第五章機(jī)械波

教學(xué)基本要求一掌握描述簡(jiǎn)諧波的各物理量及各量間的關(guān)系；二理解機(jī)械波產(chǎn)生的條件.掌握由已知質(zhì)點(diǎn)的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程得出平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)的方法.理解波函數(shù)的物理意義.了解波的能量傳播特征及能流、能流密度概念.三了解惠更斯原理和波的疊加原理.理解波的相干條件，能應(yīng)用相位差和波程差分析、確定相干波疊加后振幅加強(qiáng)和減弱的條件；

四理解駐波及其形成，了解駐波和行波的區(qū)別；五了解機(jī)械波的多普勒效應(yīng)及其產(chǎn)生的原因.在波源或觀察者沿二者連線運(yùn)動(dòng)的情況下，能計(jì)算多普勒頻移.波動(dòng)：一定的擾動(dòng)的傳播。兩類波的不同之處機(jī)械波的傳播需有傳播振動(dòng)的介質(zhì);電磁波的傳播可不需介質(zhì).能量傳播反射折射干涉衍射兩類波的共同特征5-1機(jī)械波的產(chǎn)生機(jī)械波電磁波波動(dòng)機(jī)械擾動(dòng)在介質(zhì)中的傳播.交變電磁場(chǎng)在空間的傳播.物質(zhì)波波源介質(zhì)+彈性作用機(jī)械波一機(jī)械波的形成產(chǎn)生條件：1）波源2）連續(xù)彈性介質(zhì).★波是運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的傳播，介質(zhì)的質(zhì)點(diǎn)并不隨波傳播.機(jī)械波：機(jī)械擾動(dòng)在介質(zhì)中的傳播.橫波：質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向與波的傳播方向相垂直的波.（僅在固體中傳播，由于切變）二橫波與縱波

特征：具有交替出現(xiàn)的波峰和波谷.縱波：質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向與波的傳播方向互相平行的波.（可在固體、液體和氣體中傳播，由于容變）特征：具有交替出現(xiàn)的密部和疏部.三波線波面波前*球面波平面波波前波面波線各質(zhì)點(diǎn)相對(duì)平衡位置的位移波線上各質(zhì)點(diǎn)所在位置簡(jiǎn)諧波：在均勻的、無(wú)吸收的介質(zhì)中，波源作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，在介質(zhì)中所形成的波.一平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)平面簡(jiǎn)諧波：波面為平面的簡(jiǎn)諧波.介質(zhì)中任一質(zhì)點(diǎn)（坐標(biāo)為x）相對(duì)其平衡位置的位移（坐標(biāo)為y）隨時(shí)間的變化關(guān)系，即稱為波函數(shù).5-2平面簡(jiǎn)諧波及其特征量點(diǎn)O的振動(dòng)狀態(tài)點(diǎn)Pt時(shí)刻點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)t-x/u時(shí)刻點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)以速度u沿x軸正向傳播的平面簡(jiǎn)諧波.令原點(diǎn)O的初相為零，其振動(dòng)方程點(diǎn)P

振動(dòng)方程時(shí)間推遲方法沿

軸負(fù)向

點(diǎn)O

振動(dòng)方程

波函數(shù)沿軸正向

O如果原點(diǎn)的初相位不為零二波速波的周期和頻率波長(zhǎng)波速：波動(dòng)過(guò)程中，某一振動(dòng)狀態(tài)（即振動(dòng)相位）單位時(shí)間內(nèi)所傳播的距離（相速）.★波速只決定于媒質(zhì)的性質(zhì)！波速與介質(zhì)的性質(zhì)有關(guān)，

為介質(zhì)的密度.如聲音的傳播速度空氣，常溫左右，混凝土橫波固體縱波液、氣體切變模量彈性模量體積模量◆物體的彈性形變彈性形變：物體在一定限度的外力作用下形狀和體積發(fā)生改變，當(dāng)外力撤去后，物體的形狀和體積能完全恢復(fù)原狀的形變。(1)長(zhǎng)變?cè)趶椥韵薅确秶鷥?nèi)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比(2)切變相對(duì)面發(fā)生相對(duì)滑移在彈性限度范圍內(nèi)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比(3)容變?cè)趶椥韵薅确秶鷥?nèi)，壓強(qiáng)的改變與容變應(yīng)變的大小成正比

周期：既質(zhì)點(diǎn)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期

頻率：周期的倒數(shù)★

周期或頻率只決定于波源的振動(dòng)!

波長(zhǎng)：沿波的傳播方向，兩個(gè)相鄰的、相位差為的振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)之間的距離，即一個(gè)完整波形的長(zhǎng)度.OyAA-解析：

波矢

k：波速(相速):群速:能量的傳播速度(不講)宏觀波相速:群速:色散:波速與波長(zhǎng)有關(guān)的現(xiàn)象ω與k的依賴關(guān)系ω（k）稱為色散關(guān)系若波速ω/k是常數(shù)，說(shuō)明沒(méi)有色散(光)聲波是典型的無(wú)色散波波函數(shù)的其它形式平面波的波動(dòng)特征方程沿x方向傳播的平面波動(dòng)特征方程（坐標(biāo)與時(shí)間的關(guān)系）求t的二階導(dǎo)數(shù)求x的二階導(dǎo)數(shù)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度，加速度三波函數(shù)的物理意義1當(dāng)x

固定時(shí)，波函數(shù)表示該點(diǎn)的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程，并給出該點(diǎn)與點(diǎn)O

振動(dòng)的相位差.（波具有時(shí)間的周期性）波線上各點(diǎn)的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖（波具有空間的周期性）2當(dāng)一定時(shí)，波函數(shù)表示該時(shí)刻波線上各點(diǎn)相對(duì)其平衡位置的位移，即此刻的波形.波程差OO

3若均變化，波函數(shù)表示波形沿傳播方向的運(yùn)動(dòng)情況（行波）.

時(shí)刻時(shí)刻

例1

已知波動(dòng)方程如下，求波長(zhǎng)、周期和波速.解：方法一（比較系數(shù)法）.把題中波動(dòng)方程改寫成比較得例2

已知波動(dòng)方程如下，求波長(zhǎng)、周期和波速.解：方法二（由各物理量的定義解之）.周期為相位傳播一個(gè)波長(zhǎng)所需的時(shí)間波長(zhǎng)是指同一時(shí)刻，波線上相位差為的兩點(diǎn)間的距離.1）波動(dòng)方程

例3一平面簡(jiǎn)諧波沿Ox軸正方向傳播，已知振幅，，.在時(shí)坐標(biāo)原點(diǎn)處的質(zhì)點(diǎn)位于平衡位置沿Oy

軸正方向運(yùn)動(dòng).求解寫出波動(dòng)方程的標(biāo)準(zhǔn)式O2）求波形圖.波形方程o2.01.0-1.0

時(shí)刻波形圖3）

處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律并做圖.

處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程01.0-1.02.0O1234******1234處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線1.0

例4一平面簡(jiǎn)諧波以速度沿直線傳播,波線上點(diǎn)A的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程.1）以A

為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波動(dòng)方程ABCD5m9m8m2）以B

為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波動(dòng)方程ABCD5m9m8m3）寫出傳播方向上點(diǎn)C、點(diǎn)D的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程ABCD5m9m8m點(diǎn)C的相位比點(diǎn)A超前點(diǎn)D的相位落后于點(diǎn)A4）分別求出BC

，CD

兩點(diǎn)間的相位差A(yù)BCD5m9m8m

1）給出下列波函數(shù)所表示的波的傳播方向和

點(diǎn)的初相位.

2）平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)為式中為正常數(shù)，求波長(zhǎng)、波速、波傳播方向上相距為的兩點(diǎn)間的相位差.討論:向x軸正向傳播向x軸負(fù)向傳播

3）如圖簡(jiǎn)諧波以余弦函數(shù)表示，求O、a、b、c

各點(diǎn)振動(dòng)初相位.Oabct=T/4t=0OOOO四波動(dòng)能量的傳播媒質(zhì)中質(zhì)點(diǎn)在平衡位置附近振動(dòng)，具有振動(dòng)動(dòng)能.介質(zhì)發(fā)生形變，因而具有彈性勢(shì)能.xOxO以固體棒中傳播的縱波為例分析波動(dòng)能量的傳播.（一）波的能量振動(dòng)動(dòng)能xOxO胡克定律：彈性勢(shì)能xOxO體積元的總機(jī)械能(1)固定x(2)固定tdWp均隨t周期變化dWk、dW

p均隨x周期變化dWk、y=0、dWp最大dWky最大、dWp為0dWk★物理意義oyxwkwpt=t0u(1/4)2A2yx=x0otTwkwp(1/4)2A2討論:體積元在平衡位置時(shí)，動(dòng)能、勢(shì)能和總機(jī)械能均最大.體積元的位移最大時(shí)，三者均為零.

1）在波動(dòng)傳播的媒質(zhì)中，任一體積元的動(dòng)能、勢(shì)能、總機(jī)械能均隨作周期性變化，且變化是同相位的.定量分析：速度最大時(shí)：質(zhì)點(diǎn)過(guò)平衡位置時(shí)動(dòng)能最大.此時(shí)的相對(duì)形變（應(yīng)變）也最大！同理可證：質(zhì)元?jiǎng)幽茏钚r(shí)，勢(shì)能也最小。質(zhì)元的相對(duì)位移小（周圍的質(zhì)元位移都大）（左側(cè)質(zhì)元位移向上，右側(cè)質(zhì)元位移向下。）質(zhì)元的相對(duì)位移大

2）任一體積元都在不斷地接收和放出能量，即不斷地傳播能量.任一體積元的機(jī)械能不守恒.波動(dòng)是能量傳遞的一種方式.能量密度：?jiǎn)挝惑w積介質(zhì)中的波動(dòng)能量.平均能量密度：能量密度在一個(gè)周期內(nèi)的平均值.平均能量密度:一個(gè)周期內(nèi)能量密度的平均值。（二）波的能流和能流密度能流：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)垂直通過(guò)某一面積的能量.平均能流：能流密度:通過(guò)垂直于波傳播方向的單位面積的能流.udtS平均能流密度(波的強(qiáng)度)：例:試證明在均勻不吸收能量的媒質(zhì)中傳播的平面波在行進(jìn)方向上振幅不變，球面波的振幅與離波源的距離成反比。分析平面波和球面波的振幅證明：在一個(gè)周期T內(nèi)通過(guò)S1和S2面的能量應(yīng)該相等所以,平面波振幅相等。對(duì)平面波：所以振幅與離波源的距離成反比。如果距波源單位距離的振幅為A則距波源r處的振幅為A/r由于振動(dòng)的相位隨距離的增加而落后的關(guān)系，與平面波類似，球面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)：對(duì)球面波：★波的吸收(不講)波在實(shí)際介質(zhì)中，由于波動(dòng)能量總有一部分會(huì)被介質(zhì)吸收，波的機(jī)械能不斷減少，波強(qiáng)亦逐漸減弱。波通過(guò)厚度為dx的介質(zhì)，其振幅衰減量為-dA波強(qiáng)的衰減規(guī)律：球面波平面波

介質(zhì)中波動(dòng)傳播到的各點(diǎn)都可以看作是發(fā)射子波的波源，而在其后的任意時(shí)刻，這些子波的包絡(luò)就是新的波前.（只解決方向，未解決強(qiáng)度）一惠更斯原理O5-3惠更斯原理波的衍射

波的衍射

水波通過(guò)狹縫后的衍射波在傳播過(guò)程中遇到障礙物時(shí)，能繞過(guò)障礙物的邊緣，在障礙物的陰影區(qū)內(nèi)繼續(xù)傳播.二波的衍射N界面三波的反射和折射RN界面IL用惠更斯原理證明.2）1）反射線、入射線和界面的法線在同一平面內(nèi)；反射定律i

i

i

A1A2A3B2B3B1NNAId時(shí)刻tB2B3B1NNAIBL時(shí)刻t+△t波的折射用惠更斯原理證明.時(shí)刻ti

i

i

A1A2A3B2B3B1NNAIdⅠⅡ1）折射線、入射線和界面的法線在同一平面內(nèi)；2）N界面RN界面IL時(shí)刻t+△tⅠⅡB2B3B1NNAIBRi

i

i

A1A2A3B2B3B1NNAIdⅠⅡⅠⅡ時(shí)刻t時(shí)刻t+△tB2B3B1NNAIBR所以一波的疊加原理1幾列波相遇之后，仍然保持它們各自原有的特征（頻率、波長(zhǎng)、振幅、振動(dòng)方向等）不變，并按照原來(lái)的方向繼續(xù)前進(jìn)，好象沒(méi)有遇到過(guò)其他波一樣.2在相遇區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的振動(dòng)，為各列波單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)所引起的振動(dòng)位移的矢量和.5-4波的疊加原理波的干涉頻率相同、振動(dòng)方向平行、相位相同或相位差恒定的兩列波相遇時(shí)，使某些地方振動(dòng)始終加強(qiáng)，而使另一些地方振動(dòng)始終減弱的現(xiàn)象，稱為波的干涉現(xiàn)象.二波的干涉*波源振動(dòng)點(diǎn)P的兩個(gè)分振動(dòng)1）頻率相同；2）振動(dòng)方向平行；3）相位相同或相位差恒定.★波的相干條件*點(diǎn)P的兩個(gè)分振動(dòng)常量討論:1)合振動(dòng)的振幅（波的強(qiáng)度）在空間各點(diǎn)的分布隨位置而變，但是穩(wěn)定的.其他振動(dòng)始終加強(qiáng)振動(dòng)始終減弱2)波程差若則振動(dòng)始終減弱振動(dòng)始終加強(qiáng)其他3)例如圖所示，A、B兩點(diǎn)為同一介質(zhì)中兩相干波源.其振幅皆為5cm，頻率皆為100Hz，但當(dāng)點(diǎn)A為波峰時(shí)，點(diǎn)B適為波谷.設(shè)波速為10m/s，試寫出由A、B發(fā)出的兩列波傳到點(diǎn)P

時(shí)干涉的結(jié)果.解15m20mABP設(shè)A

的相位較B

超前，則.點(diǎn)P合振幅一駐波的產(chǎn)生

振幅、頻率、傳播速度都相同的兩列相干波，在同一直線上沿相反方向傳播時(shí)疊加而形成的一種特殊的干涉現(xiàn)象.5-5駐波駐波的形成駐波的振幅與位置有關(guān)二駐波方程正向負(fù)向各質(zhì)點(diǎn)都在作同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)駐波方程討論:10波腹波節(jié)相鄰波腹（節(jié)）間距

相鄰波腹和波節(jié)間距

1）振幅隨x

而異，與時(shí)間無(wú)關(guān).

2）相鄰兩波節(jié)之間質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)同相位，任一波節(jié)兩側(cè)振動(dòng)相位相反，在波節(jié)處產(chǎn)生的相位躍變.（與行波不同，無(wú)相位的傳播）.為波節(jié)例C三半波反射和全波反射實(shí)驗(yàn)1）：反射點(diǎn)為固定端CCC’Cbaa質(zhì)點(diǎn)b要帶動(dòng)a向上運(yùn)動(dòng)b卻受一反作用力C’給C一作用力,C’不動(dòng)，而給C一反作用力，使C’點(diǎn)產(chǎn)生一向下的反向位移。CCu好有一比！結(jié)論；作為反射波的波源C’點(diǎn)的位移總是與入射波在C’點(diǎn)的位移反向。--半波反射。解釋：Cuu半波損失半波反射e’在反射點(diǎn)C’：入射波在C’點(diǎn)的振動(dòng)方程：反射波在P點(diǎn)的振動(dòng)方程C’其實(shí)質(zhì)是：入射波在C’引起的振動(dòng)與反射波在C’引起的振動(dòng)反相（相位差）實(shí)驗(yàn)2）：反射點(diǎn)自由端（全波反射）uua質(zhì)點(diǎn)b要帶動(dòng)a向上運(yùn)動(dòng)b卻受一反作用力解釋：CbauuC’C’給C一作用力,C’象其它質(zhì)點(diǎn)一樣向上產(chǎn)生一位移，此位移便是反射波的波源振動(dòng)Cuu全波反射CC’其實(shí)質(zhì)是：入射波在C’引起的振動(dòng)與反射波在C’引起的振動(dòng)同相（無(wú)相位差）在反射點(diǎn)C’：入射波在C’點(diǎn)的振動(dòng)方程：反射波在P點(diǎn)的振動(dòng)方程反射波透射波入射波一般言之：（特殊情況）分別為兩種媒質(zhì)的密度和波在兩種媒（質(zhì)中傳播的速度。）若若（從波疏介質(zhì)進(jìn)入波密介質(zhì)）稱為半波反射（從波密介質(zhì)進(jìn)入波疏介質(zhì)）稱為全波反射若介質(zhì)的波阻抗z

處處相同，則對(duì)波的傳播來(lái)說(shuō)，介質(zhì)是均勻的。一個(gè)機(jī)械波在無(wú)限大的均勻介質(zhì)中傳播時(shí)是不會(huì)發(fā)生反射的，但遇到兩介質(zhì)的分界面，由于兩者的波阻抗不同，就會(huì)在介面處發(fā)生波的反射和折射。對(duì)于垂直入射的情況，從理論上可得到入射波i

，反射波r

和折射波t

在界面點(diǎn)的位移yi、yr

和yt

之間有如下關(guān)系：OBB12x作定性分析：●，均勻的介質(zhì)中不會(huì)發(fā)生波的反射?！瘢喈?dāng)于介質(zhì)2是一種剛性壁，這種情況發(fā)生“半波損失”，一般只要，有此現(xiàn)象發(fā)生?！瘢缫桓?，它的一端是自由的，即置于真空或空氣中，這種情況發(fā)生全波反射，一般只要，有此現(xiàn)象發(fā)生。此外怎樣理解？折射波的強(qiáng)度可見(jiàn)折射波事實(shí)上是不存在的，由這一點(diǎn)可推斷，在波的反射和折射中保持守恒關(guān)系的是波的強(qiáng)度：，而不是波的振幅。注意：如果波不是垂直入射到介質(zhì)界面，情況就要復(fù)雜得多，結(jié)論也不是如此簡(jiǎn)單。波密介質(zhì)較大波疏介質(zhì)較小四駐波的能量駐波的能量在相鄰的波腹和波節(jié)間往復(fù)變化，在相鄰的波節(jié)間發(fā)生動(dòng)能和勢(shì)能間的轉(zhuǎn)換，動(dòng)能主要集中在波腹，勢(shì)能主要集中在波節(jié)，但無(wú)長(zhǎng)距離的能量傳播.ABC波節(jié)波腹位移最大時(shí)平衡位置時(shí)入射波+反射波，平均能流為0Xy當(dāng)波節(jié)點(diǎn)間質(zhì)點(diǎn)振幅最大時(shí)：ABXyAB勢(shì)能曲線動(dòng)能曲線當(dāng)質(zhì)點(diǎn)到達(dá)平衡位置時(shí)：能量在節(jié)點(diǎn)附近的質(zhì)點(diǎn)與腹點(diǎn)附近的質(zhì)點(diǎn)間交換與轉(zhuǎn)移五振動(dòng)的簡(jiǎn)正模式(不講)應(yīng)滿足，由此頻率兩端固定的弦線形成駐波時(shí)，波長(zhǎng)和弦線長(zhǎng)決定的各種振動(dòng)方式稱為弦線振動(dòng)的簡(jiǎn)正模式.兩端固定的弦振動(dòng)的簡(jiǎn)正模式一端固定一端自由的弦振動(dòng)的簡(jiǎn)正模式頻率

波速

基頻

諧頻

解：弦兩端為固定點(diǎn)，是波節(jié).千斤碼子

如圖二胡弦長(zhǎng)，張力.密度討論:.求弦所發(fā)的聲音的基頻和諧頻.在彈性介質(zhì)中傳播的機(jī)械縱波，一般統(tǒng)稱為聲波.

可聞聲波20~20000Hz次聲波低于20Hz超聲波高于20000Hz聲強(qiáng)：聲波的平均能流密度.貝爾（B）聲強(qiáng)級(jí)：人們規(guī)定聲強(qiáng)（即相當(dāng)于頻率為1000Hz

的聲波能引起聽(tīng)覺(jué)的最弱的聲強(qiáng)）為測(cè)定聲強(qiáng)的標(biāo)準(zhǔn).如某聲波的聲強(qiáng)為I，則比值的對(duì)數(shù)，叫做相應(yīng)于I的聲強(qiáng)級(jí)LI

.聲強(qiáng)：聲波的平均能流密度.能夠引起人們聽(tīng)覺(jué)的聲強(qiáng)范圍：分貝（dB

）聲源聲強(qiáng)W/m2聲強(qiáng)級(jí)dB響度引起痛覺(jué)的聲音1120鉆巖機(jī)或鉚釘機(jī)10-2100震耳交通繁忙的街道10-570響通常的談話10-660正常耳語(yǔ)10-1020輕樹(shù)葉的沙沙聲10-1110極輕引起聽(tīng)覺(jué)的最弱聲音10-120幾種聲音近似的聲強(qiáng)、聲強(qiáng)級(jí)和響度發(fā)射頻率接收頻率人耳聽(tīng)到的聲音的頻率與聲源的頻率相同嗎？接收頻率——單位時(shí)間內(nèi)觀測(cè)者接收到的振動(dòng)次數(shù)或完整波數(shù).討論:只有波源與觀察者相對(duì)靜止時(shí)才相等.5-6多普勒效應(yīng)一波源不動(dòng)，觀察者相對(duì)介質(zhì)以速度運(yùn)動(dòng)觀察者接收的頻率觀察者向波源運(yùn)動(dòng)觀察者遠(yuǎn)離波源二觀察者不動(dòng)，波源相對(duì)介質(zhì)以速度勻速運(yùn)動(dòng)波源向觀察者運(yùn)動(dòng)觀察者接收的頻率波源遠(yuǎn)離觀察者三波源與觀察者同時(shí)相對(duì)介質(zhì)運(yùn)動(dòng)觀察者向波源運(yùn)動(dòng)+，遠(yuǎn)離.波源向觀察者運(yùn)動(dòng)，遠(yuǎn)離+.波的傳播方向、波源速度、觀察者速度三者不共線的一般情況需討論瞬時(shí)過(guò)程若波源與觀察者不沿二者連線運(yùn)動(dòng)機(jī)械波有縱向多普勒效應(yīng)無(wú)橫向多普勒效應(yīng)在相對(duì)論中，除縱向外，還有橫向多普勒效應(yīng)多普勒效應(yīng)的公式中只出現(xiàn)觀察者對(duì)波源的相對(duì)速度v五電磁波的多普勒效應(yīng)六多普勒效應(yīng)的應(yīng)用5）衛(wèi)星跟蹤系統(tǒng)等.1）交通上測(cè)量車速；2）醫(yī)學(xué)上用于測(cè)量血流速度；3）天文學(xué)家利用電磁波紅移說(shuō)明大爆炸理論；4）用于貴重物品、機(jī)密室的防盜系統(tǒng)；四沖