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文檔簡介
2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù),若對任意,都有成立,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.2.設函數(shù)(,)是上的奇函數(shù),若的圖象關于直線對稱,且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),則()A. B. C. D.3.已知復數(shù),為的共軛復數(shù),則()A. B. C. D.4.設全集,集合,則=()A. B. C. D.5.如圖所示,三國時代數(shù)學家在《周脾算經(jīng)》中利用弦圖,給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個全等的直角三角形及一個小正方形(陰影),設直角三角形有一個內(nèi)角為,若向弦圖內(nèi)隨機拋擲200顆米粒(大小忽略不計,?。瑒t落在小正方形(陰影)內(nèi)的米粒數(shù)大約為()A.20 B.27 C.54 D.646.某個小區(qū)住戶共200戶,為調(diào)查小區(qū)居民的7月份用水量,用分層抽樣的方法抽取了50戶進行調(diào)查,得到本月的用水量(單位:m3)的頻率分布直方圖如圖所示,則小區(qū)內(nèi)用水量超過15m3的住戶的戶數(shù)為()A.10 B.50 C.60 D.1407.設集合,,若集合中有且僅有2個元素,則實數(shù)的取值范圍為A. B.C. D.8.設為定義在上的奇函數(shù),當時,(為常數(shù)),則不等式的解集為()A. B. C. D.9.設拋物線上一點到軸的距離為,到直線的距離為,則的最小值為()A.2 B. C. D.310.若,則實數(shù)的大小關系為()A. B. C. D.11.已知f(x),g(x)都是偶函數(shù),且在[0,+∞)上單調(diào)遞增,設函數(shù)F(x)=f(x)+g(1-x)-|f(x)-g(1-x)|,若a>0,則()A.F(-a)≥F(a)且F(1+a)≥F(1-a)B.F(-a)≥F(a)且F(1+a)≤F(1-a)C.F(-a)≤F(a)且F(1+a)≥F(1-a)D.F(-a)≤F(a)且F(1+a)≤F(1-a)12.已知集合(),若集合,且對任意的,存在使得,其中,,則稱集合A為集合M的基底.下列集合中能作為集合的基底的是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若變量,滿足約束條件則的最大值為________.14.在中,內(nèi)角的對邊分別是,若,,則____.15.已知實數(shù),滿足,則目標函數(shù)的最小值為__________.16.已知函數(shù),若函數(shù)恰有4個零點,則實數(shù)的取值范圍是________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設的內(nèi)角、、的對邊長分別為、、.設為的面積,滿足.(1)求;(2)若,求的最大值.18.(12分)已知橢圓經(jīng)過點,離心率為.(1)求橢圓的方程;(2)經(jīng)過點且斜率存在的直線交橢圓于兩點,點與點關于坐標原點對稱.連接.求證:存在實數(shù),使得成立.19.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)當時,討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)若對任意的和恒成立,求實數(shù)的取值范圍.20.(12分)已知函數(shù),曲線在點處的切線在y軸上的截距為.(1)求a;(2)討論函數(shù)和的單調(diào)性;(3)設,求證:.21.(12分)已知橢圓的中心在坐標原點,其短半軸長為,一個焦點坐標為,點在橢圓上,點在直線上的點,且.證明:直線與圓相切;求面積的最小值.22.(10分)已知函數(shù)(1)若函數(shù)有且只有一個零點,求實數(shù)的取值范圍;(2)若函數(shù)對恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.D【解析】
先將所求問題轉化為對任意恒成立,即得圖象恒在函數(shù)圖象的上方,再利用數(shù)形結合即可解決.【詳解】由得,由題意函數(shù)得圖象恒在函數(shù)圖象的上方,作出函數(shù)的圖象如圖所示過原點作函數(shù)的切線,設切點為,則,解得,所以切線斜率為,所以,解得.故選:D.【點睛】本題考查導數(shù)在不等式恒成立中的應用,考查了學生轉化與化歸思想以及數(shù)形結合的思想,是一道中檔題.2.D【解析】
根據(jù)函數(shù)為上的奇函數(shù)可得,由函數(shù)的對稱軸及單調(diào)性即可確定的值,進而確定函數(shù)的解析式,即可求得的值.【詳解】函數(shù)(,)是上的奇函數(shù),則,所以.又的圖象關于直線對稱可得,,即,,由函數(shù)的單調(diào)區(qū)間知,,即,綜上,則,.故選:D【點睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應用,由對稱軸、奇偶性及單調(diào)性確定參數(shù),屬于中檔題.3.C【解析】
求出,直接由復數(shù)的代數(shù)形式的乘除運算化簡復數(shù).【詳解】.故選:C【點睛】本題考查復數(shù)的代數(shù)形式的四則運算,共軛復數(shù),屬于基礎題.4.A【解析】
先求得全集包含的元素,由此求得集合的補集.【詳解】由解得,故,所以,故選A.【點睛】本小題主要考查補集的概念及運算,考查一元二次不等式的解法,屬于基礎題.5.B【解析】
設大正方體的邊長為,從而求得小正方體的邊長為,設落在小正方形內(nèi)的米粒數(shù)大約為,利用概率模擬列方程即可求解。【詳解】設大正方體的邊長為,則小正方體的邊長為,設落在小正方形內(nèi)的米粒數(shù)大約為,則,解得:故選:B【點睛】本題主要考查了概率模擬的應用,考查計算能力,屬于基礎題。6.C【解析】從頻率分布直方圖可知,用水量超過15m3的住戶的頻率為,即分層抽樣的50戶中有0.3×50=15戶住戶的用水量超過15立方米所以小區(qū)內(nèi)用水量超過15立方米的住戶戶數(shù)為,故選C7.B【解析】
由題意知且,結合數(shù)軸即可求得的取值范圍.【詳解】由題意知,,則,故,又,則,所以,所以本題答案為B.【點睛】本題主要考查了集合的關系及運算,以及借助數(shù)軸解決有關問題,其中確定中的元素是解題的關鍵,屬于基礎題.8.D【解析】
由可得,所以,由為定義在上的奇函數(shù)結合增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù),可知在上單調(diào)遞增,注意到,再利用函數(shù)單調(diào)性即可解決.【詳解】因為在上是奇函數(shù).所以,解得,所以當時,,且時,單調(diào)遞增,所以在上單調(diào)遞增,因為,故有,解得.故選:D.【點睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性解不等式,考查學生對函數(shù)性質(zhì)的靈活運用能力,是一道中檔題.9.A【解析】
分析:題設的直線與拋物線是相離的,可以化成,其中是點到準線的距離,也就是到焦點的距離,這樣我們從幾何意義得到的最小值,從而得到的最小值.詳解:由①得到,,故①無解,所以直線與拋物線是相離的.由,而為到準線的距離,故為到焦點的距離,從而的最小值為到直線的距離,故的最小值為,故選A.點睛:拋物線中與線段的長度相關的最值問題,可利用拋物線的幾何性質(zhì)把動線段的長度轉化為到準線或焦點的距離來求解.10.A【解析】
將化成以為底的對數(shù),即可判斷的大小關系;由對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),可判斷出與1的大小關系,從而可判斷三者的大小關系.【詳解】依題意,由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得.又因為,故.故選:A.【點睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),考查了對數(shù)的運算性質(zhì).兩個對數(shù)型的數(shù)字比較大小時,底數(shù)相同,則構造對數(shù)函數(shù),結合對數(shù)的單調(diào)性可判斷大?。蝗粽鏀?shù)相同,則結合對數(shù)函數(shù)的圖像或者換底公式可判斷大小;若真數(shù)和底數(shù)都不相同,則可與中間值如1,0比較大小.11.A【解析】試題分析:由題意得,F(xiàn)(x)=2g(1-x),f(x)≥g(1-x)∴F(-a)=2g(1+a),f(a)=f(-a)≥g(1+a)2f(-a),f(a)=f(-a)<g(1+a),∵a>0,∴(a+1)2-(a-1)∴若f(a)>g(1+a):F(-a)=2g(1+a),F(xiàn)(a)=2g(1-a),∴F(-a)>F(a),若g(1-a)≤f(a)≤g(1+a):F(-a)=2f(-a)=2f(a),F(xiàn)(a)=2g(1-a),∴F(-a)≥F(a),若f(a)<g(1-a):F(-a)=2f(-a)=2f(a),F(xiàn)(a)=2f(a),∴F(-a)=F(a),綜上可知F(-a)≥F(a),同理可知F(1+a)≥F(1-a),故選A.考點:1.函數(shù)的性質(zhì);2.分類討論的數(shù)學思想.【思路點睛】本題在在解題過程中抓住偶函數(shù)的性質(zhì),避免了由于單調(diào)性不同導致1-a與1+a大小不明確的討論,從而使解題過程得以優(yōu)化,另外,不要忘記定義域,如果要研究奇函數(shù)或者偶函數(shù)的值域、最值、單調(diào)性等問題,通常先在原點一側的區(qū)間(對奇(偶)函數(shù)而言)或某一周期內(nèi)(對周期函數(shù)而言)考慮,然后推廣到整個定義域上.12.C【解析】
根據(jù)題目中的基底定義求解.【詳解】因為,,,,,,所以能作為集合的基底,故選:C【點睛】本題主要考查集合的新定義,還考查了理解辨析的能力,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.7【解析】
畫出不等式組表示的平面區(qū)域,數(shù)形結合,即可容易求得目標函數(shù)的最大值.【詳解】作出不等式組所表示的平面區(qū)域,如下圖陰影部分所示.觀察可知,當直線過點時,有最大值,.故答案為:.【點睛】本題考查二次不等式組與平面區(qū)域、線性規(guī)劃,主要考查推理論證能力以及數(shù)形結合思想,屬基礎題.14.【解析】
由,根據(jù)正弦定理“邊化角”,可得,根據(jù)余弦定理,結合已知聯(lián)立方程組,即可求得角.【詳解】根據(jù)正弦定理:可得根據(jù)余弦定理:由已知可得:故可聯(lián)立方程:解得:.由故答案為:.【點睛】本題主要考查了求三角形的一個內(nèi)角,解題關鍵是掌握由正弦定理“邊化角”的方法和余弦定理公式,考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.15.-1【解析】
作出不等式對應的平面區(qū)域,利用線性規(guī)劃的知識,通過平移即可求z的最大值.【詳解】作出實數(shù)x,y滿足對應的平面區(qū)域如圖陰影所示;由z=x+2y﹣1,得yx,平移直線yx,由圖象可知當直線yx經(jīng)過點A時,直線yx的縱截距最小,此時z最小.由,得A(﹣1,﹣1),此時z的最小值為z=﹣1﹣2﹣1=﹣1,故答案為﹣1.【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應用,利用數(shù)形結合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法,是基礎題16.【解析】
函數(shù)恰有4個零點,等價于函數(shù)與函數(shù)的圖象有四個不同的交點,畫出函數(shù)圖象,利用數(shù)形結合思想進行求解即可.【詳解】函數(shù)恰有4個零點,等價于函數(shù)與函數(shù)的圖象有四個不同的交點,畫出函數(shù)圖象如下圖所示:由圖象可知:實數(shù)的取值范圍是.故答案為:【點睛】本題考查了已知函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)取值范圍問題,考查了數(shù)形結合思想和轉化思想.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2).【解析】
(1)根據(jù)條件形式選擇,然后利用余弦定理和正弦定理化簡,即可求出;(2)由(1)求出角,利用正弦定理和消元思想,可分別用角的三角函數(shù)值表示出,即可得到,再利用三角恒等變換,化簡為,即可求出最大值.【詳解】(1)∵,即,∴變形得:,整理得:,又,∴;(2)∵,∴,由正弦定理知,,∴,當且僅當時取最大值.故的最大值為.【點睛】本題主要考查正弦定理,余弦定理,三角形面積公式的應用,以及利用三角恒等變換求函數(shù)的最值,意在考查學生的轉化能力和數(shù)學運算能力,屬于基礎題18.(1)(2)證明見解析【解析】
(1)由點可得,由,根據(jù)即可求解;(2)設直線的方程為,聯(lián)立可得,設,由韋達定理可得,再根據(jù)直線的斜率公式求得;由點B與點Q關于原點對稱,可設,可求得,則,即可求證.【詳解】解:(1)由題意可知,,又,得,所以橢圓的方程為(2)證明:設直線的方程為,聯(lián)立,可得,設,則有,因為,所以,又因為點B與點Q關于原點對稱,所以,即,則有,由點在橢圓上,得,所以,所以,即,所以存在實數(shù),使成立【點睛】本題考查橢圓的標準方程,考查直線的斜率公式的應用,考查運算能力.19.(Ⅰ)見解析(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)首先求得導函數(shù),然后結合導函數(shù)的解析式分類討論函數(shù)的單調(diào)性即可;(Ⅱ)將原問題進行等價轉化為,,恒成立,然后構造新函數(shù),結合函數(shù)的性質(zhì)確定實數(shù)的取值范圍即可.【詳解】解:(Ⅰ)當時,,當時,在上恒成立,函數(shù)在上單調(diào)遞減;當時,由得:;由得:.∴當時,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是,無單調(diào)遞增區(qū)間:當時,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.(Ⅱ)對任意的和,恒成立等價于:,,恒成立.即,,恒成立.令:,,,則得,由此可得:在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,∴當時,,即又∵,∴實數(shù)的取值范圍是:.【點睛】本題主要考查導函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和恒成立問題,考查分類討論的數(shù)學思想,等價轉化的數(shù)學思想等知識,屬于中等題.20.(1)(2)為減函數(shù),為增函數(shù).(3)證明見解析【解析】
(1)求出導函數(shù),求出切線方程,令得切線的縱截距,可得(必須利用函數(shù)的單調(diào)性求解);(2)求函數(shù)的導數(shù),由導數(shù)的正負確定單調(diào)性;(3)不等式變形為,由遞減,得(),即,即,依次放縮,.不等式,遞增得(),,,,先證,然后同樣放縮得出結論.【詳解】解:(1)對求導,得.因此.又因為,所以曲線在點處的切線方程為,即.由題意,.顯然,適合上式.令,求導得,因此為增函數(shù):故是唯一解.(2)由(1)可知,,因為,所以為減函數(shù).因為,所以為增函數(shù).(3)證明:由,易得.由(2)可知,在上為減函數(shù).因此,當時,,即.令,得,即.因此,當時,.所以成立.下面證明:.由(2)可知,在上為增函數(shù).因此,當時,,即.因此,即.令,得,即.當時,.因為,所以,所以.所以,當時,.所以,當時,成立.綜上所述,當時,成立.【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義,考查用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查用導數(shù)證明不等式.本題中不等式的證明,考查了轉化與化歸的能力,把不等式變形后利用第(2)小題函數(shù)的單調(diào)性得出數(shù)列的不等關系:,.這是最關鍵的一步.然后一步一步放縮即可證明.本題屬于困難題.21.證明見解析;1.【解析】
由題意可得橢圓的方程為,由點在直線上,且知的斜率必定存在,分類討論當?shù)?/p>
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