湖南省衡陽(yáng)四中2023屆高考臨考沖刺數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁(yè)
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2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫(huà)出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知等差數(shù)列中,若,則此數(shù)列中一定為0的是()A. B. C. D.2.“中國(guó)剩余定理”又稱(chēng)“孫子定理”,最早可見(jiàn)于中國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題,叫做“物不知數(shù)”,原文如下:今有物不知其數(shù),三三數(shù)之剩二,五五數(shù)之剩三,七七數(shù)之剩二.問(wèn)物幾何?現(xiàn)有這樣一個(gè)相關(guān)的問(wèn)題:將1到2020這2020個(gè)自然數(shù)中被5除余3且被7除余2的數(shù)按照從小到大的順序排成一列,構(gòu)成一個(gè)數(shù)列,則該數(shù)列各項(xiàng)之和為()A.56383 B.57171 C.59189 D.612423.已知變量x,y間存在線性相關(guān)關(guān)系,其數(shù)據(jù)如下表,回歸直線方程為,則表中數(shù)據(jù)m的值為()變量x0123變量y35.57A.0.9 B.0.85 C.0.75 D.0.54.函數(shù)的圖象如圖所示,則它的解析式可能是()A. B.C. D.5.已知斜率為k的直線l與拋物線交于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為,則斜率k的取值范圍是()A. B. C. D.6.在中,“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為,點(diǎn)是的一條漸近線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn),以為直徑的圓過(guò)且交的左支于兩點(diǎn),若,的面積為8,則的漸近線方程為()A. B.C. D.8.是虛數(shù)單位,則()A.1 B.2 C. D.9.已知雙曲線(,)的左、右頂點(diǎn)分別為,,虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為,,若四邊形的內(nèi)切圓面積為,則雙曲線焦距的最小值為()A.8 B.16 C. D.10.已知集合,集合,則A. B.或C. D.11.如圖示,三棱錐的底面是等腰直角三角形,,且,,則與面所成角的正弦值等于()A. B. C. D.12.設(shè)復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù)f(x)=axlnx﹣bx(a,b∈R)在點(diǎn)(e,f(e))處的切線方程為y=3x﹣e,則a+b=_____.14.曲線y=e-5x+2在點(diǎn)(0,3)處的切線方程為_(kāi)_______.15.設(shè)函數(shù),若在上的最大值為,則________.16.在△ABC中,()⊥(>1),若角A的最大值為,則實(shí)數(shù)的值是_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知x,y,z均為正數(shù).(1)若xy<1,證明:|x+z|?|y+z|>4xyz;(2)若=,求2xy?2yz?2xz的最小值.18.(12分)為了檢測(cè)某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程,從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一批零件,根據(jù)其尺寸的數(shù)據(jù)得到如圖所示的頻率分布直方圖,若尺寸落在區(qū)間之外,則認(rèn)為該零件屬“不合格”的零件,其中,s分別為樣本平均數(shù)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差,計(jì)算可得(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表).(1)求樣本平均數(shù)的大??;(2)若一個(gè)零件的尺寸是100cm,試判斷該零件是否屬于“不合格”的零件.19.(12分)隨著時(shí)代的發(fā)展,A城市的競(jìng)爭(zhēng)力、影響力日益卓著,這座創(chuàng)新引領(lǐng)型城市有望踏上向“全球城市”發(fā)起“沖擊”的新征程.A城市的活力與包容無(wú)不吸引著無(wú)數(shù)懷揣夢(mèng)想的年輕人前來(lái)發(fā)展,目前A城市的常住人口大約為1300萬(wàn).近日,某報(bào)社記者作了有關(guān)“你來(lái)A城市發(fā)展的理由”的調(diào)查問(wèn)卷,參與調(diào)查的對(duì)象年齡層次在25~44歲之間.收集到的相關(guān)數(shù)據(jù)如下:來(lái)A城市發(fā)展的理由人數(shù)合計(jì)自然環(huán)境1.森林城市,空氣清新2003002.降水充足,氣候怡人100人文環(huán)境3.城市服務(wù)到位1507004.創(chuàng)業(yè)氛圍好3005.開(kāi)放且包容250合計(jì)10001000(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),預(yù)測(cè)400萬(wàn)25~44歲年齡的人中,選擇“創(chuàng)業(yè)氛圍好”來(lái)A城市發(fā)展的有多少人;(2)從所抽取選擇“自然環(huán)境”作為來(lái)A城市發(fā)展的理由的300人中,利用分層抽樣的方法抽取6人,從這6人中再選取3人發(fā)放紀(jì)念品.求選出的3人中至少有2人選擇“森林城市,空氣清新”的概率;(3)在選擇“自然環(huán)境”作為來(lái)A城市發(fā)展的理由的300人中有100名男性;在選擇“人文環(huán)境”作為來(lái)A城市發(fā)展的理由的700人中有400名男性;請(qǐng)?zhí)顚?xiě)下面列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為性別與“自然環(huán)境”或“人文環(huán)境”的選擇有關(guān)?自然環(huán)境人文環(huán)境合計(jì)男女合計(jì)附:,.P()0.0500.0100.001k3.8416.63510.82820.(12分)如圖,在四面體中,.(1)求證:平面平面;(2)若,求四面體的體積.21.(12分)已知函數(shù),(其中,).(1)求函數(shù)的最小值.(2)若,求證:.22.(10分)(選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程)在平面直角坐標(biāo)系,已知曲線(為參數(shù)),在以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程;(2)過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線交于,兩點(diǎn),求點(diǎn)到,的距離之積.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式,由此確定數(shù)列為的項(xiàng).【詳解】由于等差數(shù)列中,所以,化簡(jiǎn)得,所以為.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列的基本量計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

根據(jù)“被5除余3且被7除余2的正整數(shù)”,可得這些數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列,然后根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式,可得結(jié)果.【詳解】被5除余3且被7除余2的正整數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為23,公差為的等差數(shù)列,記數(shù)列則令,解得.故該數(shù)列各項(xiàng)之和為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的應(yīng)用,屬基礎(chǔ)題。3、A【解析】

計(jì)算,代入回歸方程可得.【詳解】由題意,,∴,解得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查線性回歸直線方程,解題關(guān)鍵是掌握性質(zhì):線性回歸直線一定過(guò)中心點(diǎn).4、B【解析】

根據(jù)定義域排除,求出的值,可以排除,考慮排除.【詳解】根據(jù)函數(shù)圖象得定義域?yàn)?,所以不合題意;選項(xiàng),計(jì)算,不符合函數(shù)圖象;對(duì)于選項(xiàng),與函數(shù)圖象不一致;選項(xiàng)符合函數(shù)圖象特征.故選:B【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)函數(shù)圖象選擇合適的解析式,主要利用函數(shù)性質(zhì)分析,常見(jiàn)方法為排除法.5、C【解析】

設(shè),,,,設(shè)直線的方程為:,與拋物線方程聯(lián)立,由△得,利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件得,,代入上式即可求出的取值范圍.【詳解】設(shè)直線的方程為:,,,,,聯(lián)立方程,消去得:,△,,且,,,線段的中點(diǎn)為,,,,,,,,把代入,得,,,故選:【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系,考查了韋達(dá)定理的應(yīng)用,屬于中檔題.6、D【解析】

通過(guò)列舉法可求解,如兩角分別為時(shí)【詳解】當(dāng)時(shí),,但,故充分條件推不出;當(dāng)時(shí),,但,故必要條件推不出;所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查命題的充分與必要條件判斷,三角函數(shù)在解三角形中的具體應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題7、B【解析】

由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性可得即,又,從而可得的漸近線方程.【詳解】設(shè)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)為,由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性,四邊形是矩形,所以,即,由,得:,所以,所以,所以,,所以,的漸近線方程為.故選B【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),考查直線與圓的位置關(guān)系,考查數(shù)形結(jié)合思想與計(jì)算能力,屬于中檔題.8、C【解析】

由復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則求出,再由模長(zhǎng)公式,即可求解.【詳解】由.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法和模,屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

根據(jù)題意畫(huà)出幾何關(guān)系,由四邊形的內(nèi)切圓面積求得半徑,結(jié)合四邊形面積關(guān)系求得與等量關(guān)系,再根據(jù)基本不等式求得的取值范圍,即可確定雙曲線焦距的最小值.【詳解】根據(jù)題意,畫(huà)出幾何關(guān)系如下圖所示:設(shè)四邊形的內(nèi)切圓半徑為,雙曲線半焦距為,則所以,四邊形的內(nèi)切圓面積為,則,解得,則,即故由基本不等式可得,即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故焦距的最小值為.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的定義及其性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用,圓錐曲線與基本不等式綜合應(yīng)用,屬于中檔題.10、C【解析】

由可得,解得或,所以或,又,所以,故選C.11、A【解析】

首先找出與面所成角,根據(jù)所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值,再根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求出所成角的正弦值.【詳解】由題知是等腰直角三角形且,是等邊三角形,設(shè)中點(diǎn)為,連接,,可知,,同時(shí)易知,,所以面,故即為與面所成角,有,故.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間幾何題中線面夾角的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】

由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可整理得到,由此得到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo),從而確定所處象限.【詳解】由得:,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,位于第一象限.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限的求解,涉及到復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、0【解析】

由題意,列方程組可求,即求.【詳解】∵在點(diǎn)處的切線方程為,,代入得①.又②.聯(lián)立①②解得:..故答案為:0.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.14、.【解析】

先利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率,再寫(xiě)出切線方程.【詳解】因?yàn)閥′=-5e-5x,所以切線的斜率k=-5e0=-5,所以切線方程是:y-3=-5(x-0),即y=-5x+3.故答案為y=-5x+3.【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)的求導(dǎo),意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是曲線在處的切線的斜率,相應(yīng)的切線方程是15、【解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),由在上,可得在上單調(diào)遞增,則函數(shù)最大值為,即可求出參數(shù)的值.【詳解】解:定義域?yàn)?,在上單調(diào)遞增,故在上的最大值為故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值,屬于基礎(chǔ)題.16、1【解析】

把向量進(jìn)行轉(zhuǎn)化,用表示,利用基本不等式可求實(shí)數(shù)的值.【詳解】,解得=1.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積應(yīng)用,綜合了基本不等式,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)證明見(jiàn)解析;(2)最小值為1【解析】

(1)利用基本不等式可得,再根據(jù)0<xy<1時(shí),即可證明|x+z|?|y+z|>4xyz.(2)由=,得,然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz≥3,從而求出2xy?2yz?2xz的最小值.【詳解】(1)證明:∵x,y,z均為正數(shù),∴|x+z|?|y+z|=(x+z)(y+z)≥=,當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)=z時(shí)取等號(hào).又∵0<xy<1,∴,∴|x+z|?|y+z|>4xyz;(2)∵=,即.∵,,,當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)=z=1時(shí)取等號(hào),∴,∴xy+yz+xz≥3,∴2xy?2yz?2xz=2xy+yz+xz≥1,∴2xy?2yz?2xz的最小值為1.【點(diǎn)睛】本題考查了利用綜合法證明不等式和利用基本不等式求最值,考查了轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力,屬中檔題.18、(1)66.5(2)屬于【解析】

(1)利用頻率分布直方圖的平均數(shù)公式求解;(2)求出,即可判斷得解.【詳解】(1)(2)所以該零件屬于“不合格”的零件【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率分布圖中平均數(shù)的計(jì)算和應(yīng)用,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.19、(1)(萬(wàn))(2)(3)填表見(jiàn)解析;有的把握認(rèn)為性別與“自然環(huán)境”或“人文環(huán)境”的選擇有關(guān)【解析】

(1)在1000個(gè)樣本中選擇“創(chuàng)業(yè)氛圍好”來(lái)A城市發(fā)展的有300個(gè),根據(jù)頻率公式即可求得結(jié)果.(2)由分層抽樣的知識(shí)可得,抽取6人中,4人選擇“森林城市,空氣清新”,2人選擇“降水充足,氣候怡人”求出對(duì)應(yīng)的基本事件數(shù),即可求得結(jié)果.(3)計(jì)算的值,對(duì)照臨界值表可得答案.【詳解】(1)(萬(wàn))(2)從所抽取選擇“自然環(huán)境”作為來(lái)A城市發(fā)展理由的300人中,利用分層抽樣的方法抽取6人,其中4人是選擇“森林城市,空氣清新”,2人是選擇“降水充足,氣候怡人”.記事件A為選出的3人中至少有2人選擇“森林城市,空氣清新”,則,.(3)列聯(lián)表如下自然環(huán)境人文環(huán)境合計(jì)男100400500女200300500合計(jì)3007001000,所以有的把握認(rèn)為性別與“自然環(huán)境”或“人文環(huán)境”的選擇有關(guān).【點(diǎn)睛】本題主要考查獨(dú)立性檢測(cè)的相關(guān)知識(shí)、分層抽樣與古典概念計(jì)算概率、考查學(xué)生的綜合分析與計(jì)算能力,難度較易.20、(1)證明見(jiàn)解析;(2).【解析】

(1)取中點(diǎn),連接,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到,利用全等三角形證得,由此證得平面,進(jìn)而證得平面平面.(2)由(1)知平面,即是四面體的面上的高,結(jié)合錐體體積公式,求得四面體的體積.【詳解】(1)證明:如圖,取中點(diǎn),連接,由則,則,故故,平面.又平面,故平面平面(2)由(1)知平面,即是四面體的面上的高,且.在中,,由勾股定理易知故四面體的體積【點(diǎn)睛】本小題主要考查面面垂直的證明,考查錐體體積計(jì)算,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.21、(1).(2)答案見(jiàn)解析【解析】

(1)利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)即可求得最小值;(2)利用分析法,只需證明,兩邊平方后結(jié)合即可得證.【詳解】(1),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),∴的最小值;(2)證明:依題意,,要證,即證,即證,即證,

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