第五章機(jī)械波

教學(xué)基本要求一掌握描述簡諧波的各物理量及各量間的關(guān)系；二理解機(jī)械波產(chǎn)生的條件.掌握由已知質(zhì)點(diǎn)的簡諧運(yùn)動方程得出平面簡諧波的波函數(shù)的方法.理解波函數(shù)的物理意義.了解波的能量傳播特征及能流、能流密度概念.三了解惠更斯原理和波的疊加原理.理解波的相干條件，能應(yīng)用相位差和波程差分析、確定相干波疊加后振幅加強(qiáng)和減弱的條件；

四理解駐波及其形成，了解駐波和行波的區(qū)別；五了解機(jī)械波的多普勒效應(yīng)及其產(chǎn)生的原因.在波源或觀察者沿二者連線運(yùn)動的情況下，能計(jì)算多普勒頻移.波動：一定的擾動的傳播。兩類波的不同之處機(jī)械波的傳播需有傳播振動的介質(zhì);電磁波的傳播可不需介質(zhì).能量傳播反射折射干涉衍射兩類波的共同特征5-1機(jī)械波的產(chǎn)生機(jī)械波電磁波波動機(jī)械擾動在介質(zhì)中的傳播.交變電磁場在空間的傳播.物質(zhì)波波源介質(zhì)+彈性作用機(jī)械波一機(jī)械波的形成產(chǎn)生條件：1）波源2）連續(xù)彈性介質(zhì).★波是運(yùn)動狀態(tài)的傳播，介質(zhì)的質(zhì)點(diǎn)并不隨波傳播.機(jī)械波：機(jī)械擾動在介質(zhì)中的傳播.橫波：質(zhì)點(diǎn)振動方向與波的傳播方向相垂直的波.（僅在固體中傳播，由于切變）二橫波與縱波

特征：具有交替出現(xiàn)的波峰和波谷.縱波：質(zhì)點(diǎn)振動方向與波的傳播方向互相平行的波.（可在固體、液體和氣體中傳播，由于容變）特征：具有交替出現(xiàn)的密部和疏部.三波線波面波前*球面波平面波波前波面波線各質(zhì)點(diǎn)相對平衡位置的位移波線上各質(zhì)點(diǎn)所在位置簡諧波：在均勻的、無吸收的介質(zhì)中，波源作簡諧運(yùn)動時(shí)，在介質(zhì)中所形成的波.一平面簡諧波的波函數(shù)平面簡諧波：波面為平面的簡諧波.介質(zhì)中任一質(zhì)點(diǎn)（坐標(biāo)為x）相對其平衡位置的位移（坐標(biāo)為y）隨時(shí)間的變化關(guān)系，即稱為波函數(shù).5-2平面簡諧波及其特征量點(diǎn)O的振動狀態(tài)點(diǎn)Pt時(shí)刻點(diǎn)P的運(yùn)動t-x/u時(shí)刻點(diǎn)O的運(yùn)動以速度u沿x軸正向傳播的平面簡諧波.令原點(diǎn)O的初相為零，其振動方程點(diǎn)P

振動方程時(shí)間推遲方法沿

軸負(fù)向

點(diǎn)O

振動方程

波函數(shù)沿軸正向

O如果原點(diǎn)的初相位不為零二波速波的周期和頻率波長波速：波動過程中，某一振動狀態(tài)（即振動相位）單位時(shí)間內(nèi)所傳播的距離（相速）.★波速只決定于媒質(zhì)的性質(zhì)！波速與介質(zhì)的性質(zhì)有關(guān)，

為介質(zhì)的密度.如聲音的傳播速度空氣，常溫左右，混凝土橫波固體縱波液、氣體切變模量彈性模量體積模量◆物體的彈性形變彈性形變：物體在一定限度的外力作用下形狀和體積發(fā)生改變，當(dāng)外力撤去后，物體的形狀和體積能完全恢復(fù)原狀的形變。(1)長變在彈性限度范圍內(nèi)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比(2)切變相對面發(fā)生相對滑移在彈性限度范圍內(nèi)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比(3)容變在彈性限度范圍內(nèi)，壓強(qiáng)的改變與容變應(yīng)變的大小成正比

周期：既質(zhì)點(diǎn)簡諧振動的周期

頻率：周期的倒數(shù)★

周期或頻率只決定于波源的振動!

波長：沿波的傳播方向，兩個(gè)相鄰的、相位差為的振動質(zhì)點(diǎn)之間的距離，即一個(gè)完整波形的長度.OyAA-解析：

波矢

k：波速(相速):群速:能量的傳播速度(不講)宏觀波相速:群速:色散:波速與波長有關(guān)的現(xiàn)象ω與k的依賴關(guān)系ω（k）稱為色散關(guān)系若波速ω/k是常數(shù)，說明沒有色散(光)聲波是典型的無色散波波函數(shù)的其它形式平面波的波動特征方程沿x方向傳播的平面波動特征方程（坐標(biāo)與時(shí)間的關(guān)系）求t的二階導(dǎo)數(shù)求x的二階導(dǎo)數(shù)質(zhì)點(diǎn)的振動速度，加速度三波函數(shù)的物理意義1當(dāng)x

固定時(shí)，波函數(shù)表示該點(diǎn)的簡諧運(yùn)動方程，并給出該點(diǎn)與點(diǎn)O

振動的相位差.（波具有時(shí)間的周期性）波線上各點(diǎn)的簡諧運(yùn)動圖（波具有空間的周期性）2當(dāng)一定時(shí)，波函數(shù)表示該時(shí)刻波線上各點(diǎn)相對其平衡位置的位移，即此刻的波形.波程差OO

3若均變化，波函數(shù)表示波形沿傳播方向的運(yùn)動情況（行波）.

時(shí)刻時(shí)刻

例1

已知波動方程如下，求波長、周期和波速.解：方法一（比較系數(shù)法）.把題中波動方程改寫成比較得例2

已知波動方程如下，求波長、周期和波速.解：方法二（由各物理量的定義解之）.周期為相位傳播一個(gè)波長所需的時(shí)間波長是指同一時(shí)刻，波線上相位差為的兩點(diǎn)間的距離.1）波動方程

例3一平面簡諧波沿Ox軸正方向傳播，已知振幅，，.在時(shí)坐標(biāo)原點(diǎn)處的質(zhì)點(diǎn)位于平衡位置沿Oy

軸正方向運(yùn)動.求解寫出波動方程的標(biāo)準(zhǔn)式O2）求波形圖.波形方程o2.01.0-1.0

時(shí)刻波形圖3）

處質(zhì)點(diǎn)的振動規(guī)律并做圖.

處質(zhì)點(diǎn)的振動方程01.0-1.02.0O1234******1234處質(zhì)點(diǎn)的振動曲線1.0

例4一平面簡諧波以速度沿直線傳播,波線上點(diǎn)A的簡諧運(yùn)動方程.1）以A

為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波動方程ABCD5m9m8m2）以B

為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波動方程ABCD5m9m8m3）寫出傳播方向上點(diǎn)C、點(diǎn)D的簡諧運(yùn)動方程ABCD5m9m8m點(diǎn)C的相位比點(diǎn)A超前點(diǎn)D的相位落后于點(diǎn)A4）分別求出BC

，CD

兩點(diǎn)間的相位差A(yù)BCD5m9m8m

1）給出下列波函數(shù)所表示的波的傳播方向和

點(diǎn)的初相位.

2）平面簡諧波的波函數(shù)為式中為正常數(shù)，求波長、波速、波傳播方向上相距為的兩點(diǎn)間的相位差.討論:向x軸正向傳播向x軸負(fù)向傳播

3）如圖簡諧波以余弦函數(shù)表示，求O、a、b、c

各點(diǎn)振動初相位.Oabct=T/4t=0OOOO四波動能量的傳播媒質(zhì)中質(zhì)點(diǎn)在平衡位置附近振動，具有振動動能.介質(zhì)發(fā)生形變，因而具有彈性勢能.xOxO以固體棒中傳播的縱波為例分析波動能量的傳播.（一）波的能量振動動能xOxO胡克定律：彈性勢能xOxO體積元的總機(jī)械能(1)固定x(2)固定tdWp均隨t周期變化dWk、dW

p均隨x周期變化dWk、y=0、dWp最大dWky最大、dWp為0dWk★物理意義oyxwkwpt=t0u(1/4)2A2yx=x0otTwkwp(1/4)2A2討論:體積元在平衡位置時(shí)，動能、勢能和總機(jī)械能均最大.體積元的位移最大時(shí)，三者均為零.

1）在波動傳播的媒質(zhì)中，任一體積元的動能、勢能、總機(jī)械能均隨作周期性變化，且變化是同相位的.定量分析：速度最大時(shí)：質(zhì)點(diǎn)過平衡位置時(shí)動能最大.此時(shí)的相對形變（應(yīng)變）也最大！同理可證：質(zhì)元?jiǎng)幽茏钚r(shí)，勢能也最小。質(zhì)元的相對位移小（周圍的質(zhì)元位移都大）（左側(cè)質(zhì)元位移向上，右側(cè)質(zhì)元位移向下。）質(zhì)元的相對位移大

2）任一體積元都在不斷地接收和放出能量，即不斷地傳播能量.任一體積元的機(jī)械能不守恒.波動是能量傳遞的一種方式.能量密度：單位體積介質(zhì)中的波動能量.平均能量密度：能量密度在一個(gè)周期內(nèi)的平均值.平均能量密度:一個(gè)周期內(nèi)能量密度的平均值。（二）波的能流和能流密度能流：單位時(shí)間內(nèi)垂直通過某一面積的能量.平均能流：能流密度:通過垂直于波傳播方向的單位面積的能流.udtS平均能流密度(波的強(qiáng)度)：例:試證明在均勻不吸收能量的媒質(zhì)中傳播的平面波在行進(jìn)方向上振幅不變，球面波的振幅與離波源的距離成反比。分析平面波和球面波的振幅證明：在一個(gè)周期T內(nèi)通過S1和S2面的能量應(yīng)該相等所以,平面波振幅相等。對平面波：所以振幅與離波源的距離成反比。如果距波源單位距離的振幅為A則距波源r處的振幅為A/r由于振動的相位隨距離的增加而落后的關(guān)系，與平面波類似，球面簡諧波的波函數(shù)：對球面波：★波的吸收(不講)波在實(shí)際介質(zhì)中，由于波動能量總有一部分會被介質(zhì)吸收，波的機(jī)械能不斷減少，波強(qiáng)亦逐漸減弱。波通過厚度為dx的介質(zhì)，其振幅衰減量為-dA波強(qiáng)的衰減規(guī)律：球面波平面波

介質(zhì)中波動傳播到的各點(diǎn)都可以看作是發(fā)射子波的波源，而在其后的任意時(shí)刻，這些子波的包絡(luò)就是新的波前.（只解決方向，未解決強(qiáng)度）一惠更斯原理O5-3惠更斯原理波的衍射

波的衍射

水波通過狹縫后的衍射波在傳播過程中遇到障礙物時(shí)，能繞過障礙物的邊緣，在障礙物的陰影區(qū)內(nèi)繼續(xù)傳播.二波的衍射N界面三波的反射和折射RN界面IL用惠更斯原理證明.2）1）反射線、入射線和界面的法線在同一平面內(nèi)；反射定律i

i

i

A1A2A3B2B3B1NNAId時(shí)刻tB2B3B1NNAIBL時(shí)刻t+△t波的折射用惠更斯原理證明.時(shí)刻ti

i

i

A1A2A3B2B3B1NNAIdⅠⅡ1）折射線、入射線和界面的法線在同一平面內(nèi)；2）N界面RN界面IL時(shí)刻t+△tⅠⅡB2B3B1NNAIBRi

i

i

A1A2A3B2B3B1NNAIdⅠⅡⅠⅡ時(shí)刻t時(shí)刻t+△tB2B3B1NNAIBR所以一波的疊加原理1幾列波相遇之后，仍然保持它們各自原有的特征（頻率、波長、振幅、振動方向等）不變，并按照原來的方向繼續(xù)前進(jìn)，好象沒有遇到過其他波一樣.2在相遇區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的振動，為各列波單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)所引起的振動位移的矢量和.5-4波的疊加原理波的干涉頻率相同、振動方向平行、相位相同或相位差恒定的兩列波相遇時(shí)，使某些地方振動始終加強(qiáng)，而使另一些地方振動始終減弱的現(xiàn)象，稱為波的干涉現(xiàn)象.二波的干涉*波源振動點(diǎn)P的兩個(gè)分振動1）頻率相同；2）振動方向平行；3）相位相同或相位差恒定.★波的相干條件*點(diǎn)P的兩個(gè)分振動常量討論:1)合振動的振幅（波的強(qiáng)度）在空間各點(diǎn)的分布隨位置而變，但是穩(wěn)定的.其他振動始終加強(qiáng)振動始終減弱2)波程差若則振動始終減弱振動始終加強(qiáng)其他3)例如圖所示，A、B兩點(diǎn)為同一介質(zhì)中兩相干波源.其振幅皆為5cm，頻率皆為100Hz，但當(dāng)點(diǎn)A為波峰時(shí)，點(diǎn)B適為波谷.設(shè)波速為10m/s，試寫出由A、B發(fā)出的兩列波傳到點(diǎn)P

時(shí)干涉的結(jié)果.解15m20mABP設(shè)A

的相位較B

超前，則.點(diǎn)P合振幅一駐波的產(chǎn)生

振幅、頻率、傳播速度都相同的兩列相干波，在同一直線上沿相反方向傳播時(shí)疊加而形成的一種特殊的干涉現(xiàn)象.5-5駐波駐波的形成駐波的振幅與位置有關(guān)二駐波方程正向負(fù)向各質(zhì)點(diǎn)都在作同頻率的簡諧運(yùn)動駐波方程討論:10波腹波節(jié)相鄰波腹（節(jié)）間距

相鄰波腹和波節(jié)間距

1）振幅隨x

而異，與時(shí)間無關(guān).

2）相鄰兩波節(jié)之間質(zhì)點(diǎn)振動同相位，任一波節(jié)兩側(cè)振動相位相反，在波節(jié)處產(chǎn)生的相位躍變.（與行波不同，無相位的傳播）.為波節(jié)例C三半波反射和全波反射實(shí)驗(yàn)1）：反射點(diǎn)為固定端CCC’Cbaa質(zhì)點(diǎn)b要帶動a向上運(yùn)動b卻受一反作用力C’給C一作用力,C’不動，而給C一反作用力，使C’點(diǎn)產(chǎn)生一向下的反向位移。CCu好有一比！結(jié)論；作為反射波的波源C’點(diǎn)的位移總是與入射波在C’點(diǎn)的位移反向。--半波反射。解釋：Cuu半波損失半波反射e’在反射點(diǎn)C’：入射波在C’點(diǎn)的振動方程：反射波在P點(diǎn)的振動方程C’其實(shí)質(zhì)是：入射波在C’引起的振動與反射波在C’引起的振動反相（相位差）實(shí)驗(yàn)2）：反射點(diǎn)自由端（全波反射）uua質(zhì)點(diǎn)b要帶動a向上運(yùn)動b卻受一反作用力解釋：CbauuC’C’給C一作用力,C’象其它質(zhì)點(diǎn)一樣向上產(chǎn)生一位移，此位移便是反射波的波源振動Cuu全波反射CC’其實(shí)質(zhì)是：入射波在C’引起的振動與反射波在C’引起的振動同相（無相位差）在反射點(diǎn)C’：入射波在C’點(diǎn)的振動方程：反射波在P點(diǎn)的振動方程反射波透射波入射波一般言之：（特殊情況）分別為兩種媒質(zhì)的密度和波在兩種媒（質(zhì)中傳播的速度。）若若（從波疏介質(zhì)進(jìn)入波密介質(zhì)）稱為半波反射（從波密介質(zhì)進(jìn)入波疏介質(zhì)）稱為全波反射若介質(zhì)的波阻抗z

處處相同，則對波的傳播來說，介質(zhì)是均勻的。一個(gè)機(jī)械波在無限大的均勻介質(zhì)中傳播時(shí)是不會發(fā)生反射的，但遇到兩介質(zhì)的分界面，由于兩者的波阻抗不同，就會在介面處發(fā)生波的反射和折射。對于垂直入射的情況，從理論上可得到入射波i

，反射波r

和折射波t

在界面點(diǎn)的位移yi、yr

和yt

之間有如下關(guān)系：OBB12x作定性分析：●，均勻的介質(zhì)中不會發(fā)生波的反射?！瘢喈?dāng)于介質(zhì)2是一種剛性壁，這種情況發(fā)生“半波損失”，一般只要，有此現(xiàn)象發(fā)生?！?，例如一根棒，它的一端是自由的，即置于真空或空氣中，這種情況發(fā)生全波反射，一般只要，有此現(xiàn)象發(fā)生。此外怎樣理解？折射波的強(qiáng)度可見折射波事實(shí)上是不存在的，由這一點(diǎn)可推斷，在波的反射和折射中保持守恒關(guān)系的是波的強(qiáng)度：，而不是波的振幅。注意：如果波不是垂直入射到介質(zhì)界面，情況就要復(fù)雜得多，結(jié)論也不是如此簡單。波密介質(zhì)較大波疏介質(zhì)較小四駐波的能量駐波的能量在相鄰的波腹和波節(jié)間往復(fù)變化，在相鄰的波節(jié)間發(fā)生動能和勢能間的轉(zhuǎn)換，動能主要集中在波腹，勢能主要集中在波節(jié)，但無長距離的能量傳播.ABC波節(jié)波腹位移最大時(shí)平衡位置時(shí)入射波+反射波，平均能流為0Xy當(dāng)波節(jié)點(diǎn)間質(zhì)點(diǎn)振幅最大時(shí)：ABXyAB勢能曲線動能曲線當(dāng)質(zhì)點(diǎn)到達(dá)平衡位置時(shí)：能量在節(jié)點(diǎn)附近的質(zhì)點(diǎn)與腹點(diǎn)附近的質(zhì)點(diǎn)間交換與轉(zhuǎn)移五振動的簡正模式(不講)應(yīng)滿足，由此頻率兩端固定的弦線形成駐波時(shí)，波長和弦線長決定的各種振動方式稱為弦線振動的簡正模式.兩端固定的弦振動的簡正模式一端固定一端自由的弦振動的簡正模式頻率

波速

基頻

諧頻

解：弦兩端為固定點(diǎn)，是波節(jié).千斤碼子

如圖二胡弦長，張力.密度討論:.求弦所發(fā)的聲音的基頻和諧頻.在彈性介質(zhì)中傳播的機(jī)械縱波，一般統(tǒng)稱為聲波.

可聞聲波20~20000Hz次聲波低于20Hz超聲波高于20000Hz聲強(qiáng)：聲波的平均能流密度.貝爾（B）聲強(qiáng)級：人們規(guī)定聲強(qiáng)（即相當(dāng)于頻率為1000Hz

的聲波能引起聽覺的最弱的聲強(qiáng)）為測定聲強(qiáng)的標(biāo)準(zhǔn).如某聲波的聲強(qiáng)為I，則比值的對數(shù)，叫做相應(yīng)于I的聲強(qiáng)級LI

.聲強(qiáng)：聲波的平均能流密度.能夠引起人們聽覺的聲強(qiáng)范圍：分貝（dB

）聲源聲強(qiáng)W/m2聲強(qiáng)級dB響度引起痛覺的聲音1120鉆巖機(jī)或鉚釘機(jī)10-2100震耳交通繁忙的街道10-570響通常的談話10-660正常耳語10-1020輕樹葉的沙沙聲10-1110極輕引起聽覺的最弱聲音10-120幾種聲音近似的聲強(qiáng)、聲強(qiáng)級和響度發(fā)射頻率接收頻率人耳聽到的聲音的頻率與聲源的頻率相同嗎？接收頻率——單位時(shí)間內(nèi)觀測者接收到的振動次數(shù)或完整波數(shù).討論:只有波源與觀察者相對靜止時(shí)才相等.5-6多普勒效應(yīng)一波源不動，觀察者相對介質(zhì)以速度運(yùn)動觀察者接收的頻率觀察者向波源運(yùn)動觀察者遠(yuǎn)離波源二觀察者不動，波源相對介質(zhì)以速度勻速運(yùn)動波源向觀察者運(yùn)動觀察者接收的頻率波源遠(yuǎn)離觀察者三波源與觀察者同時(shí)相對介質(zhì)運(yùn)動觀察者向波源運(yùn)動+，遠(yuǎn)離.波源向觀察者運(yùn)動，遠(yuǎn)離+.波的傳播方向、波源速度、觀察者速度三者不共線的一般情況需討論瞬時(shí)過程若波源與觀察者不沿二者連線運(yùn)動機(jī)械波有縱向多普勒效應(yīng)無橫向多普勒效應(yīng)在相對論中，除縱向外，還有橫向多普勒效應(yīng)多普勒效應(yīng)的公式中只出現(xiàn)觀察者對波源的相對速度v五電磁波的多普勒效應(yīng)六多普勒效應(yīng)的應(yīng)用5）衛(wèi)星跟蹤系統(tǒng)等.1）交通上測量車速；2）醫(yī)學(xué)上用于測量血流速度；3）天文學(xué)家利用電磁波紅移說明大爆炸理論；4）用于貴重物品、機(jī)密室的防盜系統(tǒng)；四沖