初中數學人教版九年級上冊第二十一章一元二次方程單元復習 省賽獲獎

《第21章一元二次方程》一、選擇題：1．方程（m﹣2）x2+3mx+1=0是關于x的一元二次方程，則（）A．m≠±2 B．m=2 C．m=﹣2 D．m≠22．一元二次方程x2﹣4=0的解是（）A．x=2 B．x=﹣2 C．x1=2，x2=﹣2 D．x1=，x2=﹣3．下列方程中是一元二次方程的有（）①=；②y（y﹣1）=x（x+1）；③=；④x2﹣2y+6=y2+x2．A．①② B．①③ C．①④ D．①③④4．若x1、x2是方程x2+3x﹣5=0的兩個根，則x1?x2的值為（）A．﹣3 B．﹣5 C．3 D．55．在一次籃球聯賽中，每個小組的各隊都要與同組的其他隊比賽兩場，然后決定小組出線的球隊．如果某一小組共有x個隊，該小組共賽了90場，那么列出正確的方程是（）A． B．x（x﹣1）=90 C． D．x（x+1）=90二、填空題：6．把一元二次方程（x+1）（1﹣x）=2x化成二次項系數大于零的一般式為，其中二次項系數是，一次項系數是，常數項是．一元二次方程x2=2x的解為：．7．方程x2+3x+1=0的解是．8．寫出一個以﹣3和2為根的一元二次方程：．9．如果方程x2﹣（m﹣1）x+=0有兩個相等的實數根，則m的值為．10．若x2﹣4x+m2是完全平方式，則m=．三、解答題11．解下列方程：（1）x2﹣9=0（2）（x﹣1）（x+2）=6．12．若﹣2是方程x2﹣3x+k=0的一個根，求方程的另一個根和k的值．13．若關于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x﹣1=0有實數根，求m的取值范圍．14．汽車產業(yè)的發(fā)展，有效促進我國現代化建設．某汽車銷售公司2005年盈利1500萬元，到2007年盈利2160萬元，且從2005年到2007年，每年盈利的年增長率相同．（1）該公司2006年盈利多少萬元？（2）若該公司盈利的年增長率繼續(xù)保持不變，預計2008年盈利多少萬元？15．從一塊正方形的木板上鋸掉2米寬的長方形木條，剩下的面積是48平方米，求原來正方形木板的面積．16．已知關于x的一元二次方程ax2+bx+1=0（a≠0）有兩個相等的實數根，求的值．

《第21章一元二次方程》參考答案與試題解析一、選擇題：1．方程（m﹣2）x2+3mx+1=0是關于x的一元二次方程，則（）A．m≠±2 B．m=2 C．m=﹣2 D．m≠2【考點】一元二次方程的定義．【分析】根據一元二次方程的定義可得m﹣2≠0，再解即可．【解答】解：由題意得：m﹣2≠0，解得：m≠2，故選：D．【點評】此題主要考查了一元二次方程的定義，關鍵是注意二次項的系數不等于0．2．一元二次方程x2﹣4=0的解是（）A．x=2 B．x=﹣2 C．x1=2，x2=﹣2 D．x1=，x2=﹣【考點】解一元二次方程-直接開平方法．【分析】觀察發(fā)現方程的兩邊同時加4后，左邊是一個完全平方式，即x2=4，即原題轉化為求4的平方根．【解答】解：移項得：x2=4，∴x=±2，即x1=2，x2=﹣2．故選：C．【點評】（1）用直接開方法求一元二次方程的解的類型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同號且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同號且a≠0）．法則：要把方程化為“左平方，右常數，先把系數化為1，再開平方取正負，分開求得方程解．（2）用直接開方法求一元二次方程的解，要仔細觀察方程的特點．3．下列方程中是一元二次方程的有（）①=；②y（y﹣1）=x（x+1）；③=；④x2﹣2y+6=y2+x2．A．①② B．①③ C．①④ D．①③④【考點】一元二次方程的定義．【分析】根據一元二次方程必須滿足兩個條件：（1）未知數的最高次數是2；（2）二次項系數不為0對各小題分析判斷后利用排除法求解．【解答】解：①=是一元二次方程；②y（y﹣1）=x（x+1）不是一元二次方程，是二元二次方程；③=，分母上含有未知數x，不是整式方程；④x2﹣2y+6=y2+x2整理后為y2+2y﹣6=0，是一元二次方程；綜上所述，是一元二次方程的有①④．故選C．【點評】本題利用了一元二次方程的概念．只有一個未知數且未知數最高次數為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．4．若x1、x2是方程x2+3x﹣5=0的兩個根，則x1?x2的值為（）A．﹣3 B．﹣5 C．3 D．5【考點】根與系數的關系．【分析】根據根與系數的關系可得出x1?x2=，再計算即可．【解答】解：∵x1、x2是方程x2+3x﹣5=0的兩個根，∴x1?x2==﹣5，故選B．【點評】本題考查了根與系數的關系，掌握x1+x2=﹣，x1?x2=是解題的關鍵．5．在一次籃球聯賽中，每個小組的各隊都要與同組的其他隊比賽兩場，然后決定小組出線的球隊．如果某一小組共有x個隊，該小組共賽了90場，那么列出正確的方程是（）A． B．x（x﹣1）=90 C． D．x（x+1）=90【考點】由實際問題抽象出一元二次方程．【專題】比賽問題．【分析】如果設某一小組共有x個隊，那么每個隊要比賽的場數為（x﹣1）場，有x個小隊，那么共賽的場數可表示為x（x﹣1）=90．【解答】解：設某一小組共有x個隊，那么每個隊要比賽的場數為x﹣1；則共賽的場數可表示為x（x﹣1）=90．故本題選B．【點評】本題要注意比賽時是兩支隊伍同時參賽，且“每個小組的各隊都要與同組的其他隊比賽兩場”，以免出錯．二、填空題：6．把一元二次方程（x+1）（1﹣x）=2x化成二次項系數大于零的一般式為x2+2x﹣1=0，其中二次項系數是1，一次項系數是2，常數項是﹣1．一元二次方程x2=2x的解為：x1=0，x2=2．【考點】解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的一般形式．【專題】計算題．【分析】先利用平方差公式把方程（x+1）（1﹣x）=2x左邊展開，再移項得到x2+2x﹣1=0，然后寫出二次項系數、一次項系數、常數項；利用因式分解法解方程x2=2x．【解答】解：一元二次方程（x+1）（1﹣x）=2x化成二次項系數大于零的一般式為x2+2x﹣1=0，其中二次項系數是1，一次項系數是2，常數項是﹣1．x2﹣2x=0，x（x﹣2）=0，x=0或x﹣2=0，所以x1=0，x2=2．故答案為x2+2x﹣1=0，1，2，﹣1，x1=0，x2=2．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了（數學轉化思想）．7．方程x2+3x+1=0的解是x1=，x2=．【考點】解一元二次方程-公式法．【分析】求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．【解答】解：這里a=1，b=3，c=1，b2﹣4ac=32﹣4×1×1=5，x=，x1=，x2=，故答案為：x1=，x2=．【點評】本題考查了解一元二次方程的應用，主要考查學生的計算能力．8．寫出一個以﹣3和2為根的一元二次方程：x2﹣x﹣6=0．【考點】根與系數的關系．【分析】本題根據一元二次方程的根的定義，一根為3，另一個根為﹣2，則方程是（x﹣3）（x+2）=0的形式，即可得出答案．【解答】解：根據一個根為x=3，另一個根為x=﹣2的一元二次方程是：x2﹣x﹣6=0；故答案為：x2﹣x﹣6=0．【點評】此題考查了根與系數的關系，已知方程的兩根，寫出方程的方法是需要熟練掌握的一種基本題型．9．如果方程x2﹣（m﹣1）x+=0有兩個相等的實數根，則m的值為m=2或m=0．【考點】根的判別式．【分析】根據方程有兩個相等實數根得△=0，即（m﹣1）2﹣4×=0，解方程即可得．【解答】解：∵方程x2﹣（m﹣1）x+=0有兩個相等的實數根，∴△=0，即（m﹣1）2﹣4×=0，解得：m=2或m=0，故答案為：m=2或m=0．【點評】此題考查了一元二次方程根的判別式的知識．此題比較簡單，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2﹣4ac有如下關系：①當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數根；②當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數根；③當△＜0時，方程無實數根．10．若x2﹣4x+m2是完全平方式，則m=±2．【考點】完全平方式．【分析】先根據已知平方項和乘積二倍項確定出這兩個數，再根據完全平方公式解答即可．【解答】解：∵x2﹣4x+m2=x2﹣2x?2+m2，∴m2=22=4，∴m=±2．故答案為：±2．【點評】本題主要考查了完全平方式，根據平方項和乘積二倍項確定出這兩個數是解題的關鍵，也是難點，熟記完全平方公式對解題非常重要．三、解答題11．解下列方程：（1）x2﹣9=0（2）（x﹣1）（x+2）=6．【考點】解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-直接開平方法．【分析】（1）根據直接開平方法求解即可；（2）先去括號，再用公式法求解即可．【解答】解：（1）x2=9，x=±3，∴x1=3，x2=﹣3；（2）x2+x﹣8=0，a=1，b=1，c=﹣8，△=b2﹣4ac=1+32=33＞0，∴方程有兩個不相等的實數根，∴x==，∴x1=，x2=．【點評】本題考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有直接開平方法、配方法、公式法以及因式分解法．12．若﹣2是方程x2﹣3x+k=0的一個根，求方程的另一個根和k的值．【考點】根與系數的關系．【分析】設方程的另一個根為x2，根據韋達定理得出關于x2和k的方程組，解之可得．【解答】解：設方程的另一個根為x2，根據題意，得：，解得：，∴方程的另一個根位5，k的值為﹣10．【點評】本題主要考查一元二次方程根與系數的關系，熟練掌握韋達定理是解題的關鍵．13．若關于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x﹣1=0有實數根，求m的取值范圍．【考點】根的判別式；一元二次方程的定義．【專題】計算題．【分析】根據一元二次方程的定義和判別式的意義得到m﹣2≠0且△=22﹣4（m﹣2）×（﹣1）≥0，然后解兩個不等式確定它們的公共部分即可．【解答】解：根據題意得m﹣2≠0且△=22﹣4（m﹣2）×（﹣1）≥0，解得m≥1且m≠2．【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b2﹣4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．也考查了一元二次方程的定義．14．汽車產業(yè)的發(fā)展，有效促進我國現代化建設．某汽車銷售公司2005年盈利1500萬元，到2007年盈利2160萬元，且從2005年到2007年，每年盈利的年增長率相同．（1）該公司2006年盈利多少萬元？（2）若該公司盈利的年增長率繼續(xù)保持不變，預計2008年盈利多少萬元？【考點】一元二次方程的應用．【專題】增長率問題；壓軸題．【分析】（1）需先算出從2005年到2007年，每年盈利的年增長率，然后根據2005年的盈利，算出2006年的利潤；（2）相等關系是：2008年盈利=2007年盈利×每年盈利的年增長率．【解答】解：（1）設每年盈利的年增長率為x，根據題意得1500（1+x）2=2160解得x1=，x2=﹣（不合題意，舍去）∴1500（1+x）=1500（1+）=1800答：2006年該公司盈利1800萬元．（2）2160（1+）=2592答：預計2008年該公司盈利2592萬元．【點評】本題的關鍵是需求出從2005年到2007年，每年盈利的年增長率．等量關系為：2005年盈利×（1+年增長率）2=2160．15．從一塊正方形的木板上鋸掉2米寬的長方形木條，剩下的面積是48平方米，求原來正方形木板的面積．【考點】一元二次方程的應用．【分析】設原來的正方形木板的邊長為x，鋸掉2米寬厚，就變?yōu)殚L為x米，寬為（x﹣2）米的長方形，根據長方形的面積公式列方程求x，繼而可求正方形的面積．【解答】解：設原來的正方形木板的邊長為x．x（x﹣2）=48，x=8或x=﹣6（舍去），8×8=64（平方米）．答：原來正方形木板的面積是64平方米．【點評】本題考查了一元二次方程的應用．解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解本題設出正方形木板的邊長為x，根據題意列方程求