數(shù)值分析三次樣條插值_第1頁
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2.3.3三次樣條插值華長生制作1高次插值出現(xiàn)龍格現(xiàn)象L-插值（牛頓插值）Hermite插值分段插值但分段線性插值在節(jié)點處不一定光滑分段Hermite插值但導數(shù)值不容易提取（找到）三次樣條插值（先由函數(shù)值確定導數(shù)值，再由分段Hermite插值解決問題）舉例：1汽車、船的外形設計，流體力學等要求流線型（光滑）；2木樣條的來源。背景華長生制作2什么是樣條:樣條本質(zhì)上是一段一段的三次多項式拼合而成的曲線在拼接處,不僅函數(shù)是連續(xù)的,且一階和二階導數(shù)也是連續(xù)的1946年,Schoenberg將樣條引入數(shù)學,即所謂的樣條函數(shù)一、三次樣條插值函數(shù)定義1.華長生制作3------(1)華長生制作4二、三次樣條插值多項式------(2)華長生制作5------(3)------(4)華長生制作6少兩個條件并且我們不能只對插值函數(shù)在中間節(jié)點的狀態(tài)進行限制也要對插值多項式在兩端點的狀態(tài)加以要求也就是所謂的邊界條件:第一類(轉(zhuǎn)角)邊界條件:第二類(彎矩)邊界條件第三類(周期)邊界條件------(5)------(6)------(7)華長生制作7加上任何一類邊界條件(至少兩個)后一般使用第一、二類邊界條件,即------(8)或常用第二類邊界條件華長生制作82、三彎矩構(gòu)造法三次樣條插值函數(shù)可以有多種表達式，有時用二階導數(shù)值表示時，使用更方便。在力學上解釋為細梁在處的彎矩，并且得到的彎矩與相鄰兩個彎矩有關(guān)，故稱用表示的算法為三彎矩算法。對積分兩次,并利用插值條件定出積分常數(shù),可以得到由于在區(qū)間上是三次多項式，故在上是線性函數(shù)，可表示為其中華長生制作9

這是三次樣條插值函數(shù)的表達式，當求出后,就由上式完全確定.對求導得由此可得當時,的表達式可得,因此有

利用條件得華長生制作10其中

上述方程組是關(guān)于的方程組,有個未知數(shù),但只有個方程.可由前面給出的任一種邊界條件補充兩個方程。

對于轉(zhuǎn)角邊界條件，可以導出兩個方程華長生制作11這樣可解出，從而得的表達式,若令

則方程組可以寫成矩陣形式對于彎矩邊界條件,直接得然后再求解矩陣方程。華長生制作12對于周期性邊界條件，有可解出，方程組的矩陣形式為其中華長生制作13例1.對于給定的節(jié)點及函數(shù)值解:華長生制作14得方程組華長生制作15華長生制作16定理.

設在[a,b]上連續(xù)，s(x)為滿足轉(zhuǎn)角邊界條件（或彎矩邊界條件）的三次樣條插值函數(shù)，則對任意有

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