初中數學北師大版九年級上冊第四章　圖形的相似 優(yōu)質課獎

《第4章圖形的相似》一、選擇題1．如圖，A，B，C，D，E，G，H，M，N都是方格紙中的格點（即小正方形的頂點），要使△DEF與△ABC相似，則點F應是G，H，M，N四點中的（）A．H或N B．G或H C．M或N D．G或M2．△ABC與△DEF的相似比為1：4，則△ABC與△DEF的周長比為（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：163．如圖，在△ABC中，DE∥BC，若=，則=（）A． B． C． D．4．在研究相似問題時，甲、乙同學的觀點如下：甲：將邊長為3、4、5的三角形按圖1的方式向外擴張，得到新三角形，它們的對應邊間距為1，則新三角形與原三角形相似．乙：將鄰邊為3和5的矩形按圖2的方式向外擴張，得到新的矩形，它們的對應邊間距均為1，則新矩形與原矩形不相似．對于兩人的觀點，下列說法正確的是（）A．兩人都對 B．兩人都不對 C．甲對，乙不對 D．甲不對，乙對5．如圖，△ABC中，P為AB上的一點，在下列四個條件中：①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；③AC2=AP?AB；④AB?CP=AP?CB，能滿足△APC和△ACB相似的條件是（）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③6．如圖，在?ABCD中，點E是邊AD的中點，EC交對角線BD于點F，則EF：FC等于（）A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：27．四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′位似，O為位似中心，若OA：OA′=1：3，則S四邊形ABCD：S四邊形A′B′C′D′=（）A．1：9 B．1：3 C．1：4 D．1：58．小剛身高1.7m，測得他站立在陽光下的影長為0.85m，緊接著他把手臂豎直舉起，測得影長為1.1m，那么小剛舉起手臂超出頭頂（）A．0.5m B．0.55m C．0.6m D．2.2m9．如圖，在△ABC中，DE∥BC，=，則下列結論中正確的是（）A．= B．=C．= D．=10．如圖，已知AB、CD、EF都與BD垂直，垂足分別是B、D、F，且AB=1，CD=3，那么EF的長是（）A． B． C． D．二、填空題11．若，則=．12．如果===k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k=．13．已知一個三角形的三邊長分別為6，8和10，與其相似的一個三角形的最短邊長為18，則較小三角形與較大三角形的相似比k=．14．在△ABC中，AB=12cm，BC=18cm，AC=24cm，另一個與它相似的△A′B′C′的周長為18cm，則△A′B′C各邊長分別為．15．如圖，一束光線從點A（3，3）出發(fā)，經過y軸上點C反射后經過點B（1，0），則光線從點A到點B經過的路徑長為．16．如圖，AB、CD相交于點O，OC=2，OD=3，AC∥BD，EF是△ODB的中位線，且EF=2，則AC的長為．17．如圖，在△ABC中，DE∥BC，=，△ADE的面積是8，則△ABC的面積為．18．如圖，在正方形ABCD中，點E是BC邊上一點，且BE：EC=2：1，AE與BD交于點F，則△AFD與四邊形DEFC的面積之比是．三、解答題19．已知線段a，b，c，d成比例，且a=6dm，b=3dm，d=dm，求線段c的長度．20．若=，求的值．21．已知a、b、c是△ABC的三邊，且滿足，且a+b+c=12，請你探索△ABC的形狀．22．如圖，△ABC中，CD是邊AB上的高，且=．（1）求證：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大?。?3．如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、CD上的點，AE=ED，DF=DC，連接EF并延長交BC的延長線于點G．（1）求證：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的邊長為4，求BG的長．24．某小區(qū)居民籌集資金1600元，計劃在兩底分別為10m、20m梯形空地上種植種植花木，如圖：（1）他們在△AMD和△BMC地帶上種植太陽花，單價為8元/m2，當△AMD地帶種滿花后（圖中陰影部分），共花了160元，計算種滿△BMC地帶所需費用．（2）若其余地帶有玫瑰、茉莉兩種可供選擇，單價分別為12元/m2、10元/m2，應選哪種花木，剛好用完所籌資金？25．如圖，已知在△ABC和△EBD中，．（1）若△ABC與△EBD的周長之差為60cm，求這兩個三角形的周長．（2）若△ABC與△EBD的面積之和為812cm2，求這兩個三角形的面積．26．某一天，小明和小亮來到一河邊，想用遮陽帽和皮尺測量這條河的大致寬度，兩人在確保無安全隱患的情況下，先在河岸邊選擇了一點B（點B與河對岸岸邊上的一棵樹的底部點D所確定的直線垂直于河岸）．①小明在B點面向樹的方向站好，調整帽檐，使視線通過帽檐正好落在樹的底部點D處，如圖所示，這時小亮測得小明眼睛距地面的距離AB=1.7米；②小明站在原地轉動180°后蹲下，并保持原來的觀察姿態(tài)（除身體重心下移外，其他姿態(tài)均不變），這時視線通過帽檐落在了DB延長線上的點E處，此時小亮測得BE=9.6米，小明的眼睛距地面的距離CB=1.2米．根據以上測量過程及測量數據，請你求出河寬BD是多少米？

《第4章圖形的相似》參考答案與試題解析一、選擇題1．如圖，A，B，C，D，E，G，H，M，N都是方格紙中的格點（即小正方形的頂點），要使△DEF與△ABC相似，則點F應是G，H，M，N四點中的（）A．H或N B．G或H C．M或N D．G或M【考點】相似三角形的判定．【專題】壓軸題；網格型；數形結合．【分析】根據兩三角形三條邊對應成比例，兩三角形相似進行解答．【解答】解：設小正方形的邊長為1，則△ABC的各邊分別為3、、，只能F是M或N時，其各邊是6、2，2．與△ABC各邊對應成比例，故選C．【點評】此題考查三邊對應成比例，兩三角形相似判定定理的應用．2．△ABC與△DEF的相似比為1：4，則△ABC與△DEF的周長比為（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：16【考點】相似三角形的性質．【分析】由相似三角形周長的比等于相似比即可得出結果．【解答】解：∵△ABC與△DEF的相似比為1：4，∴△ABC與△DEF的周長比為1：4；故選：C．【點評】本題考查了相似三角形的性質；熟記相似三角形周長的比等于相似比是解決問題的關鍵．3．如圖，在△ABC中，DE∥BC，若=，則=（）A． B． C． D．【考點】平行線分線段成比例．【分析】直接利用平行線分線段成比例定理寫出答案即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴==，故選C．【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理，了解定理的內容是解答本題的關鍵，屬于基礎定義或定理，難度不大．4．在研究相似問題時，甲、乙同學的觀點如下：甲：將邊長為3、4、5的三角形按圖1的方式向外擴張，得到新三角形，它們的對應邊間距為1，則新三角形與原三角形相似．乙：將鄰邊為3和5的矩形按圖2的方式向外擴張，得到新的矩形，它們的對應邊間距均為1，則新矩形與原矩形不相似．對于兩人的觀點，下列說法正確的是（）A．兩人都對 B．兩人都不對 C．甲對，乙不對 D．甲不對，乙對【考點】相似三角形的判定；相似多邊形的性質．【專題】數形結合．【分析】甲：根據題意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，即可證得∠A=∠A′，∠B=∠B′，可得△ABC∽△A′B′C′；乙：根據題意得：AB=CD=3，AD=BC=5，則A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，則可得，即新矩形與原矩形不相似．【解答】解：甲：根據題意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′，∴甲說法正確；乙：∵根據題意得：AB=CD=3，AD=BC=5，則A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，∴，，∴，∴新矩形與原矩形不相似．∴乙說法正確．故選：A．【點評】此題考查了相似三角形以及相似多邊形的判定．此題難度不大，注意掌握數形結合思想的應用．5．如圖，△ABC中，P為AB上的一點，在下列四個條件中：①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；③AC2=AP?AB；④AB?CP=AP?CB，能滿足△APC和△ACB相似的條件是（）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③【考點】相似三角形的判定．【分析】根據有兩組角對應相等的兩個三角形相似可對①②進行判斷；根據兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似可對③④進行判斷．【解答】解：當∠ACP=∠B，∠A公共，所以△APC∽△ACB；當∠APC=∠ACB，∠A公共，所以△APC∽△ACB；當AC2=AP?AB，即AC：AB=AP：AC，∠A公共，所以△APC∽△ACB；當AB?CP=AP?CB，即=，而∠PAC=∠CAB，所以不能判斷△APC和△ACB相似．故選D．【點評】本題考查了相似三角形的判定：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；有兩組角對應相等的兩個三角形相似．6．如圖，在?ABCD中，點E是邊AD的中點，EC交對角線BD于點F，則EF：FC等于（）A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：2【考點】平行四邊形的性質；相似三角形的判定與性質．【專題】幾何圖形問題．【分析】根據題意得出△DEF∽△BCF，進而得出=，利用點E是邊AD的中點得出答案即可．【解答】解：∵?ABCD，故AD∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴=，∵點E是邊AD的中點，∴AE=DE=AD，∴=．故選：D．【點評】此題主要考查了平行四邊形的性質以及相似三角形的判定與性質等知識，得出△DEF∽△BCF是解題關鍵．7．四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′位似，O為位似中心，若OA：OA′=1：3，則S四邊形ABCD：S四邊形A′B′C′D′=（）A．1：9 B．1：3 C．1：4 D．1：5【考點】位似變換．【分析】四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′位似，四邊形ABCD∽四邊形A′B′C′D′，可知AD∥A′D′，△OAD∽△OA′D′，求出相似比從而求得S四邊形ABCD：S四邊形A′B′C′D′的值．【解答】解：∵四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′位似，∴四邊形ABCD∽四邊形A′B′C′D′，∴AD∥A′D′，∴△OAD∽△OA′D′，∴OA：O′A′=AD：A′D′=1：3，∴S四邊形ABCD：S四邊形A′B′C′D′=1：9．故選：A．【點評】本題考查了位似的相關知識，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其對應的面積比等于相似比的平方．8．小剛身高1.7m，測得他站立在陽光下的影長為0.85m，緊接著他把手臂豎直舉起，測得影長為1.1m，那么小剛舉起手臂超出頭頂（）A．0.5m B．0.55m C．0.6m D．2.2m【考點】相似三角形的應用．【分析】根據在同一時物體的高度和影長成正比，設出手臂豎直舉起時總高度x，即可列方程解出x的值，再減去身高即可得出小剛舉起的手臂超出頭頂的高度．【解答】解：設手臂豎直舉起時總高度xm，列方程得：=，解得x=，﹣=0.5m，所以小剛舉起的手臂超出頭頂的高度為0.5m．故選：A．【點評】本題考查了相似三角形的應用，解答此題的關鍵是明確在同一時刻物體的高度和影長成正比．9．如圖，在△ABC中，DE∥BC，=，則下列結論中正確的是（）A．= B．=C．= D．=【考點】相似三角形的判定與性質．【分析】由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的對應邊成比例可得，然后由=，即可判斷A、B的正誤，然后根據相似三角形的周長之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方即可判斷C、D的正誤．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵=，∵=，故A、B選項均錯誤；∵△ADE∽△ABC，∴==，=（）2=，故C選項正確，D選項錯誤．故選C．【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是：熟記相似三角形的對應邊之比等于相似比；相似三角形的周長之比等于相似比；相似三角形的面積之比等于相似比的平方．10．如圖，已知AB、CD、EF都與BD垂直，垂足分別是B、D、F，且AB=1，CD=3，那么EF的長是（）A． B． C． D．【考點】相似三角形的判定與性質．【分析】易證△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，根據相似三角形的性質可得=，=，從而可得+=+=1．然后把AB=1，CD=3代入即可求出EF的值．【解答】解：∵AB、CD、EF都與BD垂直，∴AB∥CD∥EF，∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，∴=，=，∴+=+==1．∵AB=1，CD=3，∴+=1，∴EF=．故選C．【點評】本題主要考查的是相似三角形的判定與性質，發(fā)現+=1是解決本題的關鍵．二、填空題11．若，則=．【考點】比例的性質．【專題】常規(guī)題型．【分析】根據比例的性質求出的值，然后兩邊加1進行計算即可得解．【解答】解：∵，∴﹣2=，=2+=，∴+1=+1，即=．故答案為：．【點評】本題考查了比例的性質，根據已知條件求出的值是解題的關鍵．12．如果===k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k=3．【考點】比例的性質．【分析】根據等比性質，可得答案．【解答】解：由等比性質，得k===3，故答案為：3．【點評】本題考查了比例的性質，利用了等比性質：===k?k==．13．已知一個三角形的三邊長分別為6，8和10，與其相似的一個三角形的最短邊長為18，則較小三角形與較大三角形的相似比k=．【考點】相似三角形的性質．【分析】由一個三角形的三邊長分別為6，8和10，與其相似的一個三角形的最短邊長為18，根據相似比等于對應邊的比，即可求得答案．【解答】解：∵一個三角形的三邊長分別為6，8和10，與其相似的一個三角形的最短邊長為18，∴較小三角形與較大三角形的相似比k==．故答案為：．【點評】此題考查了相似比的定義．此題比較簡單，解題的關鍵是熟記定義．14．在△ABC中，AB=12cm，BC=18cm，AC=24cm，另一個與它相似的△A′B′C′的周長為18cm，則△A′B′C各邊長分別為4cm，6cm，8cm．【考點】相似三角形的性質．【分析】由△A′B′C′∽△ABC，根據相似三角形周長的比等于相似比，即可求得答案．【解答】解：∵△A′B′C′∽△ABC，∴△A′B′C′的周長：△ABC的周長=A′B′：AB，∵在△ABC中，AB=12cm，BC=18cm，AC=24cm，∴△ABC的周長為：54cm，∵△A′B′C′的周長為18cm，∴A′B′：AB=A′C′：AC=B′C′：BC=，∴A′B′=4cm，B′C′=6cm，A′C′=8cm．故答案為：4cm，6cm，8cm．【點評】此題考查了相似三角形的性質，熟練掌握相似三角形的性質是解題的關鍵．15．如圖，一束光線從點A（3，3）出發(fā)，經過y軸上點C反射后經過點B（1，0），則光線從點A到點B經過的路徑長為5．【考點】解直角三角形的應用．【專題】計算題；壓軸題．【分析】延長AC交x軸于B′．根據光的反射原理，點B、B′關于y軸對稱，CB=CB′．路徑長就是AB′的長度．結合A點坐標，運用勾股定理求解．【解答】解：如圖所示，延長AC交x軸于B′．則點B、B′關于y軸對稱，CB=CB′．作AD⊥x軸于D點．則AD=3，DB′=3+1=4．∴AB′=AC+CB′=AC+CB=5．即光線從點A到點B經過的路徑長為5．【點評】本題考查了直角三角形的有關知識，同時滲透光學中反射原理，構造直角三角形是解決本題關鍵．16．如圖，AB、CD相交于點O，OC=2，OD=3，AC∥BD，EF是△ODB的中位線，且EF=2，則AC的長為．【考點】三角形中位線定理．【分析】根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出DB，再根據相似三角形對應邊成比例列式計算即可得解．【解答】解：∵EF是△ODB的中位線，∴DB=2EF=2×2=4，∵AC∥BD，∴△AOC∽△BOD，∴=，即=，解得AC=．故答案為：．【點評】本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，相似三角形的判定與性質，熟記定理與性質是解題的關鍵．17．如圖，在△ABC中，DE∥BC，=，△ADE的面積是8，則△ABC的面積為18．【考點】相似三角形的判定與性質．【分析】根據相似三角形的判定，可得△ADE∽△ABC，根據相似三角形的性質，可得答案．【解答】解；∵在△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∵=，∴=（）2=，，∴S△ABC=18，故答案為：18．【點評】本題考查了相似三角形判定與性質，利用了相似三角形的判定與性質．18．如圖，在正方形ABCD中，點E是BC邊上一點，且BE：EC=2：1，AE與BD交于點F，則△AFD與四邊形DEFC的面積之比是9：11．【考點】正方形的性質；相似三角形的判定與性質．【專題】壓軸題．【分析】根據題意，先設CE=x，S△BEF=a，再求出S△ADF的表達式，利用四部分的面積和等于正方形的面積，得到x與a的關系，那么兩部分的面積比就可以求出來．【解答】解：設CE=x，S△BEF=a，∵CE=x，BE：CE=2：1，∴BE=2x，AD=BC=CD=AD=3x；∵BC∥AD∴∠EBF=∠ADF，又∵∠BFE=∠DFA；∴△EBF∽△ADF∴S△BEF：S△ADF===，那么S△ADF=a．∵S△BCD﹣S△BEF=S四邊形EFDC=S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△ADF，∴x2﹣a=9x2﹣×3x?2x﹣，化簡可求出x2=；∴S△AFD：S四邊形DEFC=：=：=9：11，故答案為9：11．【點評】此題運用了相似三角形的判定和性質，還用到了相似三角形的面積比等于相似比的平方．三、解答題19．已知線段a，b，c，d成比例，且a=6dm，b=3dm，d=dm，求線段c的長度．【考點】比例線段．【分析】根據比例線段的定義得出=，即=，解之可得c．【解答】解：根據題意，=，即=，解得：c=3，答：線段c的長度為3dm．【點評】本題主要考查比例線段，掌握比例線段的定義是關鍵．20．若=，求的值．【考點】比例的性質．【分析】首先由已知條件可得x=，然后再代入即可求值．【解答】解：∵=，∴8x﹣6y=x﹣y，x=，∴==．【點評】此題主要考查了比例的性質，關鍵是掌握內項之積等于外項之積．21．已知a、b、c是△ABC的三邊，且滿足，且a+b+c=12，請你探索△ABC的形狀．【考點】勾股定理的逆定理．【專題】探究型．【分析】令=k．根據a+b+c=12，得到關于k的方程，求得k值，再進一步求得a，b，c的值，從而判定三角形的形狀．【解答】解：令=k．∴a+4=3k，b+3=2k，c+8=4k，∴a=3k﹣4，b=2k﹣3，c=4k﹣8．又∵a+b+c=12，∴（3k﹣4）+（2k﹣3）+（4k﹣8）=12，∴k=3．∴a=5，b=3，c=4．∴△ABC是直角三角形．【點評】此題能夠利用方程求得k的值，進一步求得三角形的三邊長，根據勾股定理的逆定理判定三角形的形狀．22．如圖，△ABC中，CD是邊AB上的高，且=．（1）求證：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大?。究键c】相似三角形的判定與性質．【分析】（1）由兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似，即可證明△ACD∽△CBD；（2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根據相似三角形的對應角相等可得：∠A=∠BCD，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．【解答】（1）證明：∵CD是邊AB上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°，∵=．∴△ACD∽△CBD；（2）解：∵△ACD∽△CBD，∴∠A=∠BCD，在△ACD中，∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是：熟記相似三角形的判定定理與性質定理．23．如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、CD上的點，AE=ED，DF=DC，連接EF并延長交BC的延長線于點G．（1）求證：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的邊長為4，求BG的長．【考點】相似三角形的判定；正方形的性質；平行線分線段成比例．【專題】計算題；證明題．【分析】（1）利用正方形的性質，可得∠A=∠D，根據已知可得，根據有兩邊對應成比例且夾角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；（2）根據平行線分線段成比例定理，可得CG的長，即可求得BG的長．【解答】（1）證明：∵ABCD為正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，∵AE=ED，∴，∵DF=DC，∴，∴，∴△ABE∽△DEF；（2）解：∵ABCD為正方形，∴ED∥BG，∴，又∵DF=DC，正方形的邊長為4，∴ED=2，CG=6，∴BG=BC+CG=10．【點評】此題考查了相似三角形的判定（有兩邊對應成比例且夾角相等三角形相似）、正方形的性質、平行線分線段成比例定理等知識的綜合應用．解題的關鍵是數形結合思想的應用．24．（10分）（2023?富順縣校級模擬）某小區(qū)居民籌集資金1600元，計劃在兩底分別為10m、20m梯形空地上種植種植花木，如圖：（1）他們在△AMD和△BMC地帶上種植太陽花，單價為8元/m2，當△AMD地帶種滿花后（圖中陰影部分），共花了160元，計算種滿△BMC地帶所需費用．（2）若其余地帶有玫瑰、茉莉兩種可供選擇，單價分別為12元/m2、10元/m2，應選哪種花木，剛好用完所籌資金？【考點】相似三角形的應用．【專題】應用題．【分析】（1）易得△AMD∽△BMC，根據BC=2AD可得S△BMC=4S△AMD，據此可得種滿△BMC的花費；（2）根據每平方米8元來看，△AMD面積為20平米方米，△BMC面積為80平方米，因此可以得出梯形的高也就是兩三角形高的和為12米，那么可得梯形面積為180平方米，還有80平方米未種，800元未用，所以要選擇每平方米十元的茉莉花．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是梯形，∴AD∥BC，∴∠MAD=∠MCB，∠MDA=∠MBC，∴△AMD∽△CMB，∴S△AMD：S△BMC=（10：20）2=1：4．∵種植△AMD地帶花費160元，單價為8元/m2，∴S△AMD=20m2∴S△CMB=80m2∴△BMC地帶所需的費用為8×80=640（元）；（2）設△AMD的高為h1，△BMC的高為h2，梯形ABCD的高為h．∵S△AMD=×10h1=20，∴h1=4，∵S△BCM=×20h2=80，∴h2=8，∴S梯形ABCD=（AD+BC）?h=×（10+20）×（4+8）=180．∴S△AMB+S△DMC=180﹣20﹣80=80（m2），∵160+640+80×12=1760（元），160+640+80×1