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文檔簡介

§3.5方陣的行定義5.1設(shè)Aaij)是一個(gè)n階矩陣,則自然地的行列式記作|A|或detA.AaijBbij)均為n階矩陣,則由Laplace|A||B|=

Bm×

將上式右端的行列式的第1列的b1j倍,...,第n列的bnj倍都加到nj列j1,2,n)可得 ?AB|A||B|= = |I||?AB

)

|由A(aij)mn的第i1i2ik行及j1,j2,列所確定k階子塊記? ikA j? 即

k??i1 ?式

? det

?

?A?

jk

A1 ?ai2 ai2? aik aik

jk ai2# aik當(dāng)A是n階矩陣時(shí),式

ik j j k ? 式

,代余

?

ikA

jk

A

jk 式1i2 ik

i2 ik

j?=(?1

jA? k A? k其中ti1i2ikj1j2jk.不過要注意這里式雖然是這樣記法但它實(shí)質(zhì)是一個(gè)nk階行列式,而非k階行列式.使用上面的記號(hào),Laplace定理(按第j1,j2,jk列展開)可表述

μk?

μkA|A|=Aμ

?

??

A?這里表示在12 A?In =(?1)m|UV|I 0I V I ? Im 0?= ?UV?所以,取行列式并由行列式乘法定理可得In

In

=(?1)m |UV|Binet-CauchyU是mnj矩陣,Vnm矩陣mn, _______ ?1μ2"μ |UV|=

μ

"μ

?

_______

, μU ? V U V,則由上引理可得|UV|(1)m|AU 現(xiàn)在對于|A|的后m個(gè)行用Laplace定理可得_________ n+1 n+m

A|=∑式

?代余式A? m ?_________ ? ∑式U

?(?1)s|InV?其中sn1 nm1 m,而In表示從In中去掉第1,,m列后剩余的各的列組成n(nm)矩陣.不妨設(shè)這些剩余第的諸列依次為1,,nm列,則易知In的第1,m行中的元素全是0,且其余的第1 ,nm行恰好組成一個(gè)nm階單位矩陣于是對|InV|的前nm個(gè)列用Laplace定理?

νm ?

μm|InV|=1 n?m?= |InV|

V 其中t1 nm1 |UV|= |A??? ________ ??1μ2 ??? (?1)m+s+t

?μμ

? ________ ?12mμU ? ?12m V 1+"+μm+ν1+"+νn?m=1+"+故mstm(m1n(n1)是一個(gè)偶數(shù),

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