第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述方法

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)

描述方法本章主要內(nèi)容與重點(diǎn)控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的微分方程非線性微分方程的線性化拉氏變換及其應(yīng)用傳遞函數(shù)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖一般反饋控制系統(tǒng)相似原理

本章主要內(nèi)容本章重點(diǎn)

本章介紹了建立控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型和簡(jiǎn)化的相關(guān)知識(shí)。包括線性定常系統(tǒng)微分方程的建立、非線性系統(tǒng)的線性化方法、傳遞函數(shù)概念與應(yīng)用、方框圖及其等效變換、梅遜公式的應(yīng)用等。

通過(guò)本章學(xué)習(xí)，應(yīng)著重了解控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的基本知識(shí)，熟練掌握建立線性定常系統(tǒng)微分方程的建立、傳遞函數(shù)的概念和應(yīng)用知識(shí)、控制系統(tǒng)方框圖的構(gòu)成和等效變換方法、典型閉環(huán)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的基本概念和梅遜公式的應(yīng)用。2-1

控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型

在討論控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)時(shí)，首先要采用適當(dāng)?shù)拿枋龇椒▉?lái)描述它。常用的方法是數(shù)學(xué)描述，即數(shù)學(xué)模型。1、何為控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型?控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)內(nèi)部物理量（或變量）之間的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

數(shù)學(xué)模型具有簡(jiǎn)捷、方便、通用等許多優(yōu)點(diǎn)，因而得到了廣泛的應(yīng)用。2、靜態(tài)（數(shù)學(xué)）模型和動(dòng)態(tài)（數(shù)學(xué))模型

在靜態(tài)條件下（即變量各階導(dǎo)數(shù)為零），描述變量之間關(guān)系的代數(shù)方程(組)叫靜態(tài)（數(shù)學(xué)）模型。描述變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程(組)叫動(dòng)態(tài)（數(shù)學(xué)）模型。3、控制系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的描述控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，就是對(duì)系統(tǒng)施加控制（即輸入控制信號(hào)）,從而得到系統(tǒng)輸出量（即受控量）隨時(shí)間的變化規(guī)律（即輸出響應(yīng)信號(hào)）。由于一般物理系統(tǒng)可以表現(xiàn)為描述其因果關(guān)系的微分方程。因此，控制系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)描述，就是在給定輸入信號(hào)和初始條件下，求解微分方程而得到的微分方程的解。4、建立數(shù)學(xué)模型的方法解析法－依據(jù)描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的運(yùn)動(dòng)定律來(lái)得到微分方程的方法。實(shí)驗(yàn)法－基于系統(tǒng)輸入輸出的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)建立數(shù)學(xué)模型的方法。5、數(shù)學(xué)模型的形式時(shí)域模型：微分方程、差分方程和狀態(tài)方程。復(fù)域模型：傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖頻域模型：頻率特性6、本章涉及的數(shù)學(xué)模型用解析法描述的SISO線性定常系統(tǒng)的微分方程、傳遞函數(shù)和動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖。2－2控制系統(tǒng)的微分方程1、控制系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的微分方程或者

就是采用線性常系數(shù)微分方程來(lái)描述的控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律（即系統(tǒng)為線性定常系統(tǒng)）。2、線性定常系統(tǒng)的特征（1）線性可加性如果x1(t)y1(t)x2(t)y2(t)則a·x1(t)+b·x2(t)a·y1(t)+b·y2(t)(2)參數(shù)定常性系統(tǒng)參數(shù)或元件均為常數(shù)(對(duì)應(yīng)于上式中各參數(shù)ai,bj均為常數(shù))。3、建模出發(fā)點(diǎn)根據(jù)物理系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律列寫(xiě)微分方程。理想元件的微分方程描述2－2－1電學(xué)系統(tǒng)建模約束1、元件約束電阻R、電容C和電感L，它們的V-I關(guān)系必須遵循廣義歐姆定律。2、網(wǎng)絡(luò)約束電網(wǎng)絡(luò)的基本約束為基爾霍夫的兩個(gè)定律。（1）基爾霍夫電壓定律（2）基爾霍夫電流定律(關(guān)聯(lián)參考方向)例2-1(P13)寫(xiě)出以u(píng)i為輸入，u0為輸出的微分方程。解：由回路電壓定律有即將代入上式,有令時(shí)間常數(shù)則有可簡(jiǎn)寫(xiě)為

例2-2(P14)寫(xiě)出以u(píng)i為輸入，u0為輸出的微分方程。對(duì)于回路L1，有解：對(duì)于回路L2，有元件約束為化簡(jiǎn)，可得設(shè)時(shí)間常數(shù)可簡(jiǎn)寫(xiě)為2-1-2力學(xué)系統(tǒng)

基本約束----牛頓定律

1、機(jī)械平移運(yùn)動(dòng)

例2-3（P15）列出以Fi為輸入，x為輸出的運(yùn)動(dòng)方程。由加速度定律解：和力為k-彈性系數(shù)；f-阻尼系數(shù)；m-物體質(zhì)量其中彈性阻力粘滯阻力代入方程有整理得

2、機(jī)械旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)

例2-4(P15)列出系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程。解：由角加速度方程

其中，J--轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，ω--旋轉(zhuǎn)角速度，ΣM--和力矩，得其中，Mf--作用力矩；fω--阻力力矩，其大小與轉(zhuǎn)速成正比，負(fù)號(hào)表示方向與作用力矩方向相反。

整理后，得如果以轉(zhuǎn)角θ為輸出變量，因?yàn)閷⑺敕匠?，?/p>

2-1-3復(fù)合系統(tǒng)例2-5（P16)已知直流電動(dòng)機(jī)，定子與轉(zhuǎn)子的電磁關(guān)系如圖2-6所示，機(jī)電系統(tǒng)原理如圖2-7所示，試寫(xiě)出其運(yùn)動(dòng)方程。解：這是一個(gè)復(fù)合系統(tǒng)。依次寫(xiě)出各平衡方程如下。1.電網(wǎng)絡(luò)平衡方程2.電動(dòng)勢(shì)平衡方程3.機(jī)械平衡方程4.轉(zhuǎn)矩平衡方程

聯(lián)立上述四個(gè)方程，略去ML，并消去中間變量Ia、Ea、Ma，得到輸入為電樞電壓Ua,輸出為轉(zhuǎn)軸角速度的二階微分方程

當(dāng)La很小時(shí)，將其略去，得到一階微分方程

控制系統(tǒng)微分方程的列寫(xiě)步驟：

（1）根據(jù)組成系統(tǒng)各子系統(tǒng)的工作原理及其在控制系統(tǒng)中的作用，確立各自的輸入量與輸出量。

（2）列出各子系統(tǒng)滿足的輸入－輸出關(guān)系的微分方程組（輸入、輸出變量總數(shù)比方程個(gè)數(shù)大1）。

（3）消去中間變量，得到系統(tǒng)輸出量與輸入量之間關(guān)系的微分方程（即系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型）。一般情況下，應(yīng)將微分方程寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)形式，即與輸入量有關(guān)的項(xiàng)寫(xiě)在方程的右端，與輸出量有關(guān)的項(xiàng)寫(xiě)在方程的左端，方程兩端變量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)均按求導(dǎo)階次的降冪排列。線性、定常、集總參數(shù)控制系統(tǒng)的微分方程線性元件的微分方程電氣元件組成的系統(tǒng)（電路系統(tǒng)）列寫(xiě)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程前，要先確定輸入變量、輸出變量LCR機(jī)電系統(tǒng)微分方程：電樞電壓控制直流電動(dòng)機(jī)SM負(fù)載電樞回路電壓平衡方程電磁轉(zhuǎn)矩方程電動(dòng)機(jī)軸上轉(zhuǎn)矩平衡方程若以角速度為輸出量、電樞電壓為輸入量，消去中間變量，直流電動(dòng)機(jī)的微分方程為當(dāng)電樞回路的電感可以忽略不計(jì)若電樞回路電阻和電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量都很小，可忽略不計(jì)，則上式可進(jìn)一步簡(jiǎn)化彈簧-質(zhì)量-阻尼器（S-M-D）機(jī)械位移系統(tǒng)求質(zhì)量m在外力F的作用下，質(zhì)量m的位移x的運(yùn)動(dòng)。設(shè)系統(tǒng)已處于平衡狀態(tài)，相對(duì)于初始狀態(tài)的位移、速度、加速度m齒輪系的運(yùn)動(dòng)方程J1J2基本關(guān)系式齒輪1和齒輪2的運(yùn)動(dòng)方程（1）以齒輪1的角速度為輸出，外部為輸入（2）以齒輪2的角速度

為輸出，外部為輸入控制系統(tǒng)微分方程的建立基本步驟：（1）由系統(tǒng)原理圖畫(huà)出系統(tǒng)方框圖或直接確定系統(tǒng)中各個(gè)基本部件（元件）（2）列寫(xiě)各方框圖的輸入輸出之間的微分方程，要注意前后連接的兩個(gè)元件中，后級(jí)元件對(duì)前級(jí)元件的負(fù)載效應(yīng)（3）消去中間變量速度控制系統(tǒng)的微分方程-k2SM負(fù)載-k1TG系統(tǒng)輸出系統(tǒng)輸入?yún)⒖剂靠刂葡到y(tǒng)的主要部件（元件）：給定電位器、運(yùn)放1、運(yùn)放2、功率放大器、直流電動(dòng)機(jī)、減速器、測(cè)速發(fā)電機(jī)運(yùn)放1運(yùn)放2功放直流電動(dòng)機(jī)減速器（齒輪系）測(cè)速發(fā)電機(jī)消去中間變量*比較R-L-C電路運(yùn)動(dòng)方程與M-S-D機(jī)械系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程相似系統(tǒng)：揭示了不同物理現(xiàn)象之間的相似關(guān)系線性系統(tǒng)的性質(zhì)：具有可疊加性、均勻性（齊次性）線性定常微分方程求解方法直接求解法：通解+特解自由解+強(qiáng)迫解（零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)）變換域求解法：Laplace變換方法2-3非線性微分方程的線性化

1、從嚴(yán)格意義上講，絕大多數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型都不是線性模型（即系統(tǒng)并非是線性系統(tǒng)），不能用（2－1）式或（2－2）式表示。事實(shí)上，任何一個(gè)元件總是存在一定程度的非線性。即使假設(shè)具有線性的特性，也是局限在一定的范圍內(nèi)。

例：圖2-8(P18)為鐵磁材料的飽和特性。當(dāng)激磁電流I較小時(shí)，磁場(chǎng)密度B隨著I線性增加。但當(dāng)I較大時(shí)，B的增長(zhǎng)率越來(lái)越小，呈現(xiàn)明顯的飽和非線性。2、兩類非線性系統(tǒng)（1）具有連續(xù)變化的非線性系統(tǒng)動(dòng)態(tài)：y(n)=f(t;y,y(1),…,y(n),x,x(1),…,x(m))靜態(tài)：y=f(x)要求f連續(xù)，可導(dǎo)。(2)本質(zhì)非線性系統(tǒng)f2(t;y;…y(n-1);x,…,x(m))條件2

動(dòng)態(tài)：f1(t;y;…y(n-1);x,…,x(m))條件1y(n)=

靜態(tài)：f1(x)條件1y=f2(x)條件2

只有第(1)類非線性系統(tǒng)可以進(jìn)行線性化3、非線性系統(tǒng)線性化步驟

實(shí)際的物理元件都存在一定的非線性，例如彈簧系數(shù)是位移的函數(shù)電阻、電容、電感與工作環(huán)境、工作電流有關(guān)電動(dòng)本身的摩擦、死區(qū)(1)確定輸入-輸出關(guān)系中的函數(shù)關(guān)系y(x)或其中非線性項(xiàng)的函數(shù)關(guān)系。(2)在工作點(diǎn)x0鄰域?qū)(x)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)小偏差線性化法

設(shè)連續(xù)變化的非線性函數(shù)平衡狀態(tài)A為工作點(diǎn)在平衡狀態(tài)點(diǎn)運(yùn)用臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開(kāi)為略去二階以上的高次項(xiàng)，得到(3)當(dāng)△x=x-x0很小時(shí)，△y=y(x)-y(x0)很小，有增量表達(dá)式其中，

(4)將增量以普通變量表示，得到線性化方程

例2-6(P18)三相全橋整流調(diào)速裝置如圖2-9所示，輸入量為控制角。輸出量為整流電壓UD，試建立其線性化模型。(為靜態(tài)關(guān)系的線性化)解由功率電子技術(shù)可知，整流電為靜態(tài)關(guān)系的線性化特性曲線如圖2-10所示，為非線性關(guān)系。UD與之間的關(guān)系為設(shè)工作點(diǎn)為增量式為其中從而有例2-7(P19)已知單擺系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)如圖2—11所示。(1)寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)方程，(2)求取線性化方程。(為動(dòng)態(tài)關(guān)系的線性化)解

單擺系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)如圖2-11所示。其運(yùn)動(dòng)方程為

方程中的零次導(dǎo)數(shù)項(xiàng)為非線性項(xiàng)，即

在鄰域其泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式為忽略二階以上的高次項(xiàng)，其線性關(guān)系為線性化系數(shù)k=1。進(jìn)而，有代入原方程，得到線性化方程為

其線性化關(guān)系如圖2-12（P20)所示。

需要注意的是，在不同的工作點(diǎn)鄰域，可以得到不同的線性化方程。例如，在鄰域，有線性關(guān)系，相應(yīng)的線性化系數(shù)k=-1，從而線性化方程為4、注意事項(xiàng)（1）第(2)類非線性系統(tǒng)不可線性化。（2）多變量情況處理類似。（3）工作點(diǎn)不同，所得線性化方程的線性化系數(shù)不同，即線性化方程不同。（4）非線性系統(tǒng)的線性化方程只在工作點(diǎn)附近才成立。具有兩個(gè)自變量的非線性函數(shù)的線性化

對(duì)于具有兩個(gè)自變量的非線性函數(shù)可以在工作點(diǎn)（x10,x20)鄰域展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)

寫(xiě)出增量式為當(dāng)和很小時(shí)，略去二階以上的高次項(xiàng)，并以K1、K2表示，得到其中于是，線性化方程為2-4拉氏變換及其應(yīng)用2-4-1拉氏變換的定義

對(duì)于時(shí)域函數(shù)f(t)，只要滿足相應(yīng)的收斂條件，其拉氏變換(Laplace變換)的常規(guī)定義為

其中，f(t)---變換原函數(shù)；F(s)---變換象函數(shù)：復(fù)變函數(shù)；s---復(fù)變量：s=σ+jω。拉氏變換有其逆運(yùn)算，稱為拉氏反變換，表示為其中，積分圍線c為由s=σ-j∞到s=σ+j∞的閉曲線。

鑒于工程上常常需要處理在t=0處不連續(xù)的函數(shù)甚至具有更復(fù)雜性質(zhì)的函數(shù)，控制理論中常常把拉氏變換的定義修改成

對(duì)于在t=0處連續(xù)，即滿足f(0+)=f(0-)的函數(shù)來(lái)說(shuō)，這樣定義與常規(guī)定義并無(wú)區(qū)別。而采用修改后的定義可以使微分方程的求解過(guò)程大大地簡(jiǎn)化。2-4-2常用信號(hào)的拉氏變換

控制系統(tǒng)分析中常常需要采用一些典型的時(shí)域輸入信號(hào)，我們來(lái)求它們的拉氏變換。1、單位脈沖信號(hào)且

理想單位脈沖信號(hào)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為拉氏變換為今后，我們將采用修改后的拉氏變換定義。

說(shuō)明：

單位脈沖函數(shù)可以通過(guò)極限方法得到。設(shè)單個(gè)方波脈沖如圖所示。

脈沖的寬度為a，高度為1/a，面積為1。當(dāng)保持面積不變，寬度a--->0,高度1/a--->∞，則單個(gè)方波脈沖演變成理想的單位脈沖。f(t)1/aa0t(t)t0

2、單位階躍信號(hào)f(t)10t顯然,有拉氏變換為簡(jiǎn)寫(xiě)為單位階躍信號(hào)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

3、單位斜坡信號(hào)簡(jiǎn)寫(xiě)為0f(t)t單位斜坡信號(hào)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為利用分部積分公式(見(jiàn)P22),可求得拉氏變換為

4、指數(shù)信號(hào)tf(t)10

指數(shù)信號(hào)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為拉氏變換為

5、正弦、余弦信號(hào)

正弦、余弦信號(hào)的拉氏變換可以利用指數(shù)信號(hào)的拉氏變換求得。由復(fù)指數(shù)函數(shù)的拉氏變換，有因?yàn)橛捎壤椒謩e取上式的實(shí)部和虛部，可得正弦信號(hào)的拉氏變換為有余弦信號(hào)的拉氏變換為2-4-3拉氏變換的一些基本定理

1、線性定理則

若

2、延遲定理則信號(hào)f(t)與它在時(shí)間軸上的平移信號(hào)f(t-T)的關(guān)系示意圖ttf(t)f(t-)00

若

該定理說(shuō)明，在時(shí)間域的平移變換在復(fù)數(shù)域有對(duì)應(yīng)的衰減變換。

例2-8(P24)求如圖所示周期鋸齒波信號(hào)的拉氏變換。解：f(t)t0T該信號(hào)為周期信號(hào)。若已知信號(hào)第一周期的拉氏變換為F1(s)，則應(yīng)用延遲定理，有鋸齒波信號(hào)第一周期的拉氏變換為所以，周期鋸齒波信號(hào)的拉氏變換為

3、衰減定理則若

該定理說(shuō)明，時(shí)間信號(hào)f(t)在時(shí)間域的指數(shù)衰減，其拉氏變換在復(fù)數(shù)域有對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)平移。解：因?yàn)樗?/p>

例2-9（P25）試求時(shí)間函數(shù)的拉氏變換。

4、微分定理且f(t)的各階導(dǎo)數(shù)存在，則f(t)各階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換為……

若

則……當(dāng)所有的初值均為零時(shí)，即

5、積分定理

積分定理與微分定理互為逆定理。則

若

6、初值定理即時(shí)域函數(shù)的初值，可以由變換域求得。且f(0+)存在，則

若

7、終值定理且f(∞)存在，則若即時(shí)域函數(shù)的終值，也可以由變換域求得。

8、卷積定理時(shí)域函數(shù)的卷積分為

則若

為何要將時(shí)域函數(shù)f(t)轉(zhuǎn)換成復(fù)變函數(shù)F(s)？－－時(shí)域中超越函數(shù)在變換域中是有理函數(shù)（見(jiàn)表2-1（P23））。－－可以簡(jiǎn)化計(jì)算，如卷積分轉(zhuǎn)變成相乘運(yùn)算。

兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：常用拉氏變換的基本定理見(jiàn)表2-2(P28)。2-4-4拉氏反變換

將復(fù)變函數(shù)F(s)變換為原時(shí)域函數(shù)f(t)的運(yùn)算是拉氏變換的逆運(yùn)算，稱為拉氏反變換，公式為

這是復(fù)變函數(shù)的積分，計(jì)算復(fù)雜，極少采用。常用方法----部分分式法。理由：工程中常見(jiàn)的時(shí)域信號(hào)f(t)的拉氏變換F(s)都是s的有理函數(shù)。因此，可以將F(s)分解成一系有理分式Fi(s)之和，再利用拉氏變換表求出所有的fi(t)=L-1[Fi(s)]，即可合成時(shí)域函數(shù)f(t)(根據(jù)拉氏變換的線性變換定理)。過(guò)程：其中，B(s)----分子多項(xiàng)式；A(s)----分母多項(xiàng)式；a0,a1,…an-1;b0,b1,…bm----常系數(shù)，n≥m。設(shè)拉氏變換F(s)為s的有理分式，即

求出分母多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)A(s)=0的根si(i=1,2,…n）（稱之為極點(diǎn)）。于是，有從而可得拉氏反變換為計(jì)算情況：

（1）A(s)＝0全部為單根為復(fù)變函數(shù)F(s)對(duì)于極點(diǎn)s=si的留數(shù)。拉氏反變換為其中

F(s)可分解成

例2-10(P29)已知：求拉氏反變換。解：F(s)可分解成其中于是

(2)A(s)=0有重根其中，與單根s1相對(duì)應(yīng)的系數(shù)C1求法同前;與重根s2相對(duì)應(yīng)的各項(xiàng)系數(shù)計(jì)算公式如下……

以只有一個(gè)單根為例，即s1為單根，s2為(n-1)重根，則F(s)可分解為因?yàn)樗?，拉氏反變換為

例2-11(P30)已知：求拉氏反變換。解：F(s)可分解為解得于是，有從而

(3)A(s)=0有共軛復(fù)數(shù)根

當(dāng)存在共軛復(fù)數(shù)根時(shí)，可以將共軛復(fù)數(shù)根當(dāng)作單根(互不相同)來(lái)看待。但分解計(jì)算時(shí)，涉及到復(fù)數(shù)運(yùn)算，太繁瑣，可以利用如下變換對(duì)來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算。

例2-12(P31)已知：求拉氏反變換。解：F(s)可分解為而于是，有2-4-5拉氏變換法求解微分方程

列出控制系統(tǒng)的微分方程之后，就可以求解該微分方程，利用微分方程的解來(lái)分析系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。微分方程可以采用數(shù)學(xué)分析的方法來(lái)求解，也可以采用拉氏變換法來(lái)求解。采用拉氏變換法求解微分方程是帶初值進(jìn)行運(yùn)算的，許多情況下應(yīng)用更為方便。拉氏變換法求解微分方程步驟如下：

（1）方程兩邊作拉氏變換。（2）將給定的初始條件與輸入信號(hào)代入方程。

（3）寫(xiě)出輸出量的拉氏變換。

（4）作拉氏反變換求出系統(tǒng)輸出的時(shí)間解。

例2-13(P31)RC濾波電路如圖所示，輸入電壓ui(t)=5V，試求：當(dāng)電容初始電壓uc(0)分別為0V和1V時(shí)的時(shí)間解uc(t)。解：RC電路的微分方程為R=10kui=5VucC=10方程兩邊作拉氏變換由拉氏變換的線性定理，有由拉氏變換的微分定理，得將R=10k,C=10,Ui(s)=5/s代入，整理得于是，輸出的拉氏變換為

（1）uc(0)=0V時(shí)

（2）uc(0)=1V時(shí)uc(t)5V1V00.1t兩種初值時(shí)系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)解：方程兩邊作拉氏變換，得

例2-14(P32)已知微分方程輸入信號(hào),初始條件為,求y(t)。代入初值，得作拉氏反變換，得2-5傳遞函數(shù)

1、傳遞函數(shù)是在變換域中描述系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)模型。它是以參數(shù)來(lái)表示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的，故又稱為系統(tǒng)的參數(shù)模型。

2、傳遞函數(shù)是基于拉氏變換得到的，可以簡(jiǎn)化計(jì)算。2-5-1傳遞函數(shù)的定義且有，n>=m。令所有的初始條件全為零，即

設(shè)描述線性定常系統(tǒng)的微分方程為對(duì)方程兩邊作拉氏變換，得從而，輸出信號(hào)的拉氏變換Y(s)與輸入信號(hào)的拉氏變換U(s)比為于是，輸出信號(hào)的拉氏變換Y(s)為

控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)的定義：

在零初始條件下，輸出信號(hào)的拉氏變換與輸入信號(hào)的拉氏變換之比，表示為

在該定義下，系統(tǒng)的輸出可以表示為變換域中傳遞函數(shù)與控制輸入的乘積，即2-5-2傳遞函數(shù)的性質(zhì)

1、傳遞函數(shù)只適用于線性定常系統(tǒng)

2、傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的

(2-96)式表示系統(tǒng)內(nèi)部無(wú)能量?jī)?chǔ)存條件下的系統(tǒng)描述。如果不是這樣，則會(huì)產(chǎn)生系統(tǒng)在非零初始條件下的疊加項(xiàng)，即

例2-15(P34)RLC網(wǎng)絡(luò)如圖所示：

（2）當(dāng)時(shí),寫(xiě)出輸出響應(yīng)。解：（1）系統(tǒng)的微分方程為RLCuiuc

（1）求傳遞函數(shù)。令所有初值為零，對(duì)方程兩邊作拉氏變換，有得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

（2)當(dāng)時(shí)，將微分方程兩邊帶初值作拉氏變換，有整理得即輸出響應(yīng)的拉氏變換為式中為非零初始條件下的疊加項(xiàng)。例試求：電樞控制直流電動(dòng)機(jī)的傳遞函數(shù)根據(jù)線性疊加原理，分別研究到和到的傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)的性質(zhì)（1）因果系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是s的有理真分式函數(shù)，具有復(fù)變函數(shù)的性質(zhì)。（2）傳遞函數(shù)取決于系統(tǒng)或元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入信號(hào)的形式無(wú)關(guān)。G(s)（3）傳遞函數(shù)與微分方程可相互轉(zhuǎn)換。（4）傳遞函數(shù)的Laplace反變換是系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)

3、傳遞函數(shù)可以有量綱

物理單位由輸入、輸出的物理量的量綱確定。例如：

力學(xué)系統(tǒng)---[米]/[牛](作用力產(chǎn)生位移的剛度系數(shù));電學(xué)系統(tǒng)---[安]/[伏](復(fù)數(shù)導(dǎo)納，電壓引起電流響應(yīng))。

4、傳遞函數(shù)表示的關(guān)系

傳遞函數(shù)只反映系統(tǒng)端口之間的關(guān)系，不明顯表示系統(tǒng)內(nèi)部部件的信息。

（1）同一個(gè)物理系統(tǒng)，由于描述不同端口之間的關(guān)系，其傳遞函數(shù)可能不同。

（2）不同的物理系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)可能相同。解：由例2-15已得及

例2-16(P35)對(duì)于如圖所示RLC網(wǎng)絡(luò)，試求和，并比較它們有何不同。RLCuiuc由系統(tǒng)的微分方程在初始條件為零的情況下，合并上面兩個(gè)方程，可得

兩個(gè)傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式是相同的，而分子多項(xiàng)式是不同的。

5、傳遞函數(shù)是描述線性定常系統(tǒng)的參數(shù)模型其中，K---系統(tǒng)的傳遞增益(或傳遞系數(shù)）；s=zj,j=1,2,…,m---分子多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)方程的根，稱之為系統(tǒng)的零點(diǎn)；s=pi,i=1,2,…,n---分母多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)方程的根，稱之為系統(tǒng)的極點(diǎn)。

可以將有理分式表示的傳遞函數(shù)表示為

6、傳遞函數(shù)的信息關(guān)系

(1)確定了輸入信號(hào)U(s)與輸出信號(hào)Y(s)之間的傳遞關(guān)系信息。

(2)確定了系統(tǒng)的固有特性信息(由分母多項(xiàng)式描述)。

(3)確定了系統(tǒng)與外界聯(lián)系方式信息(由分子多項(xiàng)式表示)。

例2-17(P36)給定兩個(gè)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)如圖所示，分別寫(xiě)出傳遞函數(shù)，并比較兩個(gè)系統(tǒng)的不同之處。解：系統(tǒng)1的微分方程為傳遞函數(shù)為系統(tǒng)2的微分方程為傳遞函數(shù)為

兩個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式是相同的，因此，兩個(gè)系統(tǒng)的固有特性是相同的。而分子多項(xiàng)式是不同的，因此，兩個(gè)系統(tǒng)與外界聯(lián)系的作用特性是不同的。從輸入信號(hào)的物理意義上看，系統(tǒng)1的作用函數(shù)是直接作用于質(zhì)量m的作用力F(t)；而系統(tǒng)2的作用函數(shù)是位移量x(t)，位移量x(t)經(jīng)過(guò)阻尼器f1和彈簧k的作用，間接產(chǎn)生作用力作用于質(zhì)量m。顯然，兩個(gè)系統(tǒng)與外界的作用是不同的。2-5-3傳遞函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)z1z2稱為傳遞系數(shù)或根軌跡系數(shù)傳遞函數(shù)寫(xiě)成因子連乘積的形式稱為傳遞系數(shù)或增益或放大系數(shù)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)就是微分方程的特征根，極點(diǎn)決定了系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的模態(tài)，而且在強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)中也會(huì)包含這些自由運(yùn)動(dòng)的模態(tài)。2-5-4傳遞函數(shù)極點(diǎn)和零點(diǎn)對(duì)輸出的影響自由運(yùn)動(dòng)的模態(tài)輸入函數(shù)零狀態(tài)響應(yīng)前兩項(xiàng)具有與輸入函數(shù)相同的模態(tài)后兩項(xiàng)由極點(diǎn)決定的自由運(yùn)動(dòng)模態(tài)，其系數(shù)與輸入函數(shù)有關(guān)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)影響各模態(tài)在響應(yīng)中所占的比重，例如輸入信號(hào)，零狀態(tài)響應(yīng)分別為各個(gè)模態(tài)在兩個(gè)系統(tǒng)輸出響應(yīng)中所占的比重不同，取決于零點(diǎn)相對(duì)于極點(diǎn)的距離。例如：z1z22-5-5控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

1、復(fù)數(shù)阻抗

對(duì)于電學(xué)系統(tǒng)，其基本線性元件有三種：電阻R、電容C和電感L。在時(shí)域中，它們的V-I關(guān)系滿足廣義的歐姆定律。在變換域中，它們的V-I關(guān)系也有相同的形式。我們把這種在變換域中的V-I關(guān)系稱為復(fù)數(shù)阻抗。它們也符合傳遞函數(shù)的定義。

電網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)可以方便地利用線性元件的復(fù)數(shù)阻抗來(lái)求得。uLiLL電感uciCC電容uRRiR電阻

例2-18（P37）RLC網(wǎng)絡(luò)如圖所示，試采用復(fù)數(shù)阻抗法求取該網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。解：由復(fù)數(shù)阻抗法寫(xiě)出分壓公式為代入各復(fù)數(shù)阻抗，得從而，求得傳遞函數(shù)為uiuoCRLuiuoRxZi-+Zf反相運(yùn)算有源網(wǎng)絡(luò)解：反相輸入的運(yùn)算放大器的運(yùn)算關(guān)系如圖所示，即

例2-19（P38）有源網(wǎng)絡(luò)（比例積分PI）如圖所示，求傳遞函數(shù)G(s)。R3+uiR1R2uoRxZiZfC-PI運(yùn)算有源網(wǎng)絡(luò)其中，Zi(s)----輸入復(fù)數(shù)阻抗；Zf(s)----反饋復(fù)數(shù)阻抗；負(fù)號(hào)----表示輸入與輸出相位相反。

PI運(yùn)算有源網(wǎng)絡(luò)的各復(fù)數(shù)阻抗如下：輸入復(fù)數(shù)阻抗為反饋復(fù)數(shù)阻抗為于是，傳遞函數(shù)為

2、典型環(huán)節(jié)

控制系統(tǒng)通常由若干個(gè)基本部件組合而成，這些基本部件稱為典型環(huán)節(jié)。

(1)比例環(huán)節(jié)

具有比例運(yùn)算關(guān)系的元部件稱為比例環(huán)節(jié)。uiKuo方塊圖為

運(yùn)算關(guān)系為

傳遞函數(shù)為

例2-20(P38)變阻器式角位移檢測(cè)器如圖所示，求傳遞函數(shù)。解：變阻器最大角位移為，變阻器所加電壓為V+，故其靈敏度為

兩變阻器角差為所以，檢測(cè)器輸出電壓為傳遞函數(shù)為

例2-21(P39)直流測(cè)速發(fā)電機(jī)如圖所示，求傳遞函數(shù)。Es解：直流測(cè)速發(fā)電機(jī)是一種轉(zhuǎn)角檢測(cè)裝置，其輸出端電壓正比于轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)角速度，靈敏度，所以，輸出電壓為這是一個(gè)比例環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù)為

(2)積分環(huán)節(jié)其中，T----積分環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù),表示積分的快慢程度。uiuo方塊圖為

傳遞函數(shù)為運(yùn)算關(guān)系為

符合積分運(yùn)算關(guān)系的環(huán)節(jié)稱為積分環(huán)節(jié)。

例2-22(P39)液位系統(tǒng)如圖所示，求傳遞函數(shù)。解：入管流量為出管流量為流量差為容器底面積為液面高度為容積為流入的容積為流量差對(duì)時(shí)間的積分兩式相等所以，液面高度為這是一個(gè)積分環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù)為

(3)微分環(huán)節(jié)

符合微分運(yùn)算關(guān)系的環(huán)節(jié)稱為積分環(huán)節(jié)。suiu0方塊圖為

傳遞函數(shù)為運(yùn)算關(guān)系為其中，τ----微分環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)，表示微分速率的大小。

例2-23(P40)前例2-21中的測(cè)速發(fā)電機(jī)，其輸出電壓為因?yàn)楣?，有所以，若考慮電壓與轉(zhuǎn)角的關(guān)系，測(cè)速發(fā)電機(jī)就成為微分環(huán)節(jié)，有

(4)一階慣性環(huán)節(jié)

一階慣性環(huán)節(jié)的微分方程是一階的,且輸出響應(yīng)需要一定的時(shí)間才能達(dá)到穩(wěn)態(tài)值，故稱為一階慣性環(huán)節(jié)。uoui

方塊圖為

傳遞函數(shù)為

運(yùn)算關(guān)系為其中，T----慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)。

(5)二階振蕩環(huán)節(jié)

振蕩環(huán)節(jié)是由二階微分方程描述的系統(tǒng)。uiuo

方塊圖為

傳遞函數(shù)為

運(yùn)算關(guān)系為其中，T和ζ是系統(tǒng)的特征參數(shù)。

(6)延遲環(huán)節(jié)

具有純時(shí)間延遲傳遞關(guān)系的環(huán)節(jié)稱為延遲環(huán)節(jié)。uiuo

方塊圖為

傳遞函數(shù)為

傳輸關(guān)系為

由拉氏變換的延遲定理，有

延遲環(huán)節(jié)的實(shí)例。

3、系統(tǒng)傳遞函數(shù)的求取過(guò)程

(1)將控制系統(tǒng)分成前述的基本環(huán)節(jié)，分別寫(xiě)出各基本環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。

(2)按照信號(hào)流通的約束關(guān)系，將各基本環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)按照相應(yīng)的關(guān)系組合，得到系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。

(3)消去中間變量，得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

例2-24(P42)直流電動(dòng)機(jī)調(diào)速系統(tǒng)原理如圖所示，試根據(jù)信號(hào)傳輸關(guān)系寫(xiě)出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：端口關(guān)系：

控制量----給定轉(zhuǎn)速r所對(duì)應(yīng)的電壓Ur（輸入量）；

被控量----電動(dòng)機(jī)旋轉(zhuǎn)的角速度（輸出量）。第一步寫(xiě)出各基本環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。

（1）給定單元（電位器）

（2）測(cè)速單元（測(cè)速發(fā)電機(jī)TC）

（3）比較單元(Ur與串聯(lián)反極性相聯(lián)接UTC）

（4）放大單元

（5）執(zhí)行單元（直流伺服電動(dòng)機(jī)SD）

（6）減速器

（7）變阻器

（8）可控硅調(diào)功器

（9）受控對(duì)象-----直流電動(dòng)機(jī)

第二步將基本環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)組合成系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。ML(s)KrK1KsKaKL/KMKTC+--rUr(s)e(s)U1(s)SD(s)(s)US(s)Ua(s)(s)UTC(s)+算子方程組：

第三步消去中間變量，得到系統(tǒng)傳遞函數(shù)。

消去各中間變量:Ur(s),UTC(s),e(s),U1(s),θSD(s),φ(s),US(s),Ua(s)，根據(jù)疊加原理，令負(fù)載ML為零就可以得到以給定角速度ωr為輸入量，以電動(dòng)機(jī)的旋轉(zhuǎn)角速度ω為輸出量的傳遞函數(shù)為同理，令給定角速度ωr為零，可以得到負(fù)載擾動(dòng)ML作用下的傳遞函數(shù)為2-6動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖

1、(動(dòng)態(tài))結(jié)構(gòu)圖的定義和組成

(動(dòng)態(tài))結(jié)構(gòu)圖是一種網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束下的有向線圖，亦稱為方塊圖。由三部分組成：控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖：描述系統(tǒng)各元部件之間的信號(hào)傳遞關(guān)系的一種圖形化表示，特別對(duì)于復(fù)雜控制系統(tǒng)的信號(hào)傳遞過(guò)程給出了一種直觀的描述。

（1）以傳遞函數(shù)來(lái)描述信號(hào)輸入輸出關(guān)系的傳輸方塊。

（3）信號(hào)的分支點(diǎn)（分離點(diǎn)）與相加點(diǎn)（綜合點(diǎn)）。

（2）標(biāo)有信號(hào)流通方向的信號(hào)輸入輸出通路。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的組成與繪制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖一般有四個(gè)基本單元組成：（1）信號(hào)線；（2）引出點(diǎn)（或測(cè)量點(diǎn)）；（3）比較點(diǎn)（或信號(hào)綜合點(diǎn)）表示對(duì)信號(hào)進(jìn)行疊加；（4）方框（或環(huán)節(jié)）表示對(duì)信號(hào)進(jìn)行變換，方框中寫(xiě)入元部件或系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

2、(動(dòng)態(tài))結(jié)構(gòu)圖的特性

（1）結(jié)構(gòu)圖是線圖方式的數(shù)學(xué)模型，可以用來(lái)描述控制系統(tǒng)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)關(guān)系。

（2）結(jié)構(gòu)圖上可以表示出系統(tǒng)的一些中間變量或者系統(tǒng)的內(nèi)部信息。

（3）結(jié)構(gòu)圖與代數(shù)方程等價(jià)。

例2-25(P45)作出如圖所示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。R1R2UiC1C2UoUx解：設(shè)電容C1的電壓為Ux（中間變量），采用復(fù)數(shù)阻抗法順序?qū)懗龈魉阕哟鷶?shù)方程和方塊圖如下2-6-1結(jié)構(gòu)圖的建立(2)1/R1UR1I(1)UiUR1Ux+-(3)II2I1-+(4)1/C1sI1Ux1/R2UR2I2(6)1/C2sI2Uo(7)(5)

UxUR2Uo+Ui(s)1/R1-+1/C1s1/R21/C2sUo(s)++

將各基本環(huán)節(jié)按照信號(hào)流通的方向連結(jié)起來(lái)就可以得到系統(tǒng)的方塊圖。2-6-2結(jié)構(gòu)圖的化簡(jiǎn)

2、化簡(jiǎn)原則

（2）化簡(jiǎn)前后，回路傳遞函數(shù)的乘積不變。

1、化簡(jiǎn)目的

求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

（1）化簡(jiǎn)前后，前向通路傳遞函數(shù)的乘積不變。任何復(fù)雜的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，各方框之間的基本連接方式只有串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接三種。方框結(jié)構(gòu)圖的簡(jiǎn)化是通過(guò)移動(dòng)引出點(diǎn)、比較點(diǎn)，交換比較點(diǎn)，進(jìn)行方框運(yùn)算后，將串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接的方框合并。

3、等效變換法則

（1）環(huán)節(jié)串聯(lián)G1(s)G2(s)X(s)Y(s)G1(s)G2(s)X(s)Y(s)

（2）環(huán)節(jié)并聯(lián)G1(s)G2(s)++G1(s)+G2(s)X(s)X(s)Y(s)Y(s)

（3）反饋回路化簡(jiǎn)E(s)G(s)H(s)+X(s)Y(s)B(s)X(s)Y(s)

設(shè)中間變量B(s),E(s)如圖，有

因?yàn)樗哉?，得即有前向通道傳遞函數(shù)：輸入端對(duì)應(yīng)比較器輸出E(s)到輸出端輸出Y(s)所有傳遞函數(shù)的乘積，記為G(s)

反饋通道傳遞函數(shù)：輸出Y(s)到輸入端比較器的反饋信號(hào)B(s)之間的所有傳遞函數(shù)之乘積，記為H(s)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)：反饋引入點(diǎn)斷開(kāi)時(shí)，輸入端對(duì)應(yīng)比較器輸出E(s)到輸入端對(duì)應(yīng)的比較器的反饋信號(hào)B(s)之間所有傳遞函數(shù)的乘積，記為GO(s),GO(s)=G(s)H(s)

（4）相加點(diǎn)（求和點(diǎn)）移動(dòng)

前移

X1(s)G(s)X1(s)X2(s)+Y(s)X2(s)1/G(s)+G(s)Y(s)++X1(s)Y(s)+X2(s)Y(s)X1(s)G(s)X2(s)G(s)G(s)+++

后移互易X1(s)X2(s)++X3(s)Y(s)++Y(s)X1(s)X3(s)X2(s)+++X1(s)X2(s)X3(s)Y(s)+++++

（5）分支點(diǎn)移動(dòng)

前移后移

注意事項(xiàng)－相加點(diǎn)與分支點(diǎn)沒(méi)有簡(jiǎn)單互易法則。Y1(s)G1(s)G2(s)Y2(s)X(s)Y1(s)G1(s)G1(s)G2(s)Y2(s)X(s)G(s)G(s)1/G(s)Y1(s)Y2(s)Y1(s)Y2(s)X(s)X(s)

例設(shè)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示，試?yán)玫刃ё儞Q的方法簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)圖，并計(jì)算系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)／R(s)。解：簡(jiǎn)化過(guò)程：（1）G3(s)和G4(s)之間的引出點(diǎn)后移，由G3(s)、G4(s)和H3(s)組成的內(nèi)反饋回路計(jì)算等效傳遞函數(shù)：（2）將G2(s)、G34(s)和H2(s)*1/G4(s)組成的內(nèi)反饋回路簡(jiǎn)化，計(jì)算等效傳遞函數(shù)（3）將G1(s)、G23(s)和H1(s)組成的主反饋回路簡(jiǎn)化，計(jì)算系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

例2-26(P48)采用結(jié)構(gòu)圖等價(jià)變換法化簡(jiǎn)如圖所示的結(jié)構(gòu)圖。解：第一步：向左移出相加點(diǎn)，向右移出分支點(diǎn)。

第二步：化簡(jiǎn)兩個(gè)內(nèi)部回路，并合并反饋支路中的串聯(lián)方塊。R1C2sUi(s)-+Uo(s)

第三步：令作反饋回路化簡(jiǎn)，得Uo(s)Ui(s)所以，系統(tǒng)傳遞函數(shù)為2-6-3梅遜公式根據(jù)結(jié)構(gòu)圖等效化簡(jiǎn)原則，將結(jié)構(gòu)圖化成最簡(jiǎn)方塊，可以求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。但是化簡(jiǎn)步驟仍然而要一步一步地進(jìn)行。而采用梅遜公式化簡(jiǎn)結(jié)構(gòu)圖，求取系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，只需要作少量的計(jì)算，就可以將傳遞函數(shù)一次寫(xiě)出。梅遜公式的來(lái)源是按克萊姆（Gramer）規(guī)則求解線性聯(lián)立方程組時(shí)，將解的分子多項(xiàng)式與分母多項(xiàng)式與信號(hào)流圖（即拓樸圖）巧妙聯(lián)系的結(jié)果。MASON增益公式從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的傳遞函數(shù)（或總增益）從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的前向通路總數(shù)從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的第i條前向通路總增益流圖特征式所有單獨(dú)回路增益的乘積之和兩、兩不接觸回路增益的乘積之和三、三不接觸回路增益的乘積之和第i條前向通路余子式

第i條前向通路的余子式的計(jì)算公式為：在特征式中，將與第i條前向通路相接觸的回路各項(xiàng)全部去除后剩下的余子式。

例2-27已知兩級(jí)RC網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示，試用梅遜公式法求取傳遞函數(shù)。

解(1)寫(xiě)出所有獨(dú)立回路，共3個(gè)判別回路的接觸情況：因?yàn)長(zhǎng)1，L2之間沒(méi)有公共支路，所以有一個(gè)兩兩互不接觸回路。沒(méi)有三三互不接觸回路。

(2)寫(xiě)出悔遜公式特征式(3)寫(xiě)出前向通路從輸入到輸出只有一條前向通路，所以i＝l，只有(4)寫(xiě)出各項(xiàng)余子式因?yàn)橹挥幸粭l前向通路殊性，所以只計(jì)算。因?yàn)榕c所有回路L1，L2，L3都有公共支路，所以與所有回路都相接觸。從特征式中將所有的回路各項(xiàng)去除后得到=1（5）傳遞函數(shù)為例2．18三級(jí)RC濾波網(wǎng)絡(luò)如圖所示，試用梅遜法求取網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。

解三級(jí)RC網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖如上圖所示(1)

一條前向通路（2）5個(gè)獨(dú)立回路

LⅠ=LⅡ=LⅢ=LⅣ=LⅤ=

(3)

兩兩互不接觸回路共6項(xiàng)：LⅠLⅡ，LⅠLⅢ，LⅡLⅢ，LⅠLⅤ，LⅢLⅣ，L