高中數(shù)學北師大版2第三章推理與證明綜合法與分析法 學業(yè)分層測評9

學業(yè)分層測評(九)(建議用時：45分鐘)[學業(yè)達標]一、選擇題1．已知a，b為非零實數(shù)，則使不等式eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≤－2成立的一個充分不必要條件是()A．a·b>0 B．a·b<0C．a>0，b<0 D．a>0，b>0【解析】∵eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≤－2，∴eq\f(a2＋b2,ab)≤－2.∵a2＋b2>0，∴ab<0，則a，b異號，故選C.【答案】C2．平面內有四邊形ABCD和點O，eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))，則四邊形ABCD為()A．菱形 B．梯形C．矩形 D．平行四邊形【解析】∵eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))，∴eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，∴四邊形ABCD為平行四邊形．【答案】D3．若實數(shù)a，b滿足0<a<b，且a＋b＝1，則下列四個數(shù)中最大的是()\f(1,2) B．a2＋b2C．2ab D．a【解析】∵a＋b＝1，a＋b>2eq\r(ab)，∴2ab<eq\f(1,2).而a2＋b2>eq\f(a＋b2,2)＝eq\f(1,2).又∵0<a<b，且a＋b＝1，∴a<eq\f(1,2)，∴a2＋b2最大，故選B.【答案】B4．A，B為△ABC的內角，A>B是sinA>sinB的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【解析】若A>B，則a>b，又eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，∴sinA>sinB；若sinA>sinB，則由正弦定理得a>b，∴A>B.【答案】C5．若m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，則下列命題中的真命題是()A．若mβ，α⊥β，則m⊥αB．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，則α∥βC．若m⊥β，m∥α，則α⊥βD．若α⊥γ，α⊥β，則β⊥γ【解析】對于A，m與α不一定垂直，所以A不正確；對于B，α與β可以為相交平面；對于C，由面面垂直的判定定理可判斷α⊥β；對于D，β與γ不一定垂直．【答案】C二、填空題6．設e1，e2是兩個不共線的向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2，若A，B，C三點共線，則k＝________.【解析】若A，B，C三點共線，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(CB,\s\up6(→))，即2e1＋ke2＝λ(e1＋3e2)＝λe1＋3λe2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝2，,3λ＝k，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝2，,k＝6.))【答案】67．設a＝eq\r(2)，b＝eq\r(7)－eq\r(3)，c＝eq\r(6)－eq\r(2)，則a，b，c的大小關系為________．【解析】∵a2－c2＝2－(8－4eq\r(3))＝eq\r(48)－eq\r(36)>0，∴a>c.又∵eq\f(c,b)＝eq\f(\r(6)－\r(2),\r(7)－\r(3))＝eq\f(\r(7)＋\r(3),\r(6)＋\r(2))>1，∴c>b，∴a>c>b.【答案】a>c>b8．已知三個不等式：①ab>0；②eq\f(c,a)>eq\f(d,b)；③bc>ad.以其中兩個作為條件，余下一個作為結論，則可以組成________個正確的命題．【解析】對不等式②作等價變形：eq\f(c,a)>eq\f(d,b)?eq\f(bc－ad,ab)>0.于是，若ab>0，bc>ad，則eq\f(bc－ad,ab)>0，故①③?②.若ab>0，eq\f(bc－ad,ab)>0，則bc>ad，故①②?③.若bc>ad，eq\f(bc－ad,ab)>0，則ab>0，故②③?①.因此可組成3個正確的命題．【答案】3三、解答題9．如圖3-3-4，四棱錐P-ABCD的底面是平行四邊形，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點，求證：AF∥平面PEC.圖3-3-4【證明】∵四棱錐P-ABCD的底面是平行四邊形，∴ABCD.又∵E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點，∴CFAE，∴四邊形AECF為平行四邊形，∴AF∥EC.又AF?平面PEC，EC平面PEC，∴AF∥平面PEC.10．(2023·臨沂高二檢測)在△ABC中，三個內角A，B，C對應的邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列，a，b，c也成等差數(shù)列．求證：△ABC為等邊三角形.【導學號：67720238】【證明】由A，B，C成等差數(shù)列知，B＝eq\f(π,3)，由余弦定理知b2＝a2＋c2－ac，又a，b，c也成等差數(shù)列，∴b＝eq\f(a＋c,2)，代入上式得eq\f(a＋c2,4)＝a2＋c2－ac，整理得3(a－c)2＝0，∴a＝c，從而A＝C，而B＝eq\f(π,3)，則A＝B＝C＝eq\f(π,3)，從而△ABC為等邊三角形．[能力提升]1．設x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝3，a＋b＝2eq\r(3)，則eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最大值為()A．2 \f(3,2)C．1 D．eq\f(1,2)【解析】∵ax＝by＝3，x＝loga3，y＝logb3，∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝log3(ab)≤log3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝1.故選C.【答案】C2．(2023·西安高二檢測)在△ABC中，tanA·tanB>1，則△ABC是()A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．不確定【解析】因為tanA·tanB>1，所以A，B只能都是銳角，所以tanA>0，tanB>0,1－tanA·tanB<0，所以tan(A＋B)＝eq\f(tanA＋tanB,1－tanA·tanB)<0，所以A＋B是鈍角，即C為銳角．【答案】A3．若0<a<1,0<b<1，且a≠b，則a＋b,2eq\r(ab)，a2＋b2,2ab中最大的是________．【解析】由0<a<1,0<b<1，且a≠b，得a＋b>2eq\r(ab)，a2＋b2>2ab.又a>a2，b>b2，知a＋b>a2＋b2，從而a＋b最大．【答案】a＋b4．(2023·泰安高二檢測)如圖3-3-5所示，M是拋物線y2＝x上的一點，動弦ME，MF分別交x軸于A，B兩點，且MA＝MB.若M為定點，求證：直線EF的斜率為定值．圖3-3-5【證明】設M(yeq\o\al(2,0)，y0)，直線ME的斜率為k(k>0)，∵MA＝MB，∴∠MAB＝∠MBA，∴直線MF的斜率為－k，∴直線ME的方程為y－y0＝k(x－yeq\o\al(2,0))．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－y0＝kx－y\o\al(2,0)，,y2＝x，))消去x得ky2－y＋y0(1－ky0)＝0，解得yE＝eq\f(1－ky0,k)，∴xE＝eq\f(1－ky02,k2).同理可得yF＝eq\f(1＋ky0,－