初中數(shù)學(xué)人教版九年級(jí)上冊(cè)第二十四章圓單元復(fù)習(xí) 一等獎(jiǎng)

4-11正多邊形和圓人教九上一.學(xué)習(xí)目標(biāo)1．掌握正多邊形和圓的有關(guān)概念：正多邊形的外接圓、中心、半徑、中心角、邊心距等；2．掌握正多邊形和圓中，圓的半徑、邊長(zhǎng)、邊心距、中心角之間的等量關(guān)系；3．會(huì)畫(huà)圓內(nèi)接正多邊形。二.知識(shí)回顧1．正多邊形的概念：各邊相等、各角也相等的多邊形是正多邊形。請(qǐng)舉出一些正多邊形：正方形、正六邊形、正八邊形。所有的正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，偶數(shù)條邊的正多邊形又是中心對(duì)稱圖形。2．矩形、菱形是正多邊形嗎？為什么？不是，因?yàn)榫匦蔚母鹘请m然相等但是各邊不相等。菱形的各邊雖然相等但是各角不相等。3．什么是正n邊形？如果一個(gè)正多邊形有n條邊，那么這個(gè)正多邊形叫做正n邊形。三.新知講解1．正多邊形和圓的相關(guān)概念①正n邊形的外接圓：把一個(gè)圓的圓周分為n等份，順次連接各分點(diǎn)所得的圖形，即為圓的內(nèi)接正n邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)正n邊形的外接圓。②正多邊形的中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心．③正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．④正多邊形的中心角：正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角．=5\*GB3⑤正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．2．ｎ邊形中心角、半徑、邊心距等的相關(guān)數(shù)據(jù)邊數(shù)n內(nèi)角An中心角半徑R邊長(zhǎng)an邊心距rn周長(zhǎng)Pn面積Sn360°120°R490°90°R6120°60°RR6R3．利用圓畫(huà)正多邊形利用圓可以畫(huà)出正多邊形，具體畫(huà)法如下：把圓n(n≥3)等分，依次連接各分點(diǎn)可以畫(huà)出正n邊形，過(guò)各分點(diǎn)作圓的切線也可以畫(huà)出正n邊形。所以，要作正n邊形，只要把圓n等分，依次連接各分點(diǎn)即可。常用的畫(huà)正n邊形的工具有量角器，直尺和圓規(guī)。用量角器等分圓可在圓內(nèi)用量角器畫(huà)一個(gè)的圓心角，然后在圓上依次截取這個(gè)圓心角所對(duì)的弧的等弧即可。用直尺和圓規(guī)作正多邊形，只限于某些特殊邊數(shù)的正n邊形，如正三角形，正四邊形，正八邊形，正六邊形，正十二邊形等。四.典例探究1．已知等邊三角形的邊長(zhǎng)求半徑【例1】（2013秋?嘉興期中）等邊三角形的邊長(zhǎng)為4，則此三角形外接圓的半徑為．總結(jié)：解答此題要明確兩點(diǎn)：（1）正多邊形的中心和外接圓圓心重合；（2）正三角形每個(gè)內(nèi)角都相等．利用直角三角形中30°的角對(duì)應(yīng)的直角邊等于斜邊的一半，再結(jié)合勾股定理求解。練1邊長(zhǎng)為a的等邊三角形的外接圓半徑是，其外心到一邊的距離是．2．由正六邊形的半徑求邊心距、半徑、面積【例2】半徑為4的正六邊形的邊心距為，中心角等于度，面積為．總結(jié)：（1）運(yùn)用正六邊形的性質(zhì)：“正六邊形的邊長(zhǎng)等于外接圓的半徑”，結(jié)合勾股定理求解。（2）也可以把圓內(nèi)接正六邊形的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為圓內(nèi)接正三角形的問(wèn)題，正六邊形可以分為六個(gè)全等的等邊三角形，等邊三角形的邊長(zhǎng)和原正六邊形的邊長(zhǎng)相等。再結(jié)合圓和正三角形的相關(guān)性質(zhì)求解即可。練2正六邊形的邊長(zhǎng)a，半徑R，邊心距r的比a：R：r=．3．已知圓的半徑求圓內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)、邊心距、面積【例3】（2014?武漢模擬）半徑為3的圓內(nèi)接正方形的邊心距等于．總結(jié)：結(jié)合正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識(shí)解答。練3已知正方形ABCD的邊心距OE=cm，求這個(gè)正方形外接圓⊙O的面積．4．畫(huà)圓內(nèi)接正多邊形【例4】在圖中，試分別按要求畫(huà)出圓O的內(nèi)接正多邊形．總結(jié)：利用圓可以畫(huà)出正多邊形，具體畫(huà)法如下：把圓n(n≥3)等分，依次連接各分點(diǎn)可以畫(huà)出正n邊形，過(guò)各分點(diǎn)作圓的切線也可以畫(huà)出正n邊形。所以，要作正n邊形，只要把圓n等分，依次連接各分點(diǎn)即可。常用的畫(huà)正n邊形的工具有量角器，直尺和圓規(guī)。用量角器等分圓可在圓內(nèi)用量角器畫(huà)一個(gè)的圓心角，然后在圓上依次截取這個(gè)圓心角所對(duì)的弧的等弧即可。用直尺和圓規(guī)作正多邊形，只限于某些特殊邊數(shù)的正n邊形，如正三角形，正四邊形，正八邊形，正六邊形，正十二邊形等。練4（2003?臺(tái)州）畫(huà)出你喜歡的三個(gè)不同的圓內(nèi)接正多邊形（畫(huà)圖工具不限，但要保留畫(huà)圖痕跡）五.課后小測(cè)一.選擇題（共4小題）1．（2015?順義區(qū)一模）若正多邊形的一個(gè)外角為60°，則這個(gè)正多邊形的中心角的度數(shù)是（）A．30°B．60°C．90°D．120°2．（2009?上海）下列正多邊形中，中心角等于內(nèi)角的是（）A．正六邊形B．正五邊形C．正四邊形D．正三邊形3．（2015?西寧）一元錢(qián)硬幣的直徑約為24mm，則用它能完全覆蓋住的正六邊形的邊長(zhǎng)最大不能超過(guò)（）A．12mmB．12mmC．6mmD．6mm4．（2015?寶坻區(qū)二模）正n邊形的一個(gè)外角為60°，外接圓半徑為4，則它的邊長(zhǎng)為（）A．4B．2C．4D．2二.填空題（共5小題）5．半徑為10cm的圓內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)為，內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)為，內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)為。6．（2011?南匯區(qū)模擬）若正多邊形的中心角為20°，那么它的邊數(shù)是．7．（2000?福建）一個(gè)正多邊形的中心角為36°，則它的邊數(shù)是．8．（2010秋?滄州校級(jí)期中）一個(gè)正多邊形的中心角等于45°，它的邊數(shù)是．9．（2013?奉賢區(qū)二模）正多邊形的中心角為72度，那么這個(gè)正多邊形的內(nèi)角和等于度．三.解答題（共4小題）10．已知AB是的⊙O內(nèi)接正十邊形的一邊，AC是⊙O的內(nèi)接正十五邊形的一邊，求以BC為邊的內(nèi)接正多邊形的中心角的度數(shù)．11．已知正六邊形的半徑為r，求正六邊形的邊長(zhǎng)、邊心距和面積．12．如圖所示，求半徑為2的圓內(nèi)接正方形的邊心距與面積．13．已知正六邊形的邊心距為，求正六邊形的內(nèi)角、外角、中心角、半徑、邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)和面積．

典例探究答案：例1．【考點(diǎn)】正多邊形和圓．【分析】根據(jù)正三角形的每個(gè)內(nèi)角為60°和三角形外接圓的相關(guān)知識(shí)解答．【解答】解：因?yàn)榈冗吶切蔚倪呴L(zhǎng)為4，所以AD=2，又因?yàn)椤螪AO=BAC=60°×=30°，所以O(shè)D=OA，根據(jù)勾股定理：AO2=OD2+AD2，解得：AO=．【點(diǎn)評(píng)】解答此題要明確兩點(diǎn)：（1）正多邊形的中心和外接圓圓心重合；（2）正三角形每個(gè)內(nèi)角都相等．練1．【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心．【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，連接OB、OC、過(guò)O作OD⊥BC于D，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和解直角三角形解答即可．【解答】解：如圖所示，△ABC是等邊三角形，BC=a，連接OB、OC，過(guò)O作OD⊥BC于D，則∠BOC==120°，∠BOD=∠BOC=60°，BD=，由勾股定理OB2=OD2+BD2，其中OD=OB（在直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半），解得：OB=a，ODa，故答案為：a，a．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的外接圓與外心的應(yīng)用，此題比較簡(jiǎn)單，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫(huà)出圖形，利用等邊三角形及直角三角形的性質(zhì)解答．例2．【考點(diǎn)】正多邊形和圓；三角形的面積；勾股定理；垂徑定理．【分析】解答本題主要分析出正多邊形的內(nèi)切圓的半徑就是正六邊形的邊心距，即為每個(gè)邊長(zhǎng)為4的正三角形的高，從而構(gòu)造直角三角形即可解．中心角利用360÷6即可求解；然后利用三角形的面積公式即可求解正六邊形的面積．【解答】解：邊長(zhǎng)為4的正六邊形可以分成六個(gè)邊長(zhǎng)為4的正三角形，而正多邊形的邊心距即為每個(gè)邊長(zhǎng)為a的正三角形的高，∴正六多邊形的邊心距等于，∴中心角為：360°÷6=60°，∴正六邊形的面積為6××4×2=24．故答案為：2，60°，24．【點(diǎn)評(píng)】本題考查學(xué)生對(duì)正多邊形的概念掌握和計(jì)算的能力．解答這類題往往一些學(xué)生因?qū)φ噙呅蔚幕局R(shí)不明確，將多邊形的半徑與內(nèi)切圓的半徑相混淆而造成錯(cuò)誤計(jì)算．練2．【考點(diǎn)】正多邊形和圓．【分析】經(jīng)過(guò)圓心O作圓的內(nèi)接正n邊形的一邊AB的垂線OC，垂足是C．連接OA，則在直角△OAC中，∠AOB=．OC是邊心距r，OA即半徑R．AB=2AC=a．根據(jù)三角函數(shù)即可求解．【解答】解：圓內(nèi)接正六邊形可分成六個(gè)全等的等邊三角形，這樣的等邊三角形的邊長(zhǎng)與原正六邊形的邊長(zhǎng)相等，等邊三角形的高與正六邊形的邊心距相等，等邊三角形的高是它的邊長(zhǎng)的倍，所以a：R：r=2：2：．故答案為：2：2：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)，半徑，邊心距的關(guān)系，正多邊形的計(jì)算一般要經(jīng)過(guò)中心作邊的垂線，并連接中心與一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)造直角三角形，把正多邊形的計(jì)算轉(zhuǎn)化為解直角三角形．例3．【考點(diǎn)】正多邊形和圓．【分析】根據(jù)題意首先求出OE的長(zhǎng)，即可解決問(wèn)題．【解答】解：如圖，∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，∴∠OBE=45°；而OE⊥BC，∴BE=CE；∵OB=3，∵∠OBE=45°，∴OE=BE；由勾股定理：OE2+BE2=OB2，即2OE2=9，∴OE=，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓內(nèi)接正方形的性質(zhì)及其應(yīng)用問(wèn)題；解疑的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用有關(guān)定理來(lái)分析、判斷、推理或解答；對(duì)綜合運(yùn)用能力提出了一定的要求．練3．【考點(diǎn)】正多邊形和圓；等腰三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；正方形的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；幾何圖形問(wèn)題．【分析】連接OC、OD，根據(jù)圓O是正方形ABCD的外接圓和正方形的性質(zhì)得到∠0DE=∠ADC=45°，求出∠DOE=∠ODE=45°，得出OE=DE=，根據(jù)勾股定理求出OD=2，根據(jù)圓的面積公式求出即可．【解答】解：連接OC、OD，∵圓O是正方形ABCD的外接圓，∴O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，∴∠0DE=∠ADC=45°，∵OE⊥CD，∴∠OED=90°，∴∠DOE=180°﹣∠OED﹣ODE=45°，∴OE=DE=，由勾股定理得：OD==2，∴這個(gè)正方形外接圓⊙O的面積是π?22=4π，答：這個(gè)正方形外接圓⊙O的面積是4π．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)正多邊形與圓，正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能求出OE=DE是解此題的關(guān)鍵．例4．【考點(diǎn)】正多邊形和圓．【專題】作圖題．【分析】根據(jù)圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)分別畫(huà)出圓內(nèi)接正方形、正八邊形、正六邊形及正三角形即可．【解答】解：如圖所示：【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了正多邊形和圓的關(guān)系，熟知圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．練4．【考點(diǎn)】正多邊形和圓；作圖—復(fù)雜作圖．【專題】作圖題．【分析】根據(jù)圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)分別畫(huà)出圓內(nèi)接正方形、正八邊形及正三角形即可．【解答】解：如圖所示：【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是正多邊形和圓，熟知圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．課后小測(cè)答案：一.選擇題（共4小題）1．【考點(diǎn)】正多邊形和圓．【分析】根據(jù)正多邊形的外角和是360°求出正多邊形的邊數(shù)，再求出其中心角．【解答】解：∵正多邊形的一個(gè)外角為60°，∴正多邊形的邊數(shù)為=6，其中心角為=60°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形和圓，熟悉正多邊形的性質(zhì)和外角和是解題的關(guān)鍵．2．【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角．【分析】正n邊形的內(nèi)角和可以表示成（n﹣2）?180°，則它的內(nèi)角是等于，n邊形的中心角等于，根據(jù)中心角等于內(nèi)角就可以得到一個(gè)關(guān)于n的方程，解方程就可以解得n的值．【解答】解：根據(jù)題意，得=，解得：n=4，即這個(gè)多邊形是正四邊形．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題比較容易，考查正多邊形的中心角和內(nèi)角和的知識(shí)，也可以對(duì)每個(gè)結(jié)果分別進(jìn)行驗(yàn)證．3．【考點(diǎn)】正多邊形和圓．【專題】計(jì)算題．【分析】理解清楚題意，此題實(shí)際考查的是一個(gè)直徑為24mm的圓內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)．【解答】解：已知圓內(nèi)接半徑r為12mm，則OB=12，∴BD=12×=6，則BC=2×6=12，可知邊長(zhǎng)為12mm，就是完全覆蓋住的正六邊形的邊長(zhǎng)最大．故選A．【點(diǎn)評(píng)】此題所求結(jié)果比較新穎，要注意題目問(wèn)題的真正含義，即求圓內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)．4．【考點(diǎn)】正多邊形和圓．【專題】計(jì)算題．【分析】首先根據(jù)外角的度數(shù)求出正多邊形的邊數(shù)，正六邊形的半徑外接圓與邊長(zhǎng)相等求解．【解答】解：∵正n邊形的一個(gè)外角為60°，∴n=360°÷60°=6，∵正六邊形的外接圓半徑與邊長(zhǎng)相等，∴正六邊形的邊長(zhǎng)為4．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形和圓的知識(shí)，正六邊形的半徑與邊長(zhǎng)相等，是需要熟記的內(nèi)容．二.填空題（共5小題）5．【考點(diǎn)】正多邊形和圓．【專題】計(jì)算題．【分析】正三角形的計(jì)算可以過(guò)中心作一邊的垂線，然后連接中心與這邊的端點(diǎn)，即可得到一個(gè)直角三角形，解直角三角形即可；正方形的邊以及對(duì)應(yīng)的兩條半徑正好構(gòu)成等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理即可求解；正六邊形的邊長(zhǎng)與半徑相等即可求解．【解答】解：正三角形的中心角是=120°，則邊長(zhǎng)是：2×10sin60°=10cm；正方形的邊長(zhǎng)是：10cm；正六邊形的邊長(zhǎng)等于半徑，因而邊長(zhǎng)是10cm．故答案是：10cm，10cm，10cm．【點(diǎn)評(píng)】正多邊形的計(jì)算的基本思路是轉(zhuǎn)化為直角三角形的計(jì)算．6．【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角．【專題】計(jì)算題．【分析】一個(gè)正多邊形的中心角都相等，且所有中心角的和是360度，用360度除以中心角的度數(shù)，就得到中心角的個(gè)數(shù)，即多邊形的邊數(shù)．【解答】解：由題意可得：360°÷20°=18，則它的邊數(shù)是18．【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)多邊形中心角的個(gè)數(shù)與邊數(shù)之間的關(guān)系解題，本題是一個(gè)基本的問(wèn)題．7．【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角．【專題】計(jì)算題．【分析】一個(gè)正多邊形的中心角都相等，且所有中中心角的和是360度，用360度除以中心角的度數(shù)，就得到中心角的個(gè)數(shù)，即多邊形的邊數(shù)．【解答】解：由題意可得：邊數(shù)為360°÷36°=10，則它的邊數(shù)是10．【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)多邊形中心角的個(gè)數(shù)與邊數(shù)之間的關(guān)系解題，本題是一個(gè)基本的問(wèn)題．8．【考點(diǎn)】正多邊形和圓．【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)正n邊形的中心角是即可求解．【解答】解：正多邊形的邊數(shù)是：=8．故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正多邊形中心角的計(jì)算方法，是需要熟記的內(nèi)容．9．【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角．【分析】先根據(jù)周角等于360°求出邊數(shù)，再根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式（n﹣2）?180°列式計(jì)算即可得解．【解答】解：∵正多邊形的中心角為72度，∴邊數(shù)為：360°÷72°=5，∴這個(gè)正多邊形的內(nèi)角和=（5﹣2）?180°=540°．故答案為：540．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式，熟記正多邊形中心角的定義求出邊數(shù)的是解題的關(guān)鍵．三.解答題（共4小題）10．【考點(diǎn)】正多邊形和圓．【分析】如圖，首先求出∠AOB、∠AOC的度數(shù)，進(jìn)而求出∠BOC的度數(shù)即可解決問(wèn)題．【解答】解：如圖，∵AB是的⊙O內(nèi)接正十邊形的一邊，AC是⊙O的內(nèi)接正十五邊形的一邊，∴∠AOB=，∠AOC==24°，當(dāng)點(diǎn)在外時(shí)，∠BOC=36°+24°=60°；當(dāng)點(diǎn)C在上時(shí)，∠BOC=36°﹣24°=12°；即以BC為邊的內(nèi)接正多邊形的中心角的度數(shù)為60°或12°．【點(diǎn)評(píng)】該題以正多邊形和圓為載體，以正多邊形和圓的性質(zhì)的考查為核心構(gòu)造而成；靈活運(yùn)用有關(guān)定理來(lái)分析、判斷是解題的關(guān)鍵．11．【考點(diǎn)】正多邊形和圓．【分析】首先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，易得△OBC是等邊三角形，繼而可得正六邊形的邊長(zhǎng)為r，然后由勾股定理求得邊心距，又由S正六邊形=6S△OBC求得答案．【解答】解：如圖，連接OB，OC，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BC于H，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠B