第2章隨機(jī)變量及其分布

第二章隨機(jī)變量及其分布§2.1隨機(jī)變量及分布函數(shù)2/2/20231§2.1.1隨機(jī)變量觀察以下隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果:例2.1擲一枚色子考察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),則試驗(yàn)結(jié)果與數(shù)之間的恒等映射為:例2.2某廠出廠燈泡中抽取一只做壽命試驗(yàn),記錄燈泡的壽命,則樣本點(diǎn)與數(shù)之間也有恒等映射2/2/20232例2.4

隨機(jī)從某人群中抽樣,觀察抽得的人的性別,此時(shí)我們可以建立樣本點(diǎn)與數(shù)之間的映射為:定義2.1

設(shè)是一試驗(yàn)的樣本空間,如果對于每一個(gè)樣本點(diǎn),規(guī)定一個(gè)實(shí)數(shù)這樣就定義了一個(gè)定義域?yàn)榈膶?shí)值函數(shù),稱X為隨機(jī)變量注意:還有許多試驗(yàn)的結(jié)果本身不是實(shí)數(shù)2/2/20233隨機(jī)變量的定義隨機(jī)變量常用X、Y、Z或

、、等表示2/2/20234隨機(jī)變量與普通函數(shù)的區(qū)別(1)定義域是樣本空間,樣本空間不一定是實(shí)空間;(2)隨機(jī)變量的取值具有隨機(jī)性;即試驗(yàn)之前,不知道樣本空間中哪一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn),從而取何值不能確定,而試驗(yàn)之后,才確定取何值;(3)隨機(jī)變量的取值具有一定的概率;例如在例2.1中,2/2/20235利用隨機(jī)變量表示事件有了隨機(jī)變量的定義之后,我們可以用隨機(jī)變量落入某個(gè)區(qū)域來表示隨機(jī)事件.例如:用“”表示打色子的時(shí)候“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”這一隨機(jī)事件；用“”表示“打出的色子數(shù)等于1”這一隨機(jī)事件.一般情況下，我們可以用表示隨機(jī)變量取值在G中的樣本點(diǎn)構(gòu)成的事件，簡記為2/2/20236§2.1.2隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義2.2設(shè)X是隨機(jī)變量，對任意實(shí)數(shù)x∈R，定義

F(x)＝P(Xx)稱F(x)

為隨機(jī)變量X的分布函數(shù).注

(1)分布函數(shù)的本質(zhì)是一個(gè)概率，即

事件{ω|X(ω)x}的概率P(Xx)(2)

對任意實(shí)數(shù)a,b(a<b),

P(a<Xb)＝F(b)－F(a)2/2/20237X012P0.10.60.3例2.5已知隨機(jī)變量X的取值情況如右表，求X的分布函數(shù)分布函數(shù)的求法因?yàn)榉植己瘮?shù)是定義在整個(gè)數(shù)軸上，所以0122/2/20238可見,此題中,F(x)是一個(gè)階梯型函數(shù)2/2/20239例2.6某射手向半徑為R的圓形靶射擊一次，假定不會(huì)脫靶。彈著點(diǎn)落在以靶心為圓心，r為半徑的圓形區(qū)域的概率與該區(qū)域的面積成正比,設(shè)隨機(jī)變量X表示彈著點(diǎn)與靶心的距離,求X的分布函數(shù),并求概率RX解:對任意的2/2/202310例2.6由題意,2/2/202311例2.6F(x)xF(x)是一個(gè)單調(diào)不減的函數(shù)2/2/202312定理2.1分布函數(shù)的性質(zhì)

1)單調(diào)不減性：若x1<x2,

則F(x1)F(x2);3)右連續(xù)性：對任意實(shí)數(shù)x，2)歸一性：

對任意實(shí)數(shù)x，0F(x)1且4)對任意的2/2/202313注:(1),(2),(3)也是分布函數(shù)的特征，即任意一個(gè)函數(shù)G(x)滿足(1),(2)和(3)，則G(x)是某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù).2/2/202314§2.2離散型隨機(jī)變量定義2.3

若隨機(jī)變量X取值x1,x2,…,xn,…

且取值的概率

P(X=xk)=pk,(k=1,2,…)

(2.2.1)稱(2.2.1)為離散型隨機(jī)變量X的分布律或概率分布.

可表為表格X

x1 x2 …

xk … P

p1 p2 … pk …2/2/202315X~或矩陣2/2/202316分布律的性質(zhì)屬于(a,b]中的那些xk所對應(yīng)的概率的和2/2/202317利用分布律的性質(zhì)計(jì)算參數(shù)例：設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為試求常數(shù)c.解：由隨機(jī)變量的性質(zhì)，得2/2/202318例2.7一批產(chǎn)品包括7件正品,3件次品,依次從中不放回取一件產(chǎn)品,X表示取到正品時(shí)的抽取次數(shù),求X的分布律,并求P(X>2)與分布函數(shù).解:Xp1234P(X>2)=P(X=3)+P(X=4)=1/152/2/202319例2.7由題意:2/2/202320解:設(shè)Ai表示第i個(gè)零件不合格,它們之間互相獨(dú)立.用一臺機(jī)器獨(dú)立地制造3個(gè)同種零件,第i個(gè)零件不合格的概率為1/(i+1),i=1,2,3.以X表示三個(gè)零件中不合格品的個(gè)數(shù)，求X的分布律與分布函數(shù).例2/2/2023212/2/202322X~2/2/202323§2.2.2常見的離散型分布(1)幾何分布定義2.4

若隨機(jī)變量X取值為1,2,…,且其中則稱X服從參數(shù)為的幾何分布,記為可見,若一個(gè)隨機(jī)變量X表示重復(fù)的貝努利試驗(yàn)中,首次成功出現(xiàn)所需的試驗(yàn)次數(shù),則2/2/202324(2)超幾何分布定義2.5

設(shè)N,n,m為正整數(shù),若隨機(jī)變量X的分布律為則稱X服從超幾何分布,記為古典概型中,不放回摸球試驗(yàn),N個(gè)球,其中有m個(gè)紅球,隨機(jī)從N個(gè)球中取n個(gè),取到紅球的個(gè)數(shù)為X,則2/2/202325(3)二項(xiàng)分布則稱X服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布，記為X~B(n,p)定義2.6設(shè)隨機(jī)變量X的可能取值為0,1，2,…,n，且特別地,當(dāng)n=1時(shí)，二項(xiàng)分布X~B(1,p)，即為(0-1)分布.2/2/202326某人獨(dú)立地射擊，設(shè)每次射擊的命中率為0.02，射擊400次，求至少擊中目標(biāo)兩次的概率.

解每次射擊看成一次試驗(yàn)，設(shè)擊中次數(shù)為X，則

X~B(400,0.02)X的分布律為例2/2/202327所求概率為2/2/202328二項(xiàng)分布的最有可能次數(shù)若X~B(n,p)，則可見,pk是先是隨著k的增大而增大，達(dá)到其最大值后再隨著k的增大而減少.記二項(xiàng)分布的最可能次數(shù)為k02/2/202329(4)泊松(Poisson)分布則稱X服從參數(shù)為的泊松分布，X~P().定義2.7

若隨機(jī)變量X可能的取值為0,1,2,…,且可證：二項(xiàng)分布以泊松分布為極限分布

定理2.2(泊松定理)設(shè)隨機(jī)變量且滿足則2/2/202330證：二項(xiàng)分布以泊松分布為極限分布

左=11得證2/2/202331P(X2)=1－P(X＝0)－P(X＝1)=1－(1＋8)e－8＝0.996981

上例可用泊松定理計(jì)算取

=np=400×0.02＝8,故近似地有2/2/202332例2.12某網(wǎng)吧有300臺電腦,每臺電腦的上網(wǎng)人因各種原因需要網(wǎng)管幫助的概率為0.01,現(xiàn)在有兩種方式配備網(wǎng)管:

A:配備10名網(wǎng)管,每人負(fù)責(zé)30臺電腦;

B:配備8名網(wǎng)管,共同負(fù)責(zé)300臺電腦;(1)證明:方式B比方式A效果好;(2)若只需要方式B下有上網(wǎng)人得不到及時(shí)幫助的概率小于0.02,則8名網(wǎng)管可減少至幾名?2/2/202333例2.12

證明:設(shè)分別為兩種方式下有人得不到幫助的概率,則只需證

X為方式A下一名網(wǎng)管負(fù)責(zé)的30臺電腦中任意時(shí)刻需要幫助的人數(shù),設(shè)Ai為方式A下一名網(wǎng)管負(fù)責(zé)的30臺電腦中有人得不到及時(shí)幫助,i=1,2,…,102/2/202334例2.12注意相互獨(dú)立,于是2/2/202335例2.12

Y為方式B下300臺電腦中任一時(shí)刻需要幫助的人數(shù),由于np=3,近似地有于是,查泊松分布表,有(2)設(shè)N為使得的最小的N,查泊松分布表,得N+1=82/2/202336某商店出售某種商品，具歷史記錄分析，每月銷售量服從參數(shù)=5的泊松分布。問在月初進(jìn)貨時(shí)，要庫存多少件此種商品，才能以0.999的概率充分滿足顧客的需要？解

用X表示每月銷量，則X~P()=P(5)。由題意，要求k，使得P(X≤k)≥0.999，即思考題2/2/202337這里的計(jì)算通過查Poisson分布表得到,=5

k+1=14時(shí),k+1=13時(shí),所以，k=13，即月初進(jìn)貨庫存要13件.2/2/202338對離散型隨機(jī)變量的認(rèn)識(1)離散型隨機(jī)變量是通過“分布律”來刻畫的；(2)分布律包括兩點(diǎn):一是隨機(jī)變量的取值二是隨機(jī)變量取值對應(yīng)的概率;(3)若已知分布律:A.可求隨機(jī)變量落入任意區(qū)域的概率;B.可求隨機(jī)變量的分布函數(shù);2/2/202339§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量定義2.8

設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x),若存在非負(fù)可積函數(shù)f(x)，使得則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量,概率密度函數(shù)，簡稱密度函數(shù)，記為

f(x)為X的X~f(x)

2/2/202340xf(x)密度函數(shù)本身并不表示概率,對密度函數(shù)的積分才是概率.也就是說,密度函數(shù)圖象下的面積才表示概率密度函數(shù)的意義2/2/202341x2f(x)密度函數(shù)的意義x1問:f(x1)>f(x2)意味著什么呢?答:

f(x1)△x>f(x2)△x,表示隨機(jī)變量X落入x1附近的可能性要比落入x2附近的可能性大.2/2/202342密度函數(shù)的性質(zhì)定理2.3

X為連續(xù)型隨機(jī)變量,F(x)和f(x)分別為X的分布函數(shù)與密度函數(shù),則(1)

對任意a,b(a<b),有(1)

非負(fù)性：(2)

歸一性：這兩個(gè)性質(zhì)也是密度函數(shù)的特征2/2/202343密度函數(shù)的性質(zhì)(2)

F(x)是連續(xù)函數(shù)且在f(x)的連續(xù)點(diǎn)，有連續(xù)型隨機(jī)變量取單個(gè)值的概率為零(3)

對任意實(shí)數(shù)c，有P(X=c)＝0因此，對連續(xù)型隨機(jī)變量X，有2/2/202344例2.13已知隨機(jī)變量X的密度為且P(2<X<3)=2P(1<X<2),求常數(shù)a,b及分布函數(shù)F(x)解：因?yàn)?/2/202345例2.13下求分布函數(shù)F(x)本題的分布函數(shù)是不是分段函數(shù)呢?如果是,應(yīng)該分幾段?2/2/202346例2.13注意積分限的變化2/2/202347例2.13所以F(x)是分段函數(shù),共三段表示為:2/2/202348思考2/2/202349§2.3.2幾種常見的連續(xù)型分布X~U(a,b)定義2.9設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為則稱X在區(qū)間[a,b]上服從均勻分布,記為(1)

均勻分布2/2/202350均勻分布的概率背景若X~U(a,b)，則X在區(qū)間[a,b]中任意長度相同的子區(qū)間里的概率是相同的.即X落在子區(qū)間里的概率只依賴于子區(qū)間的長度，而與子區(qū)間的位置無關(guān).對任一長度為l的子區(qū)間2/2/202351abf(x)1F(x)均勻分布的分布函數(shù)2/2/202352例設(shè)公共汽車站從上午7時(shí)起每隔15分鐘來一班車,如果某乘客在7:00到7:30之間隨機(jī)到達(dá)該車站，試求該乘客候車時(shí)間不超過5分鐘的概率．解：設(shè)該乘客于7點(diǎn)過X分到達(dá)此站，X~U(0,30)，則設(shè)A表示候車時(shí)間不超過5分鐘2/2/202353(2)

指數(shù)分布

X的分布函數(shù)為：定義2.10設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布,記為X~e()2/2/202354例電子元件壽命X(年)服從參數(shù)為1/3的指數(shù)分布(1)求該電子元件壽命超過2年的概率；(2)已知該電子元件已使用了1.5年，求它還能使用2年的概率為多少？解2/2/2023552/2/202356思考題2/2/202357令：B表示等待時(shí)間為10~20分鐘2/2/202358(3)Γ函數(shù)與Γ分布定義2.11

Γ函數(shù)的定義：α>0Γ函數(shù)的性質(zhì)：(3)如果n為自然數(shù)，則2/2/202359定義2.12

設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為Γ分布則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的Γ分布.記為X~Γ(α,β)2/2/202360例2.15某廠生產(chǎn)的元件其壽命1)隨機(jī)取一個(gè)元件,求該元件壽命大于4萬小時(shí)的概率;2)隨機(jī)取10個(gè)元件,求至少有1個(gè)元件壽命大于4萬小時(shí)的概率;解:由題意,X的密度函數(shù)為:2/2/202361例2.152)設(shè)Y表示10只元件中壽命大于4的只數(shù),則Y~B(10,0.406)已知:求分部積分2/2/202362§2.4隨機(jī)變量函數(shù)的分布例2.16

X有概率分布求Y,Z的概率分布.解:

Y的取值為0,1,4,分別求Y取這些值的概率:P(Y=0)=P(X=0)=0.3P(Y=1)=P(X=-1或X=1)=0.52/2/202363P(Y=4)=P(X=2)=0.2從而類似地,可得2/2/202364例2.17設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為Y=-2lnX,求Y的密度函數(shù).解:當(dāng)X取值在(0,1)內(nèi)時(shí),Y的值域?yàn)閅的分布函數(shù)為:2/2/202365例2.172/2/202366例2.17