實(shí)用計(jì)算方法

實(shí)用計(jì)算方法1第一頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日第四章實(shí)用計(jì)算方法§4.2矩陣特征值問(wèn)題及解法§4.3結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的數(shù)值解法§4.1能量法求自振頻率2第二頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日自由振動(dòng)位移：自由振動(dòng)速度：彈簧變形能：質(zhì)量塊動(dòng)能：自振頻率：§4.1能量法求自振頻率一、瑞利能量法第三頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日Rayleigh法的理論基礎(chǔ)為能量守恒定律。即認(rèn)為如果沒(méi)有阻尼力消耗能量的話(huà)，在自由振動(dòng)體系中，能量應(yīng)該保持常量。最大動(dòng)能等于最大位能：這個(gè)表達(dá)式和以前所述的一樣，但現(xiàn)在它是從最大變形能應(yīng)等于最大動(dòng)能的Rayleigh法概念而得。第四頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日

例子：簡(jiǎn)支梁，認(rèn)為是無(wú)限自由度

體系變形能：

最大值：第五頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日

體系動(dòng)能：

由Rayleigh法：

最大值：

→

k*

→

m*此即為瑞利商第六頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日例子：簡(jiǎn)支梁，認(rèn)為是無(wú)限自由度振動(dòng)形狀的選取假定振型為拋物線(xiàn)：第七頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日能量守恒：假定振型為正弦曲線(xiàn)：能量守恒：第八頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日假定振型為拋物線(xiàn)：假定振型為正弦曲線(xiàn)：原則上，只要滿(mǎn)足梁的幾何邊界條件，形狀函數(shù)可任意選取，亦即形狀函數(shù)僅需和具體的支承條件一致。但是，對(duì)不是真實(shí)振型的任意形狀函數(shù)，為了保持平衡就必須有附加的外部約束作用，這些附加約束將會(huì)使體系變得剛硬，從而使計(jì)算頻率增大。Rayleigh法計(jì)算的頻率中，最低的一個(gè)，總是最好的近似值！第九頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日Question:如何確定合理的撓曲形狀？Solution:自由振動(dòng)的位移是由慣性力作用引起的；慣性力正比于質(zhì)量×加速度（質(zhì)量分布及位移幅值）因此：正確的振動(dòng)形式為正比于m(x)的荷載所引起的撓曲線(xiàn)。第十頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日最大動(dòng)能：最大變形能：能量守恒：注意：再近似：

假定慣性荷載為梁的重量，即頻率計(jì)算將根據(jù)靜止重量荷載所引起的撓曲線(xiàn)vd(t)進(jìn)行。此時(shí)，體系的變形能必然等于重量荷載所做的功。第十一頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日例假定變形曲線(xiàn)最大位能最大動(dòng)能Finish?第十二頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日計(jì)算頻率:第十三頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日例：試用瑞利法求圖示楔形懸臂梁的基本頻率。寬度b=1。解：設(shè)形狀函數(shù)為滿(mǎn)足位移邊界條件。精確解為第十四頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日例：試求圖示對(duì)稱(chēng)剛架的基本頻率。解：柱的最大動(dòng)能第十五頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日柱的最大動(dòng)能梁的最大動(dòng)能剛架的最大動(dòng)能第十六頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日例：試求圖示等截面懸臂梁的基本頻率。解：1.設(shè)形狀函數(shù)為余弦曲線(xiàn)精確解為第十七頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日精確解為例：試求圖示等截面懸臂梁的基本頻率。解：1.設(shè)形狀函數(shù)為余弦曲線(xiàn)2.設(shè)形狀函數(shù)為拋物線(xiàn)3.設(shè)形狀函數(shù)為重力引起的位移曲線(xiàn)第十八頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日形狀函數(shù)為重力引起的位移曲線(xiàn)時(shí)第十九頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日二、李茲能量法用瑞利法求解結(jié)構(gòu)的自振頻率的精度取決于假設(shè)振型的精度，由于難以估計(jì)高階振型的形狀，所以一般情況下，瑞利法只能求得振動(dòng)基頻的上限。李茲發(fā)展了瑞利能量法，使求得的最低頻率更接近于精確解，且可以求較高階頻率。李茲能量法給出振型的級(jí)數(shù)形式：其中均為滿(mǎn)足位移邊界條件的函數(shù)，而則為待定參數(shù)。（1）將（1）代人瑞利商：得：20第二十頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日引入符號(hào)：（2）（3）則（2）式為：（4）21第二十一頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日由于上式總是給出自振頻率的上限，可以通過(guò)適當(dāng)選擇使值為極小值。22第二十二頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日即：（5）式中C和D為n×n階方陣，它們的元素可由（3）式計(jì)算。這樣對(duì)于n個(gè)待定常數(shù)就得到n個(gè)齊次線(xiàn)性方程。方程要有非零解，則系數(shù)行列式比為零。即：（6）上式展開(kāi)得到的n次方程。該方程有n個(gè)根，若將它們從小到大排列，便有：其中每一個(gè)根都可以從方程（5）式中求得一組常數(shù)

從而，按（1）可得到n個(gè)振型函數(shù)：

（7）23第二十三頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日例：試用李茲法求圖示楔形懸臂梁的基本頻率。寬度b=1。解：設(shè)位移函數(shù)為第二十四頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日例：試求圖示楔形懸臂梁的基本頻率。寬度b=1。解：精確解為瑞利法解誤差：0.07%誤差：3%第二十五頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日§4.2矩陣特征值問(wèn)題及解法

對(duì)多自由度體系的自由振動(dòng)來(lái)說(shuō)，采用數(shù)值分析的方法，求解其固有頻率和振型最終可以變成數(shù)學(xué)上的固有特征值問(wèn)題（eigenvalueproblem），即求固有頻率和主振型

固有特征值方程的解:1)給出了結(jié)構(gòu)的自振頻率和主振型，

2)使結(jié)構(gòu)在動(dòng)力荷載作用下的運(yùn)動(dòng)方程解耦，即振型疊加法。振型疊加法:

只要頻率和振型確定以后就可以得到線(xiàn)性結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)，對(duì)于一般的工程問(wèn)題，只需取前幾個(gè)振型就能獲得具有相當(dāng)精度的響應(yīng)解。26第二十六頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日§4.2矩陣特征值問(wèn)題及解法1、化廣義特征值問(wèn)題為標(biāo)準(zhǔn)特征值問(wèn)題廣義特征值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)特征值問(wèn)題進(jìn)行求解。

矩陣不一定是對(duì)稱(chēng)矩陣，而非對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值問(wèn)題往往要比對(duì)稱(chēng)矩陣復(fù)雜得多，因此上述直接求逆處理是很不經(jīng)濟(jì)的。27第二十七頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日§4.2矩陣特征值問(wèn)題及解法

將質(zhì)量矩陣[M]進(jìn)行喬累斯基（Cholesky）分解，即將其分解為[L]與[L]T的乘積:廣義特征值問(wèn)題[L]為對(duì)角元素不為零的下三角矩陣。標(biāo)準(zhǔn)特征值問(wèn)題28第二十八頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日§4.2矩陣特征值問(wèn)題及解法[K]是對(duì)稱(chēng)的，矩陣[A]也具有對(duì)稱(chēng)性。所有對(duì)稱(chēng)矩陣特征值問(wèn)題的算法均可以得到利用。如果矩陣[K]是正定的，也可將其進(jìn)行喬累斯基分解，得到類(lèi)似于方程的標(biāo)準(zhǔn)特征值問(wèn)題。29第二十九頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日§4.2矩陣特征值問(wèn)題及解法Cholesky分解:30第三十頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日§4.2矩陣特征值問(wèn)題及解法

則其下三角i=1,2,…,n行的元素為:31第三十一頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日§4.2矩陣特征值問(wèn)題及解法2、標(biāo)準(zhǔn)特征值問(wèn)題解法特征值問(wèn)題:一是求解它的全部特征值問(wèn)題，即所有的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量；另一是求解它的部分特征值問(wèn)題，即部分（通常是最小或最大的一部分）特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量。在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中，往往矩陣的階數(shù)都很高，有時(shí)不可能，而且也沒(méi)必要求解全部特征值和特征向量。求解方法分為兩大類(lèi):一類(lèi)是變換法,另一類(lèi)是向量迭代法。雅可比法冪法子空間迭代法32第三十二頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日§4.2矩陣特征值問(wèn)題及解法1）雅可比法

雅可比法是求解實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣全部特征值和特征向量的簡(jiǎn)單有效方法。[A]為n×n階的實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣。

根據(jù)線(xiàn)性代數(shù)理論，任何一個(gè)n×n實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣[A]，可通過(guò)一個(gè)的正交矩陣[S]，經(jīng)相似變換化為一對(duì)角矩陣，即矩陣[D]的n個(gè)對(duì)角元素就是[A]的n個(gè)特征值，而[S]的第i列，就是[D]中第i個(gè)元素所對(duì)應(yīng)的特征向量。33第三十三頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日§4.2矩陣特征值問(wèn)題及解法

正交矩陣[S]實(shí)際上是一個(gè)坐標(biāo)變換矩陣功能:

實(shí)現(xiàn)坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)，使旋轉(zhuǎn)后的n個(gè)坐標(biāo)軸的方向與矩陣[A]的n個(gè)互相正交的特征向量的方向一致。雅可比法的基本思想就是通過(guò)多次坐標(biāo)系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)來(lái)逐漸實(shí)現(xiàn)所想達(dá)到的最終旋轉(zhuǎn)，而其中每一次分步旋轉(zhuǎn)則是通過(guò)正交矩陣所實(shí)現(xiàn)。正交矩陣[S]不容易尋找。34第三十四頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日§4.2矩陣特征值問(wèn)題及解法冪迭代法是一種漸進(jìn)解法，可用來(lái)計(jì)算頻率及相應(yīng)的振型，且隨著迭代輪次的增加，可以得到任意精度的解。一、求基本頻率和基本振型2）冪迭代法設(shè)A為多自由度體系的振型列向量，則由頻率方程：令

H=-----稱(chēng)為動(dòng)力矩陣，代入上式，得：（1）35第三十五頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日§4.2矩陣特征值問(wèn)題及解法（1）若已知A，則即可求出，要確定振型A，可先取任一振型，如取代人（1）右邊，即可求得新的向量A1，然后將A1按首項(xiàng)歸一化，得到新的，再將代人（1）右邊，又可得到A2，再歸一化得到如此繼續(xù)下去得到A3、…，An、當(dāng)時(shí)，就停止迭代，此時(shí)可把作為基本振型，將其代人（1）即可求得36第三十六頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日例：圖示為三個(gè)自由度的體系，求其基本頻率和振型。EI=常數(shù)，m1=m2=m3=m，a=L/4m1m2m3aaaaEI解：采用圖乘法可知設(shè)代人（1）37第三十七頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日再把代人（1）再把代人（1）得第四次迭代此時(shí)故取作為基本振型，代人（1）得：據(jù)此有：38第三十八頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日二、迭代法求最高頻率和振型如果把迭代法應(yīng)用于剛度法建立的動(dòng)平衡方程，則可得到最高頻率和振型。由兩式左乘得：而令代人（a）得：與（1）式比較，當(dāng)采用同樣的迭代法計(jì)算時(shí)，顯然得到

是最小的，因而是最高頻率，對(duì)應(yīng)振型也為最高。39第三十九頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日例：試用迭代法求圖示剛架的最高頻率和振型。解：可求得：于是40第四十頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日由迭代公式取至此迭代結(jié)果已收斂，相應(yīng)的頻率：41第四十一頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日三、求較高階頻率和振型前述方法一求出的是第一振型，為什么？這是因?yàn)榈谝徽裥头至康挠绊戨S著迭代次數(shù)的增加而愈來(lái)愈大，故最后迭代結(jié)果將收斂于第一振型，說(shuō)明如下：由式（1）即：設(shè)以任一初始向量去迭代，該向量實(shí)際上包含各振型分量，可用各振型分量的線(xiàn)性組合表示：故迭代k次后為：當(dāng)k很大時(shí)，（2）42第四十二頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日如選擇初始向量時(shí)，能設(shè)法消除第一振型的影響，使那么迭代結(jié)果自然就會(huì)收斂于第二振型。為此做出新的向量：用去迭代，則可求出第二振型。由于

未知，那么如何確定呢？由兩邊同乘以得：故43第四十三頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日故稱(chēng)為掃頻矩陣代人（2）即得：新的動(dòng)力矩陣由此新的動(dòng)力矩陣進(jìn)行迭代，就可以自動(dòng)從新的向量中清除第一振型分量的影響。44第四十四頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日同理，若已經(jīng)求出前i個(gè)振型，則清除這些振型分量的影響便可以求出第i+1階振型及其頻率。理論上應(yīng)用該方法可求出任一階振型及其頻率，但實(shí)際應(yīng)用中，由于計(jì)算過(guò)程中的舍入誤差，將隨著階數(shù)的加大而加大，以至當(dāng)階數(shù)較大時(shí)，就難于收斂，故一般該法只適用于求解前幾階振型和頻率。m1m2m3aaaaEI例：求圖示體系的第二頻率和第二振型。已知EI=常數(shù)，m1=m2=m3=m，a=L/4解：由求得45第四十五頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日取初始向量進(jìn)行迭代…46第四十六頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日3）能量迭代法設(shè)體系按i振型作自由振動(dòng)，位移為速度為動(dòng)能為勢(shì)能為一、計(jì)算公式47第四十七頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日最大動(dòng)能為最大勢(shì)能為由能量守恒，有---瑞利商

選滿(mǎn)足位移邊界條件的，形狀與振型相近的向量代入上式求頻率的近似值。

通常將重力作為荷載所引起的位移代入上式求基本頻率的近似值。第四十八頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日例.用能量法計(jì)算圖示體系的基頻.mmm321解:1.取自重引起的位移mgmgmg精確解:第四十九頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日2.取直線(xiàn)3.取常數(shù)mmm321mgmgmg精確解:第五十頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日二、瑞利商的極值特性1、當(dāng)假設(shè)振型在附近變化時(shí)，使瑞利商取極小值。證：標(biāo)準(zhǔn)振型第五十一頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日2、當(dāng)假設(shè)振型在附近變化時(shí)，使瑞利商取極大值。3、當(dāng)假設(shè)振型在某一附近變化時(shí)，使瑞利商取駐值。(導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)稱(chēng)為函數(shù)的駐點(diǎn)，在駐點(diǎn)取得的函數(shù)值為駐值)第五十二頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日4）

瑞利-里茲迭代法對(duì)于n自由度體系，設(shè)令第五十三頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日第五十四頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日---q階特征問(wèn)題第五十五頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日步驟：1.給定q個(gè)向量2.求3.求q階特征問(wèn)題4.求振型第五十六頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日例.求前兩階頻率和振型.mmm321解:第五十七頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日mmm321例.求前兩階頻率和振型.解:歸一化精確解:第五十八頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日精確解:從以上例子可以看出：初始向量的選取對(duì)結(jié)果的精度有比較大的影響（第一階精度好點(diǎn)）。第五十九頁(yè)，共六十四頁(yè)，2022年，8月28日5）、子空間迭代法把X0按的右端做一次迭代，即取從而求出（此步驟為增強(qiáng)低振型影響）再把作為瑞利-李茲法的初始向量，并求出再解縮減后的矩陣方程由此求得q個(gè)及相應(yīng)的特征向量最后由可求得新的振型矩陣X1，如此一輪稱(chēng)為一次子空間迭代。設(shè)求式