吉林省公主嶺第五中學(xué)2023年高考數(shù)學(xué)四模試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，，則的極大值點(diǎn)為()A． B． C． D．2．已知滿足，則的取值范圍為（）A． B． C． D．3．在等差數(shù)列中，，，若（），則數(shù)列的最大值是（）A． B．C．1 D．34．已知點(diǎn)P不在直線l、m上，則“過點(diǎn)P可以作無數(shù)個(gè)平面，使得直線l、m都與這些平面平行”是“直線l、m互相平行”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．某歌手大賽進(jìn)行電視直播，比賽現(xiàn)場有名特約嘉賓給每位參賽選手評分，場內(nèi)外的觀眾可以通過網(wǎng)絡(luò)平臺給每位參賽選手評分.某選手參加比賽后，現(xiàn)場嘉賓的評分情況如下表，場內(nèi)外共有數(shù)萬名觀眾參與了評分，組織方將觀眾評分按照，，分組，繪成頻率分布直方圖如下：嘉賓評分嘉賓評分的平均數(shù)為，場內(nèi)外的觀眾評分的平均數(shù)為，所有嘉賓與場內(nèi)外的觀眾評分的平均數(shù)為，則下列選項(xiàng)正確的是（）A． B． C． D．6．在棱長均相等的正三棱柱中，為的中點(diǎn)，在上，且，則下述結(jié)論：①；②；③平面平面：④異面直線與所成角為其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2 C．3 D．47．已知集合，將集合的所有元素從小到大一次排列構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，則（）A．1194 B．1695 C．311 D．10958．已知實(shí)數(shù)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．9．設(shè)直線過點(diǎn)，且與圓：相切于點(diǎn)，那么（）A． B．3 C． D．110．已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式恰有1個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A．2 B．3 C．5 D．811．已知滿足，則（）A． B． C． D．12．設(shè)向量，滿足，，，則的取值范圍是A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____.14．實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則的最大值為__________.15．若的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為，則______，含項(xiàng)的系數(shù)是______（用數(shù)字作答）.16．“直線l1：與直線l2：平行”是“a＝2”的_______條件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓，左、右焦點(diǎn)為，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，若的最大值為3，最小值為1.（1）求橢圓的方程；（2）動(dòng)直線過點(diǎn)與交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，使成立，說明理由.18．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和19．（12分）如圖所示，在四棱錐中，底面是棱長為2的正方形，側(cè)面為正三角形，且面面，分別為棱的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求二面角的正切值．20．（12分）已知函數(shù)，為實(shí)數(shù)，且．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間，上的值域（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．21．（12分）已知橢圓的離心率為，且以原點(diǎn)O為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓與直線相切．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知?jiǎng)又本€l過右焦點(diǎn)F，且與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，已知Q點(diǎn)坐標(biāo)為，求的值．22．（10分）設(shè)函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的值域；（2）設(shè)為的三個(gè)內(nèi)角，若，求的值；

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為零，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，求得極大值點(diǎn)即可.【詳解】因?yàn)?，故可得，令，因?yàn)?，故可得或，則在區(qū)間單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故的極大值點(diǎn)為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點(diǎn)，屬基礎(chǔ)題.2、C【解析】

設(shè)，則的幾何意義為點(diǎn)到點(diǎn)的斜率，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.【詳解】解：設(shè)，則的幾何意義為點(diǎn)到點(diǎn)的斜率，作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：由圖可知當(dāng)過點(diǎn)的直線平行于軸時(shí)，此時(shí)成立；取所有負(fù)值都成立；當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，取正值中的最小值，，此時(shí)；故的取值范圍為；故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查簡單線性規(guī)劃的非線性目標(biāo)函數(shù)函數(shù)問題，解題時(shí)作出可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解是解題關(guān)鍵．對于直線斜率要注意斜率不存在的直線是否存在．3、D【解析】

在等差數(shù)列中,利用已知可求得通項(xiàng)公式,進(jìn)而,借助函數(shù)的的單調(diào)性可知,當(dāng)時(shí),取最大即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋裕?，又，所以公差，所以，即，因?yàn)楹瘮?shù)，在時(shí)，單調(diào)遞減，且；在時(shí)，單調(diào)遞減，且.所以數(shù)列的最大值是，且，所以數(shù)列的最大值是3.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系,借助函數(shù)單調(diào)性研究數(shù)列最值問題,難度較易.4、C【解析】

根據(jù)直線和平面平行的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】點(diǎn)不在直線、上，若直線、互相平行，則過點(diǎn)可以作無數(shù)個(gè)平面，使得直線、都與這些平面平行，即必要性成立，若過點(diǎn)可以作無數(shù)個(gè)平面，使得直線、都與這些平面平行，則直線、互相平行成立，反證法證明如下：若直線、互相不平行，則，異面或相交，則過點(diǎn)只能作一個(gè)平面同時(shí)和兩條直線平行，則與條件矛盾，即充分性成立則“過點(diǎn)可以作無數(shù)個(gè)平面，使得直線、都與這些平面平行”是“直線、互相平行”的充要條件，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合空間直線和平面平行的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．5、C【解析】

計(jì)算出、，進(jìn)而可得出結(jié)論.【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可知，，由頻率分布直方圖可知，，則，由于場外有數(shù)萬名觀眾，所以，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)的大小比較，涉及平均數(shù)公式以及頻率分布直方圖中平均數(shù)的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

設(shè)出棱長，通過直線與直線的垂直判斷直線與直線的平行，推出①的正誤；判斷是的中點(diǎn)推出②正的誤；利用直線與平面垂直推出平面與平面垂直推出③正的誤；建立空間直角坐標(biāo)系求出異面直線與所成角判斷④的正誤．【詳解】解：不妨設(shè)棱長為：2，對于①連結(jié)，則，即與不垂直，又，①不正確；對于②，連結(jié)，，在中，，而，是的中點(diǎn)，所以，②正確；對于③由②可知，在中，，連結(jié)，易知，而在中，，，即，又，面，平面平面，③正確；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，平面上過點(diǎn)垂直于的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系；，，，，，；，；異面直線與所成角為，，故．④不正確．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假的判斷，棱錐的結(jié)構(gòu)特征，直線與平面垂直，直線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力．7、D【解析】

確定中前35項(xiàng)里兩個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)，數(shù)列中第35項(xiàng)為70，這時(shí)可通過比較確定中有多少項(xiàng)可以插入這35項(xiàng)里面即可得，然后可求和．【詳解】時(shí)，，所以數(shù)列的前35項(xiàng)和中，有三項(xiàng)3，9，27，有32項(xiàng)，所以．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列分組求和，掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列前項(xiàng)和公式是解題基礎(chǔ)．解題關(guān)鍵是確定數(shù)列的前35項(xiàng)中有多少項(xiàng)是中的，又有多少項(xiàng)是中的．8、D【解析】

根據(jù)題意，對于函數(shù)分2段分析：當(dāng)，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析可得①，當(dāng)，由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可得，在上恒成立，變形可得②，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，分析可得③，聯(lián)立三個(gè)式子，分析可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

當(dāng)，若為增函數(shù)，則①，

當(dāng)，若為增函數(shù)，必有在上恒成立，

變形可得：，

又由，可得在上單調(diào)遞減，則，

若在上恒成立，則有②，

若函數(shù)在上單調(diào)遞增，左邊一段函數(shù)的最大值不能大于右邊一段函數(shù)的最小值，則需有，③

聯(lián)立①②③可得：.

故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)以及應(yīng)用，注意分段函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì).9、B【解析】

過點(diǎn)的直線與圓：相切于點(diǎn)，可得.因此，即可得出.【詳解】由圓：配方為，，半徑.∵過點(diǎn)的直線與圓：相切于點(diǎn)，∴；∴；故選：B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量數(shù)量積的計(jì)算，考查圓的方程，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

畫出函數(shù)的圖象，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用數(shù)形結(jié)合即可得出.【詳解】解：函數(shù)，如圖所示當(dāng)時(shí)，，由于關(guān)于的不等式恰有1個(gè)整數(shù)解因此其整數(shù)解為3，又∴，，則當(dāng)時(shí)，，則不滿足題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，沒有整數(shù)解當(dāng)時(shí)，，至少有兩個(gè)整數(shù)解綜上，實(shí)數(shù)的最大值為故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍，屬于較難題.11、A【解析】

利用兩角和與差的余弦公式展開計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三角求值，涉及兩角和與差的余弦公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】

由模長公式求解即可.【詳解】，當(dāng)時(shí)取等號，所以本題答案為B.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積，考查模長公式，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

若函數(shù)恒成立，即，求導(dǎo)得，在三種情況下，分別討論函數(shù)單調(diào)性，求出每種情況時(shí)的，解關(guān)于的不等式，再取并集，即得。【詳解】由題意得,只要即可，，當(dāng)時(shí)，令解得，令，解得，單調(diào)遞減，令，解得，單調(diào)遞增，故在時(shí)，有最小值，，若恒成立，則，解得；當(dāng)時(shí)，恒成立;當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，,不合題意,舍去.綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查恒成立條件下，求參數(shù)的取值范圍，是常考題型。14、10【解析】

畫出可行域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)截距可求.【詳解】解：作出可行域如下：由得，平移直線，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，截距最小，最大解得的最大值為10故答案為：10【點(diǎn)睛】考查可行域的畫法及目標(biāo)函數(shù)最大值的求法，基礎(chǔ)題.15、【解析】的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為，，，項(xiàng)的系數(shù)是，故答案為（1），（2）.16、必要不充分【解析】

先求解直線l1與直線l2平行的等價(jià)條件，然后進(jìn)行判斷.【詳解】“直線l1：與直線l2：平行”等價(jià)于a＝±2，故“直線l1：與直線l2：平行”是“a＝2”的必要不充分條件．故答案為：必要不充分.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分必要條件的判定，把已知條件進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化是求解這類問題的關(guān)鍵，側(cè)重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）存在；詳見解析【解析】

（1）由橢圓的性質(zhì)得，解得后可得，從而得橢圓方程；（2）設(shè)，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)為，代入橢圓方程，整理后應(yīng)用韋達(dá)定理得，代入＝0由恒成立問題可求得．驗(yàn)證斜率不存在時(shí)也適合即得．【詳解】解：（1）由題易知解得，所以橢圓方程為（2）設(shè)當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)為與橢圓方程聯(lián)立得，顯然所以因?yàn)榛喗獾眉此源藭r(shí)存在定點(diǎn)滿足題意當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，顯然也滿足綜上所述，存在定點(diǎn)，使成立【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓相交問題中的定點(diǎn)問題，解題方法是設(shè)而不求的思想方法．設(shè)而不求思想方法是直線與圓錐曲線相交問題中常用方法，只要涉及交點(diǎn)坐標(biāo)，一般就用此法．18、（1）；（2）【解析】

（1）由化為，利用數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的關(guān)系，得到是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列求解.（2）由（1）得到，再利用錯(cuò)位相減法求解.【詳解】（1）可以化為，，，，又時(shí)，數(shù)列從開始成等差數(shù)列，，代入得是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，，.（2）由（1）得，，，兩式相減得，，.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的關(guān)系和錯(cuò)位相減法求和，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.19、(1)見證明；(2)【解析】

（1）取PD中點(diǎn)G，可證EFGA是平行四邊形，從而，得證線面平行；（2）取AD中點(diǎn)O，連結(jié)PO，可得面，連交于，可證是二面角的平面角，再在中求解即得．【詳解】（1）證明：取PD中點(diǎn)G，連結(jié)為的中位線，且，又且，且，∴EFGA是平行四邊形，則，又面，面，面；（2）解：取AD中點(diǎn)O，連結(jié)PO，∵面面，為正三角形，面，且，連交于，可得，，則，即．連，又，可得平面，則，即是二面角的平面角，在中，∴，即二面角的正切值為．【點(diǎn)睛】本題考查線面平行證明，考查求二面角．求二面角的步驟是一作二證三計(jì)算．即先作出二面角的平面角，然后證明此角是要求的二面角的平面角，最后在三角形中計(jì)算．20、（Ⅰ）極大值0，沒有極小值；函數(shù)的遞增區(qū)間，遞減區(qū)間，（Ⅱ）見解析【解析】

（Ⅰ）由，令，得增區(qū)間為，令，得減區(qū)間為，所以有極大值，無極小值；（Ⅱ）由，分，和三種情況，考慮函數(shù)在區(qū)間上的值域，即可得到本題答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，沒有極小值；函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，即函數(shù)的值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，即函數(shù)的值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，易得時(shí)，，在上單調(diào)遞增，時(shí)，，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最小值為，中最小的，當(dāng)時(shí)，，最小值；當(dāng)，，最小值；綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)椋?dāng)時(shí)，函數(shù)的值域，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)椋?dāng)時(shí)，函數(shù)的