第二章單粒子軌道理論

第二章單粒子軌道理論一引言二帶電粒子在均勻電磁場中的運動三帶電粒子在變化磁場中的運動四帶電粒子在變化電場中的運動五絕熱不變量六帶電粒子在環(huán)形磁場中的運動一引言等離子體物理的基本描述方法

單粒子軌道理論 磁流體動力論(DynamicTheory)

等離子體動理學(xué)(KineticTheory)

計算機(jī)數(shù)值模擬技術(shù)等離子體的特征：大量帶電粒子的集合體

庫侖場－帶電粒子之間的相互作用

外力場－粒子與外場的相互作用等離子體行為的雙重性

流體／單個粒子的集合什么是單粒子軌道理論？

是一種簡單近似的理論； 忽略等離子體粒子之間的相互作用，認(rèn)為集體效應(yīng)不重要的理論； 從單個帶電粒子在電磁場中的運動方程出發(fā)； 用單個帶電粒子在電磁場中的運動軌道描述等離子體。適用條件稀薄等離子體，粒子密度很低，粒子間的相互作用可以忽略，認(rèn)為等離子體是無碰撞的；電荷及電流的分布在動力學(xué)中不起主要作用；感應(yīng)場與外加場比起來是小量；

等離子體熱壓與磁壓之比很小。優(yōu)點簡單直觀，物理圖象清晰。意義是一種有用的基本描述方法；是研究復(fù)雜問題的出發(fā)點；在強(qiáng)磁場情況下具有實際意義?；疚锢砟Ｐ?/p>

對于電荷為q

、速度為

v

的帶電粒子，在電場強(qiáng)度為E、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B

的電磁場中運動，在非相對論情況下，其運動方程是其中,F

為非電磁力。這里假定電場和磁場是預(yù)先確定的只討論比較簡單的情況二、帶電粒子在均勻電磁場中的運動1

均勻恒定磁場

此時，B

=常數(shù)，E

=0，F(xiàn)

=0，粒子運動方程變成

（1）取z在B的方向(B=Bez)，得到（2）（3.1）

（3.2）

顯然，方程（2）給出平行磁場的粒子速度是常數(shù)，于是由動能守恒知道粒子的垂直速度大小也保持不變。所以在均勻恒定磁場中，粒子平行于磁場和垂直于磁場的運動是相對獨立的。方程（3）描寫的是一個簡單諧振子的運動，其具有回旋頻率（cyclotronfrequency），定義如下：方程（3）的解為其中是垂直磁場方向上的運動速度。再對（4）式求時間積分，可以得到粒子軌道的方程式a,x0,y0和z0都由初始條件決定。式中定義為回旋半徑。當(dāng)一個帶電粒子在一個均勻恒定磁場（Bez）中運動時，這個粒子軌道在垂直磁場的平面上的投影是以(x0,y0)為圓心以rc為半徑的圓，也就是說粒子在垂直磁場平面內(nèi)作回旋運動，其回旋頻率為W，同時，粒子還以速度v||沿磁力線作勻速直線運動。總之，帶電粒子在均勻恒定磁場中作螺旋運動。這條螺線的半徑是粒子回旋半徑，螺距為。粒子回旋中心的軌道叫做引導(dǎo)中心。

圖1帶電粒子在均勻恒定磁場中的運動關(guān)于粒子回旋頻率和回旋半徑：

粒子不同，回旋運動的方向不同，回旋頻率的大小也不同?；匦l率與磁感應(yīng)強(qiáng)度成正比，與粒子質(zhì)量成反比，所以在一定磁場中電子的回旋頻率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于離子的回旋頻率?；匦霃降拇笮∨c粒子質(zhì)量和垂直速度成正比，與磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小成反比。關(guān)于等離子體的抗磁性：處于磁場中的帶電粒子繞磁力線作圓周運動，于是它們形成了一個“小電流圈”，正負(fù)電荷旋轉(zhuǎn)方向相反，但形成的電流方向是相同的，迎著磁場看，作回旋運動的帶電粒子形成的電流是沿順時針流動的，這個環(huán)方向電流會產(chǎn)生感應(yīng)磁場，感應(yīng)磁場的方向正好與外磁場相反，它起著“抵消”或“反抗”外磁場的作用，我們把這種等離子體的特性稱之為等離子體的抗磁性。回旋頻率回旋半徑（拉摩半徑）引導(dǎo)中心（導(dǎo)向中心）磁距等離子體抗磁性二、帶電粒子在均勻電磁場中的運動2在均勻恒定磁場中的電漂移

現(xiàn)在我們考慮除有均勻恒定的磁場B外，還存在一個均勻恒定的小電場E，此時帶電粒子運動方程為

方程（7）式只比方程（1）式多了一個電場作用項，我們把電場分解為沿磁場和垂直磁場的分量，，顯然，方程（7）式的z分量形式為從上式我們發(fā)現(xiàn)由于E||使粒子沿磁力線作勻加速運動，經(jīng)過一段時間后，沿磁力線運動的速度可以達(dá)到相當(dāng)大，以致于非相對論近似不成立；由于正負(fù)電荷沿相反方向運動，引起較大尺度的電荷分離，產(chǎn)生很大的電場；由于粒子速度大，會產(chǎn)生較大的宏觀電流，這個電流又要產(chǎn)生感應(yīng)磁場，于是就會改變原來的磁場形態(tài)?？傊@些情況都導(dǎo)致單粒子軌道理論不再適用。所以，我們這里必須假設(shè)E||=0，這樣粒子沿磁力線只能作勻速直線運動。方程（7）的垂直分量形式為通過物理直觀分析（見圖2）可見，電場的存在使粒子有一個漂移速度，漂移的方向與磁場方向垂直。設(shè)，于是方程（10）寫成為對（11）式求時間導(dǎo)數(shù)，得到圖2電漂移很容易得到方程（12）的解另外，將（13）式與（4）式比較，顯然電場E產(chǎn)生了一個既垂直于磁場又垂直于電場的漂移速度，可以寫成矢量形式：帶電粒子在均勻恒定電磁場中的漂移速度公式由（14）式給出。這個電漂移速度的特征為：vE漂移方向垂直于磁場，也垂直于電場；vE的大小與粒子電荷的正負(fù)號無關(guān)，與粒子質(zhì)量也無關(guān)；電子、離子都以相同的速度朝同方向漂移，不會引起電荷分離，因此沒有漂移電流出現(xiàn)。二、帶電粒子在均勻電磁場中的運動3在均勻恒定磁場中的重力漂移在我們討論其它力場作用的情況時，只需要將（7）式中的電場微擾力作用項用一般的作用力F替代就可以了，即所以（14）式中E的換成F/q，就可以得到一般力場F引起的粒子漂移速度公式如果方程（15）中的F是重力，F(xiàn)=mg,則存在一個重力漂移

重力漂移的物理原因也是因為在重力場中粒子得到和損失能量時所引起的回旋半徑變化而導(dǎo)致的。

重力漂移速度的特征為：

vg的方向垂直于磁場，也垂直于重力加速度；

vg與粒子電荷符號有關(guān)，電子、離子朝相反方向漂移，會產(chǎn)生電荷分離；

vg的大小與粒子質(zhì)量有關(guān)，質(zhì)量越大，漂移速度越大；

vg的大小通常可以忽略，但當(dāng)磁力線彎曲時，存在一個因離心力作用引起的有效重力，這個有效重力與質(zhì)量無關(guān)，是不能忽略的，它是等離子體不穩(wěn)定性的基礎(chǔ)。重力漂移會引起漂移電流。電子和離子在重力作用下以相反的方向漂移，所以在等離子體中會有一個凈電流密度。漂移運動的特性：漂移是洛倫茲力和微擾力的平衡決定。電場力引起的漂移與電荷無關(guān)；而非電性力與電荷無關(guān)，可是對應(yīng)的漂移速度卻與電荷有關(guān)。三、帶電粒子在變化磁場中的運動1漂移近似一般情況電磁場是空間非均勻的，并且隨時間變化，于是帶電粒子在電磁場中的運動方程是非線性的，很難得到解析解，需要數(shù)值積分求解，但在某些近似條件下，可以不經(jīng)過數(shù)值積分而得到近似解，下面我們介紹一種近似處理方法。如果等離子體中

電磁場的空間、時間變化很平緩；電磁場的空間、時間變化平緩就是指在一個回旋半徑或回旋周期內(nèi)電磁場變化很小。

電場很弱；電場引起粒子速度的改變?yōu)椋绻谝粋€回旋周期內(nèi)，則可以認(rèn)為電場很弱。

粒子的橫向速度很大在一個回旋周期內(nèi)粒子軌跡偏離拉摩圓不大，或者粒子橫向速度遠(yuǎn)大于回旋中心橫越磁力線的速度，則磁力線可維持螺旋狀。

滿足上述三個條件的粒子回旋運動，對等離子體性質(zhì)及軌道的影響很小，就是說在粒子繞磁場一周的距離和時間尺度內(nèi)幾乎感受不到電磁場的變化，場近似為恒定和均勻的，這樣就可以用粒子導(dǎo)向中心運動來代替粒子的精確運動，使問題大為簡化，這種方法稱為漂移近似，也稱為導(dǎo)向中心近似。三、帶電粒子在變化磁場中的運動2梯度漂移是矢量導(dǎo)數(shù)，是9個函數(shù)構(gòu)成的一個二階張量，描述了磁場的空間非均勻性。定義散度項：橫向梯度項：曲率項：剪切項：帶電粒子在一般非均勻磁場中的運動非常復(fù)雜，下面我們只討論兩種簡單的情況：磁場梯度漂移和曲率漂移。在等離子體中垂直磁場方向如果有梯度，就會引起帶電粒子在垂直于磁場和磁場梯度的方向的漂移，叫磁場梯度漂移。設(shè)：B沿z方向，在y軸方向存在梯度，于是從運動方程（1）式出發(fā)對方程（20）求時間導(dǎo)數(shù)，得到我們采用漂移近似，磁場滿足緩變條件粒子旋轉(zhuǎn)一周的過程中磁場幾乎不變，所以W可以在引導(dǎo)中心附近展開

（22）將上式帶入（21）式，得到：

(23.1)(23.2)與（3）式比較，方程（23）右端的項均為小量，可以用均勻磁場的值代替，于是（23）式的解為下面的（24）式：（24.1）式右邊最后一項垂直于磁場B(y)ez,也垂直于磁場梯度方向，即為垂直于磁場梯度方向的漂移速度：

（25）其中為動能，上式寫成矢量形式（