實驗人口預測與數據擬合

實驗人口預測與數據擬合第一頁，共三十三頁，2022年，8月28日實驗13人口預測與數據擬合2、了解利用最小二乘法進行數據擬合的基本思想，掌握用數據擬合法尋找最佳擬合曲線的方法。3、了解多元函數的極值在數據擬合法中的應用。實驗目的1、學會用MATLAB軟件進行數據擬合。4、通過對實際問題進行分析研究，初步掌握建立數據擬合數學模型的方法。第二頁，共三十三頁，2022年，8月28日據人口統(tǒng)計年鑒，知我國從1949年至1994年人口數據資料如下：(人口數單位為：百萬)（1）在直角坐標系上作出人口數的圖象。（2）建立人口數與年份的函數關系，并估算1999年的人口數。實驗問題年份

1949

1954

1959

1964

1969

人口數

541.67

602.66

672.09704.99

806.71

年份1974

1979

1984

1989

1994人口數

908.59

975.421034.75

1106.76

1176.74

第三頁，共三十三頁，2022年，8月28日如何確定a,b?線性模型第四頁，共三十三頁，2022年，8月28日1、曲線擬合問題的提法:

已知一組（二維）數據，即平面上的n個點),(iiyx，

ixni,,,2,1L=互不相同，尋求一個函數（曲線）)(xfy=，使)(xf在某種準則下與所有數據點最為接近，即曲線擬合得最好，如圖:

xy0++++++++一、曲線擬合確定f(x)使得

達到最小

最小二乘準則

第五頁，共三十三頁，2022年，8月28日數據插值已知一組（二維）數據，即平面上的n個點),(iiyx，

ixni,,,2,1L=互不相同，尋求一個函數（曲線）)(xfy=

數據插值第六頁，共三十三頁，2022年，8月28日２、用什么樣的曲線擬合已知數據?擬合基函數：１．畫圖觀察；２．理論分析指數函數類：

冪函數類：

擬合函數：——多項式擬合—指數函數擬合三角函數類：

擬合函數確定后，問題轉化為最小值問題：第七頁，共三十三頁，2022年，8月28日３、擬合函數組中系數的確定第八頁，共三十三頁，2022年，8月28日MATLAB中的數據擬合命令簡單使用格式：X=lsqcurvefir(@fun,x0,xdata,ydata);[X,res]=lsqcurvefir(fun,x0,xdata,ydata);功能：對數據xdata,ydata按函數fun(文件)，以x0為初值做最小二乘擬合。返回fun中的系數向量和殘差平方和的范數。曲線擬合：lsqcurvefit第九頁，共三十三頁，2022年，8月28日曲線擬合舉例例：已知觀測數據如下表所示求最小二乘意義的曲線f(x)擬合，其中：X00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0Y3.13.273.814.55.1867.058.569.6911.2513.17第十頁，共三十三頁，2022年，8月28日實驗過程：編寫擬合函數文件：functionf=nihefun(x,xdata)f=x(1)*exp(xdata)+x(2)*xdata.^2+x(3)*xdata.^3保存為nihefun.m編寫下面的程序：——sy09_01.mxdata=0:0.1:1;ydata=[3.13.273.814.55.1867.058.56…9.6911.2513.17];x0=[000];[x,resn]=lsqcurvefit(@nihefun,x0,xdata,ydata)

xdata=0:0.01:1;nihef=x(1)*exp(xdata)+x(2)*xdata.^2+x(3)*xdata.^3;pauseplot(xdata,nihef)

第十一頁，共三十三頁，2022年，8月28日第十二頁，共三十三頁，2022年，8月28日MATLAB中的數據擬合命令簡單使用格式：p=polyfit(xdata,ydata,m);

功能：對xdata,ydata用m次多項式擬合。

返回：擬合多項式的系數向量p。（從高到低）y0=polyval(p,x0)可以求得多項式在x0處的值。由于高次多項式曲線變化不穩(wěn)定，所以多項式次數的選取不宜過高。

多項式擬合：polyfit第十三頁，共三十三頁，2022年，8月28日多項式擬合舉例例：已知觀測數據如下表所示分別用3次和6次多項式擬合這些數據點。X00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0Y-.4471.9783.286.167.087.347.669.569.489.311.2第十四頁，共三十三頁，2022年，8月28日實驗過程：編寫下面的程序：——sy09_02.m

x=0:0.1:1;

y=[-0.4471.9783.286.167.087.347.66…9.569.489.311.2];plot(x,y,’k.’,’markersize’,25);p3=polyfit(x,y,3);p6=polyfit(x,y,6);

t=0:0.01:1.2;s=polyval(p3,t);s1=polyval(p6,t);holdonplot(t,s,’k-’,’linewidth’,2)plot(t,s1,’k--’,’linewidth’,2)gridon

第十五頁，共三十三頁，2022年，8月28日第十六頁，共三十三頁，2022年，8月28日二、人口預測線性模型

對于開始提出的實驗問題，代入數據，計算得從而得到人口數與年份的函數關系為把x=1999代如，估算出1999年的人口數為y=1252.1（百萬）＝12.52億1999年實際人口數量為１２.６億。線性預測模型第十七頁，共三十三頁，2022年，8月28日英國人口學家Malthus根據百余年的人口統(tǒng)計資料，于1798年提出了著名的人口自然增長的指數增長模型。三、人口預測的Malthus模型基本假設

:人口(相對)增長率r

是常數x(t)~時刻t的人口,t=0時人口數為x0指數增長模型實際中，常用第十八頁，共三十三頁，2022年，8月28日1.由前100年的數據求出美國的人口增長Malthus模型。2.預測后100年（每隔10年）的人口狀況。3.根據預測的人口狀況和實際的人口數量,討論人口模型的改進情況。美國1790年－1980年每隔10年的人口記錄226.5204.0179.3150.7131.7123.2106.592.076.062.9人口(百萬)1980197019601950194019301920191019001890年份50.238.631.423.217.112.99.67.25.33.9人口(百萬)1880187018601850184018301820181018001790年份例１第十九頁，共三十三頁，2022年，8月28日解：取得最小值.其中,表示人口數量。表示年份,解方程組:即得參數的值.使得問題轉化為求參數第二十頁，共三十三頁，2022年，8月28日％sy09_3.m%%Thisprogramistopredictthenumberofpopulation%formatlongt1=[1790;1800;1810;1820;1830;1840;1850;1860;1870;1880];t2=[1890;1900;1910;1920;1930;1940;1950;1960;1970;1980];x1=[3.9;5.3;7.2;9.6;12.9;17.1;23.2;31.4;38.6;50.2];x2=[62.9;76.0;92.0;106.5;123.2;131.7;150.7;179.3;204.0;226.5];lnx1=log(x1);lnx2=log(x2);第二十一頁，共三十三頁，2022年，8月28日a12=sum(t1);a11=10;a21=a12;a22=sum(t1.^2);d1=sum(lnx1);d2=sum(lnx1.*t1);

A=[a11,a12;a21,a22];D=[d1;d2];

ab=inv(A)*D;

disp('a=');disp(ab(1));

disp('b=');disp(ab(2));

fori=1:10

xx1(i)=exp(ab(1)+ab(2)*t1(i));

end

fori=1:10

xx2(i)=exp(ab(1)+ab(2)*t2(i));

end

plot(t1,x1,'r*--',t1,xx1,'b+-',t2,x2,'g*--',t2,xx2,'m+-');

第二十二頁，共三十三頁，2022年，8月28日a=-49.79535457790735b=0.02859807120038擬合結果表明：人口的指數模型在短期內基本上能比較準確地反映人口自然增長的規(guī)律，但長期預測誤差很大，需要修正預測模型。擬合曲線原始數據曲線第二十三頁，共三十三頁，2022年，8月28日四、人口預測的Logistic模型如果人口的增長符合Malthus模型，則人口增長到一定數量后，增長率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用1838年，荷蘭生物學家Verhulst對Malthus模型作了進一步分析后指出：導致上述不符合實際情況的主要原因是未能考慮“密度制約”因素。即最終導致地球上人口爆炸，這與實際是不相符的。且阻滯作用隨人口數量增加而變大r是x的減函數第二十四頁，共三十三頁，2022年，8月28日假設r~固有增長率(x很小時)k~人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數量）第二十五頁，共三十三頁，2022年，8月28日例2中國人口預測yearpopupopu_fit19718.5238.61919728.7188.76019738.9218.90119749.0869.04219759.2429.18319769.3729.32419779.4979.46619789.6269.60719799.7549.74919809.8719.890198110.00710.031198210.16510.172yearpopupopu_fit198310.30110.313198410.43610.453198510.58510.593198610.75110.732198710.93010.871198811.10311.009198911.27011.147199011.43311.284第二十六頁，共三十三頁，2022年，8月28日中國人口Logistic模型—zgrk_lgstic.mclear;clc;clfloadzgrk_data;k=19;cpopu1=1./cpopu-1/k;n=15;a=sum(year(1:n));b=sum(year(1:n).*year(1:n));c=sum(log(cpopu1(1:n)));d=sum(year(1:n).*log(cpopu1(1:n)));A=[na;ab];B=[c;d];p=inv(A)*Bx=1971:2006;y=1./(1/k+exp(p(1)+p(2)*x));cpopu_new=[11.582,11.717,11.852,11.985,12.112,12.239,...

12.363,12.476,12.519,12.634,12.763,12.845,12.923,...

12.999,13.076,13.145];cpoputj=[cpopu,cpopu_new];

scatter(x,cpoputj,'k*')axis([19712010615]);grid;holdon；plot(x,y,'r-','linewidth',2)fprintf('yearpopupopu_fit\n');fori=1:20year=i+1970;fprintf('%6.0f%8.3f%8.3f\n',year,cpoputj(i),y(i))endfprintf('==============\n');fprintf('yearopu_tjpopu_pred\n');fori=21:36year=i+1970;fprintf('%6.0f%8.3f%8.3f\n',year,cpoputj(i),y(i));end第二十七頁，共三十三頁，2022年，8月28日中國人口預測的Logistic模型結果：假設中國人口容納量為19億時，Logistic模型為：年份201020152020人口數（億）13.798914.342214.8458第二十八頁，共三十三頁，2022年，8月28日多項式擬合人口模型——sy09_04.m%Thisprogramistopredictthemodelofpopulationby4-degreepolynomial%%prog42.m%formatlongt1=[1790;1800;1810;1820;1830;1840;1850;1860;1870;1880];t2=[1890;1900;1910;1920;1930;1940;1950;1960;1970;1980];t=[t1;t2];P1=[3.9;5.3;7.2;9.6;12.9;17.1;23.2;31.4;38.6;50.2];P2=[62.9;76.0;92.0;106.5;123.2;131.7;150.7;179.3;204.0;226.5];P=[P1;P2];n=4;%Thedegreeofthefittingpolynomial%[a,s]=polyfit(t1,P1,n);y=polyval(a,t);%aisthecoefficientsvectorfromn-degreeto0-degree%plot(t,P,'r*--',t,y,'b+-');第二十九頁，共三十三頁，2022年，8月28日a=1.0e+006*-0.00000000