解三角形的綜合應(yīng)用

222222222222解角的合用一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手．如圖，兩座燈塔A和與岸觀察站的離相等，燈塔A觀察站南偏西，塔B在觀察站南偏東，則燈塔A燈塔的方向上．解析：由件及圖可知，∠＝∠＝，∠BCD＝60，以∠CBD，以∠DBA，此燈塔A在塔B南西80答案：偏西80．揚(yáng)州調(diào)研如圖，勘探隊(duì)員朝一座山行進(jìn)，在前后A，B兩處觀察山頂?shù)慕欠謩e是和45，兩個(gè)觀察點(diǎn)B之的距離是100m則此山的度________m.解析：山高，在eq\o\ac(△,Rt)中有：＝CD＝，在eq\o\ac(△,Rt)ACD有＝2x，＝3x而＝－＝(3－1)x＝100.解得x＝

＝＋．－答案：＋南模擬)年12月衛(wèi)家主權(quán)海在南海海域進(jìn)行例行巡邏，其中一艘巡邏艦從海島出，沿南偏東70的向航行40海里后到達(dá)海島B，后再從海島出，沿北偏東35的方向航行40海后到達(dá)海島.如果巡邏艦直接從海島A出發(fā)到海島C，則航行的路程海．解析：據(jù)題意畫出圖形，如圖所示．在△，＝＋35＝，AB＝，＝402.根據(jù)余弦定理，得＝＋－ABBC·cos∠ABC＝40＋－2×2

－＝＋43)＝400(＋2)，∴＝20(＋2)故所求航行的路程為＋海里．答案：＋2)22222222222222．已知在燈塔C北東80處，且A到C的距離為2，B船燈塔北西40，，兩船的距離為km，則到C的距離為_km.解析：條件知，∠ACB＝80＋40＝，設(shè)BCxkm則由余弦定理知9＝x＋－xcos120，因?yàn)閤＞，所以x＝6答案：6某同學(xué)電動(dòng)車以的度沿正北方向的公路行駛點(diǎn)A處得電視塔在電動(dòng)車的北偏東30方向上min后點(diǎn)B處，測(cè)得電視塔在動(dòng)車的北偏東方上，則點(diǎn)B與視塔的距離是_解析：如題圖，由題意知＝×＝6在△ABS，∠BAS，＝6，∠AB30°＝180－75＝，以＝45，正弦定理知＝，所以BS＝sin30°45°sin45°＝32(km)．答案：32(2018·天學(xué)檢線段AB外一點(diǎn)＝60＝km以80的速度由A向行時(shí)摩托車以速度由B向C駛運(yùn)動(dòng)開始________h后，兩車的距離最小．解析：圖所示，設(shè)過h后車距離為y，則BD＝－x，BE＝x，所以y＝(200－)＋(50x)－×(200x)·50整得＝x－＋40000(0≤2.5)，所以當(dāng)x＝時(shí)最．答案：二保高考，全練題型做到高考達(dá)．一艘海輪從處出發(fā)，以每小時(shí)海的度沿南偏東的方向直線航行30分鐘后到達(dá)處在處一燈塔，海輪在處觀察燈塔，其方向是南偏東，在處觀察燈塔，其方向是北偏東65，那么B，點(diǎn)間的距離_海里．解析如所示，易知，在中＝20海，CAB＝30，BC∠ACB，據(jù)正弦定理得＝，sin30°45°解得BC海里)．221055222221055222答案：10．如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度d0.6，一艘客船從碼頭出勻速駛往河對(duì)岸的碼頭B.知＝km水的流速為km客船從碼頭A駛碼頭所的最短時(shí)間為6，客船在靜水中的速度_解析：與岸線所成的角為θ客船在靜水中的速度為km/h，題意知，sin0.63114＝＝，而＝，以由余弦定理得＝×2＋－×××1，解得＝答案：62．(2018·啟模)如圖所示，為了測(cè)量B兩島嶼的距離，小明在D處測(cè)AB分在D處的北偏西、偏東方向，再往正東方向行駛40海至C處觀測(cè)在的正北方向A在C處北偏西60方，則A，兩島嶼的距離為海．解析：題意可知CD＝，∠ADB＝，∠＝60，＝90，∴∠＝30，＝，∴∠＝45AD40在△中，由正弦定理，得＝，sin30°sin∴＝202在eq\o\ac(△,Rt)BCD中，∵∠＝45，＝＝40在△中，由余弦定理，得＝

＋3－2×202×2cos60°＝20故AB兩處島嶼的距離為6海．答案：20．一個(gè)大型噴水池的中央有一個(gè)強(qiáng)大噴水柱，為了測(cè)量噴水柱噴出的水柱的高度，人在噴水柱正西方向的點(diǎn)測(cè)得水柱頂端的仰角為45，沿點(diǎn)A向偏東前m到達(dá)點(diǎn)B，在B點(diǎn)得水柱頂端的仰為30，則水柱的高度________m.解析水高度是h柱端為在△＝60，AC＝，AB＝100，＝3h根據(jù)余弦定理得，(3h

＝h

2

＋100

－h(huán)·100·cos，

＋－5000＝，即(h－50)(h100)0，即2222222222222ππ2ππ2222222222222ππ2ππ2＝，故水柱的高度是50答案：50(2018·鎮(zhèn)模擬)在不等邊三角形中，角B所的邊分別為c，其中a為最大邊，如果sin(＋C＜sinB＋C則角A取值范圍為．解析：題意得sin＜＋C再由正弦定理得a＜＋c，b＋－＞0.＋－則cosA＝＞，bcπ因?yàn)椋迹鸡?，所以＜A＜.π又最大邊，所以A＞.因此角的值范圍是，.答案：，2通州中學(xué)高三測(cè))甲船在湖中島正南A處ABkm甲船以8km的速度向正北方向航行，同時(shí)乙船自B島出發(fā)，以h的度向北偏東60方駛?cè)?，則行駛min時(shí)兩船間的距離是解析：出示意圖如圖所示，設(shè)行駛時(shí)，甲船到達(dá)M，乙船到達(dá)點(diǎn)由題意知AM＝×＝2(km)BN＝×＝，MB＝－AM＝32＝弦定理得＝MB＋BN－2cos120＝1＋－2×13×－＝13所以MN＝13(km)答案：．南京模擬)運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式上舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡度為的臺(tái)的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測(cè)得旗桿頂部的仰角分別為和，第一排和最后一排的距離為m(如圖所示)，旗桿底部與第一排在一個(gè)水平面上．若國歌時(shí)長(zhǎng)為50，升旗手應(yīng)_______m/s的速度勻速升旗．解析：題意可知∠AEC＝45，＝－60－＝105，所以∠EAC－－105＝3022222222CE由正弦定理可知＝，sin∠∠CE所以AC·sin∠＝∠所以在eq\o\ac(△,Rt)ABC中，＝AC·sin∠ACB＝20×

＝m.因?yàn)閲钑r(shí)長(zhǎng)為50，所以升旗速度為＝m/s.答案：0.6如所示在坡度一定的山坡處得山頂上一建筑物CD的頂端對(duì)山坡的斜度為15，沿山坡向山頂前進(jìn)到達(dá)B處又測(cè)得對(duì)山坡的斜度為45，CD，山坡的坡角為，則cos＝________.AB∠BAC100sin解析ABC中弦理可知BC＝＝－2)(m)．sin∠sin－BCsin∠CBD506在△中，由正弦定理可知sin∠＝＝＝3－CD50由題圖知θ＝∠＝∠＝－答案：3．(2018·鎮(zhèn)末如圖，某公園有三條觀光大道ABBC圍直角三角形，其中直角邊BC，斜邊＝400．現(xiàn)有甲、乙、丙三位小朋友分別在，BCAC大上嬉戲，所在位置分別記為點(diǎn)D，.(1)若甲、乙都以每分鐘m的度從點(diǎn)B出在各自的大道上奔走，到大道的另一端時(shí)即停乙甲2分出發(fā)，當(dāng)乙出發(fā)1分鐘后，求此時(shí)甲、乙兩人之的距離；π設(shè)CEF＝，、丙之間的距離是甲、乙之間距離，且DEF＝，請(qǐng)甲、乙之間的距離表為的數(shù)，并求甲、乙之間的最小距離．解：(1)題意得BD＝300BEBC1在△，cos＝＝，所以＝.AB3在△中，由余弦定理得＝BD＋BE－2＝300＋100－×300100＝000，所以DE＝7.答：甲、乙兩人之間的距離為1007(2)由題意得EF＝DE＝2，∠BDE＝∠＝θsin22222BCθsin22222BC在eq\o\ac(△,Rt)中CE∠CEF2ycosθBEDE在△中，由正弦定理得＝，∠sin∠DBE即

－2cosθ＝，sin60°所以y＝

350π＝，＜＜，3cosθθπ所以當(dāng)＝時(shí)，有小值50答：甲、乙之間的最小距離為50．安模)圖，某軍艦艇位于島A的正西方C處，且與島A相距里經(jīng)偵察發(fā)現(xiàn)國海盜船以10海/小時(shí)的速度從島A出沿北偏東方向逃竄，同時(shí)，該軍艦艇從處出發(fā)沿北偏東90－的向勻速追趕國際盜船好小在B處上．求該軍艦艇的速度；求sin的．解：(1)題意知，CAB120，AB＝10×2＝，＝，∠ACB＝，在△，由余弦定理，得＝＋－ABAC∠＝20＋－××12cos120＝，解得BC28，BC所以該軍艦艇的速度為＝14海/小時(shí)．ABBC(2)在△中，由正弦定理，得＝，sin120°20AB120°3即sin＝＝＝.三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名．如圖，航空測(cè)量組的飛機(jī)航線和山頂在同一鉛直平面內(nèi)，已知飛機(jī)的飛行高度10m度50m/s.一時(shí)刻飛機(jī)看山頂?shù)母┙菫榻?jīng)過420看山頂?shù)母┙菫?，則山頂?shù)暮０胃叨葹開_______m(取21.4，＝2222222222222222222222解析：圖，作垂于AB的長(zhǎng)線于點(diǎn)D，由題意知∠＝，＝，所以＝，＝50420000(m)．又在△中，

BCAB＝，sinA∠ACB所以BC×15＝10－2)．因?yàn)镃D⊥ADCD∠DBC500(6×

＝500(3＝350.故山頂?shù)暮０胃叨龋?0－＝2．答案：2．(2019·南研某市有一中心公園，平面如圖所示，公園的兩條觀光路為ll公管理中心位于點(diǎn)正方2kml上處現(xiàn)12劃在l即北偏東45方，觀光路l路處修建一公園服務(wù)中心．22若為方便管理使兩點(diǎn)之間的直線距離不大于5長(zhǎng)度的取值范圍；為了方便市民活動(dòng)，擬在l，上分別選點(diǎn)M，，修建一條小路1MN因環(huán)境需要，以為心，

km為半徑的扇形區(qū)域有珍貴的植物不能被破壞，即不適宜修建，請(qǐng)確定，N的置，使M，之間的距離最短．解：(1)△中，＝2，OB＝x，∠＝，根據(jù)余弦定理得，AB＝OA

＋

－OA·cos135，∴2＋x－×x×2－

≤(2，即x＋2x－1