第十一章聯(lián)立方程組模型1

1

計量經(jīng)濟學(xué)

第十一章聯(lián)立方程組模型2引子：是先有雞，還是先有蛋？

對貨幣供給量、經(jīng)濟增長及通貨膨脹關(guān)系的爭論：

究竟是物價上升導(dǎo)致貨幣供應(yīng)量增加？還是貨幣供應(yīng)量增加導(dǎo)致物價上漲？為了驗證這種類似先有雞，還是先有蛋爭論，有人主張建立分析物價水平和經(jīng)濟增長影響貨幣供給量的方程，也有人主張建立分析貨幣供應(yīng)量影響物價水平和經(jīng)濟增加的方程。

3

這兩個方程有什么關(guān)系？當(dāng)經(jīng)濟增長、物價水平和貨幣供給量的樣本數(shù)據(jù)都是既定的，兩個方程可以同時估計嗎？

迄今為止我們討論的都是單一方程計量經(jīng)濟模型，但是有的經(jīng)濟問題的計量，需要運用聯(lián)立方程模型。

4第十一章聯(lián)立方程組模型

本章主要討論:●聯(lián)立方程模型及其偏倚●聯(lián)立方程模型的識別●聯(lián)立方程模型的估計5第一節(jié)聯(lián)立方程模型及其偏倚本節(jié)基本內(nèi)容:●聯(lián)立方程模型的性質(zhì)

●聯(lián)立方程模型中變量的類型●聯(lián)立方程模型的偏倚性●聯(lián)立方程模型的種類

6一、聯(lián)立方程模型的性質(zhì)

所謂聯(lián)立方程模型，是指同時用若干個相互關(guān)聯(lián)的方程，去表示一個經(jīng)濟系統(tǒng)中經(jīng)濟變量相互依存性的模型。聯(lián)立方程組中每一個單一方程中包含了一個或多個相互關(guān)聯(lián)的內(nèi)生變量，每一個方程的被解釋變量都是內(nèi)生變量，解釋變量則可以是內(nèi)生或者外生變量。7

商品需求與價格的模型，商品的需求量

受商品的價格

和消費者的收入

等因素的影響，可建立需求模型：同時，該商品價格

也受商品需求量

和其它替代品價格

的影響，又可建立價格模型：

舉例8(11.1)和(11.2)式中的商品需求

與商品價格，事實上存在雙向因果關(guān)系，不能只用單一方程模型去描述這種聯(lián)立，而需要把兩個單一方程組成一個聯(lián)立方程組，同時去研究商品的需求量

和商品價格，從而形成如下的聯(lián)立方程模型：9聯(lián)立方程模型的特點1.聯(lián)立方程組模型是由若干個單一方程組成的

模型中不止一個被解釋變量，個方程可以有個被解釋變量2.聯(lián)立方程組模型里既有非確定性方程（即隨機方程）又有確定性方程，但必須含有隨機方程3.被解釋變量和解釋變量之間可能是互為因果，有的變量在某個方程為解釋變量，但同時在另一個方程中可能為被解釋變量。解釋變量有可能是隨機的不可控變量104.解釋變量可能與隨機擾動項相關(guān)，違反OLS基本假定如將(11.1)式代入(11.2)式:顯然在(11.1)式中與相關(guān)。11二、聯(lián)立方程模型中變量的類型

內(nèi)生變量：一些變量是由模型體現(xiàn)的經(jīng)濟體系本身所決定的，在模型中是隨機變量,稱為內(nèi)生變量。

外生變量：一些變量是在模型體現(xiàn)的經(jīng)濟體系之外給定的，在模型中是非隨機的,稱為外生變量。意義：區(qū)分內(nèi)生變量和外生變量對聯(lián)立方程模型的估計和應(yīng)用有重要意義。

注意：一個變量是內(nèi)生變量還是外生變量，由經(jīng)濟理論和經(jīng)濟意義決定，不是從數(shù)學(xué)形式?jīng)Q定。12●聯(lián)立方程模型中內(nèi)生變量的個數(shù)恰好等于方程組中方程的個數(shù)，該方程組為完備的●在聯(lián)立方程模型中，內(nèi)生變量既可作為被解釋變量，又可作為解釋變量，前定變量一般作為解釋變量1314

聯(lián)立方程偏倚：聯(lián)立方程模型中內(nèi)生變量作為解釋變量與隨機項相關(guān)，違反了OLS基本假定，如仍用OLS法去估計參數(shù)，就會產(chǎn)生偏倚，估計式是有偏的，而且是不一致的，這稱為聯(lián)立方程偏倚。

結(jié)論：

OLS法一般不適合于估計聯(lián)立方程模型。三、聯(lián)立方程模型的偏倚性

15四、聯(lián)立方程模型的種類結(jié)構(gòu)型模型簡化型模型遞歸型模型聯(lián)立方程模型161.結(jié)構(gòu)型模型

描述經(jīng)濟變量之間現(xiàn)實經(jīng)濟結(jié)構(gòu)關(guān)系，表現(xiàn)變量間直接的經(jīng)濟聯(lián)系，將某內(nèi)生變量直接表示為內(nèi)生變量和前定變量函數(shù)的模型，稱為結(jié)構(gòu)型模型。

結(jié)構(gòu)型模型的標(biāo)準(zhǔn)形式：

矩陣表示：

17

結(jié)構(gòu)型模型舉例

設(shè)一個簡化的凱恩斯宏觀經(jīng)濟模型為：其中為消費，

為收入，它們是內(nèi)生變量；

是作為外生變量的投資；為隨機擾動項。可表示為：18可以矩陣表示為：其中:19例2：農(nóng)產(chǎn)品供需模型其中：Yt——收入；Wt——天氣指數(shù)。內(nèi)生變量：Dt、DS、Pt預(yù)定變量：

Pt-1、Wt、Yt20結(jié)構(gòu)參數(shù)矩陣：212、估計問題（1）聯(lián)立方程偏倚：內(nèi)生變量作為解釋變量的結(jié)構(gòu)方程，參數(shù)最小二乘估計量是有偏的。（2）不存在內(nèi)生變量作為解釋變量，則可以對該結(jié)構(gòu)方程應(yīng)用OLS估計參數(shù)。22

1.描述了經(jīng)濟變量之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，在結(jié)構(gòu)方程的右端可能出現(xiàn)其它的內(nèi)生變量

2.結(jié)構(gòu)型模型有明確的經(jīng)濟意義，可直接分析解釋變量變動對被解釋變量的作用

3.結(jié)構(gòu)型模型具有偏倚性問題，所以不能直接用OLS法對結(jié)構(gòu)型模型的未知參數(shù)進(jìn)行估計

4.通過前定變量的未來值預(yù)測內(nèi)生變量的未來值時，由于在結(jié)構(gòu)方程的右端出現(xiàn)了內(nèi)生變量，所以不能直接用結(jié)構(gòu)型模型進(jìn)行預(yù)測：

結(jié)構(gòu)型模型的特點23簡化型模型：每個內(nèi)生變量都只被表示為前定變量及隨機擾動項函數(shù)的聯(lián)立方程模型，每個方程的右端不再出現(xiàn)內(nèi)生變量。簡化型模型的建立：直接寫出簡化形式從結(jié)構(gòu)型模型求解對比結(jié)構(gòu)型模型：若，存在，則有：若令則簡化型模型為2.簡化型模型24例3：農(nóng)產(chǎn)品供需模型(1)(2)(3)將（1）、（2）代入（3），得：(4)25將（4）代入（1）或（2），得：(5)令：——參數(shù)關(guān)系式26簡化式模型為：整理關(guān)系：27●簡化型模型中每個方程的解釋變量全是前定變量，從而避免了聯(lián)立方程偏倚●簡化型模型中的前定變量與隨機誤差項不相關(guān)。避免了聯(lián)立方程偏倚。簡化型模型中的參數(shù)是原結(jié)構(gòu)型模型參數(shù)的函數(shù)，由估計的簡化型模型參數(shù)，有可能求解出結(jié)構(gòu)型參數(shù)

簡化型模型的特點28●簡化型模型表現(xiàn)了前定變量對內(nèi)生變量的總影響（直接影響和間接影響），其參數(shù)表現(xiàn)了前定變量對內(nèi)生變量的影響乘數(shù)●已知前定變量取值的條件下，可利用簡化型模型參數(shù)的估計式直接對內(nèi)生變量進(jìn)行預(yù)測分析29

3.遞歸型模型

遞歸型模型：第一個方程中解釋變量只包含前定變量；第二個方程中解釋變量只包含前定變量和前一個方程中的內(nèi)生變量；第三個方程中解釋變量只包括前定變量和前兩個方程的內(nèi)生變量；依此類推，最后一個方程內(nèi)生變量可以表示成前定變量和

個內(nèi)生變量的函數(shù)。

30特點：每個模型都滿足隨機擾動與解釋變量不相關(guān)的基本假定，不會產(chǎn)生聯(lián)立方程組的偏倚性，可逐個用OLS法估計其參數(shù)遞歸模型是聯(lián)立方程組模型的特殊形式，模型中事實上沒有變量間互為因果的特征，所以不是真正意義上的聯(lián)立方程模型31本節(jié)基本內(nèi)容:●對模型識別的理解●聯(lián)立方程模型識別的類型●聯(lián)立方程模型識別的方法第二節(jié)聯(lián)立方程模型的識別32一、對模型識別的理解“識別”是與模型設(shè)定有關(guān)的問題，其實質(zhì)是對特定的模型，判斷是否有可能得出有意義的結(jié)構(gòu)型參數(shù)數(shù)值。聯(lián)立方程模型的識別可以從多方面去理解，但從根本上說識別是模型的設(shè)定問題。33

例如，設(shè)農(nóng)產(chǎn)品供需均衡模型為：在均衡條件下，農(nóng)產(chǎn)品的供給和需求一致，用OLS法估計其參數(shù)，則無法區(qū)分估計出的參數(shù)究竟是需求方程的還是供給方程的，這就是聯(lián)立方程模型的識別問題。34●從能否從簡化型模型參數(shù)估計值中合理地求解出結(jié)構(gòu)型模型參數(shù)的估計值。如果結(jié)構(gòu)型模型參數(shù)的估計值能由簡化型模型的參數(shù)求解出，則稱這個結(jié)構(gòu)方程是可識別的，否則是不可識別的35

關(guān)于“識別”的結(jié)論

在聯(lián)立方程模型中要識別一個方程，必須是這個方程相對穩(wěn)定，而其他方程有明顯變化，即必須是這個方程中沒有而包含在其他方程中的某些因素發(fā)生明顯變化。

“識別”是模型的設(shè)定問題，不是模型估計和評價的統(tǒng)計問題。

36

注意●識別是針對有參數(shù)要估計的模型，定義方程、恒等式本身沒有識別問題●聯(lián)立方程必須是完整的，模型中內(nèi)生變量個數(shù)與模型中獨立方程個數(shù)應(yīng)相同●聯(lián)立方程中每個方程都是可識別的，整個聯(lián)立方程體系才是可識別的37

1.不可識別意義：從所掌握的信息，不能從簡化型參數(shù)確定結(jié)構(gòu)型參數(shù)原因：信息不足，沒有解

2.適度識別（恰好識別）意義：通過簡化型模型參數(shù)可唯一確定各個結(jié)構(gòu)型模型參數(shù)原因：信息恰當(dāng)，有唯一解

3.過度識別意義：由簡化型參數(shù)雖然可以確定結(jié)構(gòu)型參數(shù)，但是不能唯一地確定（可得出兩個或兩個以上的結(jié)果）

原因：信息過多，有解但不唯一

二、聯(lián)立方程模型識別的類型38例1：不可識別39恰好識別40在例2的基礎(chǔ)上，加入天氣條件指數(shù)變量Rt例3：41例4：在例3的基礎(chǔ)上，加入替代品價格變量Pr恰好識別42

方程不可識別的原因一個方程的統(tǒng)計形式在模型中不唯一。一個結(jié)構(gòu)型方程的識別狀況，決定于不包含在這個方程中，但包含在模型其他方程中變量的個數(shù)。

這類變量過少——不可識別

這類變量過多——過度識別

這類變量適度——

恰好識別

結(jié)論43三、模型識別的方法

1.

識別的階條件——

識別的必要條件

思想：

一個結(jié)構(gòu)型方程的識別，取決于不包含在這個方程中，而包含在模型其他方程中變量的個數(shù)，可從這類變量的個數(shù)去判斷方程的識別性質(zhì)。

44

引入符號：

——

模型中內(nèi)生變量的個數(shù)（即方程的個數(shù)）

——

模型中第

個方程中包含的內(nèi)生變量的個數(shù)

——

模型中前定變量的個數(shù)

——

模型中第個方程中包含的前定變量的個數(shù)

則模型中變量總數(shù)為第個方程中包含的變量總個數(shù)為第個方程中不包含的變量總個數(shù)為45

方程識別的階條件（必要條件）方式1一個方程可識別時，其不包含的變量總個數(shù)（內(nèi)生變量+前定變量）大于或等于模型中內(nèi)生變量總個數(shù)減1。若方程可識別，則：

當(dāng)

方程恰好識別

當(dāng)

方程過度識別

階條件的逆否命題：

如果

方程不可識別46

模型的一個方程中不包含的前定變量個數(shù)（），大于或等于該方程中包含的內(nèi)生變量個數(shù)減1，則該方程能夠識別。階條件為：當(dāng)方程可識別時

如果方程恰好識別如果方程過度識別階條件逆否命題如果方程不可識別容易證明，方式1和方式2是等價的。

方式247

2.識別的秩條件（充要條件）秩條件的表述：●在有

個內(nèi)生變量個方程的完備聯(lián)立方程模型中，當(dāng)且僅當(dāng)一個方程中不包含但在其他方程包含的變量（不論是內(nèi)生變量還是外生變量）的系數(shù)，至少能夠構(gòu)成一個非零的

階行列式時，該方程是可以識別的●在有個內(nèi)生變量個方程的完整聯(lián)立方程模型中，當(dāng)且僅當(dāng)一個方程所排斥（不包含）的變量的參數(shù)矩陣的秩等于時，該方程可以識別48模型識別秩條件檢驗的方法步驟

秩條件也有三種情況：（1）當(dāng)只有一個

階非零行列式時，該方程是恰好識別的（2）當(dāng)不止一個

階非零行列式時，該方程是過度識別的（3）當(dāng)不存在

階非零行列式時，該方程是不可識別的

49

運用秩條件判別模型的識別性，步驟如下：

（1）將結(jié)構(gòu)模型的全部參數(shù)列成完整的參數(shù)（方程沒有出現(xiàn)的變量的參數(shù)以0表示）

（2）考察第個方程的識別問題：劃去該方程的那一行，并劃去該方程出現(xiàn)的變量的系數(shù)（該行中非0系數(shù)）所在列，余下該方程不包含的變量在其它方程中的系數(shù)的矩陣（3）計算矩陣的秩，并作出判斷50聯(lián)立方程模型識別的秩條件的例子假如，設(shè)定的聯(lián)立方程模型為：由給定方程組模型寫出其結(jié)構(gòu)型模型的標(biāo)準(zhǔn)形式：51

由前面給出的判別條件，可以知道：（1）消費函數(shù)方程1是不可識別的

（2）投資函數(shù)方程2是恰好識別的（3）稅收函數(shù)方程3是過度識別的變量方程11000方程20100方程300100方程40-1-110-1052模型識別的一般步驟和經(jīng)驗方法53

經(jīng)驗方法

模型的識別不是統(tǒng)計問題，而是模型的設(shè)定問題，因此在設(shè)定模型時就應(yīng)設(shè)法盡量保證模型的可識別性。一般應(yīng)遵循以下原則：

“在建立聯(lián)立方程結(jié)構(gòu)型模型時，要使新引入的方程中包含前面已引入的每一個方程都不包含的至少1個變量（內(nèi)生變量或前定變量）；同時，要使前面已引入的每一個方程都包含至少1個新引入方程未包含的變量，并要互不相同?！?/p>

54

因為只有新引入的方程包含前面每一個方程都不包含的至少一個變量，才能保證不破壞前面已有方程的可識別性。而且，只有前面每一個方程都包含至少一個新引入方程所未包含的變量，才能保證新引入的方程是可識別的。55第三節(jié)聯(lián)立方程模型的估計本節(jié)基本內(nèi)容:●聯(lián)立方程模型估計方法的選擇●遞歸模型的估計——OLS●恰好識別方程的估計——ILS●過度識別方程的估計——TSLS

56

一、聯(lián)立方程模型估計方法的選擇模型參數(shù)的估計方式應(yīng)考慮以下因素：

1.從研究目的考慮參數(shù)估計的方式

（1）若是為了經(jīng)濟結(jié)構(gòu)分析，檢驗經(jīng)濟理論

——應(yīng)力爭準(zhǔn)確估計結(jié)構(gòu)型參數(shù)（2）若為了評價政策、論證政策效應(yīng)

——應(yīng)力爭準(zhǔn)確估計簡化型參數(shù)（反映“政策乘數(shù)”、“效果乘數(shù)”）

（3）若只是為了預(yù)測

——直接估計簡化型參數(shù)即可57

2.模型的識別條件

對于遞歸型模型——直接用OLS法對于恰好識別模型——用間接最小二乘法、工具變量法對于過度識別模型——用二階段最小二乘法、三階段最小二乘對于不足識別模型——不能估計其結(jié)構(gòu)型參數(shù)

3.考慮數(shù)據(jù)的可用性和計算方法的復(fù)雜性58二、遞歸模型的估計－OLS

遞歸模型中各內(nèi)生變量之間的聯(lián)系只是單向的，都滿足OLS基本假定，實際沒有聯(lián)立方程偏倚問題，可以直接按順序逐個方程用OLS估計59

三、恰好識別模型的估計——ILS

基本思想：

恰好識別模型通過簡化型參數(shù)可以唯一確定結(jié)構(gòu)型參數(shù)。顯然，可以先用OLS法估計簡化型參數(shù)，然后求解出結(jié)構(gòu)型參數(shù)，即間接最小二乘法（ILS）。

估計步驟：●先將結(jié)構(gòu)型方程變換為簡化型方程●用OLS法估計簡化型參數(shù)●從簡化型與結(jié)構(gòu)型參數(shù)的關(guān)系式求解結(jié)構(gòu)型參數(shù)60●簡化型參數(shù)的估計是無偏的（小樣本），并且是一致估計式（大樣本）●結(jié)構(gòu)型參數(shù)估計在小樣本中是有偏的（因結(jié)構(gòu)型參數(shù)與簡化型參數(shù)是非線性系），但在大樣本中是一致估計量（可證明）●結(jié)構(gòu)型參數(shù)不是完全有效的，即一般不具有最小方差

間接最小二乘估計的特性61

基本思想：

由結(jié)構(gòu)型方程變換得到的簡化型方程的一般形式為

精確分量隨機分量四、過度識別方程的估計——TSLS62●用OLS法估計出簡化型參數(shù)，可以由計算出精確分量的估計值●由簡化型方程估計的與結(jié)構(gòu)型方程中的隨機擾動項不相關(guān)，但作為精確分量，與高度相關(guān)，可用替代作為解釋變量的，然后對變換以后的結(jié)構(gòu)方程用OLS法估計其參數(shù)

二階段最小二乘法實際是用作為的工具變量63●結(jié)構(gòu)方程必須是可以識別的●結(jié)構(gòu)型方程誤差項必須滿足OLS基本假定●結(jié)構(gòu)方程中的所有前定變量不存在嚴(yán)重的多重共線性●樣本容量足夠大●運用二階段最小二乘法時應(yīng)關(guān)注簡化型模型的可決系數(shù)

二階段最小二乘法的假定條件64二階段最小二乘法的估計步驟

第一步（第一階段）：利用簡化型方程，將第個結(jié)構(gòu)方程解釋變量中出現(xiàn)的內(nèi)生變量直接對所有的前定變量回歸（不須進(jìn)行簡化型模型的變換，也不須導(dǎo)出簡化型參數(shù)與結(jié)構(gòu)型參數(shù)的關(guān)系式）

用OLS法估計其參數(shù)得

65

第二步（屬第一段）：利用所估計的和前定變量求出所需要的

第三步：（屬第二段）用估計的去替代結(jié)構(gòu)方程中作為解釋變量的內(nèi)生變量，得：

用OLS法估計其參數(shù)得結(jié)構(gòu)方程參數(shù)的TSLS估計量

66●小樣本時估計量是有偏的●大樣本時（當(dāng)）TSLS估計漸進(jìn)無偏●

TSLS估計是漸進(jìn)有效的●對于恰好識別方程TSLS估計與間接最小二乘估計結(jié)果是一致的二階段最小二乘法的特性67注意：

運用二階段最小二乘法時應(yīng)關(guān)注簡化型模型的可決系數(shù)：第一段回歸時高，說明很接近若第一段簡化型回歸很低，說明對的代表性不強，很大程度上受隨機分量決定，TSLS估計事實上將無意義68第四節(jié)案例分析

一、模型設(shè)定

采用基于三部門的凱恩斯總需求決定模型，在不考慮進(jìn)出口的條件下，通過消費者、企業(yè)、政府的經(jīng)濟活動，分析總收入的變動對消費和投資的影響。設(shè)理論模型如下：

其中，為支出法GDP，為消費，為投資，為政府支出；內(nèi)生變量為、、，前定變量為，即69

根據(jù)上述理論方程，其結(jié)構(gòu)型的標(biāo)準(zhǔn)形式的系數(shù)矩陣為

由于第一個方程為恒定式，不需要對其識別性進(jìn)行判斷。根據(jù)前面的階條件和秩條件判斷準(zhǔn)則（過程略），消費函數(shù)和投資函數(shù)都是恰好識別，故下面直接采用間接最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計。

二、模型的識別性70年份支出法GDP消費投資政府支出19783605.62239.11377.9480.019794074.02619.41474.2614.019804551.32976.11590.0659.019814901.43309.11581.0705.019825489.23637.91760.2770.019836076.34020.52005.0838.019847164.44694.52468.61020.019858792.15773.03386.01184.0198610132.86542.03846.01367.0198711784.77451.24322.01490.0198814704.09360.15495.01727.01978-2003年中國GDP、消費、投資、財政支出（作為政府支出的替代變量）的數(shù)據(jù):三、模型的估計71198916466.010556.56095.02033.0199018319.511365.26444.02252.0199121280.413145.97517.02830.0199225863.715952.19636.03492.3199334500.720182.114998.04499.7199446690.726796.019260.65986.2199558510.533635.023877.06690.5199668330.440003.926867.27851.6199774894.243579.428457.68724.8199879003.346405.929545.99484.8199982673.149722.730701.610388.3200089340.954600.932499.811705.3200198592.958927.437460.813029.32002107897.662798.542304.913916.92003121511.467442.551382.714764.0722004160956.687552.669168.422334.12005187423.599357.577856.826398.82006222712.5113103.892954.130528.42007266599.2132232.9110943.235900.42008315974.6153422.5138325.341752.12009348775.1169274.8164463.245690.22010402816.5194115.0193603.953356.32011465731.3228561.3225006.763616.173根據(jù)ILS法，首先將結(jié)構(gòu)型模型轉(zhuǎn)變?yōu)楹喕湍Ｐ停簞t結(jié)構(gòu)型模型的系數(shù)與簡化型模型系數(shù)的關(guān)系為：

1.恰好識別方程的ILS估計74用EViews軟件對簡化型模型進(jìn)行估計，結(jié)果如下：75

由于模型是恰好識別的，則由結(jié)構(gòu)型模型系數(shù)與簡化型模型系數(shù)之間