數(shù)學(xué)建模概述

暑期數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)課程主講：呂佳數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院1.0數(shù)學(xué)素養(yǎng)1.1從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型1.2數(shù)學(xué)建模的方法和步驟1.3數(shù)學(xué)模型的分類1.4數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)1.5關(guān)于建模競賽一、概述1.0數(shù)學(xué)素養(yǎng)★“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”的通俗說法是“把所學(xué)的數(shù)學(xué)知識都排除或忘掉后，剩下的東西”。例如，從數(shù)學(xué)角度看問題的出發(fā)點；有條理的思維;嚴(yán)密的思考、求證;簡潔、清晰、準(zhǔn)確的表達；在解決問題時，進行邏輯推理的意識和能力;對所從事的工作，合理的量化、簡化，周到的運籌帷幄。一是主動尋求并善于抓住數(shù)學(xué)問題的背景和本質(zhì)的素養(yǎng)；二是熟練地用準(zhǔn)確、簡明、規(guī)范的數(shù)學(xué)語言表達自己的數(shù)學(xué)思想的素養(yǎng)；三是具有良好的科學(xué)態(tài)度和創(chuàng)新精神，合理的提出新思想、新概念、新方法的素養(yǎng)；四是對各種問題以“數(shù)學(xué)方式”的理性思維，從多種角度探尋解決問題的方法的素養(yǎng)；五是善于對現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象和過程進行合理的簡化和量化，建立數(shù)學(xué)模型的素養(yǎng)?！皵?shù)學(xué)素養(yǎng)”包含五點：數(shù)學(xué)的思維方式★數(shù)學(xué)的思維方式其實與科學(xué)家的思維方式有一定共性?！镉^察客觀現(xiàn)象→分析以提出要研究的問題→抽象出概念或建立數(shù)學(xué)模型→探索→猜測可能的規(guī)律→論證→進行邏輯推理和計算→揭示出事物的內(nèi)在規(guī)律。從紛繁復(fù)雜的客觀現(xiàn)象出發(fā)得出井然有序的規(guī)律的這種全過程，就是數(shù)學(xué)的思維方式。1.1

從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型原型和模型原型：指人們在現(xiàn)實世界里關(guān)心、研究或者從事生產(chǎn)、管理的實際對象。模型：為了某個特定目的將原型的某一部分信息檢索、提煉而構(gòu)造的原型替代物。也可以說模型是為了一定目的，對原型的主要特征進行簡化、抽象得到的一個低代價近似替代物。玩具、照片、房屋模型……~實物模型地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖……~符號模型你常見的模型需要強調(diào)的是：構(gòu)造模型的目的性，模型不是原型原封不動的復(fù)制品，原型有各個方面和各種層次的特征，而模型只要求反映與某種目的有關(guān)的哪些方面和層次。模型的基本特征是由構(gòu)造模型的目的決定的。

根據(jù)模型替代原型的方式可以對模型進行分類：模型形象模型抽象模型直觀模型數(shù)學(xué)模型符號模型思維模型物理模型我們主要研究數(shù)學(xué)模型，那么，什么是數(shù)學(xué)模型呢？對于現(xiàn)實世界的一個特定對象，為了一個特定的目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡化假設(shè)，運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。建立數(shù)學(xué)模型的全過程簡稱為數(shù)學(xué)建?；蚪！?shù)學(xué)模型(MathematicalModel)數(shù)學(xué)建模（MathematicalModeling)數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模：數(shù)學(xué)與實際問題的橋梁數(shù)學(xué)建模:應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的第一步數(shù)學(xué)建模:通常有本質(zhì)性的困難和原始性的創(chuàng)新(關(guān)鍵一步)實際問題數(shù)學(xué)MathematicalModeling

數(shù)學(xué)建模的基本方法機理分析測試分析根據(jù)對客觀事物特性的認(rèn)識，找出反映內(nèi)部機理的數(shù)量規(guī)律將對象看作“黑箱”,通過對量測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型機理分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過實例研究(CaseStudies)來學(xué)習(xí)。二者結(jié)合用機理分析建立模型結(jié)構(gòu),用測試分析確定模型參數(shù)1.2數(shù)學(xué)建模的方法和步驟模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型構(gòu)成模型求解模型分析模型檢驗?zāi)Ｐ蛻?yīng)用數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型準(zhǔn)備了解實際背景明確建模目的搜集有關(guān)信息掌握對象特征形成一個比較清晰的‘問題’百度、谷歌、圖書館、書籍、維普、中國知網(wǎng)、統(tǒng)計局等數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型假設(shè)針對問題特點和建模目的作出合理的、簡化的假設(shè)在合理與簡化之間作出折中模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)的語言、符號描述問題發(fā)揮想像力使用類比法盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型求解各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計算機技術(shù)如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計分析、模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型分析模型檢驗與實際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗?zāi)Ｐ偷暮侠硇?、適用性模型應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的一般步驟數(shù)學(xué)建模的全過程現(xiàn)實對象的信息數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實對象的解答數(shù)學(xué)模型的解答表述求解解釋驗證(歸納)(演繹)表述求解解釋驗證根據(jù)建模目的和信息將實際問題“翻譯”成數(shù)學(xué)問題選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答將數(shù)學(xué)語言表述的解答“翻譯”回實際對象用現(xiàn)實對象的信息檢驗得到的解答實踐現(xiàn)實世界數(shù)學(xué)世界理論實踐1.3

數(shù)學(xué)模型的分類應(yīng)用領(lǐng)域人口、交通、經(jīng)濟、生態(tài)……數(shù)學(xué)方法初等數(shù)學(xué)、最優(yōu)化（規(guī)劃）、微分差分方程、概率統(tǒng)計、圖論……表現(xiàn)特性描述、優(yōu)化、預(yù)報、決策……建模目的了解程度白箱灰箱黑箱確定和隨機靜態(tài)和動態(tài)線性和非線性離散和連續(xù)數(shù)學(xué)應(yīng)用題與數(shù)學(xué)建模的區(qū)別數(shù)學(xué)應(yīng)用題數(shù)學(xué)建模問題來源數(shù)學(xué)教學(xué)實際背景問題條件明確清晰不完全明確，需要作進一步了解或假設(shè)解決方法多種多種問題結(jié)論有標(biāo)準(zhǔn)答案有參考解答但無標(biāo)準(zhǔn)答案。不同的假設(shè)下有不同的模型和結(jié)論數(shù)學(xué)建模——技術(shù)+藝術(shù)技術(shù)大致有章可循藝術(shù)無法歸納成普遍適用的準(zhǔn)則想像力洞察力判斷力

學(xué)習(xí)、分析、評價、改進別人作過的模型

親自動手，認(rèn)真作幾個實際題目1.4數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)需要：1、競賽的指導(dǎo)思想2、歷年試題3、競賽中的題型特點4、論文的內(nèi)容和格式5、參賽注意1.5關(guān)于建模競賽1、數(shù)模競賽的指導(dǎo)思想數(shù)模競賽題是一個“課題”，大部分都源于生產(chǎn)實際或者科學(xué)研究的過程中，它是一個綜合性的問題，數(shù)據(jù)龐大，需要用計算機來完成。其答案往往不是唯一的（數(shù)學(xué)模型是實際的模擬，是實際問題的近似表達，它的完成是在某種合理的假設(shè)下，因此其只能是較優(yōu)的，不唯一的），呈報的成果是一編“論文”。2、歷年試題1993年A題非線性交調(diào)的頻率設(shè)計1993年B題球隊排名問題1994年A題逢山開路1994年B題鎖具裝箱1995年A題一個飛行管理模型1995年B題天車與冶煉爐的作業(yè)調(diào)度1996年A題最優(yōu)捕魚策略1996年B題節(jié)水洗衣機1997年A題零件的參數(shù)設(shè)計1997年B題截斷切割1998年A題投資的收益和風(fēng)險1998年B題災(zāi)情巡視路線1999年A題自動化車床管理1999年B題鉆井布局2000年A題DNA序列分類2000年B題鋼管定購和運輸2001年A題血管的三維重建2001年B題公交車調(diào)度2002年A題車燈線光源的優(yōu)化設(shè)計2002年B題彩票中的數(shù)學(xué)2003年A題SARS的傳播2003年B題露天礦生產(chǎn)的車輛安排2004年A題奧運會臨時超市網(wǎng)點設(shè)2004年B題電力市場的輸電阻塞管理2005年A題長江水質(zhì)的評價和預(yù)測2005年B題DVD在線租賃2006年A題出版社的資源配置2006年B題艾滋病療法的評價及療效的預(yù)測2007年A題中國人口增長預(yù)測2007年B題乘公交，看奧運2008年A題數(shù)碼相機定位2008年B題高等教育學(xué)費標(biāo)準(zhǔn)探討2009年A題制動器試驗臺的控制方法2009年B題眼科病床的合理安排2010年A題儲油罐的變位識別與罐容表標(biāo)定2010年B題2010年上海世博會影響力的定量評估3、競賽中的題型特點1）.實際問題背景涉及面寬——有社會，經(jīng)濟，管理，生活，環(huán)境，自然現(xiàn)象，工程技術(shù)，現(xiàn)代科學(xué)中出現(xiàn)的新問題等。大體上可以分為工業(yè)、農(nóng)業(yè)、工程設(shè)計、交通運輸、經(jīng)濟管理、生物醫(yī)學(xué)和社會事業(yè)等七個大類。

工業(yè)類：電子通信、機械加工與制造、機械設(shè)計與控制等行業(yè),共有8個題，占28.6%。農(nóng)業(yè)類：１個題，占3.6%。工程設(shè)計類:

3個題，占10.7%。交通運輸類：3個題，占10.7%經(jīng)濟管理類：4個題，占14.3%生物醫(yī)學(xué)類：4個題，占14.3%社會事業(yè)類:5個題，占17.8%

有的問題屬于交叉的，或者是邊緣的。2）.若干假設(shè)條件1）只有過程、規(guī)則等定性假設(shè)；2）給出若干實測或統(tǒng)計數(shù)據(jù)；3）給出若干參數(shù)或圖形；4）蘊涵著某些機動、可發(fā)揮的補充假設(shè)條件，或參賽者可以根據(jù)自己收集或模擬產(chǎn)生數(shù)據(jù)。3）.要求回答的問題有幾個問題，而且一般不是唯一答案。1）比較確定性的答案（基本答案）；2）更細致或更高層次的討論結(jié)果（往往是討論最優(yōu)方案的提法和結(jié)果）。4）、涉及的數(shù)學(xué)方法繁多

從問題的解決方法上分析，涉及到的數(shù)學(xué)建模方法有幾何理論、組合概率、統(tǒng)計分析、優(yōu)化方法、圖論、網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化、層次分析、插值與擬合、差分方法、微分方程、排隊論、模糊數(shù)學(xué)、隨機決策、多目標(biāo)決策、隨機模擬、灰色系統(tǒng)理論、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、時間序列、綜合評價方法、機理分析等方法。4、論文內(nèi)容和格式1）.標(biāo)題題目——寫出較確切的題目。2）.摘要——200-300字，包括a.模型的數(shù)學(xué)歸類（在數(shù)學(xué)上屬于什么類型）；b.建模的思想（思路）；c.算法思想（求解思路）；d.建模特點（模型優(yōu)點，建模思想或方法，算法特點，結(jié)果檢驗，靈敏度分析，模型檢驗……）；e.主要結(jié)果（數(shù)值結(jié)果，結(jié)論；回答題目所問的全部“問題”）。▲注意表述：準(zhǔn)確、簡明、條理清晰、合乎語法?！鴥?nèi)容較多時最好有個目錄。3）.問題重述4）.模型假設(shè)根據(jù)全國組委會確定的評閱原則，基本假設(shè)的合理性很重要。a.根據(jù)題目中條件作出假設(shè)b.根據(jù)題目中要求作出假設(shè)C.符合實際關(guān)鍵性假設(shè)不能缺；假設(shè)要切合題意。5）.模型構(gòu)建a.基本模型：?。┦紫纫袛?shù)學(xué)模型：數(shù)學(xué)公式、方案等；ⅱ）基本模型要求完整，正確，簡明；b.簡化模型：?。┮鞔_說明簡化思想，依據(jù)等；ⅱ）簡化后模型，盡可能完整；c.模型要實用，有效，以解決問題有效為原則。數(shù)學(xué)建模面臨的、要解決的是實際問題，不追求數(shù)學(xué)上的高（級）、深（刻）、難（度大）。?。┠苡贸醯确椒ń鉀Q的、就不用高級方法；ⅱ）能用簡單方法解決的，就不用復(fù)雜方法；ⅲ）能用被更多人看懂、理解的方法，就不用只能少數(shù)人看懂、理解的方法。d．鼓勵創(chuàng)新，但要切實，不要離題搞標(biāo)新立異。數(shù)模創(chuàng)新可出現(xiàn)在：1.建模中，模型本身，簡化的好方法、好策略等；2.模型求解中；3.結(jié)果表示、分析、檢驗，模型檢驗；4.推廣部分。e．在問題分析推導(dǎo)過程中，需要注意的問題：?。┓治觯褐锌稀⒋_切；ⅱ）術(shù)語：專業(yè)、內(nèi)行；ⅲ）原理、依據(jù)：正確、明確；ⅳ）表述：簡明，關(guān)鍵步驟要列出；ⅴ）忌：外行話，專業(yè)術(shù)語不明確，表述混亂，冗長。6）.模型求解a.需要建立數(shù)學(xué)命題時：命題敘述要符合數(shù)學(xué)命題的表述規(guī)范，盡可能論證嚴(yán)密。b.要說明計算方法或算法的原理、思想、依據(jù)、步驟。若采用現(xiàn)有軟件，說明采用此軟件的理由，軟件名稱。

c.計算過程，中間結(jié)果可要可不要的，不要列出。d.設(shè)法算出合理的數(shù)值結(jié)果。7）.結(jié)果分析、檢驗；模型檢驗及模型修正；結(jié)果表示a.最終數(shù)值結(jié)果的正確性或合理性是第一位的；b.對數(shù)值結(jié)果或模擬結(jié)果進行必要的檢驗；結(jié)果不正確、不合理、或誤差大時，分析原因，對算法、計算方法、或模型進行修正、改進。c.題目中要求回答的問題，數(shù)值結(jié)果，結(jié)論，須一一列出；d.列數(shù)據(jù)問題：考慮是否需要列出多組數(shù)據(jù)，或額外數(shù)據(jù).對數(shù)據(jù)進行比較、分析，為各種方案的提出提供依據(jù)；e.結(jié)果表示：要集中，一目了然，直觀，便于比較分析?！鴶?shù)值結(jié)果表示：精心設(shè)計表格；可能的話，用圖形圖表形式。▲求解方案，用圖示更好。8）.模型評價優(yōu)點突出，缺點不回避。改變原題要求，重新建?？稍诖俗?。推廣或改進方向時，不要玩弄新數(shù)學(xué)術(shù)語，沒把握時，不要隨便推廣、改進。9.參考文獻[1]武桃，張力.數(shù)學(xué)模型[M].北京：高等教育出版社，1960，45-49.[2]陸平.數(shù)學(xué)模型研究[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2010，2(5):12-18.[3]數(shù)學(xué)實驗,.10）.附錄詳細的結(jié)果