第五章-大數(shù)定律與中心極限定理-2Lec

第五章大數(shù)定律和中心極限定理15.1契比雪夫不等式定理:設(shè)隨機(jī)變量X具有期望E(X)及方差D(X),則>0,有:或2

切比雪夫不等式說明，DX越小，則越小，越大，也就是說，隨機(jī)變量X取值基本上集中在EX附近，這進(jìn)一步說明了方差的意義。同時當(dāng)EX和DX已知時，切比雪夫不等式給出了概率的一個上界，該上界并不涉及隨機(jī)變X的具體概率分布，而只與其方差DX和ε有關(guān)，因此，切比雪夫不等式在理論和實際中都有相當(dāng)廣泛的應(yīng)用。需要指出的是，雖然切比雪夫不等式應(yīng)用廣泛，但在一個具體問題中，由它給出的概率上界通常比較保守。3例1已知E(X)=100,D(X)=30,試估計X落在(70,130)內(nèi)的概率解:P{70<X<130}=P{|X100|<30}由契比雪夫不等式,得:0.967契比雪夫不等式給出了在隨機(jī)變量X的分布未知情況下,事件{|XE(X)|<}或{|XE(X)|≥}的概率的一種估計方法4例2已知某種股票每股價格X的平均值為1元,標(biāo)準(zhǔn)差為0.1元,求a,使股價超過1+a元或低于1a元的概率小于10%解:由契比雪夫不等式,得:令a2≥0.1a≥0.3255.2大數(shù)定律我們曾經(jīng)說,頻率是概率的反映,隨著觀察次數(shù)的增大,頻率將會逐漸穩(wěn)定到概率.這里是指試驗的次數(shù)無限增大時,在某種收斂意義下逼近某一定數(shù),這就是所謂大數(shù)定律6貝努里大數(shù)定律

設(shè)n次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生nA次,在每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p,則>0,有:7∵令由契比雪夫大數(shù)定律得出結(jié)論E(Xi)=p,D(Xi)=p(1p)又表明:頻率依概率收斂于概率p以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了頻率的穩(wěn)定性8

這是歷史上最早的大數(shù)定律，是貝努利在1713年建立的。作為概率這門學(xué)科的基礎(chǔ)，其“定義”的合理性這一懸而未決的帶根本性的問題,由貝努利于1713年發(fā)表的這個“大數(shù)定律”給予了解決，被稱為概率論的第一篇論文,為概率論的公理化體系奠定了理論基礎(chǔ)。之所以被成為“定律”,是這一規(guī)律表述了一種全人類多年的集體經(jīng)驗因此，對爾后的類似定理統(tǒng)稱為大數(shù)“定律”。9契比雪夫大數(shù)定律設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,...,Xn,...相互獨立,且分別具有期望E(Xk)和方差D(Xk)(k=1,2,...),若方差有界,則>0,有:10由契比雪夫不等式,得:n1表明:算術(shù)平均值依概率收斂于數(shù)學(xué)期望11例1設(shè)隨機(jī)變量Xk(k=1,2,...)相互獨立,具有同一分布:E(Xk)=0,D(Xk)=2,且E(Xk4)(k=1,2,...)存在,試證明:>0,

[證]:令Yk=Xk2(k=1,2,...)由已知,Yk(k=1,2,...)相互獨立E(Yk)=E(Xk2)=D(Xk)+E2(Xk)=212D(Yk)=E(Yk2)E2(Yk)=E(Xk4)4由契比雪夫大數(shù)定律:>0,有135.3中心極限定理在一定條件下,大量獨立隨機(jī)變量的和的分布以正態(tài)分布為極限分布的這一類定理稱為中心極限定理

14的分布函數(shù)Fn(x)收斂到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù).獨立同分布的中心極限定理設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn,…相互獨立,服從同一分布,且具有期望和方差:

E(Xk)=,D(Xk)=2>0(k=1,2,…),則隨機(jī)變量15即xR,滿足:注意到:16例如,P{a<X<b}17例3某大型商場每天接待顧客10000人,設(shè)每位顧客的消費額(元)服從[200,2000]上的均勻分布,且顧客的消費額是相互獨立的,試求該商場的銷售額(元)在平均銷售額上、下浮動不超過30000元的概率解:設(shè)第k位顧客的消費額為Xk

(k=1,2,…,10000)商場日銷售額為X,則所求為:P{|XE(X)|≤30000}18由已知,=100001100=11106由獨立同分布中心極限定理,有:19P{30000≤X11×106≤30000}2(0.58)10.4420棣莫夫-拉普拉斯定理設(shè)隨機(jī)變量X~B(n,p)(n=1,2,…),則xR,有:(二項分布以正態(tài)分布為極限分布)21∵令X1,X2,…,Xn,…相互獨立,均服從以p為參數(shù)的兩點分布則由獨立同分布中心極限定理得出結(jié)論22二項分布是離散分布，而正態(tài)分布是連續(xù)分布，所以用正態(tài)分布作為二項分布的近似時，可作如下修正：注意點(1)23中心極限定理的應(yīng)用有三大類：

注意點(2)

ii)已知n和概率，求x；

iii)已知x和概率，求n.i)已知n和x，求概率；

24一、給定n和x，求概率例5.2.3100個獨立工作(工作的概率為0.9)的部件組成一個系統(tǒng)，求系統(tǒng)中至少有85個部件工作的概率.解：用由此得：Xi=1表示第i個部件正常工作,反之記為Xi=0.又記Y=X1+X2+…+X100，則E(Y)=90，Var(Y)=9.25二、給定n和概率，求x例5.2.4有200臺獨立工作(工作的概率為0.7)的機(jī)床，每臺機(jī)床工作時需15kw電力.問共需多少電力,才可有95%的可能性保證正常生產(chǎn)?解：用設(shè)供電量為x,則從Xi=1表示第i臺機(jī)床正常工作,反之記為Xi=0.又記X=X1+X2+…+X200，則E(X)=140，Var(X)=42.中解得26三、給定x和概率，求n例5.2.5用調(diào)查對象中的收看比例k/n作為某電視節(jié)目的收視率p的估計。要有90％的把握，使k/n與p

的差異不大于0.05，問至少要調(diào)查多少對象？解：用根據(jù)題意Xn表示n個調(diào)查對象中收看此節(jié)目的人數(shù)，則從中解得Xn服從b(n,p)分布，k為Xn的實際取值。又由可解得n=27127例5.2.6

設(shè)每顆炮彈命中目標(biāo)的概率為0.01，求500發(fā)炮彈中命中5發(fā)的概率.解:

設(shè)X表示命中的炮彈數(shù),則X~b(500,0.01)＝0.17