專題14 切線的性質和判定 (解析版)

專題14切線的性質和判定V考綱要求:1．掌握判定直線與圓相切的方法，并能運用直線與圓相切的方法進行計算與證明．.1?切線的定義般地，當直線與圓有唯公共點時，叫直線與圓相切，其中的直線叫做圓的切線，唯一的公共點叫切點.2?切線的性質切線與圓只有一個公共點.切線到圓心的距離等于圓的半徑.切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.3?切線的判定與圓只有一個公共點的直線是圓的切線(定義法).到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線.經(jīng)過半徑外端點并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.基礎知識回顧2.掌握直線與圓相切的性質，并能運用直線與圓相切的性質進行計算與證明..V應用舉例:2.掌握直線與圓相切的性質，并能運用直線與圓相切的性質進行計算與證明..V應用舉例:招數(shù)一、利用切線進行證明和計算【例1】如圖，五邊形ABCDE內接于O，CF與O相切于點C，父AB延長線于點F-（1）若AE=DC，ZE=ZBCD，求證：DE=BC；;2）若2）若OB=2，AB=BD=DA，ZF=45。，求CF的長.【答案】(1)見解析；(2)2+5【解析】(1)證明：AE=DCAE=DC，ADE=ZDBC??ZADE=ZDBC在AADE和ADBC中，＜ZE=ZBCDAE=DCADE=ADBC(AAS)DE=BC(2)解：連接CO并延長交AB于G，作OH丄AB于H，如圖所示:則ZOHG=ZOHB=90。CF與O相切于點C，.ZFCG=90。ZF=4g，.ACFG、AOGH是等腰直角三角形，CF=CG，OG=.;2OH??AB=BD=DA.AABD是等邊三角形，.??ZABD=60。，.ZOBH=30。OH=10B=1，???OG=、込2CF=CG=OC+OG=2+42招數(shù)二、添加輔助線法:通常利用添加輔助線來輔助證明圓的切線【例2】如圖，AB、AC分別是?0的直徑和弦，0D丄AC于點D.過點A作?0的切線與0D的延長線交于點P,PC、AB的延長線交于點F.求證：PC是?0的切線；若ZABC=60°,AB=10，求線段CF的長.【答案】（1）見解析；⑵5二解析】（1）連接OC，TOD丄AC,0D經(jīng)過圓心0,???AD=CD,???PA=PC,在厶OAP和厶OCP中，0A=0CT=PC,'OP=OP???△OAP竺AOCP(SSS),???Z0CP=Z0APTPA是?0的切線，???Z0AP=90°.???Z0CP=90°,即OC丄PC,???PC是?0的切線.(2)T0B=0C,Z0BC=60°,???△OBC是等邊三角形，???ZC0B=60°,TAB=1O,?.OC=5,由(1)知ZOCF=90°,?°?CF=0CtanZC0B=5，..了.招數(shù)三、切線的性質和判定的綜合應用【例3】如圖，在—二二中，〔為三〔上一點，以U為圓心，二長為半徑作圓，與二相切于點［，過點?作二-二:交弐的延長線于點［:,且二二二求證：三三為「疔的切線；若M 二二=二，求二;的長.【答案】⑴證明見解析；(2)【解析】(1)作OE丄AB于點E,???：0切BC于點C,???OC丄BC,ZACB=90°,???AD丄BD,???ZD=90°,???ZABD+ZBAD=90°,ZCBD+ZBOC=90°,VZBOC=ZAOD,ZAOD=ZBAD,?ZBOC=ZBAD,?ZABD=ZCBDr^OEA=^OCE在△08。和厶OBE中;叢町=&BD,、OB=OB?△OBC^^OBE,???OE=OC,???OE是?O的半徑,TOE丄AB,???AB為?O的切線；(2)TtanZABC=:,BC=6,.?.AC=8,???AB=⑺—P=」：,TBE二BC=6,???AE=4,???ZAOE=ZABC,???tanZAOE寺七‘???E°=3,???AO=5,OC=3BO=匚—子=3T,在^AOD和gOC中t益二兗，???△AODs^boc呂,KLFbC*lLi即土二生，??.AD三衛(wèi).二方法、規(guī)律歸納：切線的判定方法有三種：①利用切線的定義，即與圓只有一個公共點的直線是圓的切線；②到圓心距離等于半徑的直線是圓的切線；③經(jīng)過半徑的外端，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.證明一條直線為圓的切線時，必須兩個條件缺一不可：①過半徑外端點；②垂直于這條半徑.常用輔助線的添加方法：①有切點連圓心，證垂直；②無切點作垂直，證相等.利用切線的性質構造直角三角形,利用直角三角形的性質（勾股定理、三角函數(shù)等）進行計算.U實戰(zhàn)演練：1?如圖，等邊三角形ABC的邊長為8,以BC上一點O為圓心的圓分別與邊AB,AC相切，則@0的半徑為（）【解析】?@0與AB,AC相切，???0D丄AB,0E丄AC,又???OD=OE,???ZDAO=ZEAO,又???AB=AC,???B0=C0,???ZDA0=30°,B0=4,?°?OD=OAtanZDAO=訂3OA,又：?在RtAAOB中，AO八AB2-OB2=4*3??OD=2<3，故選A.2?如圖，AB為?0的直徑，點P為AB延長線上的一點，過點P作?0的切線PE,切點為M,過A、B兩點分別作PE的垂線AC、BD,垂足分別為C、D,連接AM,則下列結論正確的是 .（寫出所有正確結論的序號）AM平分ZCAB；AM2=AC?AB；血若AB=4,ZAPE=30°，則bm的長為一；3若AC=3,BD=1,則有CM二DMfW.【答案】①②④【解析】連接0M,BM???PE是?0的切線，???0M丄PE.?.?AC丄PE,???AC〃OM,???ZCAM=ZAMO.V0A=0M,AZAM0=ZMA0,AZCAM=ZMA0.

?AM平分ZCAB.選項①正確；?AB為直徑，???ZAMB=90°=ZACM.-ZCAM=ZMAO,???AAMCsAABM.ac_am.AM2=AC?AB.選項②正確；?ZP=30°,?ZM0P=60°.?AB=4,???半徑r=2.7 60kx22選項③錯誤；?/ _ _—兀選項③錯誤；bm180 3?BD〃OM〃AC,0A=0B,CM=MD．?ZCAM+ZAMC=90°,ZAMC+ZBMD=90°,AZCAM=ZBMD.?ZACM=ZBDM=90°,???AACMsAMDB.AccM _ .??CM?DM=3X1=3.dmbdCM二DM=7?.選項④正確；綜上所述，結論正確的有①②④.如圖，RtAABC中，ZC=90°,AC=12，點D在邊BC上,CD=5,BD=13.點P是線段AD上一動點，當半徑為6的°卩與4ABC的一邊相切時，AP的長為 .【答案】13或3訂32【解析】半徑為6的二卩與厶ABC的一邊相切，可能與AC,BC,AB相切，故分類討論：當二P與AC相切時，點P到AC的距離為6,但點P在線段AD上運動，距離最大在點D處取到，為5，故這種情況不存在;當P與AC相切時，點P到BC的距離為6,如圖PE=6,PE丄AC，???PEACD的中位線，點P為AD中點，???AP=1ad=13?22'當P與AB相切時，點P到AB的距離為6,即PF=6,PF丄AB,過點D作DG丄AB于點G,???△APFsAADGsAABC,???pF=ACAPAB'其中，PF=6,AC=12,AB=QAC2+BC2=6/13,.??AP=3^3；綜上所述，AP的長為13或3幣如圖，在RtAAOB中，0A=0B=4&，①0的半徑為2,點P是AB邊上的動點，過點P作?0的一條切線PQ（點Q為切點），則線段PQ長的最小值為 .

【答案】2朽【解析】連接0Q,如圖所示，???PQ是?0的切線，???0Q丄PQ,根據(jù)勾股定理知：PQ2=0P2-0Q2,???當P0丄AB時，線段PQ最短,???在RtAAOB中，0A=0B=4p2???AB=\20A=8,???AB=\20A=8,?S=△A0B0A?0B=1AB?0P,2即0P=OA?OB=4,ABPQ=PQ=VOP2-OQ2 42-22=2\:3故答案為：2.35故答案為：2.35?如圖，在0ABC中，以0為圓心，0A為半徑的圓與BC相切于點B,與0C相交于點D.1）1）求BD的度數(shù)；（2）如圖，點E在?0上，連結CE與?0交于點F.若EF=AB，求Z0CE的度數(shù).【答案】（1）45°；（2）30°.【解析】（1）連結0B．???BC是?0的切線，???0B丄BC,???四邊形0ABC是平行四邊形???OA〃BC,???OB丄0A.???△AOB是等腰直角三角形，???ZAB0=45°.°?°0C〃AB,?°?ZB0C=ZAB0=45°.?:BD的的度數(shù)為45°；ECEC(2)連結OE,過點0作OH丄EC于點H,設EH=t,???0H丄EC,???EF=2HE=21,???四邊形0ABC是平行四邊形AB=CO=EF=21,???△aob是等腰直角三角形..*.00的半徑0A=￡t.?:在RtAEHO中，0H=*oe2—eh2=；2t2—12=t在RtAOCH中，???0C=20H,???Z0CE=30°.6?如圖，在AABC中，AB=AC,ABAC=120。，點D在BC邊上，D經(jīng)過點A和點B且與BC邊相交于點E. c求證：AC是D的切線；若CE=2乜，求D的半徑.【答案】(1)見解析；(2)2刀.解析】(1)證明：連接AD,AB=AC，ABAC=120°，/.ZB=ZC=30°AD=BD，/.ABAD=AB=30°/.ZADC=60。，/.ZDAC=180。—60?！?0。=90。AC是D的切線；(2)解：連接AEAD=DE，ZADE=60°./AADE是等邊三角形，./AE=DE，ZAED=60°??/.ZEAC=ZAED—ZC=30°，/.ZEAC=ZC/.AE=CE=2,3D的半徑AD=2、打7.如圖，AB=16,O為AB中點，點C在線段OB上（不與點O,B重合），將OC繞點O逆時針旋轉270°后得到扇形COD，AP，BQ分別切優(yōu)弧二:于點P,Q,且點P,Q在AB異側，連接OP.（1） 求證:AP=BQ；（2） 當BQ=4.丁時，求扇形COQ的面積及工;的長（結果保留n）；（3） 若厶APO的外心在扇形COD的內部，請直接寫出OC的取值范圍.【答案】（1）見解析；（2） ；（3）4VOCV8.【解析】試題解析：（1）證明：連接OQ.TAP、BQ是?0的切線，???0P丄AP,0Q丄BQ,???ZAP0二ZBQ0=90°,在RtAAPO和RtABQO中，T0A=0B,OP=OQ,???RtAAPO竺RtABQO,?AP二BQ；(2)TRtAAPO竺RtABQ0,AZA0P=ZB0Q,?P、O、Q三點共線,???在RtABOQ中，cosB= ,AZB=30°,ZBOQ=60°,OBQs???0Q二0B=4,?.?ZC0D=90°,???ZQ0D=90°+60°=150°,???優(yōu)弧曲的長=』^=Z；(3)TAAP0的外心是OA的中點，0A=8,???△APO的外心在扇形COD的內部時，OC的取值范圍為4VOCV8.8?如圖，在RtAABC中，ZACB=90。，CD是斜邊AB上的中線，以CD為直徑的O分別交AC、BC于點M、N，過點N作NE丄AB，垂足為E? Q(1)若O的半徑為5，AC=6，求BN的長；2(2)求證：NE與O相切.【答案】(1)4；(2)見解析．【解析】(1)連接DN,ONO的半徑為5，??.CD=52T0ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線，BD=CD=AD=5，AB=10，.?BC=\AB2一AC2=8??CD為直徑，/.ZCND=90。，且BD=CDBN=NC=4??（2）ZACB=90°，D為斜邊的中點,./CD=DA=DB=1AB，/ZBCD=ZB2OC=ON，/ZBCD=ZONCZONC=ZB，/.ON//AB?NE丄AB，/.ON丄NE/NE為O的切線．如圖，已知AB為?O的直徑，AD、BD是?O的弦，BC是?O的切線，切點為B,OC〃AD,BA、CD的延長線相交于點E．求證：DC是?O的切線；若AE=1，ED=3,求?O的半徑.解析：(1)證明：連結DO．/.ZdaoZcob,