第七章應(yīng)力和應(yīng)變分析

§7-1應(yīng)力狀態(tài)概述§7-2二向和三向應(yīng)力狀態(tài)的實(shí)例§7-3二向應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法§7-4二向應(yīng)力狀態(tài)分析——圖解法§7-5三向應(yīng)力狀態(tài)§7-8廣義胡克定律§7-9復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)變能密度§7-10強(qiáng)度理論概論§7-11四種常用強(qiáng)度理論第七章應(yīng)力和應(yīng)變分析§7-1應(yīng)力狀態(tài)概述問(wèn)題的提出:

為什么塑性材料拉伸時(shí)會(huì)出現(xiàn)滑移線？為什么脆性材料扭轉(zhuǎn)時(shí)沿45o螺旋面斷開(kāi)？單向應(yīng)力狀態(tài)純剪切應(yīng)力狀態(tài)重要結(jié)論不僅橫截面上存在應(yīng)力，斜截面上也存在應(yīng)力；不僅要研究橫截面上的應(yīng)力，而且也要研究斜截面上的應(yīng)力。

過(guò)一點(diǎn)不同方向面上應(yīng)力的集合，稱之為這一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。應(yīng)力哪一個(gè)截面上？

哪一點(diǎn)？指明應(yīng)力表示——單元體：①dx、dy、dz（微小的正六面體）②單元體某斜截面上的應(yīng)力就代表了構(gòu)件內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)同方位截面上的應(yīng)力。PABCDB、C——單向受力，τ＝0A——純剪切，σ＝0D——既有σ，又有τ主平面——單元體的三個(gè)相互垂直的面上都無(wú)切應(yīng)力。主應(yīng)力——主平面上的正應(yīng)力（也是單元體內(nèi)各截面上正應(yīng)力的極值）。通過(guò)結(jié)構(gòu)內(nèi)一點(diǎn)總可找到三個(gè)相互垂直的截面皆為主平面。對(duì)應(yīng)的有三個(gè)主應(yīng)力，相應(yīng)的用、、來(lái)表示，它們按代數(shù)值的大小順序排列，即§7-2二向和三向應(yīng)力狀態(tài)的實(shí)例§7-3二向應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法平面應(yīng)力狀態(tài)的普遍形式：在常見(jiàn)的受力構(gòu)件中，在兩對(duì)平面上既有正應(yīng)力σ又有切應(yīng)力τ?？蓪⒃搯卧w用平面圖形來(lái)表示。xxy

yσ、τ正負(fù)號(hào)規(guī)定：σ——拉為正，壓為負(fù)；τ——以對(duì)微單元體內(nèi)任意一點(diǎn)取矩為順時(shí)針者為正，反之為負(fù)；單元體各面上的已知應(yīng)力分量、和、，確定任一斜截面上的未知應(yīng)力分量，從而確定該點(diǎn)處的主應(yīng)力和主平面。xxy

y規(guī)定：截面外法線同向?yàn)檎?/p>

a繞研究對(duì)象順時(shí)針轉(zhuǎn)為正；

逆時(shí)針為正。一、任意斜截面上的應(yīng)力xyOxxy

ynyxyx設(shè)：斜截面面積為A，由分離體平衡得：xyOxxy

ynyxyx同理：tn二、極值應(yīng)力xysxtxysyOmax在剪應(yīng)力相對(duì)的項(xiàng)限內(nèi)，且偏向于x及y大的一側(cè)。222xyyxminmaxtsstt+-±=?íì

）（例分析受扭構(gòu)件的破壞規(guī)律。解：確定危險(xiǎn)點(diǎn)并畫(huà)其原始單元體求極值應(yīng)力xyCyxMCxyOxy

yx破壞分析低碳鋼鑄鐵例圖示應(yīng)力狀態(tài)（單位：Mpa），求：（1）斜截面上的應(yīng)力；（2）主應(yīng)力的大小；（3）主平面方位，并在單元體上繪出主平面位置和主應(yīng)力方向；（4）最大切應(yīng)力。解：（1）易知，（2）主應(yīng)力大?。?）主平面方位法線與x軸夾角為67.5o的主平面上對(duì)應(yīng)的是2。（4）最大切應(yīng)力§7-4二向應(yīng)力狀態(tài)分析——圖解法對(duì)上述方程消去參數(shù)（2），得：xyOxxy

ynyxyxtn建立應(yīng)力坐標(biāo)系，如下圖所示，（注意選好比例尺）二、應(yīng)力圓的畫(huà)法在坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出點(diǎn)A(x，xy)和B(y，yx)

AB與a軸的交點(diǎn)C便是圓心。以C為圓心，以AC為半徑畫(huà)圓——應(yīng)力圓；xxyyxyOnaO

aaCA(

x,

xy)B(

y,yx)x2anD(

a,

a)三、單元體與應(yīng)力圓的對(duì)應(yīng)關(guān)系面上的應(yīng)力(，)應(yīng)力圓上一點(diǎn)(，)面的法線應(yīng)力圓的半徑兩面夾角兩半徑夾角2；且轉(zhuǎn)向一致。xxyyxyOnaO

aaCA(

x,

xy)B(

y,yx)x2anD(

a,

a)四、在應(yīng)力圓上標(biāo)出極值應(yīng)力OC

aaA(x,

xy)B(

y,

yx)x2a12a0

1

2

3例已知

求此單元體在＝30°和

＝-40°兩斜截面上的應(yīng)力。例：討論圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)，并分析鑄鐵件受扭轉(zhuǎn)時(shí)的破壞現(xiàn)象。解：1．取單元體ABCD，其中，，這是純剪切應(yīng)力狀態(tài)。2．作應(yīng)力圓主應(yīng)力為，并可確定主平面的法線。3．分析純剪切應(yīng)力狀態(tài)的兩個(gè)主應(yīng)力絕對(duì)值相等，但一為拉應(yīng)力，另一為壓應(yīng)力。由于鑄鐵抗拉強(qiáng)度較低，圓截面鑄鐵構(gòu)件扭轉(zhuǎn)時(shí)構(gòu)件將沿傾角為45o的螺旋面因拉伸而發(fā)生斷裂破壞。例求圖示單元體的主應(yīng)力及主平面的位置。(單位：MPa)3AB12解：主應(yīng)力坐標(biāo)系如圖AB的垂直平分線與a

軸的交點(diǎn)C便是圓心，以C為圓心，以AC為半徑畫(huà)圓——應(yīng)力圓。0

1

2BAC20

(MPa)(MPa)O20MPa在坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出點(diǎn)主應(yīng)力及主平面如圖3AB120

1

2BAC20

(MPa)(MPa)O20MPa解法2—解析法：分析——建立坐標(biāo)系如圖60°xyO主單元體：六個(gè)平面都是主平面若三個(gè)主應(yīng)力已知，求任意斜截面上的應(yīng)力:§7-5三向應(yīng)力狀態(tài)這樣，單元體上與主應(yīng)力之一平行的各個(gè)斜截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力，可由三個(gè)應(yīng)力圓圓周上各點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示。至于與三個(gè)主方向都不平行的任意斜截面，彈性力學(xué)中已證明，其應(yīng)力σn和τn可由圖中陰影面內(nèi)某點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示。在三向應(yīng)力狀態(tài)情況下：τmax作用在與σ2平行且與σ1和σ3的方向成45°角的平面上，以τ1，3表示例：求圖示應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力和最大剪應(yīng)力。（應(yīng)力單位為MPa）。解：例求圖示應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力和最大剪應(yīng)力（應(yīng)力單位為MPa）。解：例試根據(jù)圖a所示單元體各面上的應(yīng)力作出應(yīng)力圓，并求出主應(yīng)力和最大切應(yīng)力的值及它們的作用面方位。(a)解:1.圖a所示單元體上正應(yīng)力z=20MPa的作用面(z截面)上無(wú)切應(yīng)力，因而該正應(yīng)力為主應(yīng)力。2.與主平面z截面垂直的各截面上的應(yīng)力與主應(yīng)力z無(wú)關(guān)，故可畫(huà)出顯示與z截面垂直各截面上應(yīng)力隨截面方位角變化的應(yīng)力圓。(a)從圓上得出兩個(gè)主應(yīng)力46MPa和-26MPa。這樣就得到了包括z=20MPa在內(nèi)的三個(gè)主應(yīng)力。他們按代數(shù)值大小排序?yàn)?/p>

1＝46MPa，

2＝20MPa，

3＝-26MPa。(b)(a)3.依據(jù)三個(gè)主應(yīng)力值作出的三個(gè)應(yīng)力圓如圖b所示。2a0＝34?可知為a0＝17?且由x截面逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖c中所示。(c)(b)4.最大切應(yīng)力max由應(yīng)力圓上點(diǎn)B的縱座標(biāo)知為

max＝36MPa，作用在由1作用面繞2逆時(shí)針45?的面上(圖c)。(c)(b)§7-8廣義胡克定律一、單拉下的應(yīng)力--應(yīng)變關(guān)系二、純剪的應(yīng)力--應(yīng)變關(guān)系xyzsxxyzxy三、復(fù)雜狀態(tài)下的應(yīng)力---應(yīng)變關(guān)系依疊加原理,得:

xyzszsytxysx當(dāng)單元體三個(gè)平面皆為主平面時(shí)，

分別為x,y,z方向的主應(yīng)變，與主應(yīng)力的方向一致，，三主平面內(nèi)的切應(yīng)變等于零。對(duì)平面應(yīng)力狀態(tài)

2.各向同性材料的體積應(yīng)變體積應(yīng)變：每單位體積的體積變化，用θ表示設(shè)單元體的三對(duì)平面均為主平面，其三個(gè)邊長(zhǎng)分別為dx,dy,dz,變形前體積：變形后體積：則體積應(yīng)變?yōu)椋?代入廣義胡克定律得：即：任一點(diǎn)處的體積應(yīng)變與該點(diǎn)處的三個(gè)主應(yīng)力之和成正比。同理，可得：例已知一受力構(gòu)件自由表面上某點(diǎn)處的兩主應(yīng)變值為ε1＝240×10-6，ε3＝－160×10-6。構(gòu)件材料為Q235鋼，彈性模量E=210GPa，泊松比ν＝0.3。試求該點(diǎn)處的主應(yīng)力數(shù)值，并求該點(diǎn)處另一主應(yīng)變?chǔ)?的數(shù)值和方向。解：由題意可知，點(diǎn)處于平面應(yīng)力狀態(tài)且由廣義胡克定律可得：是縮短的主應(yīng)變。其方向沿構(gòu)件表面的法線方向。例

邊長(zhǎng)為0.1m的銅方塊，無(wú)間隙地放入變形可略去不計(jì)地剛性凹槽中。已知銅的彈性模量E=100GPa，泊松比ν＝0.34。當(dāng)銅塊受到F=300kN的均布?jí)毫ψ饔脮r(shí)，試求銅塊的三個(gè)主應(yīng)力的大小。解：銅塊橫截面上的壓應(yīng)力為由題意：按主應(yīng)力的代數(shù)值順序排列，得該銅塊的主應(yīng)力為：例已知一受力構(gòu)件自由表面上某一點(diǎn)處的兩個(gè)面內(nèi)主應(yīng)變分別為：1=24010-6，

2=–16010-6，彈性模量E=210GPa，泊松比為=0.3，試求該點(diǎn)處的主應(yīng)力及另一主應(yīng)變。所以，該點(diǎn)處的平面應(yīng)力狀態(tài)me3342.-=§7-9復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)變能密度dzdxdy1.空間應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)變能密度可得：將廣義胡克定律代入上式：2.體積改變能密度和畸變能密度應(yīng)變能密度＝體積改變能密度（υV）+ 畸變能密度（υd）（a)（b)=+（c)體積改變能密度υV畸變能密度υd（a）和（b）狀態(tài)的主應(yīng)力之和相等，故它們的體積應(yīng)變相等，其也相等，所以只須把代入應(yīng)變能密度公式即得：(b)狀態(tài)只有體積改變而無(wú)形狀改變，稱為體積改變能密度υV(c)狀態(tài)只有形狀改變而無(wú)體積改變，稱為畸變能密度υd例用能量法證明三個(gè)彈性常數(shù)間的關(guān)系。純剪單元體的比能為：純剪單元體比能的主應(yīng)力表示為：txyA13§7-10強(qiáng)度理論概論強(qiáng)度條件的建立材料因強(qiáng)度不足而引起失效現(xiàn)象是不同的，它取決于：1.材料本身的性質(zhì)，包括塑性材料和脆性材料：?jiǎn)蜗蚶煸囼?yàn)塑性材料出現(xiàn)屈服，脆性材料突然斷裂危險(xiǎn)點(diǎn)是復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)時(shí)σ1、σ2、σ3之間有任意比值，不可能通過(guò)做所有情況的試驗(yàn)來(lái)確定其極限應(yīng)力值。危險(xiǎn)點(diǎn)是簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)及純剪切應(yīng)力狀態(tài)時(shí)直接通過(guò)試驗(yàn)結(jié)果建立：?jiǎn)蜗蚶瓑海杭兗羟校?.材料的受力狀態(tài)，包括簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)，復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)強(qiáng)度理論的基本思想：1)確認(rèn)引起材料失效存在共同的力學(xué)原因，提出關(guān)于這一共同力學(xué)原因的假設(shè)；2)根據(jù)實(shí)驗(yàn)室中標(biāo)準(zhǔn)試件在簡(jiǎn)單受力情況下的破壞實(shí)驗(yàn)（如拉伸）結(jié)果，建立起材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下共同遵循的彈性失效準(zhǔn)則和強(qiáng)度條件。3)實(shí)際上，當(dāng)前工程上常用的經(jīng)典強(qiáng)度理論都按脆性斷裂和塑性屈服兩類失效形式，分別提出共同力學(xué)原因的假設(shè)。脆性斷裂──最大拉應(yīng)力理論、最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論屈服失效──最大切應(yīng)力理論、畸變能密度理論材料破壞一、最大拉應(yīng)力（第一強(qiáng)度）理論：認(rèn)為構(gòu)件的斷裂是由最大拉應(yīng)力引起的。當(dāng)最大拉應(yīng)力達(dá)到單向拉伸的強(qiáng)度極限時(shí)，構(gòu)件就斷了。1、破壞判據(jù)：2、強(qiáng)度準(zhǔn)則：3、實(shí)用范圍：實(shí)用于破壞形式為脆斷的構(gòu)件。試驗(yàn)證明，這一理論與鑄鐵、巖石、砼、陶瓷、玻璃等脆性材料的拉斷試驗(yàn)結(jié)果相符，這些材料在軸向拉伸時(shí)的斷裂破壞發(fā)生于拉應(yīng)力最大的橫截面上。脆性材料的扭轉(zhuǎn)破壞，也是沿拉應(yīng)力最大的斜面發(fā)生斷裂，這些都與最大拉應(yīng)力理論相符，但這個(gè)理論沒(méi)有考慮其它兩個(gè)主應(yīng)力的影響。二、最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變（第二強(qiáng)度）理論：認(rèn)為構(gòu)件的斷裂是由最大拉應(yīng)力引起的。當(dāng)最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變達(dá)到單向拉伸試驗(yàn)下的極限應(yīng)變時(shí)，構(gòu)件就斷了。1、破壞判據(jù)：2、強(qiáng)度準(zhǔn)則：3、實(shí)用范圍：實(shí)用于破壞形式為脆斷的構(gòu)件。三、最大剪應(yīng)力（第三強(qiáng)度）理論：認(rèn)為構(gòu)件的屈服是由最大剪應(yīng)力引起的。當(dāng)最大剪應(yīng)力達(dá)到單向拉伸試驗(yàn)的極限剪應(yīng)力時(shí)，構(gòu)件就破壞了。1、破壞判據(jù)：3、實(shí)用范圍：實(shí)用于破壞形式為屈服的構(gòu)件。2、強(qiáng)度準(zhǔn)則：第三強(qiáng)度理論曾被許多塑性材料的試驗(yàn)結(jié)果所證實(shí)，且稍偏于安全。這個(gè)理論所提供的計(jì)算式比較簡(jiǎn)單，故它在工程設(shè)計(jì)中得到了廣泛的應(yīng)用。該理論沒(méi)有考慮中間主應(yīng)力σ2的影響，其帶來(lái)的最大誤差不超過(guò)15％，而在大多數(shù)情況下遠(yuǎn)比此為小。4.畸變能密度理論（第四強(qiáng)度理論）基本假設(shè)：畸變能密度是引起材料塑性屈服的 主要因素復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下屈服準(zhǔn)則：強(qiáng)度條件：?jiǎn)蜗蚶烨r(shí)，畸變能密度的極限值是：適用范圍：它既突出了最大主切應(yīng)力對(duì)塑性屈服的作用，又適當(dāng)考慮了其它兩個(gè)主切應(yīng)力的影響，它與塑性較好材料的試驗(yàn)結(jié)果比第三強(qiáng)度理論符合得更好。此準(zhǔn)則也稱為米塞斯（Mises）屈服準(zhǔn)則，由于機(jī)械、動(dòng)力行業(yè)遇到的載荷往往較不穩(wěn)定，因而較多地采用偏于安全的第三強(qiáng)度理論；土建行業(yè)的載荷往往較為穩(wěn)定，安全系數(shù)的估計(jì)較準(zhǔn)確，因而較多地采用第四強(qiáng)度理論。這個(gè)理論和許多塑性材料的試驗(yàn)結(jié)果相符，用這個(gè)理論判斷碳素鋼的屈服失效是相當(dāng)準(zhǔn)確的。四個(gè)強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件可寫(xiě)成統(tǒng)一形式：稱為相當(dāng)應(yīng)力塑性材料第三強(qiáng)度理論可進(jìn)行偏保守（安全）設(shè)計(jì)。第四強(qiáng)度理論可用于更精確設(shè)計(jì)，要求對(duì)材料強(qiáng)度指標(biāo)、載荷計(jì)算較有把握。脆性材料第二強(qiáng)度理論僅用于石料、混凝土等少數(shù)材料。第一強(qiáng)度理論用于脆性材料的拉伸、扭轉(zhuǎn)。

按某種強(qiáng)度理論進(jìn)行強(qiáng)度校核時(shí)，要保證滿足如下兩個(gè)條件:1.所用強(qiáng)度理論與在這種應(yīng)力狀態(tài)下發(fā)生的破壞形式相對(duì)應(yīng);2.用以確定許用應(yīng)力[的,也必須是相應(yīng)于該破壞形式的極限應(yīng)力。塑性材料（如低碳鋼）在三向拉伸應(yīng)力狀態(tài)下呈脆斷破壞，應(yīng)選用第一強(qiáng)度理論。注意脆性材料（如大理石）在三向壓縮應(yīng)力狀態(tài)下呈塑性屈服失效狀態(tài)，應(yīng)選用第三、第四強(qiáng)度理論。例(a)一鋼質(zhì)球體防入沸騰的熱油中,將引起爆裂，試分析原因。受力分析：鋼球入熱油中，其外部因驟熱而迅速膨脹，內(nèi)芯受拉且處于三向受拉應(yīng)力狀態(tài)，而發(fā)生脆斷破壞。

例（b）深海海底的石塊，盡管受到很大的靜水壓力,并不破壞，試分析原因。受力分析：石塊處于三向受壓狀態(tài)。第三強(qiáng)度理論：第四強(qiáng)度理論：塑性材料：純剪切應(yīng)力狀態(tài)：根據(jù)強(qiáng)度理論,可以從材料在單軸拉伸時(shí)的推知低C鋼類塑性材料在純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的例對(duì)于圖示各單元體，試分別按第三強(qiáng)度理論及第四強(qiáng)度理論求相當(dāng)應(yīng)力。

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