第十三章幾何基礎(chǔ)與幾何模型

第十三章幾何基礎(chǔ)與幾何模型123歐幾里得的《幾何原本》希爾伯特的《幾何基礎(chǔ)》，近代公理法的基本思想雙曲幾何學(xué)和橢圓幾何學(xué)課本中的結(jié)構(gòu)456射影幾何學(xué)的公理系和模型愛爾蘭根綱領(lǐng)，變換群與幾何學(xué)射影幾何學(xué)在中學(xué)幾何中的應(yīng)用舉例課本中的結(jié)構(gòu)01歐幾里得《幾何原本》希爾伯特的公理體系非歐幾何克萊因的變換群思想射影幾何學(xué)在中學(xué)幾何中的應(yīng)用舉例歐幾里得的《幾何原本》011、與《幾何原本》有關(guān)的五個人物2、《幾何原本》的內(nèi)容簡介3、欣賞《幾何原本》中的兩個命題的證明4、《幾何原本》留給后人的工作01歐幾里德（Euclid，公元前330

年-公元前260

年）是古希臘最負盛名、最有影響的數(shù)學(xué)家之一.與《幾何原本》有關(guān)的五個人物01徐光啟（1562-1633）松江人明代末期一位杰出的科學(xué)家、天文學(xué)家、農(nóng)業(yè)科學(xué)家。編有《崇禎歷法》、《農(nóng)政全書》。另外,他還是一位翻譯家，1606年與人合譯《幾何原本》（前6卷）與《幾何原本》有關(guān)的五個人物01利瑪竇(1552-1610)意大利人，耶穌會傳教士。1583年入居肇慶（位于廣東省）開始傳教與《幾何原本》有關(guān)的五個人物01李善蘭(1811-1882)浙江海寧人清代數(shù)學(xué)家、翻譯家。15歲通覽古希臘數(shù)學(xué)名著《幾何原本》(前六卷)。1852年至1856年與人合譯《幾何原本》后九卷（《續(xù)幾何原本》）。另還譯有《代數(shù)學(xué)》、《代微積拾級》、《談天》等。與《幾何原本》有關(guān)的五個人物01偉烈亞力（1815一1887），英國漢學(xué)家。1847年從倫敦出發(fā)同年抵達上海。1852年與李善蘭合譯《幾何原本》后九卷。另與李善蘭合譯《代數(shù)學(xué)》與《代微積拾級》與《幾何原本》有關(guān)的五個人物《幾何原本》的內(nèi)容簡介01《幾何原本》共有13卷：第一卷給出23個定義五條公設(shè)九條公理第二卷線段的運算第三、四卷圓的性質(zhì)和圓的內(nèi)接、外切多邊形第五、六卷比例理論與相似多邊形的性質(zhì)《幾何原本》的內(nèi)容簡介01《幾何原本》共有13卷：第七、八、九卷算術(shù)第十卷不可公度量的分類與運算第十一至十三卷立體幾何01《幾何原本》的內(nèi)容簡介在《幾何原本》的第一卷中，給出了5個公設(shè)：公設(shè)1：從每個點到另一個點必定可以引直線公設(shè)2：每條直線可以無限延長公設(shè)3：以任意點為中心，任意線段為半徑可以作圓公設(shè)4：所有的直角相等公設(shè)5：（在同一個平面內(nèi)）兩條直線被第三條直線

所截，若在某一側(cè)的內(nèi)角和小于二直角，那

么這兩條直線在這一側(cè)適當(dāng)延長后必相交01《幾何原本》的內(nèi)容簡介在《幾何原本》的第一卷中，給出了9條公理：公理1：等于同量的量相等公理2：等量加等量，其和相等公理3：等量減等量，其差相等公理4：不等量加等量，其和不等公理5：等量的兩倍仍相等公理6：等量的一半仍相等01在《幾何原本》的第一卷中，給出了9條公理：公理7：能重合的量相等公理8：整體大于部分公理9：兩條直線不能包含一部分《幾何原本》的內(nèi)容簡介01欣賞《幾何原本》中的兩個命題的證明命題29：（平行線性質(zhì)定理）一直線截平行直線所得的內(nèi)錯角相等，同位角相等同側(cè)內(nèi)角之和等于二直角。EABDCFGH提示：可以用“鄰補角互補”，

“對頂角相等”

“第五公設(shè)"01欣賞《幾何原本》中的兩個命題的證明命題47：（畢達哥拉斯定理）在直角三角形中，對著直角的邊上的正方形等于兩直角邊上的兩個正方形之和。01欣賞《幾何原本》中的兩個命題的證明01《幾何原本》留給后人的工作2.對第五公設(shè)不斷的挑戰(zhàn)1.對其他公理，公設(shè)的懷疑近代公理法的基本思想01

先提出幾個不予定義的基本概念和若干不加證明的公理，這些基本概念的性質(zhì)就是由這些公理來描述和保證。從這些基本概念和公理出發(fā)，通過形式邏輯的推理，就導(dǎo)出一系列的結(jié)論，同時又可以定義新的概念，并得到新的結(jié)論。這些就構(gòu)成了一個學(xué)科的全部內(nèi)容。希爾伯特與《幾何基礎(chǔ)》01希爾伯特（1862-1943）出生于德國的東普魯士，與菲利克斯·克萊因是同事、好友。在不變量理論，幾何公理化，希爾伯特空間這些領(lǐng)域都有其建樹。1899年出版《幾何原理》。01希爾伯特與《幾何基礎(chǔ)》三個基本對象五個基本關(guān)系五組公理（共20條）點直線平面兩個結(jié)合關(guān)系一個順序關(guān)系兩個合同關(guān)系點在直線上點在平面上一個點在另兩點之間線段與線段合同角與角合同結(jié)合公理（8條）順序公理（4條）合同公理（5條）連續(xù)公理（2條）平行公理（1條）歐式平行公理對于任何直線a和不在a上的任何點A，在由a和A確定的平面上，至多有一條直線通過A且與a不相交01希爾伯特與《幾何基礎(chǔ)》無矛盾性獨立性完備性01雙曲幾何學(xué)結(jié)合公理（8條）順序公理（4條）合同公理（5條）連續(xù)公理（2條）平行公理（1條）五組公理（共20條）雙曲平行公理對于任何直線a和不在a上的任何點A，在由a和A確定的平面上，至少有一條直線通過A且與a不相交雙曲幾何學(xué)高斯（Gauss，1777～1855年）德國數(shù)學(xué)家，天文學(xué)家，物理學(xué)家。羅巴切夫斯基(1792—1856)俄國數(shù)學(xué)家亞諾什·鮑耶(1802—1860)匈牙利數(shù)學(xué)家01橢圓幾何學(xué)結(jié)合公理（8條）順序公理（4條）合同公理（5條）連續(xù)公理（2條）平行公理（1條）五組公理（共20條）橢圓平行公理對于任何直線a和不在a上的任何點A，在由a和A確定的平面上，不存在一條直線通過A且與a不相交橢圓幾何學(xué)黎曼（Riemann，1826～1866），德國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。在復(fù)變函數(shù)論、傅立葉級數(shù)、幾何學(xué)基礎(chǔ)、素數(shù)分布等方面都有重要貢獻。01歐式幾何與非歐幾何的比較01克萊因與愛爾蘭根綱領(lǐng)菲利克斯·克萊因（1849—1925）德國數(shù)學(xué)家。23歲被愛爾蘭根大學(xué)聘為教授，發(fā)表了《近世幾何學(xué)的研究的比較評論》的職演，說強調(diào)了變換群在幾何學(xué)中的主導(dǎo)地位，這次演說的內(nèi)容被后人稱為《愛爾蘭根綱領(lǐng)》?？巳R因與愛爾蘭根綱領(lǐng)正交變換仿射變換射影變換平移旋轉(zhuǎn)長度角度平行性結(jié)合性垂直,正方形,三角