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專訓3利用相似三角形巧證線段的數(shù)量和位置關(guān)系名師點金:判斷兩線段之間的數(shù)量和位置關(guān)系是幾何中的基本題型之一.由角的關(guān)系推出“平行或垂直”是判斷位置關(guān)系的常用方法,由相似三角形推出“相等”是判斷數(shù)量關(guān)系的常用方法.證明兩線段的數(shù)量關(guān)系eq\a\vs4\al(類型1)證明兩線段的相等關(guān)系1.如圖,在△ABC中,DE∥BC,BE與CD交于點O,直線AO與BC邊交于點M,與DE交于點N.求證:BM=MC.(第1題)eq\a\vs4\al(類型2)證明兩線段的倍分關(guān)系2.如圖,AM為△ABC的角平分線,D為AB的中點,CE∥AB,CE交DM的延長線于E.求證:AC=2CE.(第2題)證明兩線段的位置關(guān)系eq\a\vs4\al(類型1)證明兩線段平行3.在△ABC中,D,E,F(xiàn)分別為BC,AB,AC上的點,連接DE,EF,F(xiàn)D,且EF∥BC,DF∥AB,連接CE和AD,分別交DF,EF于點N,M,連接MN.(1)如圖①,若E為AB的中點,圖中與MN平行的直線有哪幾條?并說明理由.(2)如圖②,若E不為AB的中點,寫出與MN平行的直線,并說明理由.(第3題)eq\a\vs4\al(類型2)證明兩線段垂直4.如圖,已知矩形ABCD,AD=eq\f(1,3)AB,點E,F(xiàn)把AB三等分,DF交AC于點G,求證:EG⊥DF.(第4題)答案1.證明:∵DE∥BC,∴∠NEO=∠MBO,∠ENO=∠BMO.∴△NEO∽△MBO.∴eq\f(NE,MB)=eq\f(ON,OM).同理可得eq\f(DN,MC)=eq\f(ON,OM).∴eq\f(DN,MC)=eq\f(NE,BM).∴eq\f(DN,NE)=eq\f(MC,BM).∵DE∥BC,∴∠ANE=∠AMC,∠AEN=∠ACM.∴△ANE∽△AMC.∴eq\f(AN,AM)=eq\f(NE,MC).同理可得eq\f(AN,AM)=eq\f(DN,BM).∴eq\f(DN,BM)=eq\f(NE,MC).∴eq\f(DN,NE)=eq\f(BM,MC).∴eq\f(MC,BM)=eq\f(BM,MC).∴MC2=BM2.∴BM=MC.2.證明:如圖,延長CE,交AM的延長線于F.∵AB∥CF,∴∠BAM=∠F.易知△BDM∽△CEM,△BAM∽△CFM,∴eq\f(BD,CE)=eq\f(BM,MC),eq\f(BA,CF)=eq\f(BM,MC).∴eq\f(BD,CE)=eq\f(BA,CF).又∵BA=2BD,∴CF=2CE.又AM平分∠BAC,∴∠BAM=∠CAM.∴∠CAM=∠F.∴AC=CF.∴AC=2CE.(第2題)3.解:(1)MN∥AC∥ED.理由如下:由EF∥BC,易知△AEM∽△ABD,△AMF∽△ADC.∴eq\f(EM,BD)=eq\f(AM,AD)=eq\f(MF,DC).∵E為AB的中點,EF∥BC,∴F為AC的中點.又∵DF∥AB,∴D為BC的中點.∴BD=CD.∴EM=MF.∵F為AC的中點,F(xiàn)N∥AE,∴N為EC的中點.從而MN∥AC.又∵D為BC的中點,E為AB的中點,∴ED∥AC.∴MN∥AC∥ED.(2)MN∥AC.理由如下:由EF∥BC,易得△AEM∽△ABD,△AMF∽△ADC.∴eq\f(EM,BD)=eq\f(AM,AD)=eq\f(MF,DC).∴eq\f(EM,MF)=eq\f(BD,DC).又∵DF∥AB,∴eq\f(BD,DC)=eq\f(EN,NC).∴eq\f(EM,MF)=eq\f(EN,NC).∴eq\f(EM,EF)=eq\f(EN,EC).又∵∠MEN=∠FEC,∴△MEN∽△FEC.∴∠EMN=∠EFC.∴MN∥AC.4.證明:∵AD=eq\f(1,3)AB,點E,F(xiàn)把AB三等分,∴設(shè)AE=EF=FB=AD=k(k>0),則AB=CD=3k.∵CD∥AB,∴∠DCG=∠FAG,∠CDG=∠AFG.∴△AFG∽△CDG.∴eq\f(FG,DG)=eq\f(AF,CD)=eq\f(2,3).設(shè)FG=2m,則DG=3m,∴DF=FG+DG=2m+3m=5m.在Rt△AFD中,DF2=AD2+AF2=5k2,∴DF=eq\r(5)k.∴5m=eq\r(5)k.∴m=eq\f(\r(5),5)k.∴FG=eq\f(2,5)eq\r(5)k.∴eq\f(AF,FG)=eq\f(2k,\f(2,5)\r(5)k)=eq\r(5),eq\f(DF,
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