概率論及數理統(tǒng)計知識點計劃超詳細版

..

《概率論與數理統(tǒng)計》

第一章概率論的基本觀點

§2．樣本空間、隨機事件

1．事件間的關系AB則稱事件B包括事件A，指事件A發(fā)生必定致使事件B發(fā)生

AB{xxA或xB}稱為事件A與事件B的和事件，指當且僅當

A，B中起碼有一個發(fā)生時，事件AB發(fā)生

AB{xxA且xB}稱為事件A與事件B的積事件，指當A，B

同時發(fā)生時，事件AB發(fā)生

A—B{xxA且xB}稱為事件A與事件B的差事件，指當且僅當A發(fā)生、B不發(fā)生時，事件A—B發(fā)生AB，則稱事件A與B是互不相容的，或互斥的，指事件A與事件B不可以同時發(fā)生，基本領件是兩兩互不相容的

ABS且AB，則稱事件A與事件B互為逆事件，又稱事件

A與事件B互為對峙事件2．運算規(guī)則互換律

聯合律

ABBAABBA

(AB)CA(BC)(AB)CA(BC)

分派律A（BC）(AB)(AC)

A(BC)(AB)(AC)

—

徳摩根律ABABABAB

§3．頻次與概率

定義在相同的條件下，進行了n次試驗，在這n次試驗中，事件A發(fā)生的次數nA稱為事件A發(fā)生的頻數，比值nAn稱為事件A發(fā)生的頻次概率：設E是隨機試驗，S是它的樣本空間，對于E的每一事件A給予一個實數，記為P（A），

稱為事件的概率

1．概率P(A)知足以下條件：

（1）非負性：對于每一個事件A0P(A)1

（2）規(guī)范性：對于必定事件SP(S)1

;....

nn（n可（3）可列可加性：設A,A,,A是兩兩互不相容的事件，有P(Ak)P(Ak)12nk1k1以?。?．概率的一些重要性質：（i）P()0

nn（ii）若A1,A2,,An是兩兩互不相容的事件，則有P(Ak)P(Ak)（n能夠?。﹌1k1（iii）設A，B是兩個事件若AB，則P(BA)P(B)P(A)，P(B)P(A)（iv）對于隨意事件A，P(A)1

（v）P(A)1P(A)（逆事件的概率）

（vi）對于隨意事件A，B有P(AB)P(A)P(B)P(AB)

§4等可能概型（古典概型）

等可能概型：試驗的樣本空間只包括有限個元素，試驗中每個事件發(fā)生的可能性相同若事件A包括k個基本領件，即A{ei}{ei}{ei}，里1]2ki1，i2,，ik是1,2，n中某k個不一樣的數，則有kkA包括的基本領件數P(A)P{eij}中基本領件的總數j1nS§5．條件概率（1）定義：設A,B是兩個事件，且P(A)0，稱P(B|A)P(AB)為事件A發(fā)生的條P(A)

件下事件B發(fā)生的條件概率

（2）條件概率切合概率定義中的三個條件1。非負性：對于某一事件B，有P(B|A)02。規(guī)范性：對于必定事件S，P(S|A)13可列可加性：設B1,B2,是兩兩互不相容的事件，則有P(BiA)P(BiA)i1i1（3）乘法定理設P(A)0，則有P(AB)P(B)P(A|B)稱為乘法公式

;....

n

（4）全概率公式：P(A)P(Bi)P(A|Bi)i1貝葉斯公式：P(Bk|A)P(Bk)P(A|Bk)nP(Bi)P(A|Bi)i1§6．獨立性定義設A，B是兩事件，假如知足等式P(AB)P(A)P(B)，則稱事件A,B互相獨立定理一設A，B是兩事件，且P(A)0，若A，B互相獨立，則P(B|A)PB————定理二若事件A和B互相獨立，則以下各對事件也互相獨立：A與B，A與B，A與B

第二章隨機變量及其散布

§1隨機變量

定義設隨機試驗的樣本空間為S{e}.XX(e)是定義在樣本空間S上的實值單值函

數，稱XX(e)為隨機變量

§2失散性隨機變量及其散布律

1．失散隨機變量：有些隨機變量，它所有可能取到的值是有限個或可列無窮多個，這類隨機變量稱為失散型隨機變量

P(Xxk)pk知足以下兩個條件（1）pk0，（2）Pk=1

k1

2．三種重要的失散型隨機變量

（1）散布設隨機變量X只好取0與1兩個值，它的散布律是P(Xk)k1-k，k0,1（0p1)，則稱X聽從以p為參數的散布或p（1-p）兩點散布。（2）伯努利實驗、二項散布—設實驗E只有兩個可能結果：A與A，則稱E為伯努利實驗.設—P(A)p（0p1)，此時P(A)1-p.將E獨立重復的進行n次，則稱這一串重復的獨立實驗為n重伯努利實驗。P(Xk)npkqn-k，k0,1,2，n知足條件（1）pk0，（2）Pk=1注意kk1;....

到nkqn-k是二式npk的那一，我稱隨機量X聽從參數kn，p的二散布。（3）泊松散布

隨機量X所有可能取的0,1,2?，而取各個的概率ke-0,1,2,此中0是常數，稱X聽從參數的泊松散布P(Xk),kk!

X~（）

§3隨機變量的散布函數

定X是一個隨機量，x是隨意數，函數F(x)P{Xx},-x

稱X的散布函數散布函數F(x)P(Xx)，擁有以下性(1)F(x)是一個不減函數（2）0F(x)1，且F()0,F()1（3）F(x0)F(x),即F(x)是右連續(xù)的§4連續(xù)性隨機變量及其概率密度隨機量：假如于隨機量X的散布函數F（x），存在非可函數f(x)，使于隨意函數x有F(x)xf（t）dt,稱x性隨機量，此中函數f(x)稱X-的概率密度函數，稱概率密度1概率密度f(x)擁有以下性，足（1）f(x)0,(2)f(x)dx1；-（3）P(x1Xx2)x2f(x)dx；（4）若f(x)在點x，有F，(x)f(x)x12,三種重要的型隨機量

(1)均勻散布

1，axb若性隨機量X擁有概率密度f(x)b-a，成X在區(qū)(a,b)上聽從0，其余均勻散布.X~U（a，b）(2)指數散布若性隨機量X的概率密度1e-x，x.0此中0常數，稱Xf(x)0，其余聽從參數的指數散布。（3）正散布

;....若連續(xù)型隨機變量X的概率密度為(x21）f(x)22，x，2此中，（0)為常數，則稱X聽從參數為，的正態(tài)散布或高斯散布，記為

X~N（，2）

特別，當0，1時稱隨機變量X聽從標準正態(tài)散布

§5隨機變量的函數的散布

定理設隨機變量X擁有概率密度fx()-x,又設函數g(x)到處可導且恒有x，g,(x)0，則Y=g(X)是連續(xù)型隨機變量，其概率密度為fY(y)fXh(y)h,(y),y，其余

第三章多維隨機變量

§1二維隨機變量

定義設E是一個隨機試驗，它的樣本空間是S{e}.XX(e)和YY(e)是定義在S上

的隨機變量，稱XX(e)為隨機變量，由它們組成的一個向量（X，Y）叫做二維隨機變量

設（X，Y）是二維隨機變量，對于隨意實數x，y，二元函數

F（x，y）P{(Xx)(Yy)}記成P{Xx，Yy}稱為二維隨機變量（X，Y）的

散布函數

假如二維隨機變量（X，Y）所有可能取到的值是有限對或可列無窮多對，則稱（X，

）是失散型的隨機變量。

我們稱P(Xxi，Yyj)pij，i，j1,2，為二維失散型隨機變量（X，Y）的散布律。對于二維隨機變量（X，Y）的散布函數F（x，y）f（x，y），，假如存在非負可積函數使對于隨意x，y有（，yx（，），F）f--函數f（x，y）稱為隨機變量（X，Y）的概率密度，或稱為隨機變量X和Y的聯合概率密度。§2邊沿散布二維隨機變量（X，Y）作為一個整體，擁有散布函數F（x，y）.而X和Y都是隨機

變量，各自也有散布函數，將他們分別記為F（x),（y），挨次稱為二維隨機變量（X，Y）XFY;....

對于X和對于Y的邊沿散布函數。

pipijP{Xxi}，i1,2，pjpijP{Yyi}，j1,2，j1i1分別稱pipj為（X，Y）對于X和對于Y的邊沿散布律。()(,）()(,）分別稱f(x)，fXxfxydyfYyfxydxXfY(y)為X，Y對于X和對于Y的邊沿概率密度。

§3條件散布定義設（X，Y）是二維失散型隨機變量，對于固定的PYyj}0,j，若{則稱P{XxiYyj}P{Xxi,Yyj}pij,i1,2,為在Yyj條件下P{Yyj}pj隨機變量X的條件散布律，相同P{YyjXXi}P{Xxi,Yyj}pij,j1,2,P{Xxi}pi為在Xxi條件下隨機變量X的條件散布律。設二維失散型隨機變量（X，Y）的概率密度為f(x,y)，（X，Y）對于Y的邊沿概率密度為fY(y)，若對于固定的y，fY(y)〉0，則稱f(x,y)為在Y=y的條件下X的條件fY(y)概率密度，記為fXY(xy)f(x,y)=fY(y)§4互相獨立的隨機變量定義設及(x)，FY(y)分別是二維失散型隨機變量（X，Y）的散布函F（x，y）FX數及邊沿散布函數.若對于所有x,y有P{Xx,Yy}P{Xx}P{Yy}，即F{x,y}FX(x)FY(y)，則稱隨機變量X和Y是互相獨立的。對于二維正態(tài)隨機變量（X，Y），X和Y互相獨立的充要條件是參數0§5兩個隨機變量的函數的散布

1，Z=X+Y的散布

設(X,Y)是二維連續(xù)型隨機變量，它擁有概率密度f(x,y).則Z=X+Y仍為連續(xù)性隨機變量，其概率密度為fXYz)f(zyydy或fXYzfxzx）dx(,）()(,

;....

又若X和Y互相獨立，（X，Y）對于X，Y的密度分fX(x),fY(y)

f(z)f(zy）f（y)dy和f(z)f(x）f(zx)dx兩個公式稱XYXYXYXY

fX,fY的卷公式

有限個互相獨立的正隨機量的性合仍舊聽從正散布

2，ZY的散布、ZXY的散布X(X,Y)是二型隨機量，它擁有概率密度f(x,y)，ZY，ZXYX仍性隨機量其概率密度分fYX(z)1zxf(x,xz)dxfXY(z)f(x,)dx又若X和Y互相獨立，（X，Y）xx對于X，Y的密度分fX(x),fY(y)可化fYX()fX()Y()zxfxzdx1zfXY(z)xfX(x)fY(x)dx3Mmax{X，Y}及Nmin{X,Y}的散布X，Y是兩個互相獨立的隨機量，它的散布函數分FX(x),FY(y)因為Mmax{X，Y}不大于z等價于X和Y都不大于z故有P{Mz}P{Xz,Yz}又因為X和Y互相獨立，獲得Mmax{X，Y}的散布函數()FX()()FmaxzzFYzNmin{X,Y}的散布函數Fmin(z)11FX(z)1FY(z)

第四章隨機變量的數字特點

§1．數學希望

定失散型隨機量X的散布律P{Xxk}pk，k=1,2，?若數kpkxk1收，稱數xkpk的和隨機量X的數學希望，E(X)，即E(X)xkpkk1i型隨機量X的概率密度f(x)，若分xf(x)dx收，稱分

;....

xf(x)dx的隨機量X的數學希望，E(X)，即E(X)xf(x)dx

定理Y是隨機量X的函數Y=g(X)(g是函數)

（i）假如X是失散型隨機量，它的散布律P{Xxk}pk，k=1,2，?若g(xk）pkk1

收有E(Y)E(g(X))g(xk）pkk1（ii）假如X是型隨機量，它的分概率密度f(x)，若g(x)f(x)dx收有E(Y)E(g(X))g(x)f(x)dx數學希望的幾個重要性

1C是常數，有E(C)C2X是隨機量，C是常數，有E(CX)CE(X)3X,Y是兩個隨機量，有E(XY)E(X)E(Y)；4X，Y是互相獨立的隨機量，有E(XY)E(X)E(Y)§2方差

定X是一個隨機量，若E{XE(X)2}存在，稱E{XE(X)2}X的方差，D（x）即D（x）=E{XE(X)2}，在用上引入量D(x)，(x)，稱準差或均方差。D(X)E(XE(X))2E(X2)(EX)2方差的幾個重要性1C是常數，有D(C)0,2X是隨機量，C是常數，有D(CX)C2D(X)，D(XC)D(X)3X,Y是兩個隨機量，有D(XY)D(X)D(Y)2E{(X-E(X))(Y-E(Y))}特，若X,Y互相獨立，有D(XY)D(X)D(Y)4D(X)0的充要條件是X以概率1取常數E(X)，即P{XE(X)}1切比雪夫不等式：隨機量X擁有數學希望E(X)2，于隨意正數，不等式

;....

2

P{X-}2建立

§3協(xié)方差及有關系數

定義量E{[XE(X)][YE(Y)]}稱為隨機變量X與Y的協(xié)方差為Cov(X,Y)，即Cov(X,Y)E[(XE(X))(YE(Y))]E(XY)E(X)E(Y)

而XY

Cov(X，Y）稱為隨機變量X和Y的有關系數D(X)D(Y)

對于隨意兩個隨機變量X和Y，D(XY)D(X)D(Y)2Cov(X,Y)

_

協(xié)方差擁有下述性質

1Cov(X,Y)Cov(Y,X),Cov(aX,bY)abCov(X,Y)

2Cov(X1X2,Y)Cov(X1,Y)Cov(X2,Y)定理1XY12XY1的充要條件是，存在常數a,b使P{Yabx}當XY0時，稱X和Y不有關附：幾種常用的概率散布表分參數散布律或概率密度布兩點0p1P{Xk)pk(1p)1k,k0,1，分布二項Cnkpk(1p)nk,k式n10p1P(Xk)0,1,n，分布泊松0P(Xk)ke,k0,1,2,分k!布幾何0p1P(Xk)(1p)k1p,k1,2,分

1

數學

希望

p

np

1

p

方差

p(1p)

np(1p)

p

p2

;....

布

均1勻ab,axbab(ba)2分f(x)ba，0，其余212布指1ex數0,x02分f(x)0,其余布正)21(xe222分0f(x)2布

第五章大數定律與中心極限制理

§1．大數定律

弱大數定理（辛欣大數定理）X1，X2?是互相獨立，聽從一散布的隨機量序列，并

擁有數學希望E(Xk)(k1,2,).作前n1nXk，于隨意個量的算均勻nk10，有l(wèi)imP{1nXk}1nnk1定Y1,Y2,Yn是一個隨機量序列，a是一個常數，若于隨意正數，有l(wèi)imP{Yna}1，稱序列Y1,Y2,Yn依概率收于a，Ynpan伯努利大數定理fA是n次獨立重復中事件A生的次數，p是事件A在每次中生的概率，于隨意正數〉0，有l(wèi)im{fn}1或Pnpnl