm2。AC面積為250mm2。E=200GPa。F=10kN。試求節(jié)點(diǎn)A的位移。解：1、計(jì)算軸力。（設(shè)斜桿為1桿，水平桿為2桿）取節(jié)點(diǎn)A為研究對(duì)象2、根據(jù)胡克定律計(jì)算桿的變形。AF300斜桿伸長(zhǎng)水平桿縮短例13、節(jié)點(diǎn)A的位移（以切代?。〢F300圖所示結(jié)構(gòu)，剛性橫梁AB由斜桿CD吊在水平位置上，斜桿CD的抗拉剛度為EA，B點(diǎn)處受荷載F作用，試求B點(diǎn)的位移δB。例2ADFBαaL/2L/2B11、列出獨(dú)立的平衡方程超靜定結(jié)構(gòu)的求解方法：2、變形幾何關(guān)系3、物理關(guān)系4、補(bǔ)充方程5、求解方程組得二、拉壓超靜定問題解法平衡方程；

幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程；

物理方程——彈性定律；

補(bǔ)充方程：由幾何方程和物理方程得；

解由平衡方程和補(bǔ)充方程組成的方程組。拉壓超靜定問題的方法步驟：例題3變形協(xié)調(diào)關(guān)系:物理關(guān)系:平衡方程:解：（1）補(bǔ)充方程:（2）木制短柱的四角用四個(gè)40mm×40mm×4mm的等邊角鋼加固，已知角鋼的許用應(yīng)力[σst]=160MPa，Est=200GPa；木材的許用應(yīng)力[σW]=12MPa，EW=10GPa，求許可載荷F。250250代入數(shù)據(jù)，得根據(jù)角鋼許用應(yīng)力，確定F根據(jù)木柱許用應(yīng)力，確定F許可載荷250250查表知40mm×40mm×4mm等邊角鋼故例4

AB為剛性梁，1、2兩桿的橫截面面積相等。求1、2兩桿的內(nèi)力。解由平衡方程得3P-2N2cosa-N1＝0由變形協(xié)調(diào)條件得=2Dl1Dl2cosa由物理關(guān)系Dl1=N1lEADl2=N2lEAcosa3P-2N2cosa-N1＝0=2Dl1Dl2cosaN1=3P4cos3a+1所以N2lEAcos2a

=2N1lEA最后解得N2=6Pcos2a4cos3a+1列靜力平衡方程變形協(xié)調(diào)方程

圖示剛性梁AB受均布載荷作用，梁在A端鉸支，在B點(diǎn)和C點(diǎn)由兩根鋼桿BD和CE支承。已知鋼桿的橫截面面積ADB=200mm2，ACE=400mm2，其許用應(yīng)力[σ]=170MPa，試校核鋼桿的強(qiáng)度。2m1m1.8LL2m1m

例53桿材料相同，AB桿面積為200mm2，AC桿面積為300mm2，AD桿面積為400mm2，若F=30kN，試計(jì)算各桿的應(yīng)力。列出平衡方程：即：

列出變形幾何關(guān)系

，則AB、AD桿長(zhǎng)為解：設(shè)AC桿桿長(zhǎng)為FF例題6

即：

列出變形幾何關(guān)系

FF將A點(diǎn)的位移分量向各桿投影.得變形關(guān)系為

代入物理關(guān)系整理得

FF聯(lián)立①②③，解得：（壓）（拉）（拉）二、裝配應(yīng)力由于加工時(shí)的尺寸誤差，造成裝配后的結(jié)構(gòu)存在應(yīng)力，稱裝配應(yīng)力。裝配應(yīng)力僅存在于靜不定結(jié)構(gòu)中。ABC12A1例7吊橋鏈條的一節(jié)由三根長(zhǎng)為l的鋼桿組成。截面積相同，材料相同，中間一節(jié)短于名義長(zhǎng)度。加工誤差為d=l/2000，求裝配應(yīng)力。由平衡方程得2N1=N2由位移協(xié)調(diào)方程得Dl1+Dl2＝dDl1=N1l1E1A1Dl2=N2l2E2A2由N1=EA6000N2=EA3000N1+N2=EA2000得最后得s1=33.3MPas2=66.7MPa三、溫度應(yīng)力工作在溫度變化范圍較大的構(gòu)件，由于溫度變化而引起桿件內(nèi)的應(yīng)力，稱溫度應(yīng)力。溫度應(yīng)力也僅存在于靜不定結(jié)構(gòu)中。發(fā)電機(jī)輸熱管道化工管道橋梁裸露的輸氣管及水管ABC12由平衡方程得RA＝RB由溫度引起的伸長(zhǎng)為DlT＝aDT·l由于基座的約束，AB桿其實(shí)并無伸長(zhǎng)DlT＝Dls溫度應(yīng)力的解法Dls

＝RBlEA可解得aDT·l

=RBlEARB=EAaDTs=EaDT碳鋼的溫度應(yīng)力碳鋼的a=12.5x10-6/C，E=200GPa。sT=EaDT=12.5x10-6x200x103DT=2.5DT(MPa)當(dāng)DT＝80C時(shí)，sT高達(dá)200MPa，而低碳鋼的ss僅235MPa，許用應(yīng)力[s]通常僅120MPa。所以應(yīng)力是非常大的。伸縮節(jié)波紋管伸縮節(jié)伸縮縫火車鋼軌伸縮縫梳狀伸縮縫疊合伸縮縫

拉壓aaaaN1N2例8

如圖，階梯鋼桿的上下兩端在T1=5℃

時(shí)被固定,桿的上下兩段的面積分別

=cm2，

=cm2，當(dāng)溫度升至T2

=25℃時(shí),求各桿的溫度應(yīng)力。

(線膨脹系數(shù)=12.5×；

彈性模量E=200GPa)、幾何方程：解：、平衡方程：、物理方程解平衡方程和補(bǔ)充方程，得:、補(bǔ)充方程、溫度應(yīng)力拉壓

aaN1N2扭轉(zhuǎn)6-3、扭轉(zhuǎn)超靜定問題解扭轉(zhuǎn)超靜定問題的方法步驟：平衡方程；幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程；補(bǔ)充方程：由幾何方程和物理方程得到；物理方程；解由平衡方程和補(bǔ)充方程組成的方程組。①②③④⑤例題9一組合桿由實(shí)心桿1和空心管2結(jié)合在一起所組成，桿和管的材料相同。剪切模量為G,試求組合桿承受外力偶矩M以后，桿和管內(nèi)的最大切應(yīng)力。12T12解：（1）靜力學(xué)關(guān)系（2）變形協(xié)調(diào)條件扭轉(zhuǎn)的靜不定問題材料力學(xué)（3）物理關(guān)系：（4）代入變形協(xié)調(diào)方程，得補(bǔ)充方程（5）補(bǔ)充方程與靜力平衡方程聯(lián)立，解得材料力學(xué)（6）最大切應(yīng)力桿1：管2：材料力學(xué)扭轉(zhuǎn)[例10]長(zhǎng)為L(zhǎng)=2m的圓桿受均布力偶m=20Nm/m的作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為

=0.8，外徑D=0.0226m，G=80GPa，試求固定端的反力偶。解：

①桿的受力圖如圖示，

這是一次超靜定問題。

平衡方程為：扭轉(zhuǎn)②幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程③綜合物理方程與幾何方程，得補(bǔ)充方程：④由平衡方程和補(bǔ)充方程得：§6-4簡(jiǎn)單超靜定梁處理方法：平衡方程、變形協(xié)調(diào)方程、物理方程，求全部未知力。解：建立基本靜定系確定超靜定次數(shù)，用反力代替多余約束所得到的結(jié)構(gòu)——基本靜定系。=彎曲變形qLABLqMABAqLRBABx幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程+qLRBAB=RBABqAB物理方程——變形與力的關(guān)系補(bǔ)充方程求解其它問題（反力、應(yīng)力、變形等）qLAB[例11]畫梁的剪力圖和彎矩圖=彎曲變形qLABLqMABAx幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程另解即得

圖示梁,A處為固定鉸鏈支座,B,C二處為輥軸支座.梁作用有均布荷載.已知:均布荷載集度q=15N/m,L=4m,梁圓截面直徑d=100mm,[σ]=100MPa.試校核該梁的強(qiáng)度.

例題12列靜力平衡方程