第三節(jié)拉普拉斯逆變換

一、反演積分公式

——

Laplace

逆變換公式二、求

Laplace

逆變換的方法一、反演積分公式

——

Laplace

逆變換公式1.公式推導(dǎo)函數(shù)的

Laplace

變換就是函數(shù)的

Fourier

變換，即在的連續(xù)點(diǎn)

t

處，有(2)根據(jù)Fourier逆變換，(1)由

Laplace

變換與

Fourier

變換的關(guān)系可知，推導(dǎo)一、反演積分公式

——

Laplace

逆變換公式1.公式推導(dǎo)在的連續(xù)點(diǎn)

t

處，有(2)根據(jù)Fourier逆變換，推導(dǎo)(3)將上式兩邊同乘并由有即得稱(chēng)

(B)

式為反演積分公式。定義該直線處于的存在域中。注反演積分公式中的積分路徑是s

平面上的一條直線c一、反演積分公式

——

Laplace

逆變換公式2.反演積分公式根據(jù)上面的推導(dǎo)，得到如下的

Laplace

變換對(duì):二、求

Laplace

逆變換的方法1.留數(shù)法利用留數(shù)計(jì)算反演積分。則設(shè)函數(shù)除在半平面內(nèi)有有限個(gè)孤立奇點(diǎn)定理且當(dāng)時(shí)，外是解析的，證明(略)(進(jìn)入證明?)二、求

Laplace

逆變換的方法2.查表法

此外，還可以利用卷積定理來(lái)求象原函數(shù)。利用

Laplace

變換的性質(zhì)，并根據(jù)一些已知函數(shù)的

Laplace變換來(lái)求逆變換。大多數(shù)情況下，象函數(shù)常常為(真)分式形式：其中，P(s)

和

Q(s)

是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式。由于真分式總能進(jìn)行部分分式分解，因此，利用查表法很容易得到象原函數(shù)。(真分式的部分分式分解)二、求

Laplace

逆變換的方法2.查表法幾個(gè)常用的

Laplace

逆變換的性質(zhì)二、求

Laplace

逆變換的方法2.查表法幾個(gè)常用函數(shù)的

Laplace

逆變換(1)(單根)解方法一利用查表法求解

有

(2)由23解方法二利用留數(shù)法求解

(1)

為的一階極點(diǎn)，(2)(重根)(1)解方法一利用查表法求解

1-

1-

1有

(2)由解方法二利用留數(shù)法求解

(1)分別為的一階與二階極點(diǎn)，(2)(1)解方法一利用查表法求解

(復(fù)根)令得令得2解(1)方法一利用查表法求解

(重根)2(2)由得解方法二利用留數(shù)法求解(略講)

(1)為的一階極點(diǎn)，(2)解方法一利用查表法求解

方法二利用留數(shù)法求解

分別為的一階與二階極點(diǎn)，解方法三利用卷積定理求解

方法四利用積分性質(zhì)求解

輕松一下……利用留數(shù)計(jì)算反演積分的定理證明

附：證明如圖，作閉曲線大時(shí)，可使的所有奇點(diǎn)包含當(dāng)

R

充分在

C

圍成的區(qū)域內(nèi)。RLCR解析由留數(shù)定理有：由若爾當(dāng)引理(§5.3),當(dāng)時(shí)，即得(返回)將上式兩邊同乘以得1.Q(s)含單重一階因子的情況若Q(s)含單重一階因子即則將實(shí)系數(shù)真分式化為部分分式附：令即得2.Q(s)含多重一階因子的情況若Q(s)含多重一階因子即則將上式兩邊同乘以得將實(shí)系數(shù)真分式化為部分分式附：2.Q(s)含多重一階因子的情況兩邊逐次求導(dǎo)，并令即得令即得將實(shí)系數(shù)真分式化為部分分式附：將實(shí)系數(shù)真分式化為部分分式附：上面討論了含單重和多重一階因子的情況，如果是在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行分解，這兩種情況已經(jīng)夠了。但如果僅在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行分解，這兩種情況還不夠。即如果復(fù)數(shù)為的零點(diǎn)，那么它的共軛復(fù)數(shù)也必為的零點(diǎn)。因此，必含有(實(shí)的)由于實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的復(fù)零點(diǎn)總是互為共軛地成對(duì)出現(xiàn)的，下面需進(jìn)一步討論含實(shí)二階因子的情況。二階因子則將上式兩邊同乘以得3.Q(s)含單重二階因子的情況將實(shí)系數(shù)真分式化為部分分式附：若Q(s)含單重二階因子即令有3.Q(s)含單重二階因子的情況將實(shí)系數(shù)真分式化為部分分式