2020新高考壓軸雙曲線題型大題練習(xí)全國通用一

試卷第試卷第頁，總58頁參考答案(1)匹=1(%>0)(II)證明見解析.3【解析】【分析】根據(jù)題意，判斷出動點的軌跡方程為雙曲線的右支，然后根據(jù)定義即可求得雙曲線的方程。討論當(dāng)直線斜率存在與不存在兩種情況下直線過定點問題。當(dāng)斜率不存在時，易得直線過定點的坐標(biāo)為P(1,0)；當(dāng)斜率存在時，設(shè)出直線方程，聯(lián)立曲線方程，消y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理表示出兩個交點橫坐標(biāo)間的關(guān)系；利用kpM=kpB，再證明直線BM經(jīng)過P(1,0)o【詳解】由已知|PFJ=|PF2I+2，即|PFJ-呵=2所以P軌跡C為雙曲線的右支，2a=2，a=1,IF^I=2c=4,c=2???曲線C標(biāo)準(zhǔn)方程％2—X2=1(x>0)3由對稱性可知，直線BM必過%軸的定點當(dāng)直線匚的斜率不存在時，4(2,3),B(2,—3),M(1,3)，知直線EM經(jīng)過點P(1,0)122當(dāng)直線-的斜率存在時，不妨設(shè)直線l1：y=k(x—2)，A(x1>y1)，B(x2>y2)直線ADy=-^-^(x+1)，當(dāng)％=2時，y，m(1,3x^~)x^^+12M2(x1+1)22(x1+1)1得(3—k2)x2+4k2x-(4k2+3)=0,x+x=—4k2,x,x=4k2±33X2—y2=3123—k212k2—3下面證明直線BM經(jīng)過點P(10),即證kpM=kpB，即^二亠X1+1X21即—3y1x2+3yr=x1y2+y2，由％=叭—2k,y2=kx2—2k整理得，4%/—5(%+x)+4=0,即4?血2+3—5?旦遼+4仇2-3)=01212k2—3k2—3k2—3即證BM經(jīng)過點P(1,0),直線BM過定點(1,0)【點睛】本題考查了利用定義求圓錐曲線的方程，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，直線過定點問題，綜合性強，需要很好的思維和計算能力，屬于難題。my2(1)軌跡E的方程為：——X2+〒二1(x豐0),

當(dāng)m=-1當(dāng)m=-1時，軌跡E表示以（0,0）為圓心3為半徑的圓，且除去兩點；當(dāng)m<-1時，軌跡E表示焦點在y軸上的橢圓，且除去JU込）兩點；當(dāng)—1<m<0時，軌跡E表示焦點在x軸上的橢圓，且除去小亍）兩點;當(dāng)m>0時，軌跡E表示焦點在y軸上的雙曲線，且除去'，-打）'人3）兩點；（2）直線EF斜率為為定值2解析】my2試題分析：（1）設(shè)點C的坐標(biāo)（x,y），由直接法得到-yx2+-二1（X豐0），然后對參數(shù)m分類說明其表示什么曲線。當(dāng)m=-1時，表示圓；而m豐0,所以再分m<-1，—1<m<0，m>0這三種情況依次說明。（2）設(shè)出PE、PF的直線方程，并分別求出點E、F的坐標(biāo)，從而表示出EF的斜率，最后化簡整理即知，直線EF的斜率為定值。試題解析：（1）令C點坐標(biāo)為（x,y），則直線AC的斜率k=甘3，直線BC的斜率1xTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"k="，因為兩直線的斜率之積為m,所以有kk=-（'）==m,2x12xxx2my2化簡得到-yx2+亍=1（x豐0），所以當(dāng)m=-當(dāng)m=-1時，軌跡E表示以（0,0）為圓心，為半徑的圓，且除去兩點；當(dāng)m<-1時，軌跡E表示焦點在y軸上的橢圓，且除去‘廠71爲(wèi)）兩點;軌跡E表示焦點在x軸上的橢圓，且除去當(dāng)m>0時，軌跡E表示焦點在y軸上的雙曲線，且除去',-朽）'‘爲(wèi)）兩點；x2y23（2）由題意曲線C為+=1（x豐0），點P（1，2）,

設(shè)中,人）,匕,打），令直線PE:y-1二k（x-1）,聯(lián)立橢圓方程，得3+4k2人2+8k（|-k）x+4（|一k）2-12二0,同理,k—EF-4k2-同理,k—EF-4k2-⑵一3,故x13+4k24k2+12k-33+4k2,二x一x21—4k2-12k-33+4k2,33一k（x一1）+一[k（x一1）+]2212一k（x+x）+2k121—x一x221x一x21故直線EF斜率為為定值-2考點：①求點的軌跡方程；②判斷直線的斜率是否為定值。思路點睛】（1）判斷軌跡方程表示的曲線是本題的一個難點，首先明白高中常見的二次曲my2線就是二次函數(shù)、圓及圓錐曲線，因此根據(jù)結(jié)果形式-1x2+-—1（x豐0）及m豐0知,當(dāng)m=-1時，方程表示圓；而m=-1且m豐0時的三種情況m<-1，—1<m<0，m>0表示的是圓錐曲線。（2）判斷直線的斜率是否為定值，這類題目一般是字母多，運算量大，題目不難只是繁，應(yīng)培養(yǎng)沉穩(wěn)、不急躁的良好心理素質(zhì)，細(xì)心運算一般都可迎刃而解。3.（1）罕-罕—1；（2）孚<kpA<2434PA22解析】試題分析：⑴由雙曲線的性質(zhì)求曲線方程；⑵設(shè)出點p（x，y）的坐標(biāo)，并表示出kpA，紜注意圓錐曲線經(jīng)常設(shè)而不求，所以如何利用x,y的關(guān)系是簡化問題的突破口，根據(jù)斜率3PAPAk,k的形式，可求出k-k—，然后利用直線PA1的斜率范圍求出直線PA2斜率PA1PA2PA1PA24的取值范圍。試題解析：3—2a7―牙fa—2x2y21）由題意,Jc，則1故雙曲線C:〒一寧—1.1）由題意,42一32—1[b—J343、a2b2

(2)設(shè)點P(兀y)，由題意，A1(_2,0),A2(2，0),51=占'kpA2=占,故■■=（772）?（7^2）故■■=（772）?（7^2）=壬=4又怙e1邁’2T，則「3“3]P2G「〒，2]考點：①求雙曲線方程；②求直線斜率范圍。解析】試題分析：（1）由雙曲線的性質(zhì)求曲線方程;（2）設(shè)出點P（x,y）的坐標(biāo)，并表示出環(huán)斗％，注意圓錐曲線經(jīng)常設(shè)而不求，所以如何利用x,y的關(guān)系是簡化問題的突破口，根據(jù)斜率3■■■-二，-的形式，可求出l-二一，然后利用直線的斜率范圍求出直線二之斜率--4的取值范圍.試題解析：（1）由題意，“，則r—r=1打*礦a=（1）由題意，“，則r—r=1打*礦“圧，故雙曲線y=-（2）設(shè)點=，由題意，三'一■上-，1&—”，-x—2故"■二--（兀+2）（X-2）干—44考點：①求雙曲線方程；②求直線斜率范圍．5.（I）久=丄；（II）①詳見解析，②4.2【解析】試題分析：（I）根據(jù)曲線方程表示的軌跡：曲線q,曲線C2皆為焦點在x軸上的橢圓，利

用橢圓幾何性質(zhì)有阿=V4二解得久=丄（11［①本題以算代征：由于P為4C中點，所2以可根據(jù)“點差法”得到?p'kAC=~~=—^，再根據(jù)點斜式得AC:y-y0=k（x-X0）=a22-斗（％-暫），化簡即為匕—二二■②處理四邊形ABCD的面積是本題關(guān)鍵，主要思路2兒0

為分割成兩個三角形，即將四邊形的一條對角線看做底，另兩個頂點到這條對角線的距離看做高，這里計算較大，一是求弦長，二是求點到直線距離，參數(shù)選擇為5(%0，兒)，最后約去參數(shù)得四邊形ABCD的面積.試題解析：解：（I）V4A=V4—42A=12(II)①證明；??4=呂二VF(x：,yj肯曲線G上一點,過點P件直線交曲線「千AC兩點.直線0P交曲線：于乩D兩點.X0^-2v0~=2,直線OF：y=—xs"HO聯(lián)立f—聯(lián)立f—

一x"xOlx+2v—4s■_bl=-1TOC\o"1-5"\h\za22ZC：y—y0=fc（x—%0）=—斗（％—%0）即~-2y°y0=0,%=±V2,仃嚴(yán)=±72符合y=—X+—1?②解法一：聯(lián)立方程2y0y0（1+斗）％2+2_4=0x2+2y2=42埒埒埒即2%2-4%0%+4-8y2=0|4C|=Vi+埠比一4y0￡|4C|=Vi+埠比一4y0￡°|=V1+V4x2—8+I6y2=V1+V8y2004y20BfD至I」AC距離￡=2P2—2,d2V%0+4y04瓚

=2於+2厶2+4丁2S=1|4C|-（d+d）=4212當(dāng)y0=0時ABCD面積也為4②解法二：V—兀0x~+―1聯(lián)立方程2y0y0（1+舟）％2-芻％+2一4=0%2+2y2=42埒埒埒即2%2—4%0%+4—8y2=0|4C|=V1+比一％」=V1+咼V4%2—8+16y24埒4y200

=J1+=J1+42J8y2,。到力c距離"=2卜0+切0Sabcd=2$%oc=4當(dāng)y0=0時ABCD面積也為4②解法三：P（x°，兒），鞏卡%，卡兒），°（_申%，_卡兒）腫=2卡角+埒，A（x1,y1），lBD：yoX-Xoy=04到BD的距離為d=JxO+y04，又％叫+2y0y1=2,%0+2yo=2,%2+2丹=4，8=(%o+2yo)(%2+2y2)=%o%2+2y2%o+2yo%2+4yoy2

=(xo+2(%=4+2(%則|y°叫又p為4C中點，則S=2-1-d-IBDI=〔叫衍-心叫1-2I2lx2+y2=4.2卜0+%7700考點：橢圓性質(zhì)，直線與橢圓位置關(guān)系16^56.（1）x2+y2=i（y^o）和迢—妙=1（y>0）；（2）證明見解析；（3）5.20162016【解析】試題分析：（I）本題曲線方程的求法實質(zhì)為待定系數(shù)法，即根據(jù)條件列出兩個方程組，解出對應(yīng)參數(shù)即可（II）本題證明方法為以算代證，即先求出弦的中點M坐標(biāo),再代入雙曲線漸近線方程進(jìn)行驗證.先根據(jù)條件設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立方程組，根據(jù)韋達(dá)定理及中點坐標(biāo)公式求出弦中點橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)），代入直線方程可得弦中點縱坐標(biāo)（或橫坐標(biāo)），再代入雙曲線另一漸近線方程進(jìn)行驗證（III）三角形CDF1的面積可轉(zhuǎn)化為等于兩