吉林省長春市九臺市師范高級中學2023屆高三沖刺模擬數(shù)學試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2023年高考數(shù)學模擬試卷注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.某三棱錐的三視圖如圖所示,那么該三棱錐的表面中直角三角形的個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.02.已知正四面體的內(nèi)切球體積為v,外接球的體積為V,則()A.4 B.8 C.9 D.273.雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.4.函數(shù)(其中是自然對數(shù)的底數(shù))的大致圖像為()A. B. C. D.5.《算數(shù)書》竹簡于上世紀八十年代在湖北省江陵縣張家山出土,這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學典籍.其中記載有求“囷蓋”的術(shù):“置如其周,令相承也.又以高乘之,三十六成一”.該術(shù)相當于給出了由圓錐的底面周長與高,計算其體積的近似公式.它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取為3.那么近似公式相當于將圓錐體積公式中的圓周率近似取為()A. B. C. D.6.已知定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足(且),若,則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A. B. C. D.7.已知斜率為k的直線l與拋物線交于A,B兩點,線段AB的中點為,則斜率k的取值范圍是()A. B. C. D.8.過雙曲線左焦點的直線交的左支于兩點,直線(是坐標原點)交的右支于點,若,且,則的離心率是()A. B. C. D.9.若向量,則()A.30 B.31 C.32 D.3310.已知函數(shù)的圖像的一條對稱軸為直線,且,則的最小值為()A. B.0 C. D.11.設函數(shù)的定義域為,命題:,的否定是()A., B.,C., D.,12.若雙曲線:()的一個焦點為,過點的直線與雙曲線交于、兩點,且的中點為,則的方程為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知隨機變量服從正態(tài)分布,,則__________.14.正四棱柱中,,.若是側(cè)面內(nèi)的動點,且,則與平面所成角的正切值的最大值為___________.15.若,則____.16.函數(shù)滿足,當時,,若函數(shù)在上有1515個零點,則實數(shù)的范圍為___________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(m為參數(shù)),以坐標點O為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為ρcos(θ+)=1.(1)求直線l的直角坐標方程和曲線C的普通方程;(2)已知點M(2,0),若直線l與曲線C相交于P、Q兩點,求的值.18.(12分)已知直線與拋物線交于兩點.(1)當點的橫坐標之和為4時,求直線的斜率;(2)已知點,直線過點,記直線的斜率分別為,當取最大值時,求直線的方程.19.(12分)設函數(shù),.(Ⅰ)討論的單調(diào)性;(Ⅱ)時,若,,求證:.20.(12分)某商店舉行促銷反饋活動,顧客購物每滿200元,有一次抽獎機會(即滿200元可以抽獎一次,滿400元可以抽獎兩次,依次類推).抽獎的規(guī)則如下:在一個不透明口袋中裝有編號分別為1,2,3,4,5的5個完全相同的小球,顧客每次從口袋中摸出一個小球,共摸三次,每次摸出的小球均不放回口袋,若摸得的小球編號一次比一次大(如1,2,5),則獲得一等獎,獎金40元;若摸得的小球編號一次比一次?。ㄈ?,3,1),則獲得二等獎,獎金20元;其余情況獲得三等獎,獎金10元.(1)某人抽獎一次,求其獲獎金額X的概率分布和數(shù)學期望;(2)趙四購物恰好滿600元,假設他不放棄每次抽獎機會,求他獲得的獎金恰好為60元的概率.21.(12分)在四棱椎中,四邊形為菱形,,,,,,分別為,中點..(1)求證:;(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.22.(10分)已知.(1)若是上的增函數(shù),求的取值范圍;(2)若函數(shù)有兩個極值點,判斷函數(shù)零點的個數(shù).

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

由三視圖還原原幾何體,借助于正方體可得三棱錐的表面中直角三角形的個數(shù).【詳解】由三視圖還原原幾何體如圖,其中,,為直角三角形.∴該三棱錐的表面中直角三角形的個數(shù)為3.故選:C.【點睛】本小題主要考查由三視圖還原為原圖,屬于基礎題.2、D【解析】

設正四面體的棱長為,取的中點為,連接,作正四面體的高為,首先求出正四面體的體積,再利用等體法求出內(nèi)切球的半徑,在中,根據(jù)勾股定理求出外接球的半徑,利用球的體積公式即可求解.【詳解】設正四面體的棱長為,取的中點為,連接,作正四面體的高為,則,,,設內(nèi)切球的半徑為,內(nèi)切球的球心為,則,解得:;設外接球的半徑為,外接球的球心為,則或,,在中,由勾股定理得:,,解得,,故選:D【點睛】本題主要考查了多面體的內(nèi)切球、外接球問題,考查了椎體的體積公式以及球的體積公式,需熟記幾何體的體積公式,屬于基礎題.3、C【解析】

根據(jù)雙曲線的標準方程,即可寫出漸近線方程.【詳解】雙曲線,雙曲線的漸近線方程為,故選:C【點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì),屬于容易題.4、D【解析】由題意得,函數(shù)點定義域為且,所以定義域關(guān)于原點對稱,且,所以函數(shù)為奇函數(shù),圖象關(guān)于原點對稱,故選D.5、C【解析】

將圓錐的體積用兩種方式表達,即,解出即可.【詳解】設圓錐底面圓的半徑為r,則,又,故,所以,.故選:C.【點睛】本題利用古代數(shù)學問題考查圓錐體積計算的實際應用,考查學生的運算求解能力、創(chuàng)新能力.6、D【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性用方程法求出的解析式,進而求出,再根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性,即可求出結(jié)論.【詳解】依題意有,①,②①②得,又因為,所以,在上單調(diào)遞增,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選:D.【點睛】本題考查求函數(shù)的解析式、函數(shù)的性質(zhì),要熟記復合函數(shù)單調(diào)性判斷方法,屬于中檔題.7、C【解析】

設,,,,設直線的方程為:,與拋物線方程聯(lián)立,由△得,利用韋達定理結(jié)合已知條件得,,代入上式即可求出的取值范圍.【詳解】設直線的方程為:,,,,,聯(lián)立方程,消去得:,△,,且,,,線段的中點為,,,,,,,,把代入,得,,,故選:【點睛】本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系,考查了韋達定理的應用,屬于中檔題.8、D【解析】

如圖,設雙曲線的右焦點為,連接并延長交右支于,連接,設,利用雙曲線的幾何性質(zhì)可以得到,,結(jié)合、可求離心率.【詳解】如圖,設雙曲線的右焦點為,連接,連接并延長交右支于.因為,故四邊形為平行四邊形,故.又雙曲線為中心對稱圖形,故.設,則,故,故.因為為直角三角形,故,解得.在中,有,所以.故選:D.【點睛】本題考查雙曲線離心率,注意利用雙曲線的對稱性(中心對稱、軸對稱)以及雙曲線的定義來構(gòu)造關(guān)于的方程,本題屬于難題.9、C【解析】

先求出,再與相乘即可求出答案.【詳解】因為,所以.故選:C.【點睛】本題考查了平面向量的坐標運算,考查了學生的計算能力,屬于基礎題.10、D【解析】

運用輔助角公式,化簡函數(shù)的解析式,由對稱軸的方程,求得的值,得出函數(shù)的解析式,集合正弦函數(shù)的最值,即可求解,得到答案.【詳解】由題意,函數(shù)為輔助角,由于函數(shù)的對稱軸的方程為,且,即,解得,所以,又由,所以函數(shù)必須取得最大值和最小值,所以可設,,所以,當時,的最小值,故選D.【點睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),其中解答中利用三角恒等變換的公式,化簡函數(shù)的解析式,合理利用正弦函數(shù)的對稱性與最值是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于中檔試題.11、D【解析】

根據(jù)命題的否定的定義,全稱命題的否定是特稱命題求解.【詳解】因為:,是全稱命題,所以其否定是特稱命題,即,.故選:D【點睛】本題主要考查命題的否定,還考查了理解辨析的能力,屬于基礎題.12、D【解析】

求出直線的斜率和方程,代入雙曲線的方程,運用韋達定理和中點坐標公式,結(jié)合焦點的坐標,可得的方程組,求得的值,即可得到答案.【詳解】由題意,直線的斜率為,可得直線的方程為,把直線的方程代入雙曲線,可得,設,則,由的中點為,可得,解答,又由,即,解得,所以雙曲線的標準方程為.故選:D.【點睛】本題主要考查了雙曲線的標準方程的求解,其中解答中屬于運用雙曲線的焦點和聯(lián)立方程組,合理利用根與系數(shù)的關(guān)系和中點坐標公式是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運算能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、0.22.【解析】

正態(tài)曲線關(guān)于x=μ對稱,根據(jù)對稱性以及概率和為1求解即可。【詳解】【點睛】本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義,是一個基礎題.14、2.【解析】

如圖,以為原點建立空間直角坐標系,設點,由得,證明為與平面所成角,令,用三角函數(shù)表示出,求解三角函數(shù)的最大值得到結(jié)果.【詳解】如圖,以為原點建立空間直角坐標系,設點,則,,又,得即;又平面,為與平面所成角,令,當時,最大,即與平面所成角的正切值的最大值為2.故答案為:2【點睛】本題主要考查了立體幾何中的動點問題,考查了直線與平面所成角的計算.對于這類題,一般是建立空間直角坐標,在動點坐標內(nèi)引入?yún)?shù),將最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解,考查了學生的運算求解能力和直觀想象能力.15、【解析】

由,得出,根據(jù)兩角和與差的正弦公式和余弦公式化簡,再利用齊次式即可求出結(jié)果.【詳解】因為,所以,所以.故答案為:.【點睛】本題考查三角函數(shù)化簡求值,利用二倍角正切公式、兩角和與差的正弦公式和余弦公式,以及運用齊次式求值,屬于對公式的考查以及對計算能力的考查.16、【解析】

由已知,在上有3個根,分,,,四種情況討論的單調(diào)性、最值即可得到答案.【詳解】由已知,的周期為4,且至多在上有4個根,而含505個周期,所以在上有3個根,設,,易知在上單調(diào)遞減,在,上單調(diào)遞增,又,.若時,在上無根,在必有3個根,則,即,此時;若時,在上有1個根,注意到,此時在不可能有2個根,故不滿足;若時,要使在有2個根,只需,解得;若時,在上單調(diào)遞增,最多只有1個零點,不滿足題意;綜上,實數(shù)的范圍為.故答案為:【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的零點個數(shù)問題,涉及到函數(shù)的周期性、分類討論函數(shù)的零點,是一道中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)l:,C方程為;(2)=【解析】

(1)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系,把參數(shù)方程極坐標方程和直角坐標方程之間進行轉(zhuǎn)換.

(2)利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應用求出結(jié)果.【詳解】(1)曲線C的參數(shù)方程為(m為參數(shù)),兩式相加得到,進一步轉(zhuǎn)換為.直線l的極坐標方程為ρcos(θ+)=1,則轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為.(2)將直線的方程轉(zhuǎn)換為參數(shù)方程為(t為參數(shù)),代入得到(t1和t2為P、Q對應的參數(shù)),所以,,所以=.【點睛】本題考查參數(shù)方程極坐標方程和直角坐標方程之間的轉(zhuǎn)換,一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應用,主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力,屬于基礎題型.18、(1)(2)【解析】

(1)設,根據(jù)直線的斜率公式即可求解;(2)設直線的方程為,聯(lián)立直線與拋物線方程,由韋達定理得,,結(jié)合直線的斜率公式得到,換元后討論的符號,求最值可求解.【詳解】(1)設,因為,即直線的斜率為1.(2)顯然直線的斜率存在,設直線的方程為.聯(lián)立方程組,可得則,令,則則當時,;當且僅當,即時,解得時,取“=”號,當時,;當時,綜上所述,當時,取得最大值,此時直線的方程是.【點睛】本題主要考查了直線的斜率公式,直線與拋物線的位置關(guān)系,換元法,均值不等式,考查了運算能力,屬于難題.19、(1)證明見解析;(2)證明見解析.【解析】

(1)首先對函數(shù)求導,再根據(jù)參數(shù)的取值,討論的正負,即可求出關(guān)于的單調(diào)性即可;(2)首先通過構(gòu)造新函數(shù),討論新函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)新函數(shù)的單調(diào)性證明.【詳解】(1),令,則,令得,當時,則在單調(diào)遞減,當時,則在單調(diào)遞增,所以,當時,,即,則在上單調(diào)遞增,當時,,易知當時,,當時,,由零點存在性定理知,,不妨設,使得,當時,,即,當時,,即,當時,,即,所以在和上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減;(2)證明:構(gòu)造函數(shù),,,,整理得,,(當時等號成立),所以在上單調(diào)遞增,則,所以在上單調(diào)遞增,,這里不妨設,欲證,即證由(1)知時,在上單調(diào)遞增,則需證,由已知有,只需證,即證,由在上單調(diào)遞增,且時,有,故成立,從而得證.【點睛】本題主要考查了導數(shù)含參分類討論單調(diào)性,借助構(gòu)造函數(shù)和單調(diào)性證明不等式,屬于難題.20、(1)分布見解析,期望為;(2).【解析】

(1)先明確X的可能取值,分別求解其概率,然后寫出分布列,利用期望公式可求期望;(2)獲得的獎金恰好為60元,可能是三次二等獎,也可能是一次一等獎,兩次三等獎,然后分別求解概率即可.【詳解】(1)由題意知,隨機變量X的可能取值為10,20,40且,,所以,即隨機變量X的概率分布為X102040P所以隨機變量X的數(shù)學期望.(2)由題意知,趙四有三次抽獎機會,設恰好獲得60元為事件A,因為60=20×3=40+10+10,所以.【點睛】本題主要考查隨機變量的分布列及數(shù)學期望,明確隨機變量的所有取值是求解的第一步,再求解對應的概率,側(cè)重考查數(shù)學建模的核心素養(yǎng).21、(1)證明見解析;(2).【解析】

(1)證明,得到平面,得到證明.(2)以點為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,平面的一個法向量為,平面的一個法向量為,計算夾角得到答案.【詳解】(1)因為四邊形是菱形,且,所以是等邊三角形,又因為是的中點,所以,又因為,,所以,又,,,所以,又,,所以平面,所以,又因為是菱形,,所以,又,所以平面,所以.(2)由題意結(jié)合菱形的性質(zhì)易知,,,以點為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,則,,,,,設平面的一

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