第八章無(wú)窮級(jí)數(shù)習(xí)題課

第八章無(wú)窮級(jí)數(shù)習(xí)題課常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

一、定義及性質(zhì)

2．?dāng)可⑿远x

3．性質(zhì)

必要性:

線(xiàn)性運(yùn)算性質(zhì):

則級(jí)數(shù)收斂，否則級(jí)數(shù)發(fā)散。

設(shè)級(jí)數(shù)為常數(shù)

則

設(shè)，如果存在，

級(jí)數(shù)收斂

1．常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

4．常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)類(lèi)型

正項(xiàng)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

二、判別常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的解題方法

若成立，則需作進(jìn)一步的判別。

判別常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

的斂散性，應(yīng)先考察是否有

成立。若不成立，則可判定級(jí)數(shù)發(fā)散；此時(shí)可將常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)分為兩大類(lèi)，即正項(xiàng)級(jí)數(shù)與任意項(xiàng)級(jí)數(shù)。

對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)，可優(yōu)先考慮應(yīng)用比值法或根值法。若此二方法失效，則可利用比較法（或定義）作進(jìn)一步判別；

若不收斂，但級(jí)數(shù)是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，可考慮應(yīng)用萊布尼茲判別法，若能判別級(jí)數(shù)收斂，則原級(jí)數(shù)條件收斂；

對(duì)于一般的任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，則可考慮利用利用級(jí)數(shù)收斂定義、性質(zhì)等判別。

解題方法流程圖如下圖所示。對(duì)于任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，一般應(yīng)先考慮正項(xiàng)級(jí)數(shù)是否收斂。若收斂，則可判定原級(jí)數(shù)收斂，且為絕對(duì)收斂；

解題方法流程圖

Yes判斷的斂散性比值法根值法比較法

找正項(xiàng)收斂級(jí)數(shù)找正項(xiàng)發(fā)散級(jí)數(shù)用其它方法證明No

萊布尼茲判別法

YesNoNoNoYesNoYesNoYes為正項(xiàng)級(jí)數(shù)為任意項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散收斂收斂發(fā)散條件收斂絕對(duì)收斂為交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂且

三、典型例題

，由定義

所以原級(jí)數(shù)收斂，且和為1?！纠?】判別級(jí)數(shù)的收斂性，并求級(jí)數(shù)的和。分析：此級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，由于因此可利用定義求。解：由于由級(jí)數(shù)收斂的必要條件，原級(jí)數(shù)發(fā)散?！纠?】判別級(jí)數(shù)的收斂性。分析：此級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，因?yàn)榉謩e求分子、分母的極限不為0，由級(jí)數(shù)收斂的必要條件，原級(jí)數(shù)發(fā)散。解：因?yàn)槎视杀容^審斂法的極限形式，原級(jí)數(shù)收斂。

【例3】判別級(jí)數(shù)的收斂性。分析：此級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，根據(jù)的形式，可用比較審斂法，也可采用比值審斂法。解法1：此級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，而級(jí)數(shù)為等比級(jí)數(shù)收斂，

解法2：由比值審斂法故由比值審斂法知原級(jí)數(shù)收斂。,由于

故轉(zhuǎn)到應(yīng)用比較判別法。由于

【例4】判別級(jí)數(shù)的收斂性。而不存在，所以不存在。

分析：此級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，設(shè)

而級(jí)數(shù)收斂，從而級(jí)數(shù)收斂；或?qū)⒉鸪蓛蓚€(gè)級(jí)數(shù)，分別判定級(jí)數(shù)的收斂性。同理極限也不存在，即不能應(yīng)用比值和根值判別法，,由于

解法1：設(shè)而由比值法

易知級(jí)數(shù)收斂,故由級(jí)數(shù)的比較判別法知，級(jí)數(shù)收斂。解法2：因?yàn)樗?，分別考慮和的斂散性。對(duì)于由比值法

知收斂，所以，絕對(duì)收斂；同理得收斂，可知原級(jí)數(shù)收斂。

收斂，故由比較審斂法，原級(jí)數(shù)收斂?！纠?】判別級(jí)數(shù)的收斂性。分析：此級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),由的形式，利用比值法和根值法均不合適，由于,可采用比較法。

解：此級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，令注：應(yīng)用比較法判斷一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性，最關(guān)鍵問(wèn)題是熟練掌握一批已知正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性（如幾何級(jí)數(shù)，

級(jí)數(shù)等），然后根據(jù)的特點(diǎn)，進(jìn)行有針對(duì)性的放縮。【例6】判別級(jí)數(shù)的收斂性。分析：此級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，，由于中含有，可用比值審斂法。

解：令

所以，原級(jí)數(shù)發(fā)散。

由比值審斂法，當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂；

當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散。

當(dāng)時(shí)，比值審斂法失效，注意到注：在級(jí)數(shù)一般項(xiàng)中，若含有形如的因子時(shí)，

適于使用比值審斂法。

故由根值審斂法，原級(jí)數(shù)收斂?！纠?】判斷級(jí)數(shù)的斂散性.

分析：此級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)

,由于中解：此級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，

注：在級(jí)數(shù)一般項(xiàng)

中,若含有次方時(shí),適于使用根值審斂法。含有次方，可用根值審斂法?！纠?】判斷級(jí)數(shù)收斂？如果收斂，是條件收斂還是絕對(duì)收斂？

分析：本題中，為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，可采用萊布尼茲定理判別法。解：此級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，因?yàn)?/p>

,而發(fā)散,原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂.

因?yàn)?/p>

為交錯(cuò)級(jí)數(shù),由萊布尼玆定理由比較審斂法知發(fā)散所以此交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)是條件收斂。所以在上單增，即單減，故當(dāng)時(shí)，單減，令即原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂。

【例9】*判別級(jí)數(shù)的斂散性。分析：本題中，為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，可采用萊布尼茲定理判別法。

解：先考慮級(jí)數(shù)的斂散性。

由于當(dāng)時(shí)，

而級(jí)數(shù)發(fā)散，故級(jí)數(shù)發(fā)散，

即原級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，故應(yīng)用萊布尼茲判別法判別。

從而原級(jí)數(shù)條件收斂。

注：在運(yùn)用萊布尼玆定理判別時(shí)，可引入函數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判別單調(diào)性。因?yàn)?其中所以在內(nèi)單調(diào)遞減，得于是由萊布尼茲判別法可得級(jí)數(shù)收斂，

令證明：設(shè)級(jí)數(shù)

和的部分和分別為和則【例10】若

,級(jí)數(shù)收斂,證明級(jí)數(shù)收斂.沒(méi)有具體表達(dá)式，只能將

看成任意項(xiàng)級(jí)數(shù),所以，考慮級(jí)數(shù)收斂定義。分析：因?yàn)轭}設(shè)給出了級(jí)數(shù)收斂,但即

由于級(jí)數(shù)收斂,

所以存在,所以要根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的定義知收斂.證明存在，只需要證明

存在即可.根據(jù)題中的條件，所以，因此第八章無(wú)窮級(jí)數(shù)習(xí)題課函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一、冪級(jí)數(shù)

1．冪級(jí)數(shù)的基本概念(1)

冪級(jí)數(shù)的定義：(2)收斂半徑：

(3)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)：

或收斂區(qū)間：

存在正數(shù)

當(dāng)冪級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)冪級(jí)數(shù)發(fā)散，稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑。

收斂域：收斂點(diǎn)的全體

2．冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)

（1）連續(xù)性：

（2）可導(dǎo)性：

（3）可積性：

3．冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間（收斂域）的求法求冪級(jí)數(shù)的收斂域，通常有三種基本類(lèi)型，即型、

型和缺冪型，還有一種特殊的非冪函數(shù)型。

對(duì)于型，通過(guò)求，得半徑，

然后討論處的斂散性，從而得收斂域；對(duì)于缺冪型，可采用比值法，先求出收斂半徑，再討論處的斂散性，從而得收斂域。解題方法流程圖如下。對(duì)于型，令,化為型,可得收斂域；解題方法流程圖

求冪級(jí)數(shù)收斂域

判別冪級(jí)數(shù)類(lèi)型收斂域收斂域

令

討論處的斂散性，，其它討論處的斂散性

當(dāng)時(shí)收斂當(dāng)時(shí)發(fā)散

用比值法令

1234．冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求法求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，最常用的方法是首先對(duì)給定的冪級(jí)數(shù)進(jìn)行恒等變形，然后采用“先求導(dǎo)后積分”或“先積分后求導(dǎo)”等技巧，并利用與形如（或等）冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，求出其和函數(shù)。解題方法流程圖如下圖所示。

求的和函數(shù)令NoYesYesNo能直接求出和函數(shù)恒等變換直接求和逐項(xiàng)積分逐項(xiàng)求導(dǎo)逐項(xiàng)求導(dǎo)逐項(xiàng)積分Yes能直接求出和函數(shù)NoYesNo能直接求出和函數(shù)解題方法流程圖5．典型例題【例1】求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑及收斂域。解：

當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為，該級(jí)數(shù)收斂。當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為，該級(jí)數(shù)收斂。故此冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椤?/p>

【例2】求冪級(jí)數(shù)的收斂域。解：令，原級(jí)數(shù)變?yōu)?/p>

所以，即時(shí)，冪級(jí)數(shù)收斂。當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為，為交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，

當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為，為P-級(jí)數(shù)發(fā)散，故此冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椤！纠?】求冪級(jí)數(shù)的收斂域。解：缺少偶次冪的項(xiàng)，由比值審斂法當(dāng)，即時(shí)，級(jí)數(shù)收斂。當(dāng)，即時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為，為交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂。當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為，為交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂。故此冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椤?/p>

【例4】求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，并求的和。

解：記

求導(dǎo)得

積分得

令，則

【例5】*求冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)。分析：由于冪級(jí)數(shù)，通過(guò)比較級(jí)數(shù)和

的一般項(xiàng)，不難發(fā)現(xiàn)，，而

，所以應(yīng)用給定的冪級(jí)數(shù)先積分，后求導(dǎo)，

就可以利用進(jìn)行計(jì)算。

解：令

對(duì)冪級(jí)數(shù)在區(qū)間內(nèi)逐項(xiàng)積分，得：其中，。

再應(yīng)用逐項(xiàng)積分的方法得：對(duì)求導(dǎo)得

所以

對(duì)求導(dǎo)得

即

注：本題利用“先導(dǎo)后積”的方法求和函數(shù)，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和可通過(guò)冪級(jí)數(shù)和函數(shù)求得。二、函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)1．泰勒級(jí)數(shù)定義：稱(chēng)為在點(diǎn)的泰勒級(jí)數(shù)。

2．麥克勞林級(jí)數(shù)定義：稱(chēng)為的麥克勞林級(jí)數(shù)。3．將函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)(冪級(jí)數(shù))直接展開(kāi)法：直接展開(kāi)法是通過(guò)函數(shù)求在給定點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)，寫(xiě)出泰勒展開(kāi)式。

間接展開(kāi)法：間接展開(kāi)法通常要先對(duì)函數(shù)進(jìn)行恒等變形，然后利用已知展式（如函數(shù)，的展開(kāi)式等）或利用和函數(shù)的性質(zhì)（求導(dǎo)數(shù)或積分），將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)。解題方法流程圖如下圖所示。

求的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式關(guān)于的冪級(jí)數(shù)對(duì)求導(dǎo)對(duì)積分令將展成的冪級(jí)數(shù)求直接展開(kāi)法間接展開(kāi)式對(duì)進(jìn)行恒等變形能利用已知展開(kāi)式令令寫(xiě)出的展開(kāi)式Y(jié)es關(guān)于的冪級(jí)數(shù)NoNo解題方法流程圖4．典型例題【例6】將函數(shù)