第九章相關(guān)與回歸分析

第九章相關(guān)與回歸分析

學(xué)習(xí)目標(biāo)理解相關(guān)關(guān)系的含義及種類熟練掌握直線相關(guān)關(guān)系的測定方法熟練掌握一元線性回歸分析的方法9.1相關(guān)關(guān)系的概念和種類

一、相關(guān)關(guān)系的概念一切客觀事物都是相互聯(lián)系相互制約的?？陀^現(xiàn)象間的互相聯(lián)系，可以通過一定的數(shù)量關(guān)系反映出來。而這種數(shù)量關(guān)系可以分為兩種類型，即函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系。函數(shù)關(guān)系的概念：函數(shù)關(guān)系是指現(xiàn)象之間有一種嚴(yán)格的確定性的依存關(guān)系。表現(xiàn)為某一現(xiàn)象發(fā)生變化另一現(xiàn)象也隨之發(fā)生變化，而且有確定的值與之相對應(yīng)。例如，銀行的1年期存款利率為年息1.98％，存入的本金用x表示，到期本息用y表示，則y=x+1.98%x（不考慮利息稅）；再如，某種股票的成交額Y與該股票的成交量X、成交價(jià)格P之間的關(guān)系可以用Y=PX來表示，這都是函數(shù)關(guān)系。

相關(guān)關(guān)系的概念：

相關(guān)關(guān)系是指客觀現(xiàn)象之間存在的非確定的相互依存關(guān)系。也就是說，當(dāng)一個(gè)現(xiàn)象發(fā)生數(shù)量變化時(shí)，另一個(gè)現(xiàn)象也會(huì)發(fā)生數(shù)量變化，但這種數(shù)量關(guān)系是不確定的，不是唯一的。例如，居民收入水平與消費(fèi)品需求量之間，居民收入水平提高，人們對消費(fèi)品的需求量也相應(yīng)提高，但這種提高不是嚴(yán)格的一一對應(yīng)關(guān)系，人們對消費(fèi)品需求的多少不僅受到收入水平的影響，還要受到許多其它因素（如消費(fèi)習(xí)慣、消費(fèi)預(yù)期高低等）的影響。相關(guān)關(guān)系的特點(diǎn)：由此可見，相關(guān)關(guān)系具有如下兩個(gè)特點(diǎn)：現(xiàn)象之間確實(shí)存在著數(shù)量上的依存關(guān)系?，F(xiàn)象之間數(shù)量上的關(guān)系不是確定的。

二、相關(guān)關(guān)系的種類按照相關(guān)的方向不同分為：正相關(guān)和負(fù)相關(guān)。按照相關(guān)形式不同分為：線性相關(guān)和非線性相關(guān)。按相關(guān)程度分為：完全相關(guān)、不完全相關(guān)和不相關(guān)。按研究的變量（或因素）的多少分為：單相關(guān)、復(fù)相關(guān)和偏相關(guān)。

三、相關(guān)分析的主要內(nèi)容1確定現(xiàn)象之間有無關(guān)系。這是相關(guān)與回歸分析的起點(diǎn)。只有存在相互依存關(guān)系，才有必要進(jìn)行進(jìn)一步的分析。2確定相關(guān)關(guān)系的表現(xiàn)形式。只有確定了現(xiàn)象之間相互關(guān)系的具體表現(xiàn)形式，才能運(yùn)用相應(yīng)的相關(guān)分析方法去解決。如果把曲線相關(guān)誤認(rèn)為是直線相關(guān)，按直線相關(guān)來分析，便會(huì)出現(xiàn)認(rèn)識(shí)上的偏差，導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論。3測定相關(guān)關(guān)系的密切程度和方向?，F(xiàn)象之間的相關(guān)關(guān)系是一種不確定的數(shù)量關(guān)系，因此常常給人的感覺是不明確的。相關(guān)分析就是要從這種不確定、不明確的數(shù)量關(guān)系中，判斷相關(guān)變量之間的數(shù)量上的依存程度和方向?！菊埶伎肌?你能列舉一些函數(shù)關(guān)系、相關(guān)關(guān)系的實(shí)例嗎？2由于金融危機(jī)的影響，美國居民的人居收入下降，導(dǎo)致購買力也下降，人均收入與購買力是負(fù)相關(guān)嗎？3相關(guān)分析中的兩個(gè)變量是對等的嗎？9.2相關(guān)關(guān)系的判斷

定性分析是依據(jù)研究者的理論知識(shí)和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，對客觀現(xiàn)象之間是否存在相關(guān)關(guān)系，以及何種關(guān)系作出判斷。定量分析在定性分析的基礎(chǔ)上，通過編制相關(guān)表、繪制相關(guān)圖、計(jì)算相關(guān)系數(shù)等方法，來判斷現(xiàn)象之間相關(guān)的方向、形態(tài)及密切程度。相關(guān)表

相關(guān)表就是把被研究現(xiàn)象的觀察值對應(yīng)排列所形成的統(tǒng)計(jì)表格，如某地區(qū)工業(yè)勞動(dòng)者人數(shù)和工業(yè)增加值的歷史資料對應(yīng)排列所形成的表

9家企業(yè)的月產(chǎn)量

和單位產(chǎn)品成本相關(guān)表

（表9-1）序號月產(chǎn)量（千件）x單位成本（元）y9513284672.13.24.15.46.36.87.68.69.7918086717263585042相關(guān)表中的兩列數(shù)據(jù)叫相關(guān)數(shù)列，它有別于變量數(shù)量。相關(guān)表中的數(shù)值是變量的觀測值，是實(shí)際資料，是樣本數(shù)據(jù)，它是判別相關(guān)關(guān)系的基礎(chǔ)。在相關(guān)表中，如果觀測值的分布呈現(xiàn)一定的規(guī)律性，則表明現(xiàn)象之間存在相關(guān)關(guān)系。從上表中可看出月產(chǎn)量和單位成本之間存在著負(fù)相關(guān)關(guān)系。

相關(guān)圖

相關(guān)圖也叫相關(guān)散點(diǎn)圖，它是根據(jù)相關(guān)表中的觀測數(shù)據(jù)在坐標(biāo)圖中所繪制的點(diǎn)狀圖形。用x和y分別代表兩個(gè)變量，把相關(guān)表中的對應(yīng)觀測值一一描繪在坐標(biāo)圖中，則形成了反映相關(guān)點(diǎn)分布狀況的圖形，據(jù)此就可以觀測現(xiàn)象間相關(guān)關(guān)系的情況

九家企業(yè)月產(chǎn)量與單位成本相關(guān)圖9家企業(yè)的月產(chǎn)量和單位成本散點(diǎn)圖020406080100051015月產(chǎn)量（千件）單位陳本（元）系列1直線相關(guān)條件下的相關(guān)系數(shù)1相關(guān)系數(shù)的含義：相關(guān)系數(shù)是指直線相關(guān)條件下，說明兩現(xiàn)象之間相關(guān)關(guān)系密切程度的統(tǒng)計(jì)分析指標(biāo)，通常用r表示相關(guān)系數(shù)。理論公式為：直線相關(guān)條件下的相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式：

或者：依相關(guān)關(guān)系的定義公式可知相關(guān)系數(shù)的含義如下：r的取值范圍為-1≤r≤1。因?yàn)閰f(xié)方差的絕對值最小為0，最大為和的乘積。r的絕對值越接近于1，表明相關(guān)關(guān)系越密切；越接近于0，表明相關(guān)關(guān)系越不密切。r=+1或r=-1，表明兩現(xiàn)象完全相關(guān)。r=0,表明兩變量無直線相關(guān)關(guān)系。r﹥0,表明現(xiàn)象呈正直線相關(guān)；r﹤0，表明現(xiàn)象呈負(fù)直線相關(guān)。實(shí)際中︱r︱﹤0.3,視為無相關(guān)；0.3≤︱r︱＜0.5,為低度相關(guān)；0.5≤︱r︱＜0.8,為顯著相關(guān)；︱r︱≥0.8,一般稱為高度相關(guān)。相關(guān)系數(shù)(取值及其意義)-1.0+1.00-0.5+0.5無線性相關(guān)完全正相關(guān)負(fù)相關(guān)程度增加r正相關(guān)程度增加完全負(fù)相關(guān)相關(guān)系數(shù)的計(jì)算：例：由（表9-1）的資料計(jì)算如下：=-0.9886【請思考】1不對現(xiàn)象進(jìn)行定性或定量分析，直接用上述公式計(jì)算兩者關(guān)系的密切程度行嗎？2如果相關(guān)系數(shù)等于0，能否認(rèn)為兩變量無相關(guān)關(guān)系？9.3直線回歸分析

一.回歸分析的概念、特點(diǎn)及與相關(guān)分析的關(guān)系1.回歸分析的概念回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的變量擬合數(shù)學(xué)方程，通過一個(gè)或一些變量的變化解釋另一變量變化的方法。

2.直線回歸分析的特點(diǎn)

與直線相關(guān)分析的特點(diǎn)相比，簡單直線回歸分析有以下特點(diǎn)。

1）兩個(gè)變量之間不是對等關(guān)系，一個(gè)是自變量，一個(gè)是因變量，在進(jìn)行回歸分析時(shí)，首先加以確定。2）.相關(guān)系數(shù)是個(gè)抽象的系數(shù)，而回歸方程是利用自變量的給定值來推算因變量值，它反映的是變量之間的具體的變動(dòng)關(guān)系。3）.有些現(xiàn)象因果關(guān)系不明顯，x、y兩個(gè)變量可以互換，從方程式看，存在著兩個(gè)回歸方程：一個(gè)是以x為自變量，y為因變量，求出的回歸方程稱“y倚x回歸方程”；另一個(gè)是以y為自變量，x為因變量，求出的回歸方程稱“x倚y回歸方程”。畫出圖來，是兩條斜率不同的回歸直線。

4）.直線回歸方程中的回歸系數(shù)也有正負(fù)號，回歸系數(shù)為正號，表示兩個(gè)變量之間的變動(dòng)方向相同，為負(fù)號則表示兩變量之間的變動(dòng)方向相反。5）.回歸分析中的自變量是給定數(shù)值，不是隨機(jī)的，而因變量是隨機(jī)的，代入給定的自變量值，求出因變量的估計(jì)值，這個(gè)估計(jì)值是許多可能數(shù)值的平均值，存在著估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差。

3相關(guān)分析與回歸分析的關(guān)系

相關(guān)分析是回歸分析的基礎(chǔ)和前提，回歸分析則是相關(guān)分析的深入和繼續(xù)。相關(guān)分析需要依靠回歸分析來表現(xiàn)變量之間數(shù)量相關(guān)的具體形式，而回歸分析則需要依靠相關(guān)分析來表現(xiàn)變量之間數(shù)量變化的相關(guān)程度。只有當(dāng)變量之間存在高度相關(guān)時(shí)，進(jìn)行回歸分析尋求其相關(guān)的具體形式才有意義。

二.一元線性回歸模型

的建立與檢測1一元線性回歸模型的概念一元線性回歸模型又稱簡單直線回歸方程，它是根據(jù)兩個(gè)變量的成對數(shù)據(jù)，配合直線方程式，再根據(jù)自變量的變動(dòng)值，來推算因變量的估計(jì)值的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。建立的數(shù)學(xué)模型為：式中，a表示直線在y軸上的截距，代表直線的起點(diǎn)值；b表示直線的斜率，又稱為y對x的回歸系數(shù)，它的實(shí)際意義是說明x每變化一個(gè)單位時(shí)，y的平均變動(dòng)值，即：若x前面是“+”號，則說明x每增加一個(gè)單位時(shí)，y就平均增加b個(gè)單位；若x前面是“-”號，則說明x每增加一個(gè)單位時(shí)，y就平均減少b個(gè)單位。

2.構(gòu)建回歸模型應(yīng)具備的條件構(gòu)建一元線性回歸模型應(yīng)具備以下幾個(gè)條件：現(xiàn)象間確實(shí)存在數(shù)量上的相互依存關(guān)系?，F(xiàn)象間存在直線相關(guān)關(guān)系。具備一定數(shù)量的變量觀測值。

3直線回歸方程中

待定參數(shù)的求法

用最小平方法解決待定參數(shù)a和b的值，最小平方法又稱最小二乘法，它是運(yùn)用數(shù)學(xué)上微分求極限的原理，對a、b求偏導(dǎo)，令其等于零。見如下數(shù)學(xué)式：：解方程組得（1）自變量為一般變量時(shí)擬合一元線性回歸模型例：由（表9-2）中的資料計(jì)算如下：(2)時(shí)間為自變量時(shí)的簡單線性回歸方程

若自變量為時(shí)間，則用t表示，此時(shí)直線方程為：由最小平方原理可得：若令則：那么，怎樣使得呢？如年號是奇數(shù)，則設(shè)中間一年為0，上下年份分別設(shè)為-1、-2、-3等和+1、+2、+3等。若年號為偶數(shù)，則設(shè)中間兩年為+1、-1，其他依次為+3、+5等和-3、-5等。4在回歸分析中應(yīng)注意的問題在定性分析的基礎(chǔ)上進(jìn)行定量分析，是保證正確運(yùn)用回歸分析的必要條件。也就是說，在確定哪個(gè)變量作自變量，哪個(gè)變量作因變量之前，必須對所研究的問題有充分正確的認(rèn)識(shí)。在回歸方程中，回歸系數(shù)的絕對值只能表示自變量與因變量之間的聯(lián)系程度，以及兩變量間的變動(dòng)比例。因?yàn)槠渲荡笮≈苯尤Q于變量所用計(jì)算單位的大小。在進(jìn)行回歸分析時(shí)，為了使推算和預(yù)測更準(zhǔn)確，應(yīng)將相關(guān)系數(shù)、回歸系數(shù)和估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差結(jié)合使用。要具體問題具體分析?；貧w方程是根據(jù)資料計(jì)算出來的，是一種經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)，如條件發(fā)生變化，則推算和預(yù)測會(huì)不準(zhǔn)確。因此，不能機(jī)械照搬，以免造成失誤?！菊埶伎肌?.相關(guān)系數(shù)和回歸系數(shù)一定同正負(fù)嗎？2回歸分析中的兩變量關(guān)系是對等的嗎？能否由x推算y?3身高和體重是互為因果關(guān)系的變量，設(shè)哪一個(gè)為x?哪一個(gè)為y?4你能說出相關(guān)系數(shù)的含義嗎？三估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差是用來說明回歸直線方程代表性大小的統(tǒng)計(jì)分析指標(biāo)