機(jī)械工程控制基礎(chǔ)chap3-1

第三章時(shí)域分析法一、典型輸入信號(hào)二、一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)三、二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)四、誤差分析和計(jì)算五、小結(jié)一、典型輸入信號(hào)

時(shí)域分析的目的

在時(shí)間域，研究在一定的輸入信號(hào)作用下，系統(tǒng)輸出隨時(shí)間變化的情況，以分析和研究系統(tǒng)的控制性能。優(yōu)點(diǎn)：直觀、簡(jiǎn)便第三章時(shí)域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering

典型輸入信號(hào)第三章時(shí)域分析法在時(shí)間域進(jìn)行分析時(shí)，為了比較不同系統(tǒng)的控制性能，需要規(guī)定一些具有典型意義的輸入信號(hào)建立分析比較的基礎(chǔ)。這些信號(hào)稱(chēng)為控制系統(tǒng)的典型輸入信號(hào)。第三章時(shí)域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering

對(duì)典型輸入信號(hào)的要求第三章時(shí)域分析法

形式簡(jiǎn)單，便于解析分析；

能夠使系統(tǒng)工作在最不利的情形下；

實(shí)際中可以實(shí)現(xiàn)或近似實(shí)現(xiàn)。第三章時(shí)域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時(shí)域分析法

常用的典型輸入信號(hào)Asint

正弦信號(hào)

單位加速度信號(hào)

t，

t0單位速度(斜坡)信號(hào)1(t)，t0單位階躍信號(hào)

1(t)，t=0單位脈沖信號(hào)復(fù)數(shù)域表達(dá)式

時(shí)域表達(dá)式

名

稱(chēng)

第三章時(shí)域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering

卷積定理

單位脈沖響應(yīng)函數(shù)（權(quán)函數(shù)weightingfunction)0tf(t)單位脈沖函數(shù)1第三章時(shí)域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時(shí)域分析法能反映系統(tǒng)在工作過(guò)程中的大部分實(shí)際情況；

典型輸入信號(hào)的選擇原則如：若實(shí)際系統(tǒng)的輸入具有突變性質(zhì)，則可選階躍信號(hào)；若實(shí)際系統(tǒng)的輸入隨時(shí)間逐漸變化，則可選速度信號(hào)。注意：對(duì)于同一系統(tǒng)，無(wú)論采用哪種輸入信號(hào)，由時(shí)域分析法所表示的系統(tǒng)本身的性能不會(huì)改變。第三章時(shí)域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時(shí)域分析法二、一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)

一階系統(tǒng)（慣性環(huán)節(jié)）

一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)極點(diǎn)（特征根）：-1/T第三章時(shí)域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時(shí)域分析法10.6321TA0B斜率=1/T2T3T4T5Txo(t)t63.2%86.5%95%98.2%99.3%99.8%6T第三章時(shí)域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時(shí)域分析法

一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的特點(diǎn)響應(yīng)分為兩部分

瞬態(tài)響應(yīng)：表示系統(tǒng)輸出量從初態(tài)到終態(tài)的變化過(guò)程（動(dòng)態(tài)/過(guò)渡過(guò)程）

穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：1表示時(shí)，系統(tǒng)的輸出狀態(tài)

，隨時(shí)間的推移，指數(shù)增大，

且無(wú)振蕩。，無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差；第三章時(shí)域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時(shí)域分析法，即經(jīng)過(guò)時(shí)間T，系統(tǒng)響應(yīng)達(dá)到其穩(wěn)態(tài)輸出值的63.2%，從而可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)T；

時(shí)間常數(shù)T反映了系統(tǒng)響應(yīng)的快慢。通常工程中當(dāng)響應(yīng)曲線(xiàn)達(dá)到并保持在穩(wěn)態(tài)值95%~98%時(shí)，認(rèn)為系統(tǒng)響應(yīng)過(guò)程基本結(jié)束。從而慣性環(huán)節(jié)的過(guò)渡過(guò)程時(shí)間為。第三章時(shí)域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering

第三章時(shí)域分析法將一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)式改寫(xiě)為：該性質(zhì)可用于判別系統(tǒng)是否為慣性環(huán)節(jié)，以及測(cè)量慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)。tln[1-xo(t)]0即與時(shí)間t成線(xiàn)性關(guān)系。ln[1-xo(t)]第三章時(shí)域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時(shí)域分析法

一階系統(tǒng)的單位速度響應(yīng)第三章時(shí)域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時(shí)域分析法0txo(t)xi(t)xi(t)=txo(t)=t-T+Te-t/Te()=TT第三章時(shí)域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時(shí)域分析法

一階系統(tǒng)單位速度響應(yīng)的特點(diǎn)

經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的時(shí)間，輸出增長(zhǎng)速率近似與輸入相同，此時(shí)輸出為：t–T，即輸出相對(duì)于輸入滯后時(shí)間T；系統(tǒng)響應(yīng)誤差為：

瞬態(tài)響應(yīng)：；穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：t–T；第三章時(shí)域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時(shí)域分析法

一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)xo(t)1/T0t0.368

1T斜率xo(t)T第三章時(shí)域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時(shí)域分析法

一階系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的特點(diǎn)

xo

(0)=1/T,隨時(shí)間的推移，xo(t)指數(shù)衰減；對(duì)于實(shí)際系統(tǒng)，通常應(yīng)用具有較小脈沖寬度（脈沖寬度小于0.1T）和有限幅值的脈沖代替理想脈沖信號(hào)。

瞬態(tài)響應(yīng)：

穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：0第三章時(shí)域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時(shí)域分析法線(xiàn)性定常系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的性質(zhì)

系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)通常由穩(wěn)態(tài)分量和瞬態(tài)分量共同組成，前者反映系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性（準(zhǔn)確性），后者反映系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性（穩(wěn)定性與快速性）。

注意到：

第三章時(shí)域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時(shí)域分析法對(duì)一階系統(tǒng)：即：系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)等于系統(tǒng)對(duì)該輸入信號(hào)響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)。第三章時(shí)域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時(shí)域分析法同樣可知，系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)積分的響應(yīng)等于系統(tǒng)對(duì)該輸入信號(hào)響應(yīng)的積分，其積分常數(shù)由初始條件確定。這種輸入－輸出間的積分微分性質(zhì)對(duì)任何線(xiàn)性定常系統(tǒng)均成立。第三章時(shí)域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時(shí)域分析法三、二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)

二階系統(tǒng)

其中，T為時(shí)間常數(shù)，也稱(chēng)為無(wú)阻尼自由振蕩周期，為阻尼比；n＝1/T為系統(tǒng)的無(wú)阻尼固有頻率。二階系統(tǒng)的特征方程：極點(diǎn)（特征根）：第三章時(shí)域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第二章

數(shù)學(xué)模型如：質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)傳遞函數(shù)：式中，當(dāng)時(shí)，為振蕩環(huán)節(jié)。第二章

數(shù)學(xué)模型Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時(shí)域分析法

欠阻尼二階系統(tǒng)（振蕩環(huán)節(jié)）：0<

<1具有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)：系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)含有衰減的復(fù)指數(shù)振蕩項(xiàng)：其中，稱(chēng)為有阻尼固有頻率。由歐拉公式，有：

第三章時(shí)域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時(shí)域分析法

臨界阻尼二階系統(tǒng)：

＝1具有兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)：系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)含有衰減項(xiàng)：

過(guò)阻尼二階系統(tǒng)：

>1具有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)：系統(tǒng)包含兩類(lèi)瞬態(tài)衰減分量：第三章時(shí)域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering

零阻尼二階系統(tǒng)：

＝0具有一對(duì)共軛虛極點(diǎn)：

負(fù)阻尼二階系統(tǒng)：

<0極點(diǎn)實(shí)部大于零，響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)含有復(fù)指數(shù)振蕩項(xiàng)：第三章時(shí)域分析法第三章時(shí)域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時(shí)域分析法不同阻尼比下，極點(diǎn)分布的情況第三章時(shí)域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering

二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)第三章時(shí)域分析法

欠阻尼（0<

<1）狀態(tài)

其中，第三章時(shí)域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時(shí)域分析法

欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的特點(diǎn)

瞬態(tài)分量為振幅等于的阻尼

正弦振蕩，其振幅衰減的快慢由和n決定。有阻尼固有頻率；

振蕩頻率隨減小而加大,增加可以降低振蕩，但系統(tǒng)快速性降低。

一定時(shí)，n越大，瞬態(tài)響應(yīng)分量衰減越迅速，系統(tǒng)響應(yīng)快速性越好。

，無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差；

第三章時(shí)域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時(shí)域分析法欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線(xiàn)5101500.20.40.60.811.21.41.61.82tpxo(t)=0.2=0.4=0.6=0.8t第三章時(shí)域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時(shí)域分析法

臨界阻尼（

=1）狀態(tài)

10txo(t)

特點(diǎn)

單調(diào)上升，無(wú)振蕩、無(wú)超調(diào)；

0,)1(1)(3+-=-tettxtnonww，無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差；

第三章時(shí)域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時(shí)域分析法

過(guò)阻尼（

>1）狀態(tài)01txo(t)

特點(diǎn)

單調(diào)上升，無(wú)振蕩，過(guò)渡過(guò)程時(shí)間長(zhǎng)

，無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差；

第三章時(shí)域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時(shí)域分析法

無(wú)阻尼（

=0）狀態(tài)

210txo(t)

特點(diǎn)頻率為n的等幅振蕩。0,cos1)(3-=tttxnow第三章時(shí)域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時(shí)域分析法

負(fù)阻尼（

<0）狀態(tài)

0txo(t)-1<<0t0xo(t)<-1

-1<

<0：輸出表達(dá)式與欠阻尼狀態(tài)相同。

<-1：輸出表達(dá)式與過(guò)阻尼狀態(tài)相同。

特點(diǎn)：振蕩發(fā)散

特點(diǎn)：?jiǎn)握{(diào)發(fā)散

第三章時(shí)域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時(shí)域分析法

幾點(diǎn)結(jié)論

二階系統(tǒng)的阻尼比決定了其振蕩特性：第三章時(shí)域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時(shí)域分析法<0時(shí)，階躍響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定；

>1時(shí)，無(wú)振蕩，過(guò)渡過(guò)程長(zhǎng)；0<

<1時(shí)，有振蕩，愈小，振蕩愈嚴(yán)重，

但響應(yīng)愈快，=0時(shí)，出現(xiàn)等幅振蕩。第三章時(shí)域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時(shí)域分析法一定時(shí)，n越大，瞬態(tài)響應(yīng)分量衰減越迅速，即系統(tǒng)能夠更快達(dá)到穩(wěn)態(tài)值，響應(yīng)的快速性越好。

工程中除了一些不允許產(chǎn)生振蕩的應(yīng)用，如指示和記錄儀表系統(tǒng)等，通常采用欠阻尼系統(tǒng)，且阻尼比通常選擇在0.4~0.8之間，以保證系統(tǒng)的快速性同時(shí)又不至于產(chǎn)生過(guò)大的振蕩。第三章時(shí)域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時(shí)域分析法

二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)

控制系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)

控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)是評(píng)價(jià)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)品質(zhì)的定量指標(biāo)，是定量分析的基礎(chǔ)。系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)通常通過(guò)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)進(jìn)行定義。常見(jiàn)的性能指標(biāo)有：上升時(shí)間tr、峰值時(shí)間tp、調(diào)整時(shí)間ts、最大超調(diào)量Mp、振蕩次數(shù)N、穩(wěn)態(tài)誤差ess。第三章時(shí)域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering單位階躍響應(yīng)上升時(shí)間峰值時(shí)間調(diào)整時(shí)間穩(wěn)態(tài)誤差第三章時(shí)域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時(shí)域分析法

評(píng)價(jià)系統(tǒng)快速性的性能指標(biāo)

上升時(shí)間tr(risetime)響應(yīng)曲線(xiàn)從零時(shí)刻出發(fā)首次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值所需時(shí)間。對(duì)無(wú)超調(diào)(過(guò)阻尼)系統(tǒng)，上升時(shí)間一般定義為響應(yīng)曲線(xiàn)從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%所需的時(shí)間。

峰值時(shí)間tp(peaktime)響應(yīng)曲線(xiàn)從零上升到第一個(gè)峰值所需時(shí)間。

第三章時(shí)域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時(shí)域分析法

調(diào)整時(shí)間ts(settlingtime)響應(yīng)曲線(xiàn)到達(dá)并保持在允許誤差范圍（穩(wěn)態(tài)值的2%或5%）內(nèi)所需的時(shí)間。

最大超調(diào)量Mp(maximumovershoot)響應(yīng)曲線(xiàn)的最大峰值與穩(wěn)態(tài)值之差。通常用百分?jǐn)?shù)表示：

評(píng)價(jià)系統(tǒng)穩(wěn)定性的性能指標(biāo)

第三章時(shí)域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時(shí)域分析法

振蕩次數(shù)N在調(diào)整時(shí)間ts內(nèi)系統(tǒng)響應(yīng)曲線(xiàn)的振蕩次數(shù)。實(shí)測(cè)時(shí)，可按響應(yīng)曲線(xiàn)穿越穩(wěn)態(tài)值次數(shù)的一半計(jì)數(shù)。穩(wěn)態(tài)誤差ess

系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后期望值與實(shí)際值之差。

評(píng)價(jià)系統(tǒng)準(zhǔn)確性的性能指標(biāo)

第三章時(shí)域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時(shí)域分析法

欠阻尼二階系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)

上升時(shí)間tr根據(jù)上升時(shí)間的定義有：欠阻尼二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為：第三章時(shí)域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時(shí)域分析法從而：顯然，一定，n越大，tr越??；n一定，越大，tr越大。即：第三章時(shí)域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時(shí)域分析法

峰值時(shí)間tp，并將t=tp代入可得：

令即：

第三章時(shí)域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時(shí)域分析法根據(jù)tp的定義解上方程可得：

可見(jiàn)，峰值時(shí)間等于阻尼振蕩周期的一半。且一定，n越大，tp越?。籲一定，越大，tp越大。第三章時(shí)域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時(shí)域分析法

最大超調(diào)量Mp顯然，Mp僅與阻尼比有關(guān)。最大超調(diào)量直接說(shuō)明了系統(tǒng)的阻尼特性。越大，Mp越小，系統(tǒng)的平穩(wěn)性越好，當(dāng)=0.4~0.8時(shí)，可以求得相應(yīng)的Mp=25.4%~1.5%。第三章時(shí)域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時(shí)域分析法00.10.20.30.40.50.60.70.80.910102030405060708090100Mp二階系統(tǒng)Mp—

圖第三章時(shí)域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時(shí)域分析法當(dāng)

n一定時(shí),越大，ts越小。當(dāng)一定時(shí)，n越大，ts越小，系統(tǒng)響應(yīng)越快。當(dāng)0<<0.7時(shí)，

調(diào)整時(shí)間ts第三章時(shí)域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時(shí)域分析法

振蕩次數(shù)NN僅與有關(guān)。與Mp一樣直接說(shuō)明了系統(tǒng)的阻尼特性。越大，N越小，系統(tǒng)平穩(wěn)性越好。對(duì)欠阻尼二階系統(tǒng)，振蕩周期則2122xwpwp-==nddT第三章時(shí)域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時(shí)域分析法

二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能由n和決定。

結(jié)論一般選擇在0.4~0.8之間，然后再調(diào)整n以獲得合適的瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)間。一定，n越大，系統(tǒng)響應(yīng)快速性越好，tr、tp、ts越小。增加可以降低振蕩，減小超調(diào)量Mp和振蕩次數(shù)N，但系統(tǒng)快速性降低，tr、tp增加；通常根據(jù)允許的最大超調(diào)量來(lái)確定。第三章時(shí)域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時(shí)域分析法

例題1圖a)所示機(jī)械系統(tǒng)，當(dāng)在質(zhì)量塊m上施加f(t)=8.9N的階躍力后，m的位移時(shí)間響應(yīng)如圖b)。試求系統(tǒng)的質(zhì)量m、彈性系數(shù)K,粘性阻尼系數(shù)C的值。

mf(t)KCxo(t)a)00.030.00292t/s13xo(t)/mtpb)第三章時(shí)域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時(shí)域分析法解：根據(jù)牛頓第二定律：其中，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：第三章時(shí)域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時(shí)域分析法由于F(s)=L[f(t)]=L[8.9]=8.9/s，因此根據(jù)拉氏變換的終值定理：

K=8.9/0.03=297N/mKKCsmsssXxsoso9.89.8lim)(lim)(200=++==￥??由圖b)知，因此：第三章時(shí)域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時(shí)域分析法又由圖b)知：解得：=0.6又由：代入

，可得n=1.96rad/s根據(jù)解得m=77.3Kg，C=181.8Nm/s第三章時(shí)域分析法Collegeofmechanica