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線性代數(shù) 線性代數(shù)是討論矩陣?yán)碚?有限維向量空間及其線性變換理論的一門學(xué)科.線性代數(shù)在數(shù)學(xué),物理學(xué)(量子力學(xué)),計(jì)算機(jī)圖形學(xué)(數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)),計(jì)算機(jī)輔助涉及,學(xué)等學(xué)科有重要的應(yīng)用.我的研究方向是代數(shù)群和量子群,線性代數(shù)是我的這個(gè)研究方向的理論基礎(chǔ).大家在剛開始學(xué)這門,可能會(huì)覺得有些痛苦.可能會(huì)覺得概念太多,太抽象,這是一個(gè)正?，F(xiàn)象.等到把這門課學(xué)完以后,會(huì)發(fā)現(xiàn)其實(shí)這門課一點(diǎn)也不抽象,很多概 二階與三階行列式解方程是代數(shù)中的一個(gè)基本問題.在中學(xué)中,我們解過一元,二元,三元一次方程組,一元二次方程.我們知道一元二次方程有求根公式,其實(shí)一元三次方程組,一元四次方程組也有根式求解,但是一般高于四次的一元方程是不能用根式求解的.這個(gè)問題是伽羅瓦通過引入群的概念徹底解決的,他把一元高次方程的根式求解問題轉(zhuǎn)化為群論的問題,然后通過研在這門課程當(dāng)中我們不討論高次方程組的求解問題,我們討論的是多元一次方程組的求解問題,也就是討論線性方程組的求解問題.在這本書的前面三章中,我們主要討論多元一次方程組的求解問題第二章引進(jìn)矩陣的概念,并且討論矩陣的一些基本性質(zhì)a11x1a12x2我們現(xiàn)在來看一個(gè)二元一次方程組axaxb,x1x2是未知數(shù)21 22 若aaa 0,則xb1a22b2a12,xa11b211 12 a aa a a

11 12 11 12令稱為二階行列式

a11a22

a

中,a11a22的斜線稱為主對(duì)角線.a12a21的斜線稱為 對(duì)角線.a11a22a12aa12a21的乘積例 26353 ba ba

a12,babaa

b1.則x ,,x ..1b1 2b2

2 1ab ab2

,x的分子也是二階行列式,

aa

i

aa

§2全排列及其逆序數(shù)定義:由1, ,n組成的一個(gè)有序數(shù)組稱為一個(gè)n級(jí)排列例如231是一個(gè)三級(jí)排列.所有的三級(jí)排列:123,132,213,231,312,定義:在一個(gè)排列中,如果一對(duì)數(shù)的前后位置與大小順序相反,即前面的數(shù)大于后面的數(shù),則稱之為一個(gè)逆序,一個(gè)排列中逆序的總數(shù)稱為這個(gè)排列的逆序數(shù).例如:排列2431中,21,43,41,31都是逆序.2431的逆序數(shù)是4記(j1 jn)排列j1 jn的逆序數(shù)定義:逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列,逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列.例:(2431)4,所以2431是偶排列.(3214)3,所以3214是奇排列逆序數(shù)的計(jì)算：設(shè)p1 pn為1, ntt1t2 tn其中tipipi大的數(shù)的個(gè)數(shù).是求和符號(hào),表示把所有的ti加起來,i從1n例 求排列1 (2n (2n)的逆序數(shù)解:t10,t20 ,tn0,2ntn1n1,tn2n2 所以(1 (2n (2n))ti(n1)(n2) 0 i §3n 二階行列式aa11a22a12a21aj a1ja2j j12是一個(gè)二級(jí)排其中j1j2j1j2Σ是對(duì)所有二級(jí)排列求和三階行列式的定義

a11a22a33a12a23a31 1(j1j2j3)a 1j12j23n階行列式的定義an其中n階行列式的定義an(j1j2jnj1j2jn是一個(gè)n列

annj簡(jiǎn)記為det(aij).其中(j1j2 jn)一個(gè)排列j1j2 為主對(duì)角線.a1nan1的斜線稱為副對(duì)角線列式的(ij元

aij位于這個(gè)行列式的第ij列,稱為, a1ja2

是行列式的不不同列的元素的乘積a1ja1j2 na積順序是按照行指標(biāo)來排列的,行指標(biāo)是按照自然順序12 n排列,求和是對(duì)列指標(biāo)求和,列指標(biāo)取遍所有的n級(jí)排列.由上可知,n階行列式恰好是它的 ★例1.證

(n1)n 21 2

1 證:記a111,a,,annn.因?yàn)樾辛惺降扔诓籲 和,a11以外其余元素都是零,a11,a22以外其余元素都是零,a22,nann以外其余元素都是零,所以第n行只能取ann,所

(1)(12n)a

11

1 記b1n1,b2,n12,

bn1n.因?yàn)樾辛惺降扔诓徊煌械膎個(gè)元素的代數(shù)和行列式的第一行只能取b1n,第二行只能取b2,n1,n行只能取bn1b0b

(1)(n(n1)21)b

1n 1 ★例2.證明

ann下三角行列式

a

a上三角行列式

11 證:只證(1).因?yàn)樾辛惺降牡谝恍谐薬11以外其余元素都是零,a11,第二行除了a12和a22以外其余元素都是零,但是因?yàn)樾辛惺降扔诓徊煌械膎個(gè)元素的代數(shù)和,a12a11在同一列,a12,a22,n行只能取ann

(1)(12n)a .□

11定理an

i1i2in是一個(gè)n列

(i1i2in nin§5行列式的性質(zhì)記

an

,DT

an

D的轉(zhuǎn)置行列式例D

6

DT

6798 9 798注意D的(i,j元＝DT的(i,j元.性質(zhì)1.DDT. DT

b2n.

aji由上面的定理知DT(1)(i1i2in)b i1i2

i11i2 in(i1i2in)1i i1i2D 2.ri表示行列式的第i行,ci表示行列式的第i,交換行列式的ijrirj,1(或cicj 例D 6 6.D 46 6

推論.若行列式有兩行（或兩列）完全相同,則此行列式為0r證:設(shè)行列式D的第i行和第j行完全相同.則DjD,DD.所以D0 123例D4560123性質(zhì) 行列式的第i行(或列)乘以k,記為kri(或kci 例

k 6 性質(zhì) 例 6k4 60

a1i

a2i

a2n ani a 例 c 6 6 6 e

性質(zhì) 把行列式的第j行的k倍加到第i行,記作rikrjjk倍加到第i列,記作cikcjriDD1D1D(或cikcj r 例 4 5 63k 計(jì)算行列式

一.rirjrikrj可把行列式化簡(jiǎn)成上三角行列式123r123r 258r338 1232

r3r3

1 21

3r4 012012 1402140001

2 abbbbabbbbabbabbbbabbbbabbbbac

a

rra rrD rrD

a 解

a3b a

a a(a3b)(ab)3 例4.計(jì)算Dn 1111

0n11 n10 解:Dn1

n11 1

(1)n1(n1) n11 1

nn11 0 5.

5.D

a323a33a223a23a12

a23解:

c2c2

r1r1

a21

5 akk

★6.

0

dd

bb

b bdd

證:我們只證明(1),類似可以證明(21)D D1

aa

,D2

bbD2

若干次ri若干次rikrj的運(yùn)ak若干次rikrj的若干次rikrj的運(yùn)bk

ak n 所以D

a bDD k 1 二.

7.計(jì)算2nD2n

00 00 解:第2n行依次與第2n1行,第2n2行, ,第2行對(duì)換.第2n列依次與第2n1列,第2n2列, ,第2列對(duì)換.

0

(1)2(2n2)(ad 4r3r34r3r3例如D

04c4c3

b

d記xD,xnadbc,xD b(adbc) 所以 xx(adbc)n1(adbc)n §6行列式按行（列）一般來說,高階行列式的計(jì)算比較復(fù)雜.在這一節(jié)當(dāng)中我們討論如何把高階行列式的計(jì)算題化簡(jiǎn)成低階行列式的計(jì)算問題.為了達(dá)到這個(gè)目的,我們引入 在n階行列式中，把元素aij所在的第i行、第j列劃去，剩下的元素按原來的排 式，記為M；而A1ijM稱為a的代數(shù)子式

aa aa

例在

中,

13

,a的代數(shù)式

A(1)21 M 引理 若行列式D中的第i行所有aik(kj)為零， a1 D DaijAij

riri1,ri1 ,r2 i1j1a1 證 Dc , ,

c j j

ij1ijaMaA ij定理

ai1Ai1ai2Ai2 ainAini1 n(行列式按第i行展開

a1jA1ja2jA2j anjAnjj1 n(行列式按第j列展開 證： ai10 0 0ai2 0 00 an

0

an

an

an ai1Ai1ai2Ai2 ainAin 23000120001.D45230.6712389012 3

0r

16解D

2010020xx0 2010020xx0

4 2.D100x02x0100x02x00x300004解:

00的根

(4x2)(6x2) 4所以D的根是2, 111111n

(xx) 1 (其中是連乘符號(hào),xixj乘起來,i,j滿足條件1jin例如.D2x2x1,D3x2x1)(x3x1)(x3x2D4(x2x1)(x3x1)(x4x1)(x3x2)(x4x2)(x4x3)證:n歸納.n2時(shí)顯然成立rnrnrn1r2 x2xx

x(xx

xnx2xxx(xx 1 1 xn2xxn3xn3(xx xn2xxn3xn3(xx 1 1 xn1xxn2xn2 x xn1xxn2xn2(xx 1 1 (xx

x

xx(x2x1 (xnx1)2

x(xixj)x1

(xixj) 定理的推 ai1Aj1ai2Aj2 ainAjn0ia1iA1ja2iA2j aniAnj0i

jj 證 aj1Aj1aj2Aj2 a 0

ai1Aj1ai2Aj2 ainAjn(因?yàn)閮蓚€(gè)行列式只有第j行不同,所以它們的第j行的代數(shù)式對(duì)應(yīng)相等.) aAaA a

iji1 i2j in

i aAaA a i

1i1 2i2 ni

i性質(zhì).

中aij的代數(shù)式是AijD b1Ai1b2Ai2 證:因?yàn)閮蓚€(gè)行列式只有第i行不同,所以它們的第i行的代數(shù)式對(duì)應(yīng)相等按第i行展D□a1,ja1,jan,jan,jb1A1jb2A2j 21 0 13 例.設(shè)D ,D的(i,j) 21 0 13 A11A12A13A14M11M21M31M41 11 0解:A11A12A13A14

4 121101313M11M21M31M41A11121101313

§7法11 12 1n axax axbaxax11 12 1n 21 22 2n an1x1an2x2 annxn

的系數(shù)行列式D

0,則(1)有唯一解:xD1,xD2 ,xDn a1,j

a1,

Dj

an,j an,j 在第三章中我們可以證明定理.(1)有唯一解det(aij)0非齊次線性方程組 b1,b2 ,bn不全為0齊次線性方程組 b1b2 bn0a11x1a12x2 a1nxnaxax ax21 22 2n an1x1an2x2 annxnx1x2 xn0一定是(2)的解,稱為(2)的零解2)的其它解稱為(2)的非零解定理 (2)只有零解D逆否命題2)有非零解D0證:由上面的定理知(2)只有零解(2)有唯一解D0 x13x27x3 1.求2x4x3x 3x7x2x 解:D

3196,D1 354,D2

338

D 180.

D1

27,x

D219

D3

20 3

D (5)x2y2z例2.問取何值時(shí),齊次線性方程組2x(6) 0(*)有非零解 (4)z5 解:(*)有非零解 6 0. 45 6 4

(31526680)所以(*)有非零解315266800問題:如何對(duì)31526680進(jìn)行因式分解定理.設(shè)f()an n