第十章相似原理和因次分析

量綱分析及相似理論第九章概述

對(duì)于大多數(shù)粘性流體流動(dòng)的工程問題難以用微分方程加以描述，或者即使能夠建立微分方程式，由于初始條件和邊界條件不能用數(shù)學(xué)方法給定，目前還不能求得精確解，只能作出一些假設(shè)和推斷求得近似解，這些近似解是否合理，只能依靠試驗(yàn)驗(yàn)證。但這些結(jié)果只能應(yīng)用于與試驗(yàn)條件相同的流動(dòng)現(xiàn)象，有很大的局限性。一.相似理論的提出1.對(duì)流動(dòng)規(guī)律的試驗(yàn)結(jié)果的推廣如何做模型試驗(yàn)？思考：飛機(jī)圖例大壩圖例2.流體力學(xué)的模型實(shí)驗(yàn)隨著工業(yè)的發(fā)展，涉及流體動(dòng)力學(xué)的整機(jī)和部件都很大，很復(fù)雜。比如，飛機(jī)的設(shè)計(jì)，大壩的設(shè)計(jì)等。這些設(shè)計(jì)方法都要依賴于試驗(yàn)，但這些試驗(yàn)又無法在實(shí)物上進(jìn)行只能通過模型試驗(yàn)進(jìn)行。二.模型試驗(yàn)要解決的問題

1.如何根據(jù)實(shí)物正確的設(shè)計(jì)和布置模型實(shí)驗(yàn)，例如：模型尺寸如何確定？介質(zhì)如何選取?２.怎樣整理模型試驗(yàn)的結(jié)果并將整理的結(jié)果還原到實(shí)物，并進(jìn)行應(yīng)用推廣？第一節(jié)力學(xué)相似的原理兩流動(dòng)的相似是指：

一個(gè)流動(dòng)某點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)由另一個(gè)流動(dòng)相應(yīng)點(diǎn)的同名參數(shù)乘以對(duì)應(yīng)點(diǎn)均相同的因子得到，稱兩流動(dòng)相似。

相似的流動(dòng)應(yīng)遵從同一數(shù)學(xué)物理方程。

具體的說兩流動(dòng)相似應(yīng)滿足幾何相似、運(yùn)動(dòng)相似和動(dòng)力相似三個(gè)條件。

一.幾何相似幾何相似是指模型與原型的全部對(duì)應(yīng)線性長(zhǎng)度成比例，且對(duì)應(yīng)的特征角度相等。長(zhǎng)度比例系數(shù)：面積比例系數(shù)：體積比例系數(shù)：

二.運(yùn)動(dòng)相似（時(shí)間相似）運(yùn)動(dòng)相似是指：模型與原型的流場(chǎng)所有對(duì)應(yīng)點(diǎn)上對(duì)應(yīng)時(shí)刻的流速方向相同，且對(duì)應(yīng)流速的大小的比例相等，即它們速度場(chǎng)相似。速度場(chǎng)相似時(shí)間比例系數(shù)：加速度比例系數(shù)：速度比例系數(shù)：

三.動(dòng)力相似動(dòng)力相似是指模型與原型的流場(chǎng)所有對(duì)應(yīng)點(diǎn)上作用在流體微團(tuán)上的各種同名力彼此方向相同，且它們大小的比例相等，即它們的動(dòng)力場(chǎng)相似。力比例系數(shù)：

綜上所述：要使模型流動(dòng)和原型流動(dòng)相似，需要兩者在時(shí)空相似的條件下受力相似。

其中：

運(yùn)動(dòng)相似是流體流動(dòng)相似的表現(xiàn)；

幾何相似是流體流動(dòng)相似的前提條件；

動(dòng)力相似是流體流動(dòng)相似的保證。第三節(jié)動(dòng)力相似的準(zhǔn)則(模型率)

相似原理說明兩個(gè)流動(dòng)系統(tǒng)相似必須在幾何相似、運(yùn)動(dòng)相似和動(dòng)力相似三個(gè)方面都得到滿足。但實(shí)際應(yīng)用中，并不能用定義來檢驗(yàn)流動(dòng)是否相似，因?yàn)橥ǔＴ偷牧鲃?dòng)是未知的。這就產(chǎn)生一個(gè)問題：有什么其它辦法能保證兩個(gè)流動(dòng)相似呢？

有相似準(zhǔn)則一.相似準(zhǔn)則的提出

二.相似準(zhǔn)則的推導(dǎo)流體的運(yùn)動(dòng)必須符合牛頓第二律，對(duì)模型和原型流場(chǎng)中的流體微團(tuán)應(yīng)用牛頓第二定律，并根據(jù)動(dòng)力相似，各種力大小的比例相等，可得：也可寫成：令：Ne稱為牛頓數(shù)，它是作用力與慣性力的比值。

Ne稱為牛頓數(shù)，它是某種作用力與慣性力的比值，是無量綱數(shù)。由此可知，模型與原型的流場(chǎng)動(dòng)力相似，它們的牛頓數(shù)必相等。注：作用在流體微團(tuán)上的力有各種性質(zhì)的力，如重力、粘滯力、壓力、彈性力等。但不論何種性質(zhì)的力，要保證兩種流場(chǎng)的動(dòng)力相似，它們都要服從牛頓相似準(zhǔn)則。由此可導(dǎo)出單項(xiàng)力相似的準(zhǔn)則。在粘滯力作用下相似的流動(dòng)，其粘滯力場(chǎng)相似。Re－雷諾數(shù)，慣性力與粘滯力的比值。1.粘滯力相似準(zhǔn)則代入

如果模型比例尺為1:20，考慮粘滯力相似，采用模型中流體與原型中相同，模型中流速為50m/s，則原型中流速為多少？算一算：解：由粘滯力相似準(zhǔn)則知模型與原型中的雷諾數(shù)應(yīng)相等：所以：由題意知：因?yàn)椋涸谥亓ψ饔孟孪嗨频牧鲃?dòng)，其重力場(chǎng)相似。

2.重力相似準(zhǔn)則Fr-弗勞得數(shù)，慣性力與重力的比值。代入A：0.01B：1000C：10D：10000答案:c設(shè)模型比例尺為1:100，符合重力相似準(zhǔn)則，如果模型流量為100cm3/s，則原型流量為多少cm3/s?

想一想在壓力作用下相似的流動(dòng)，其壓力場(chǎng)相似。代入Eu-歐拉數(shù)，壓力與慣性力的比值。3.壓力相似準(zhǔn)則4.其它的相似準(zhǔn)則數(shù)彈性力相似準(zhǔn)則對(duì)于可壓縮流體的模型試驗(yàn)，由壓縮引起的彈性力場(chǎng)相似。（Ca——柯西數(shù)Ma——馬赫數(shù)，慣性力與彈性力的比值）。非定常相似準(zhǔn)則對(duì)于非定常流動(dòng)的模型試驗(yàn)，模型與原型的流動(dòng)隨時(shí)間的變化必相似。（Sr——斯特勞哈爾數(shù)，當(dāng)?shù)貞T性力與遷移慣性力的比值）。

表面力相似準(zhǔn)則在表面張力作用下相似的流動(dòng)，其表面張力分布相似。（We——韋伯?dāng)?shù)，慣性力與張力的比值）。三.完全相似和不完全相似

動(dòng)力相似可以用相似準(zhǔn)則數(shù)表示，若原型和模型流動(dòng)動(dòng)力相似，各同名相似準(zhǔn)數(shù)應(yīng)均相等，如果滿足則稱為完全的動(dòng)力相似。但是事實(shí)上，不是所有的相似準(zhǔn)數(shù)之間都是相容的，滿足了甲，不一定就能滿足乙。所以通?？紤]主要因素忽略次要因素，只能做近似的模型實(shí)驗(yàn)。例如：粘滯力相似：由得重力相似：由得由此可以看出，有時(shí)要想做到完全相似是不可能的，只能考慮主要因素做近似模型實(shí)驗(yàn)。一、因次分析的概念和原理第四節(jié)因此分析法1、因次因次是物理量的性質(zhì)和類別，是同一物理量各種不同單位的集中抽象。單位除表示物理量的性質(zhì)外還表示物理量的大小。因次又稱為量綱。如：s單位：km，m，cm，mm等t單位：hour，min，second等s-----具有長(zhǎng)度的量綱[L]t-----具有時(shí)間的量綱[T]V-----具有速度的量綱同時(shí)還有,如質(zhì)量量綱[M]，力的量綱[F]等?；玖烤V-----相互獨(dú)立，不相互依賴，如[M]，[L]，[T]等。導(dǎo)出量綱-----由基本量綱導(dǎo)出,如一個(gè)合理的物理方程等號(hào)兩端的量綱必須相同。2、方程因此一致性-----方程兩端具有相同量綱量綱式中各基本量綱指數(shù)均為零-----無量綱量。二、因次分析法

（一）瑞利法1.定義：根據(jù)量綱量一致性原則，確定相關(guān)量的函數(shù)關(guān)系。假定物理量y是x1、x2等的函數(shù)。則關(guān)鍵的問題是怎么根據(jù)量綱一致性原則確定各個(gè)x的指數(shù)。2.舉例：三角堰

（二）π定理由于方程量綱一致性，用其中任意一項(xiàng)去除方程兩端，都可將有量綱函數(shù)式變成無量綱函數(shù)式。但這些無量綱函數(shù)式可以互相推導(dǎo)：它們所包含的獨(dú)立無量綱量數(shù)目（不能相互推導(dǎo)）是多少？共有兩個(gè)，它們可以表示為：為什么？與勻變速運(yùn)動(dòng)有關(guān)物理量的量綱指數(shù)：設(shè)四個(gè)物理量組成的函數(shù)形式：如果是無量綱量→其基本量綱指數(shù)為零。------只有那些線性無關(guān)的解組（基礎(chǔ)解系）才能組成彼此獨(dú)立的無量綱量。當(dāng)當(dāng)解向量解向量獨(dú)立無量綱量(m)=與問題有關(guān)的物理量(n)-量綱指數(shù)矩陣秩(r)柏金漢（Buckingham）π定理：如果與某一物理問題有關(guān)的物理量有n個(gè)，這n個(gè)量的量綱指數(shù)矩陣的秩為r，則表達(dá)這一問題規(guī)律性的n個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系，可以用這n個(gè)量組成的n-r個(gè)獨(dú)立無量綱量的函數(shù)式