第2章-邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

第2章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

2.1邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算

2.2

邏輯函數(shù)及其表示法返回結(jié)束放映2/2/20231復(fù)習(xí)（255）10=（）2=（）8=（）16

=（）8421BCD00100101010110000000-1=1111111111111111=FF11111111=377請(qǐng)列舉所學(xué)習(xí)過(guò)的二進(jìn)制代碼。BCD碼：8421、5421、余3碼；格雷碼（循環(huán)碼）、奇偶校驗(yàn)碼、ASCII碼2/2/20232

內(nèi)容提要2.1邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn)

邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算；邏輯函數(shù)及其表示方法（真值表、邏輯表達(dá)式、邏輯圖、波形圖）；邏輯代數(shù)的運(yùn)算公式和基本規(guī)則；邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法（公式化簡(jiǎn)法和卡諾圖化簡(jiǎn)法）。2/2/202332.1.1邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算

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邏輯：一定的因果關(guān)系。

邏輯代數(shù)是描述客觀事物邏輯關(guān)系的數(shù)學(xué)方法，是進(jìn)行邏輯分析與綜合的數(shù)學(xué)工具。因?yàn)樗怯?guó)數(shù)學(xué)家喬治·布爾(GeorgeBoole)于1847年提出的,所以又稱為布爾代數(shù)。

邏輯代數(shù)有其自身獨(dú)立的規(guī)律和運(yùn)算法則，不同于普通代數(shù)。

相同點(diǎn)：都用字母A、B、C……表示變量；

不同點(diǎn)：邏輯代數(shù)變量的取值范圍僅為“0”和“1”，且無(wú)大小、正負(fù)之分。邏輯代數(shù)中的變量稱為邏輯變量?！?”和“1”表示兩種不同的邏輯狀態(tài)：是和非、真和假、高電位和低電位、有和無(wú)、開(kāi)和關(guān)等等。

馮諾依曼（匈牙利）1949年——2進(jìn)制思想與程序內(nèi)存思想圖靈（法國(guó)）1945年——人工智能楚澤（德國(guó)）1945年——計(jì)算機(jī)之父2/2/202341.三種基本邏輯運(yùn)算（1）與運(yùn)算

當(dāng)決定某一事件的全部條件都具備時(shí)，該事件才會(huì)發(fā)生，這樣的因果關(guān)系稱為與邏輯關(guān)系，簡(jiǎn)稱與邏輯。開(kāi)關(guān)A開(kāi)關(guān)B燈Y斷開(kāi)斷開(kāi)滅斷開(kāi)閉合滅閉合斷開(kāi)滅閉合閉合亮ABY000010100111表1-6與邏輯的真值表

有0必0，全1才1。串聯(lián)開(kāi)關(guān)電路功能表

圖1-1(a)串聯(lián)開(kāi)關(guān)電路設(shè)定邏輯變量并狀態(tài)賦值：邏輯變量：A和B，對(duì)應(yīng)兩個(gè)開(kāi)關(guān)的狀態(tài)；

1－閉合，0－斷開(kāi)；邏輯函數(shù)：Y，對(duì)應(yīng)燈的狀態(tài)，

1－燈亮，0－燈滅。2/2/20235圖1-1(b)與邏輯的邏輯符號(hào)邏輯表達(dá)式：

Y＝A·B＝AB符號(hào)“·”讀作“與”（或讀作“邏輯乘”）；在不致引起混淆的前提下，“·”常被省略。實(shí)現(xiàn)與邏輯的電路稱作與門，與邏輯和與門的邏輯符號(hào)如圖1-1(b)所示，符號(hào)“&”表示與邏輯運(yùn)算。2/2/20236若開(kāi)關(guān)數(shù)量增加，則邏輯變量增加。

ABCY00000010010001101000101011001111A、B、C全1，Y才為1。Y＝A

·

B·C＝ABC仿真2/2/20237（2）或運(yùn)算

當(dāng)決定某一事件的所有條件中，只要有一個(gè)具備，該事件就會(huì)發(fā)生，這樣的因果關(guān)系叫做或邏輯關(guān)系，簡(jiǎn)稱或邏輯。開(kāi)關(guān)A開(kāi)關(guān)B燈Y斷開(kāi)斷開(kāi)滅斷開(kāi)閉合亮閉合斷開(kāi)亮閉合閉合亮ABY000011101111表1-7或邏輯的真值表

有1必1，全0才0。并聯(lián)開(kāi)關(guān)電路功能表

圖1-2(a)并聯(lián)開(kāi)關(guān)電路2/2/20238圖1-2(b)或邏輯的邏輯符號(hào)邏輯表達(dá)式：

Y＝A＋B符號(hào)“＋”讀作“或”（或讀作“邏輯加”）。實(shí)現(xiàn)或邏輯的電路稱作或門，或邏輯和或門的邏輯符號(hào)如圖1-2(b)所示，符號(hào)“≥1”表示或邏輯運(yùn)算。仿真2/2/20239（3）非運(yùn)算

當(dāng)某一條件具備了，事情不會(huì)發(fā)生；而此條件不具備時(shí)，事情反而發(fā)生。這種邏輯關(guān)系稱為非邏輯關(guān)系，簡(jiǎn)稱非邏輯。表1-8非邏輯的真值表

有0必1，有1必0開(kāi)關(guān)與燈并聯(lián)電路功能表

圖1-3(a)開(kāi)關(guān)與燈并聯(lián)電路開(kāi)關(guān)A燈Y斷開(kāi)亮閉合滅AY01102/2/202310圖1-3(b)非邏輯的邏輯符號(hào)實(shí)現(xiàn)非邏輯的電路稱作非門，非邏輯和非門的邏輯符號(hào)如圖1-3(b)所示。邏輯符號(hào)中用小圓圈“?！北硎痉沁\(yùn)算，符號(hào)中的“1”表示緩沖。邏輯表達(dá)式：

Y＝A=A′符號(hào)“—”或“′”讀作“非”。仿真2/2/2023112.復(fù)合邏輯運(yùn)算

在數(shù)字系統(tǒng)中，除應(yīng)用與、或、非三種基本邏輯運(yùn)算之外，還廣泛應(yīng)用與、或、非的不同組合，最常見(jiàn)的復(fù)合邏輯運(yùn)算有與非、或非、與或非、異或和同或等。

（1）與非運(yùn)算“與”和“非”的復(fù)合運(yùn)算稱為與非運(yùn)算。

邏輯表達(dá)式：Y＝(AB)′表1-9與非邏輯的真值表

圖1-4與非邏輯的邏輯符號(hào)“有0必1，全1才0”2/2/202312（2）或非運(yùn)算“或”和“非”的復(fù)合運(yùn)算稱為或非運(yùn)算。

邏輯表達(dá)式：Y＝(A+B)′表1-10或非邏輯的真值表

“有1必0，全0才1”圖1-5或非邏輯的邏輯符號(hào)2/2/202313（3）與或非運(yùn)算“與”、“或”和“非”的復(fù)合運(yùn)算稱為與或非運(yùn)算。

邏輯表達(dá)式：Y＝(AB+CD)′圖1-6與或非邏輯的邏輯符號(hào)2/2/202314（4）異或運(yùn)算所謂異或運(yùn)算，是指兩個(gè)輸入變量取值相同時(shí)輸出為0，取值不相同時(shí)輸出為1。

表1-11異或邏輯的真值表

“相同為0，相異為1”圖1-7異或邏輯的邏輯符號(hào)邏輯表達(dá)式：Y=A⊕B=AB+AB=A’B+AB’式中符號(hào)“⊕”表示異或運(yùn)算。

ABY000011101110仿真2/2/202315ABY001010100111（5）同或運(yùn)算所謂同或運(yùn)算，是指兩個(gè)輸入變量取值相同時(shí)輸出為1，取值不相同時(shí)輸出為0。

表1-12同或邏輯的真值表

“相同為1，相異為0”圖1-8同或邏輯的邏輯符號(hào)邏輯表達(dá)式：Y=A⊙B=A’B’+AB=(A⊕B)’式中符號(hào)“⊙”表示同或運(yùn)算。

2/2/2023162.1.2邏輯代數(shù)的公式、定理和規(guī)則1、邏輯代數(shù)的公式和定理（1）常量之間的關(guān)系（2）基本公式分別令A(yù)=0及A=1代入這些公式，即可證明它們的正確性。2/2/202317（3）基本定理利用真值表很容易證明這些公式的正確性。如證明A·B=B·A：2/2/202318(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC分配率A(B+C)=AB+AC=A+AB+AC+BC等冪率AA=A=A(1+B+C)+BC分配率A(B+C)=AB+AC=A+BC0-1率A+1=1證明分配率：A+BC=(A+B)(A+C)證明：2/2/202319（4）常用公式分配率A+BC=(A+B)(A+C)互補(bǔ)率A+A’=10-1率A·1=1長(zhǎng)中含短，留下短。長(zhǎng)中含反，去掉反。2/2/202320互補(bǔ)率A+A’=1分配率A(B+C)=AB+AC0-1率A+1=1正負(fù)相對(duì)，余全完。2/2/202321表1-15邏輯代數(shù)的基本公式2/2/202322常用公式需記憶2/2/202323在任何一個(gè)邏輯等式（如F＝W）中，如果將等式兩端的某個(gè)變量（如B）都以一個(gè)邏輯函數(shù)（如Y=BC）代入，則等式仍然成立。這個(gè)規(guī)則就叫代入規(guī)則。3.運(yùn)算規(guī)則（1）代入規(guī)則推廣返回

理論依據(jù)：任何一個(gè)邏輯函數(shù)也和任何一個(gè)邏輯變量一樣，只有邏輯0和邏輯1兩種取值。因此，可將邏輯函數(shù)作為一個(gè)邏輯變量對(duì)待。利用代入規(guī)則可以擴(kuò)大公式的應(yīng)用范圍。2/2/202324（2）反演規(guī)則運(yùn)用反演規(guī)則時(shí)，要注意運(yùn)算的優(yōu)先順序（先括號(hào)、再相與，最后或），必要時(shí)可加或減括號(hào)。對(duì)任何一個(gè)邏輯表達(dá)式Y(jié)作反演變換，可得Y的反函數(shù)Y’。這個(gè)規(guī)則叫做反演規(guī)則。

反演變換：“﹒”→“﹢”“﹢”→“﹒”

“0”

→

“1”“1”

→“0”，原變量→反變量反變量→原變量若則2/2/202325對(duì)任何一個(gè)邏輯表達(dá)式Y(jié)作對(duì)偶變換，可Y的對(duì)偶式。（3）對(duì)偶規(guī)則運(yùn)用對(duì)偶規(guī)則時(shí)，同樣應(yīng)注意運(yùn)算的優(yōu)先順序，必要時(shí)可加或減括號(hào)。對(duì)偶變換：“﹒”→“﹢”“﹢”→“﹒”“0”

→

“1”“1”

→“0”2/2/202326利用對(duì)偶定理，可以使要證明和記憶的公式數(shù)目減少一半?；閷?duì)偶式對(duì)偶定理：若等式Y(jié)=W成立，則等式=

也成立。

2/2/2023272.1.3邏輯函數(shù)及其表示法

返回1.邏輯函數(shù)

輸入邏輯變量和輸出邏輯變量之間的函數(shù)關(guān)系稱為邏輯函數(shù)，寫(xiě)作

Y=F(A、B、C、D……)

A、B、C、D為有限個(gè)輸入邏輯變量；

F為有限次邏輯運(yùn)算（與、或、非）的組合。表示邏輯函數(shù)的方法有：真值表、邏輯函數(shù)表達(dá)式、邏輯圖、波形圖和卡諾圖。2/2/202328

真值表是將輸入邏輯變量的所有可能取值與相應(yīng)的輸出變量函數(shù)值排列在一起而組成的表格。1個(gè)輸入變量有0和1兩種取值，

n個(gè)輸入變量就有2n個(gè)不同的取值組合。例：邏輯函數(shù)Y=AB+BC+AC表1-11邏輯函數(shù)的真值表

ABCY00000010010001111000101111011111三個(gè)輸入變量，八種取值組合2.真值表ABBCAC2/2/202329ABCY00000010010001111000101111011111真值表的特點(diǎn)：①唯一性;②按自然二進(jìn)制遞增順序排列（既不易遺漏，也不會(huì)重復(fù)）。③n個(gè)輸入變量就有2n個(gè)不同的取值組合。

2/2/202330例：控制樓梯照明燈的電路。

兩個(gè)單刀雙擲開(kāi)關(guān)A和B分別裝在樓上和樓下。無(wú)論在樓上還是在樓下都能單獨(dú)控制開(kāi)燈和關(guān)燈。設(shè)燈為L(zhǎng)，L為1表示燈亮，L為0表示燈滅。對(duì)于開(kāi)關(guān)A和B，用1表示開(kāi)關(guān)向上扳，用0表示開(kāi)關(guān)向下扳。表1-14控制樓梯照明燈的電路的真值表ABL001010100111圖1-9控制樓梯照明燈的電路2/2/2023313.邏輯表達(dá)式按照對(duì)應(yīng)的邏輯關(guān)系，把輸出變量表示為輸入變量的與、或、非三種運(yùn)算的組合，稱之為邏輯函數(shù)表達(dá)式（簡(jiǎn)稱邏輯表達(dá)式）。由真值表可以方便地寫(xiě)出邏輯表達(dá)式。方法為：①找出使輸出為1的輸入變量取值組合；②取值為1用原變量表示，取值為0的用反變量表示，則可寫(xiě)成一個(gè)乘積項(xiàng)；③將乘積項(xiàng)相加即得。ABL001010100111L=A’B’+ABABA’B’2/2/2023324.邏輯圖用相應(yīng)的邏輯符號(hào)將邏輯表達(dá)式的邏輯運(yùn)算關(guān)系表示出來(lái)，就可以畫(huà)出邏輯函數(shù)的邏輯圖。ABL001010100111L=A’B’+AB圖1-10圖1-9電路的邏輯圖ABA’B’AB+A’B’2/2/202333ＡＢＣＹ００００００１００１０００１１１１０００１０１０１１０１１１１１００００５、波形圖

波形圖：是由輸入變量的所有可能取值組合的高、低電平及其對(duì)應(yīng)的輸出函數(shù)值的高、低電平所構(gòu)成的圖形。Ｙ＝ＡＢ＋ＢＣ2/2/2023342.1.4邏輯函數(shù)表示方法之間的轉(zhuǎn)換1、真值表→邏輯函數(shù)式ABCY00000010010001111000101111011110例2.1.1

一般方法：（1）找出真值表中使邏輯函數(shù)為1的那些輸入變量取值的組合。（2）每組輸入變量取值的組合對(duì)應(yīng)一個(gè)乘積項(xiàng)，其中取值為1的寫(xiě)入原變量，取值為0的寫(xiě)入反變量。（3）將這些乘積項(xiàng)相加，即得輸出的邏輯函數(shù)式。2/2/2023352、邏輯式→真值表方法:將輸入變量取值的所有組合狀態(tài)逐一帶入邏輯式求函數(shù)值,列成表即得真值表。例2.1.2ABCY000001010011100101110111011111102/2/2023363、邏輯式→邏輯圖方法:用圖形符號(hào)代替邏輯式中的運(yùn)算符號(hào),就可以畫(huà)出邏輯圖.例2.1.32/2/2023374、邏輯圖→邏輯式方法:從輸入端到輸出端逐級(jí)寫(xiě)出每個(gè)圖形符號(hào)對(duì)應(yīng)的邏輯式，即得到對(duì)應(yīng)的邏輯函數(shù)式.2/2/2023385、波形圖→真值表ABCYtttt00000011010101101000101111001111ABCY000001010011100101110111011001012/2/202339復(fù)習(xí)舉例說(shuō)明什么是“與”邏輯？邏輯代數(shù)有哪三種基本運(yùn)算？分別對(duì)應(yīng)的開(kāi)關(guān)電路圖？真值表？邏輯表達(dá)式？邏輯圖？Y=A⊕B實(shí)現(xiàn)怎樣的邏輯功能？什么是邏輯函數(shù)？有哪些表示方法？2/2/2023402.2邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法2.2.1邏輯函數(shù)的公式化簡(jiǎn)法返回1.化簡(jiǎn)的意義和最簡(jiǎn)概念2.公式化簡(jiǎn)法結(jié)束放映3.

最小項(xiàng)及最小項(xiàng)表達(dá)式

2/2/2023411.化簡(jiǎn)的意義和最簡(jiǎn)單的概念

（1）化簡(jiǎn)的意義例：用非門和與非門實(shí)現(xiàn)邏輯函數(shù)返回解：直接將表達(dá)式變換成與非－與非式：可見(jiàn)，實(shí)現(xiàn)該函數(shù)需要用兩個(gè)非門、四個(gè)兩輸入端與非門、一個(gè)五輸入端與非門。電路較復(fù)雜。兩次求反反演律×2×4×12/2/202342若將該函數(shù)化簡(jiǎn)并作變換：可見(jiàn)，實(shí)現(xiàn)該函數(shù)需要用兩個(gè)非門和一個(gè)兩輸入端與非門即可。電路很簡(jiǎn)單?！?×12/2/202343化簡(jiǎn)的意義：1、可以使電路簡(jiǎn)單、提高經(jīng)濟(jì)效益。2、可以使用不同的邏輯門實(shí)現(xiàn)相同的功能。2/2/202344（2）邏輯函數(shù)的多種表達(dá)式形式與-或表達(dá)式與非-與非表達(dá)式或-與非表達(dá)式或非-或表達(dá)式兩次求反并用反演律反演律反演律2/2/202345（2）邏輯函數(shù)的多種表達(dá)式形式（續(xù)）或-與表達(dá)式或非-或非表達(dá)式與-或非表達(dá)式與非-與表達(dá)式2/2/202346由以上分析可知，邏輯函數(shù)有很多種表達(dá)式形式，但形式最簡(jiǎn)潔的是與或表達(dá)式，因而也是最常用的。（3）邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)標(biāo)準(zhǔn)由于與或表達(dá)式最常用，因此只討論最簡(jiǎn)與或表達(dá)式的最簡(jiǎn)標(biāo)準(zhǔn)。最簡(jiǎn)與或表達(dá)式為：①與項(xiàng)（乘積項(xiàng)）的個(gè)數(shù)最少；②每個(gè)與項(xiàng)中的變量最少。2/2/2023472.公式化簡(jiǎn)法返回反復(fù)利用邏輯代數(shù)的基本公式、常用公式和運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行化簡(jiǎn)，又稱為代數(shù)化簡(jiǎn)法。必須依賴于對(duì)公式和規(guī)則的熟練記憶和一定的經(jīng)驗(yàn)、技巧。2/2/202348（1）代入規(guī)則

在任何一個(gè)邏輯等式（如F＝W）中，如果將等式兩端的某個(gè)變量（如B）都以一個(gè)邏輯函數(shù)（如Y=BC）代入，則等式仍然成立。這個(gè)規(guī)則就叫代入規(guī)則。

在公式化簡(jiǎn)中大量應(yīng)用！需靈活掌握。最常使用，特別需要熟練記憶！2/2/202349（2）反演規(guī)則－便于實(shí)現(xiàn)反函數(shù)。（3）對(duì)偶規(guī)則－使公式的應(yīng)用范圍擴(kuò)大一倍，使公式的記憶量減小一倍。反演變換：“﹒”→“﹢”“﹢”→“﹒”“0”

→

“1”“1”

→“0”，原變量→反變量反變量→原變量對(duì)偶變換：“﹒”→“﹢”“﹢”→“﹒”“0”

→

“1”“1”

→“0”2/2/202350例1-2化簡(jiǎn)函數(shù)解：例化簡(jiǎn)函數(shù)解：代入規(guī)則（1）并項(xiàng)法利用公式A+A’=1或公式AB+AB’=A進(jìn)行化簡(jiǎn)，通過(guò)合并公因子，消去變量?；颍捍胍?guī)則2/2/202351（2）吸收法利用公式A+AB=A進(jìn)行化簡(jiǎn)，消去多余項(xiàng)。例1-3化簡(jiǎn)函數(shù)解：例化簡(jiǎn)函數(shù)解：2/2/202352例1-4化簡(jiǎn)函數(shù)解：例化簡(jiǎn)函數(shù)解：（3）消去法利用公式A+A’B=A＋B進(jìn)行化簡(jiǎn)，消去多余項(xiàng)。長(zhǎng)中含反，去掉反。2/2/202353例1-5化簡(jiǎn)函數(shù)解：（4）配項(xiàng)法在適當(dāng)?shù)捻?xiàng)配上A+A’=1進(jìn)行化簡(jiǎn)。2/2/202354例1-5化簡(jiǎn)函數(shù)解2：解1得：?jiǎn)栴}：函數(shù)Y的結(jié)果不一樣，哪一個(gè)解正確呢？答案都正確!最簡(jiǎn)結(jié)果的形式是一樣的，都為三個(gè)與項(xiàng)，每個(gè)與項(xiàng)都為兩個(gè)變量。表達(dá)式不唯一！2/2/202355例化簡(jiǎn)函數(shù)解：（5）添加項(xiàng)法利用公式AB+A’C+BC=AB＋A’C，先添加一項(xiàng)BC，然后再利用BC進(jìn)行化簡(jiǎn)，消去多余項(xiàng)。2/2/202356下面舉一個(gè)綜合運(yùn)用的例子。解：2/2/202357公式化簡(jiǎn)法評(píng)價(jià)：特點(diǎn)：目前尚無(wú)一套完整的方法，能否以最快的速度進(jìn)行化簡(jiǎn)，與我們的經(jīng)驗(yàn)和對(duì)公式掌握及運(yùn)用的熟練程度有關(guān)。優(yōu)點(diǎn)：變量個(gè)數(shù)不受限制。缺點(diǎn)：結(jié)果是否最簡(jiǎn)有時(shí)不易判斷。下次課將介紹與公式化簡(jiǎn)法優(yōu)缺點(diǎn)正好互補(bǔ)的卡諾圖化簡(jiǎn)法。當(dāng)變量個(gè)數(shù)超過(guò)4時(shí)人工進(jìn)行卡諾圖化簡(jiǎn)較困難，但它是一套完整的方法，只要按照相應(yīng)的方法就能以最快的速度得到最簡(jiǎn)結(jié)果。2/2/2023583.最小項(xiàng)及最小項(xiàng)表達(dá)式（1）最小項(xiàng)返回具備以上條件的乘積項(xiàng)共八個(gè)，我們稱這八個(gè)乘積項(xiàng)為三變量A、B、C的最小項(xiàng)。

設(shè)A、B、C是三個(gè)邏輯變量，若由這三個(gè)邏輯變量按以下規(guī)則構(gòu)成乘積項(xiàng)：①每個(gè)乘積項(xiàng)都只含三個(gè)因子，且每個(gè)變量都是它的一個(gè)因子；②每個(gè)變量都以反變量(A’、B’、C’)或以原變量(A、B、C)的形式出現(xiàn)一次，且僅出現(xiàn)一次。AB’是三變量函數(shù)的最小項(xiàng)嗎？A’BB’C是三變量函數(shù)的最小項(xiàng)嗎？推廣：一個(gè)變量?jī)H有原變量和反變量?jī)煞N形式，因此N個(gè)變量共有2N個(gè)最小項(xiàng)。2/2/202359最小項(xiàng)的定義:對(duì)于N個(gè)變量，如果P是一個(gè)含有N個(gè)因子的乘積項(xiàng)，而且每一個(gè)變量都以原變量或者反變量的形式，作為一個(gè)因子在P中出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次，那么就稱P是這N個(gè)變量的一個(gè)最小項(xiàng)。表1-17三變量最小項(xiàng)真值表2/2/202360（2）最小項(xiàng)的性質(zhì)①對(duì)于任意一個(gè)最小項(xiàng)，只有一組變量取值使它的值為1，而變量取其余各組值時(shí)，該最小項(xiàng)均為0；②任意兩個(gè)不同的最小項(xiàng)之積恒為0；③變量全部最小項(xiàng)之和恒為1。2/2/202361最小項(xiàng)也可用“mi”表示，下標(biāo)“i”即最小項(xiàng)的編號(hào)。編號(hào)方法：把最小項(xiàng)取值為1所對(duì)應(yīng)的那一組變量取值組合當(dāng)成二進(jìn)制數(shù)，與其相應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)，就是該最小項(xiàng)的編號(hào)。

表1-18三變量最小項(xiàng)的編號(hào)表

2/2/202362（3）最小項(xiàng)表達(dá)式

任何一個(gè)邏輯函數(shù)都可以表示為最小項(xiàng)之和的形式——標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式。而且這種形式是惟一的，就是說(shuō)一個(gè)邏輯函數(shù)只有一種最小項(xiàng)表達(dá)式。例1-7將Y=AB+BC展開(kāi)成最小項(xiàng)表達(dá)式。解：或：2/2/2023632.4邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn)2.4.1邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法返回1.

卡諾圖及其畫(huà)法

2.

用卡諾圖表示邏輯函數(shù)3.

卡諾圖化簡(jiǎn)法結(jié)束放映4.

具有無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn)

2/2/202364復(fù)習(xí)與或表達(dá)式最簡(jiǎn)的標(biāo)準(zhǔn)是什么？公式化簡(jiǎn)法的優(yōu)點(diǎn)？局限性？什么是邏輯函數(shù)的相等？怎樣判斷？請(qǐng)寫(xiě)出反演律的公式和四個(gè)常用公式。邏輯代數(shù)有哪三個(gè)規(guī)則？分別有什么用途？2/2/2023652.4.1邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法公式化簡(jiǎn)法評(píng)價(jià)：優(yōu)點(diǎn)：變量個(gè)數(shù)不受限制。缺點(diǎn)：目前尚無(wú)一套完整的方法，結(jié)果是否最簡(jiǎn)有時(shí)不易判斷。

利用卡諾圖可以直觀而方便地化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)。它克服了公式化簡(jiǎn)法對(duì)最終化簡(jiǎn)結(jié)果難以確定等缺點(diǎn)?？ㄖZ圖是按一定規(guī)則畫(huà)出來(lái)的方框圖，是邏輯函數(shù)的圖解化簡(jiǎn)法，同時(shí)它也是表示邏輯函數(shù)的一種方法?？ㄖZ圖的基本組成單元是最小項(xiàng)，要熟練掌握最小項(xiàng)及最小項(xiàng)表達(dá)式。

2/2/2023662.卡諾圖及其畫(huà)法

返回（1）卡諾圖及其構(gòu)成原則

卡諾圖是把最小項(xiàng)按照一定規(guī)則排列而構(gòu)成的方框圖。構(gòu)成卡諾圖的原則是：

①N變量的卡諾圖有2N個(gè)小方塊（最小項(xiàng)）；

②最小項(xiàng)排列規(guī)則：幾何相鄰的必須邏輯相鄰。

邏輯相鄰：兩個(gè)最小項(xiàng),只有一個(gè)變量的形式不同,其余的都相同。邏輯相鄰的最小項(xiàng)可以合并。

幾何相鄰的含義：一是相鄰——緊挨的；二是相對(duì)——任一行或一列的兩頭；三是相重——對(duì)折起來(lái)后位置相重。在五變量和六變量的卡諾圖中，用相重來(lái)判斷某些最小項(xiàng)的幾何相鄰性，其優(yōu)點(diǎn)是十分突出的。2/2/202367圖1-11三變量卡諾圖的畫(huà)法

（2）卡諾圖的畫(huà)法首先討論三變量（A、B、C）函數(shù)卡諾圖的畫(huà)法。①3變量的卡諾圖有23個(gè)小方塊；②幾何相鄰的必須邏輯相鄰：變量的取值按00、01、11、10的順序（循環(huán)碼）排列。相鄰相鄰2/2/202368圖1-12四變量卡諾圖的畫(huà)法相鄰相鄰不相鄰正確認(rèn)識(shí)卡諾圖的“邏輯相鄰”：上下相鄰，左右相鄰，并呈現(xiàn)“循環(huán)相鄰”的特性，它類似于一個(gè)封閉的球面，如同展開(kāi)了的世界地圖一樣。對(duì)角線上不相鄰。2/2/202369（1）從真值表畫(huà)卡諾圖根據(jù)變量個(gè)數(shù)畫(huà)出卡諾圖，再按真值表填寫(xiě)每一個(gè)小方塊的值（0或1）即可。需注意二者順序不同。例1-8已知Y的真值表，要求畫(huà)Y的卡諾圖。表1-19邏輯函數(shù)Y的真值表3.用卡諾圖表示邏輯函數(shù)ABCY00000011010101101001101011001111圖1-13例1-8的卡諾圖返回2/2/202370（2）從最小項(xiàng)表達(dá)式畫(huà)卡諾圖

把表達(dá)式中所有的最小項(xiàng)在對(duì)應(yīng)的小方塊中填入1，其余的小方塊中填入0。例1-9畫(huà)出函數(shù)Y(A、B、C、D)=∑m(0,3,5,7,9,12,15)的卡諾圖。圖1-14例1-9的卡諾圖2/2/202371（3）從與－或表達(dá)式畫(huà)卡諾圖把每一個(gè)乘積項(xiàng)所包含的那些最小項(xiàng)（該乘積項(xiàng)就是這些最小項(xiàng)的的公因子）所對(duì)應(yīng)的小方塊都填上1，剩下的填0，就可以得到邏輯函數(shù)的卡諾圖。1111AB＝11例已知Y＝AB＋AC’D＋A’BCD，畫(huà)卡諾圖。最后將剩下的填01+1AC’D=1011A’BCD=01112/2/202372（4）從一般形式表達(dá)式畫(huà)卡諾圖

先將表達(dá)式變換為與或表達(dá)式，則可畫(huà)出卡諾圖。2/2/202373（1）卡諾圖中最小項(xiàng)合并的規(guī)律合并相鄰最小項(xiàng)，可消去變量。合并兩個(gè)最小項(xiàng)，可消去一個(gè)變量；合并四個(gè)最小項(xiàng)，可消去兩個(gè)變量；合并八個(gè)最小項(xiàng)，可消去三個(gè)變量。合并2N個(gè)最小項(xiàng)，可消去N個(gè)變量。4.卡諾圖化簡(jiǎn)法由于卡諾圖兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)中，只有一個(gè)變量取值不同，而其余的取值都相同。所以，合并相鄰最小項(xiàng)，利用公式A+A’=1，AB＋AB’＝A，可以消去一個(gè)或多個(gè)變量，從而使邏輯函數(shù)得到簡(jiǎn)化。返回2/2/202374圖1-15兩個(gè)最小項(xiàng)合并

m3m11BCD誰(shuí)變消誰(shuí)，誰(shuí)不變留誰(shuí)2/2/202375圖1-16四個(gè)最小項(xiàng)合并

2/2/202376圖1-17八個(gè)最小項(xiàng)合并2/2/202377（2）利用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)A．基本步驟：

①畫(huà)出邏輯函數(shù)的卡諾圖；②合并相鄰最小項(xiàng)（圈組）；③從圈組寫(xiě)出最簡(jiǎn)與或表達(dá)式。

關(guān)鍵是能否正確圈組。

B．正確圈組的原則①必須按2、4、8、2N的規(guī)律來(lái)圈取值為1的相鄰最小項(xiàng)；②每個(gè)取值為1的相鄰最小項(xiàng)至少必須圈一次，但可以圈多次；③圈的個(gè)數(shù)要最少（與項(xiàng)就少），并要盡可能大（消去的變量就越多）。2/2/202378

C．從圈組寫(xiě)最簡(jiǎn)與或表達(dá)式的方法：

①將每個(gè)圈用一個(gè)與項(xiàng)表示

圈內(nèi)各最小項(xiàng)中互補(bǔ)的因子消去，相同的因子保留，相同取值為1用原變量，相同取值為0用反變量；

②將各與項(xiàng)相或，便得到最簡(jiǎn)與或表達(dá)式。2/2/202379例用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)Y(A、B、C、D)=∑m(0,1,2,3,4,5,6,7,8,10,11)解：相鄰A’2/2/202380相鄰B’CA’2/2/202381B’CA’B’D’2/2/202382例化簡(jiǎn)圖示邏輯函數(shù)。解：多余的圈112233442/2/202383圈組技巧(防止多圈組的方法)：

①先圈孤立的1；

②再圈只有一種圈法的1；③最后圈大圈；④檢查：每個(gè)圈中至少有一個(gè)1未被其它圈圈過(guò)。2/2/2023845.具有無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn)返回

①無(wú)關(guān)項(xiàng)的概念

對(duì)應(yīng)于輸入變量的某些取值下