實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)建模

實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)建模第一頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日

在現(xiàn)實(shí)世界里，事物之間存在著廣泛的聯(lián)系，許多聯(lián)系可以用函數(shù)刻畫(huà)。第二頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日1.了解數(shù)學(xué)建模，掌握根據(jù)已知條件建立函數(shù)關(guān)系式的方法.(重點(diǎn))2.增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.(難點(diǎn))第三頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日問(wèn)題1

當(dāng)人的生活環(huán)境溫度改變時(shí)，人體代謝率也有相應(yīng)的變化，表中給出了實(shí)驗(yàn)的一組數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)能說(shuō)明什么？環(huán)境溫度/（oC）410203038代謝率/[4185J/（h·m2）]60444040.554第四頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日解析：在這個(gè)實(shí)際問(wèn)題中出現(xiàn)了兩個(gè)變量：一個(gè)是環(huán)境溫度；另一個(gè)是人體的代謝率。不難看出，對(duì)于每一個(gè)環(huán)境溫度都有唯一的人體代謝率與之對(duì)應(yīng)，這就決定了一個(gè)函數(shù)關(guān)系。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)已經(jīng)給出了幾個(gè)特殊環(huán)境溫度時(shí)的人體代謝率，為了使函數(shù)關(guān)系更直觀，我們將表中的每一對(duì)實(shí)驗(yàn)值在直角坐標(biāo)系中表示出來(lái)。在醫(yī)學(xué)研究中，為了方便，常用折線把它們連接起來(lái)。/（℃）/[4185J/(h·m2)]3840第五頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日

根據(jù)圖像，可以看出下列性質(zhì)：（1）代謝率曲線在小于20oC的范圍內(nèi)是下降的，在大于30oC的范圍內(nèi)是上升的；（2）環(huán)境溫度在20oC～30oC時(shí)，代謝率較低，并且較穩(wěn)定，即溫度變化時(shí)，代謝率變化不大；（3）環(huán)境溫度太低或太高時(shí)，它對(duì)代謝率有較大影響.

所以，臨床上做“基礎(chǔ)代謝率”測(cè)定時(shí)，室溫要保持在20～30oC之間，這樣可以使環(huán)境溫度的影響最小.通過(guò)圖像，更好地把握環(huán)境溫度與人體代謝關(guān)系第六頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日問(wèn)題2

某廠生產(chǎn)一種暢銷(xiāo)的新型工藝品，為此更新專(zhuān)用設(shè)備和制作模具花去了200000元，生產(chǎn)每件工藝品的直接成本為300元，每件工藝品的售價(jià)為500元，產(chǎn)量x對(duì)總成本C、單位成本P、銷(xiāo)售收入R以及利潤(rùn)L之間存在什么樣的函數(shù)關(guān)系？表示了什么實(shí)際含義？第七頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日解：總成本C與產(chǎn)量x的關(guān)系C=200000+300x；單位成本P與產(chǎn)量x的關(guān)系P=300+200000/x；銷(xiāo)售收入R與產(chǎn)量x的關(guān)系R=500x；利潤(rùn)L與產(chǎn)量x的關(guān)系

L=R-C=200x-200000。以上各式建立的是函數(shù)關(guān)系。

第八頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日（1）從利潤(rùn)關(guān)系式可見(jiàn)，希望有較大利潤(rùn)應(yīng)增加產(chǎn)量。若x<1000,則要虧損；若x=1000

，則利潤(rùn)為零；若x>1000，則可盈利.

(2)從單位成本P與產(chǎn)量x的關(guān)系P=300+200000/x

可見(jiàn)，為了降低成本，應(yīng)增加產(chǎn)量，以形成規(guī)模效益。第九頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日【提升總結(jié)】解決應(yīng)用題的一般程序是：①審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系；②建模：將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；③解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；④還原：將用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法得出的結(jié)論，還原到實(shí)際問(wèn)題．第十頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)建模過(guò)程：實(shí)際問(wèn)題抽象概括數(shù)學(xué)模型推理演算數(shù)學(xué)模型的解還原說(shuō)明實(shí)際問(wèn)題的解第十一頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日思考：（1）總費(fèi)用由哪些部分組成？（2）每一部分費(fèi)用的表達(dá)式是什么？例1某公司一年需要一種計(jì)算機(jī)元件8000個(gè),每天需同樣多的元件用于組裝整機(jī).該元件每年分n次進(jìn)貨,每次購(gòu)買(mǎi)元件的數(shù)量均為x,購(gòu)一次貨需手續(xù)費(fèi)500元.已購(gòu)進(jìn)而未使用的元件要付庫(kù)存費(fèi),可以認(rèn)為平均庫(kù)存量為x件,每個(gè)元件的庫(kù)存費(fèi)是一年2元.請(qǐng)核算一下,每年進(jìn)貨幾次花費(fèi)最小?第十二頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日分析：1.每次進(jìn)貨量x與進(jìn)貨次數(shù)n的關(guān)系：2.進(jìn)貨次數(shù)為：3.全年的手續(xù)費(fèi)是：4.一年的總庫(kù)存費(fèi)為：5.其他費(fèi)用：（C為常數(shù)）(n≥1,n∈z)第十三頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日即n=4時(shí),總費(fèi)用最少，故以每年進(jìn)貨4次為宜.令總費(fèi)用為F≥4000+C，當(dāng)且僅當(dāng)，第十四頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日例2電聲器材廠在生產(chǎn)揚(yáng)聲器的過(guò)程中，有一道重要的工序：使用AB膠黏合揚(yáng)聲器中的磁鋼與夾板.長(zhǎng)期以來(lái),由于對(duì)AB膠的用量沒(méi)有一個(gè)確定的標(biāo)準(zhǔn),經(jīng)常出現(xiàn)用膠過(guò)多,膠水外溢;或用膠過(guò)少,產(chǎn)生脫膠,影響了產(chǎn)品質(zhì)量.經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn),已有一些恰當(dāng)用膠量的具體數(shù)據(jù)如表.序號(hào)12345678910磁鋼面積/cm211.019.426.246.656.667.2125.2189.0247.1443.4用膠量/g0.1640.3960.4040.6640.8120.9721.6882.864.0767.332第十五頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日現(xiàn)在需要提出一個(gè)既科學(xué)又簡(jiǎn)便的方法來(lái)確定磁鋼面積與用膠量的關(guān)系思考如下問(wèn)題：（1）磁鋼面積與用膠量之間是否具有函數(shù)關(guān)系？用什么方法可以確定他們是什么函數(shù)關(guān)系？（2）在確定函數(shù)類(lèi)型后，如何求出具體的函數(shù)解析式？第十六頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日解：以磁鋼面積x為橫坐標(biāo)、用膠量y為縱坐標(biāo),建立直角坐標(biāo)系.根據(jù)上表數(shù)據(jù)描點(diǎn).01234567850100150200250300350400450500x/cm2y/gy/gy/g根據(jù)點(diǎn)的分布特點(diǎn),用y=ax+b表示其關(guān)系第十七頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日取點(diǎn)(56.6,0.812),(189.0,2.86)代入y=ax+b,得方程組:解得：a=0.01547,b=-0.06350這條直線是

y=0.01547x-0.06350注：取不同的點(diǎn)代入會(huì)得到不同直線，要注意檢驗(yàn)是否符合實(shí)際問(wèn)題。第十八頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)據(jù)擬合:

通過(guò)一些數(shù)據(jù)尋求事物規(guī)律，往往是通過(guò)繪出這些數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，觀察這些點(diǎn)的整體特征，看它們接近我們熟悉的哪一種函數(shù)圖像，選定函數(shù)形式后，將一些數(shù)據(jù)代入這個(gè)函數(shù)的一般表達(dá)式，求出具體的函數(shù)表達(dá)式，再做必要的檢驗(yàn)，基本符合實(shí)際，就可以確定這個(gè)函數(shù)基本反映了事物規(guī)律，這種方法稱(chēng)為數(shù)據(jù)擬合.第十九頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日實(shí)際數(shù)據(jù)畫(huà)出散點(diǎn)圖選擇函數(shù)模型求出函數(shù)模型檢驗(yàn)用函數(shù)模型解答實(shí)際問(wèn)題不合乎實(shí)際合乎實(shí)際【提升總結(jié)】數(shù)據(jù)擬合過(guò)程：第二十頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如下表：身高/cm60708090100110體重/kg6.137.909.9912.1515.0217.50身高/cm120130140150160170體重/kg20.9226.8631.1138.8547.2555.05(1)根據(jù)表提供的數(shù)據(jù),能否建立一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型,使它能近似地反映這個(gè)地區(qū)未成年男性體重y㎏與身高x㎝的函數(shù)關(guān)系?試寫(xiě)出這個(gè)函數(shù)模型的關(guān)系式.【變式練習(xí)】第二十一頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日解：以身高為橫坐標(biāo)、體重為縱坐標(biāo),畫(huà)出散點(diǎn)圖根據(jù)圖的分布特點(diǎn),設(shè)y=a·bx這一函數(shù)來(lái)近似刻畫(huà)其關(guān)系;y/kgx/cm第二十二頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日取兩點(diǎn)(70,7.90),(160,47.25),代入y=a·bx

得：用計(jì)算器得：a2,b1.02這樣就得到函數(shù)模型：y=21.02x.第二十三頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日(2)若體重超過(guò)相同身高男性體重的平均值的1.2倍為偏胖,低于0.8倍為偏瘦,那么這個(gè)地區(qū)一名身高為175㎝,體重為78㎏的在校男生的體重是否正常?解析:

將x=175代入y=21.02x，得y=21.02175用計(jì)算器得：y63.98由于7863.981.22>1.2,所以這個(gè)男生偏胖。第二十四頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日1.一家旅社有100間相同的客房，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的經(jīng)營(yíng)實(shí)踐,旅社經(jīng)理發(fā)現(xiàn)，每間客房每天的價(jià)格與住房率之間有如下關(guān)系：每間每天房?jī)r(jià)住房率20元18元16元14元65％75％85％95％要使每天收入達(dá)到最高，每間定價(jià)應(yīng)為（）A.20元B.18元C.16元D.14元C第二十五頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日2.將進(jìn)貨單價(jià)為80元的商品按90元一個(gè)售出時(shí)，能賣(mài)出400個(gè)，已知這種商品每個(gè)漲價(jià)1元，其銷(xiāo)售量就減少20個(gè)，為了取得最大利潤(rùn)，每個(gè)售價(jià)應(yīng)定為()A.95元B.100元C.105元D.110元A第二十六頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日3.某廠一月份的產(chǎn)值為15萬(wàn)元，第一季度的總產(chǎn)值是95萬(wàn)元，設(shè)月平均增長(zhǎng)率為x，則可列方程為（）A.95=15（1+x）2B.15（1+x）3=95C.15（1+x）+15（1+x）2=95D.15+15（1+x）+15（1+x）2=95解析：二月份的產(chǎn)值為：15（1+x），三月份的產(chǎn)值為：15（1+x）（1+x）=15（1+x）2，故由第一季度總產(chǎn)值為95，得15+15（1+x）+15（1+x）2=95．D第二十七頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日4.某工廠今年1月、2月、3月生產(chǎn)某產(chǎn)品分別為1萬(wàn)件、1.2萬(wàn)件