第五章線(xiàn)性系統(tǒng)的頻域分析法第3講

5.3頻率域穩(wěn)定判據(jù)第五章線(xiàn)性系統(tǒng)的頻域分析法使用Nyquist圖和Bode圖判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。一、Nyquist判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)——幅角定理設(shè)復(fù)變函數(shù)①對(duì)s平面上的每一個(gè)點(diǎn)s(復(fù)數(shù)變量)，在F(s)平面上必有一點(diǎn)通過(guò)映射關(guān)系F(s)與之對(duì)應(yīng)。②對(duì)s平面上的任一個(gè)不通過(guò)極點(diǎn)的封閉曲線(xiàn)，在F(s)平面上必有一連續(xù)封閉曲線(xiàn)ΓF通過(guò)映射關(guān)系F(s)與之對(duì)應(yīng)。一、Nyquist判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)——幅角定理設(shè)復(fù)變函數(shù)①對(duì)s平面上的每一個(gè)點(diǎn)s(復(fù)數(shù)變量)，在F(s)平面上必有一點(diǎn)通過(guò)映射關(guān)系F(s)與之對(duì)應(yīng)。②對(duì)s平面上的任一個(gè)不通過(guò)極點(diǎn)的封閉曲線(xiàn)，在F(s)平面上必有一連續(xù)封閉曲線(xiàn)ΓF通過(guò)映射關(guān)系F(s)與之對(duì)應(yīng)。取簡(jiǎn)單的復(fù)變函數(shù)幅角定理：設(shè)s平面閉合曲線(xiàn)包圍F(s)的Z個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn)，則s沿順時(shí)針運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，F(xiàn)(s)平面內(nèi)的閉合曲線(xiàn)ΓF繞原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的圈數(shù)為：R=P-Z說(shuō)明：當(dāng)R>0時(shí)，曲線(xiàn)Γ逆時(shí)針包圍原點(diǎn)；

當(dāng)R<0時(shí)，曲線(xiàn)Γ順時(shí)針包圍原點(diǎn)；當(dāng)R=0時(shí)，曲線(xiàn)Γ不包圍原點(diǎn)。若R=P，即F平面內(nèi)曲線(xiàn)ΓF逆時(shí)針繞原點(diǎn)的圈數(shù)等于F(s)的極點(diǎn)被曲線(xiàn)包圍的個(gè)數(shù)，則內(nèi)沒(méi)有包含F(xiàn)(s)的零點(diǎn)。由幅角定理推導(dǎo)出的重要結(jié)論：1.復(fù)變函數(shù)F(s)的選擇二、如何引入幅角定理

判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定要看閉環(huán)特征方程的特征根在s平面上的分布情況，所以初步選擇為研究對(duì)象。

F(s)的極點(diǎn)=開(kāi)環(huán)傳函的極點(diǎn)；F(s)的零點(diǎn)=閉環(huán)傳函的極點(diǎn)特點(diǎn)：s沿閉合曲線(xiàn)Г運(yùn)動(dòng)一周產(chǎn)生2條曲線(xiàn)，ГF

和ГGH，兩個(gè)曲線(xiàn)相差1。將ГGH曲線(xiàn)沿正實(shí)軸方向移一個(gè)單位，可得ГF。ГF包圍F(s)平面坐標(biāo)原點(diǎn)的圈數(shù)=ГGH包圍(-1，j0)點(diǎn)的圈數(shù)。系統(tǒng)穩(wěn)定←→s平面的右半平面沒(méi)有Φ(s)的極點(diǎn)

←→s平面的右半平面沒(méi)有F(s)的零點(diǎn)

選擇曲線(xiàn)Γ順時(shí)針包圍s的右半平面，由幅角定理推導(dǎo)出的結(jié)論，知：若R=P，即F平面內(nèi)曲線(xiàn)Γ繞原點(diǎn)的逆時(shí)針圈數(shù)等于F(s)的在右半平面的極點(diǎn)數(shù)，則s右半平面內(nèi)沒(méi)有包含F(xiàn)(s)的零點(diǎn)，系統(tǒng)穩(wěn)定。

對(duì)于開(kāi)環(huán)傳函G(s)H(s)，選擇合適的封閉曲線(xiàn)Γ順時(shí)針包圍s的右半平面，如果ГGH在F(s)平面逆時(shí)針包圍(-1，j0)點(diǎn)的圈數(shù)R等于G(s)H(s)的在s平面右半平面極點(diǎn)數(shù)P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。2.S平面內(nèi)閉合曲線(xiàn)Γ的選擇由于ΓF不能通過(guò)F(s)=1+G(s)H(s)的極點(diǎn)，分兩種情況討論。G(s)H(s)無(wú)虛軸上的極點(diǎn)

S平面上的Г由兩部分組成，C1：半徑為∞的右半圓s=Rejq(R→∞，-900≤q≤+900)

；C2：

s平面的整個(gè)虛軸s=j(-∞<<+∞)。C2C1R=∞=C1+C2[s]G(s)H(s)有虛軸上的極點(diǎn)Г在第一種情況的基礎(chǔ)上加上開(kāi)環(huán)虛軸極點(diǎn)：①開(kāi)環(huán)系統(tǒng)含有積分環(huán)節(jié)對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)0在原點(diǎn)附近，取s=εejθ(ε→0+,-900≤θ≤+900)(修正圍線(xiàn)C3)C2C1R=∞=C1+C2+C3C3[s]②開(kāi)環(huán)系統(tǒng)含有等幅振蕩環(huán)節(jié)對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)在附近，取(e→0+,-900≤q≤+900)

(修正圍線(xiàn)C4、C5)C2C1R=∞C4C5=C1+C2+C4+C5[s]討論在s平面當(dāng)s沿運(yùn)動(dòng)時(shí)，通過(guò)復(fù)變函數(shù)G(s)H(s)映射曲線(xiàn)ГGH的情況。3.閉合曲線(xiàn)ГGH的繪制C2C1R=∞=C1+C2[s]G(s)H(s)無(wú)虛軸上的極點(diǎn)(ν=0，0型系統(tǒng))當(dāng)s沿C1順時(shí)針移動(dòng)時(shí)nm時(shí)，上式=0。說(shuō)明C1為FGH為一個(gè)點(diǎn)，對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究沒(méi)有意義。C2C1R=∞=C1+C2[s]當(dāng)s沿C2移動(dòng)，且ω∈[0,∞)時(shí)，ГGH對(duì)應(yīng)開(kāi)環(huán)幅相曲線(xiàn)C2C1R=∞C=C1+C2+C3C3修正圍線(xiàn)C3的映射ГGH為①G(s)H(s)含有積分環(huán)節(jié)[s]G(s)H(s)有虛軸上的極點(diǎn)考慮到半閉合曲線(xiàn)，C3的一半（即θ∈[0,90°]，s∈[j0，j0+]）映射，是從GH(j0+)點(diǎn)逆時(shí)針作半徑無(wú)窮大、圓心角為ν×90°的圓弧。②

G(s)H(s)含有等幅振蕩環(huán)節(jié)4、ГGH包圍(-1,j0)圈數(shù)的計(jì)算三、奈氏判據(jù)奈氏判據(jù)的主要特點(diǎn)有1.根據(jù)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性，來(lái)研究閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性，而不必求閉環(huán)特征根；2.能夠確定系統(tǒng)的穩(wěn)定程度（相對(duì)穩(wěn)定性）；3.可用于分析系統(tǒng)的瞬態(tài)性能，利于對(duì)系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)；4.基于系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)奈氏圖，是一種圖解法。四、奈氏判據(jù)判穩(wěn)實(shí)用步驟1、做常規(guī)開(kāi)環(huán)傳函極坐標(biāo)圖(0+≤≤+∞)；2、從G(j0+)H(j0+)開(kāi)始，逆時(shí)針補(bǔ)畫(huà)一條半徑為∞，圓心角為或的圓??；3、計(jì)算R(按照正負(fù)穿越情況計(jì)算)；4、從G(s)H(s)中找出不穩(wěn)定極點(diǎn)數(shù)P；5、按照奈氏判據(jù)Z=P-R=P-2N，判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例：

一個(gè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

用奈氏穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性系統(tǒng)穩(wěn)定頻率特性沒(méi)有極點(diǎn)位于右半s平面，P=0。例：

系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

五、對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上的Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)

奈氏圖與伯德圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系

開(kāi)環(huán)系統(tǒng)幅相頻率特性與對(duì)數(shù)頻率特性之間存在如下對(duì)應(yīng)關(guān)系:（1）在GH平面上,|GK(j)|=1的單位圓，對(duì)應(yīng)于對(duì)數(shù)幅頻特性的0分貝線(xiàn)；單位圓外部如(-，-1)區(qū)段，對(duì)應(yīng)L(ω)>0dB，單位圓內(nèi)部對(duì)應(yīng)L(ω)<0dB。（2）從對(duì)數(shù)相頻特性來(lái)看,GK(j)平面上的負(fù)實(shí)軸，對(duì)應(yīng)于對(duì)數(shù)相頻特性上的()=-180°。（3）(-1，j0)點(diǎn)的向量表達(dá)式為1∠-180°，對(duì)應(yīng)于伯德圖上穿過(guò)0分貝線(xiàn)，并同時(shí)穿過(guò)()=-180°的點(diǎn)。半對(duì)數(shù)坐標(biāo)下的奈氏回線(xiàn)Г的確定

穿越在伯德圖上的含義系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性L(fǎng)()通過(guò)0分貝線(xiàn)，即L(c)=0或A(c)=1時(shí)的頻率c稱(chēng)為截止頻率。截止頻率c

是分析與設(shè)計(jì)時(shí)的重要參數(shù)。相當(dāng)于穿越負(fù)實(shí)軸上的一點(diǎn)（1）穿越：在L(ω)>0dB的頻率范圍內(nèi)，相頻特性曲線(xiàn)穿過(guò)-180°；在L(ω)<0dB的頻率范圍內(nèi)，相頻特性曲線(xiàn)穿過(guò)-180°不是穿越。正負(fù)（2）正穿越N+

：產(chǎn)生正的相位移，這時(shí)，相頻特性應(yīng)由下部向上穿越-180°線(xiàn)。（3）負(fù)穿越N-：產(chǎn)生負(fù)的相位移，這時(shí)，相頻特性應(yīng)由上部向下穿越-180°線(xiàn)。正、負(fù)穿越的定義和前面的定義實(shí)際上是一致的。正負(fù)奈氏判據(jù)在極坐標(biāo)圖和對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上的表現(xiàn)形式的對(duì)比極坐標(biāo)圖負(fù)實(shí)軸(-∞,1)對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖j(w)=-1800

L(w)>00-1800

-3600

N-N+第三象限第二象限對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上R的計(jì)算方法：在20lgA(w)>0的頻段內(nèi)，相頻特性j(w)穿越-1800次數(shù)的2倍。0-p

N-N+-1

j(w)從-p線(xiàn)出發(fā)時(shí)，計(jì)做半次穿越。s/rad0.11100.01s/rad0.11100.01-2700-3600-1800-900002040-20-40輔助線(xiàn)N-N+注意：當(dāng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)含有積分環(huán)節(jié)時(shí)，對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線(xiàn)上w為0+處，用虛線(xiàn)向上增補(bǔ)n個(gè)900角。[例]設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下，系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線(xiàn)如圖所示，試判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解：由系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可知，開(kāi)環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即P=0，在L(ω)>0dB的頻率范圍內(nèi)，相頻特性曲線(xiàn)(