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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+?+n2=n4A.k2+1C.k2+12.已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程是,則()A.2 B.3 C.-2 D.-33.本次模擬考試結(jié)束后,班級要排一張語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)、生物六科試卷講評順序表,若化學(xué)排在生物前面,數(shù)學(xué)與物理不相鄰且都不排在最后,則不同的排表方法共有()A.72種 B.144種 C.288種 D.360種4.若復(fù)數(shù)滿足,則的虛部為()A.5 B. C. D.-55.橢圓是日常生活中常見的圖形,在圓柱形的玻璃杯中盛半杯水,將杯體傾斜一個角度,水面的邊界即是橢圓.現(xiàn)有一高度為12厘米,底面半徑為3厘米的圓柱形玻璃杯,且杯中所盛水的體積恰為該玻璃杯容積的一半(玻璃厚度忽略不計),在玻璃杯傾斜的過程中(杯中的水不能溢出),杯中水面邊界所形成的橢圓的離心率的取值范圍是()A. B. C. D.6.某學(xué)校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時間(單位:小時),制成了如圖所示的頻率分布直方圖,其中自習(xí)時間的范圍是17.5,30],樣本數(shù)據(jù)分組為17.5,20),20,22.5),22.5,25),25,27.5),27.5,30).根據(jù)直方圖,這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時間不少于22.5小時的人數(shù)是()A.56 B.60 C.140 D.1207.在直角坐標(biāo)平面上,點的坐標(biāo)滿足方程,點的坐標(biāo)滿足方程則的取值范圍是()A. B. C. D.8.△ABC中,AB=3,,AC=4,則△ABC的面積是()A. B. C.3 D.9.已知正四面體的內(nèi)切球體積為v,外接球的體積為V,則()A.4 B.8 C.9 D.2710.已知雙曲線(,)的左、右焦點分別為,以(為坐標(biāo)原點)為直徑的圓交雙曲線于兩點,若直線與圓相切,則該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.11.已知集合A={x|–1<x<2},B={x|x>1},則A∪B=A.(–1,1) B.(1,2) C.(–1,+∞) D.(1,+∞)12.已知三棱柱()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.滿足約束條件的目標(biāo)函數(shù)的最小值是.14.已知函數(shù)f(x)=若關(guān)于x的方程f(x)=kx有兩個不同的實根,則實數(shù)k的取值范圍是________.15.已知全集,,則________.16.如圖,是圓的直徑,弦的延長線相交于點垂直的延長線于點.求證:三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時,求不等式的解集;(2)若的解集包含,求的取值范圍.18.(12分)已知橢圓與拋物線有共同的焦點,且離心率為,設(shè)分別是為橢圓的上下頂點(1)求橢圓的方程;(2)過點與軸不垂直的直線與橢圓交于不同的兩點,當(dāng)弦的中點落在四邊形內(nèi)(含邊界)時,求直線的斜率的取值范圍.19.(12分)如圖,四棱錐中,底面ABCD為菱形,平面ABCD,BD交AC于點E,F(xiàn)是線段PC中點,G為線段EC中點.Ⅰ求證:平面PBD;Ⅱ求證:.20.(12分)已知等差數(shù)列滿足,公差,等比數(shù)列滿足,,.求數(shù)列,的通項公式;若數(shù)列滿足,求的前項和.21.(12分)已知函數(shù).(1)若,求不等式的解集;(2)已知,若對于任意恒成立,求的取值范圍.22.(10分)已知函數(shù),.(Ⅰ)求的最小正周期;(Ⅱ)求在上的最小值和最大值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】
首先分析題目求用數(shù)學(xué)歸納法證明1+1+3+…+n1=n4【詳解】當(dāng)n=k時,等式左端=1+1+…+k1,當(dāng)n=k+1時,等式左端=1+1+…+k1+k1+1+k1+1+…+(k+1)1,增加了項(k1+1)+(k1+1)+(k1+3)+…+(k+1)1.故選:C.【點睛】本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法,屬于中檔題./2.B【解析】
根據(jù)求出再根據(jù)也在直線上,求出b的值,即得解.【詳解】因為,所以所以,又也在直線上,所以,解得所以.故選:B【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.3.B【解析】
利用分步計數(shù)原理結(jié)合排列求解即可【詳解】第一步排語文,英語,化學(xué),生物4種,且化學(xué)排在生物前面,有種排法;第二步將數(shù)學(xué)和物理插入前4科除最后位置外的4個空擋中的2個,有種排法,所以不同的排表方法共有種.選.【點睛】本題考查排列的應(yīng)用,不相鄰采用插空法求解,準(zhǔn)確分步是關(guān)鍵,是基礎(chǔ)題4.C【解析】
把已知等式變形,再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案.【詳解】由(1+i)z=|3+4i|,得z,∴z的虛部為.故選C.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查復(fù)數(shù)的基本概念,是基礎(chǔ)題.5.C【解析】
根據(jù)題意可知當(dāng)玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時,水面邊界所形成橢圓的離心率最大,由橢圓的幾何性質(zhì)即可確定此時橢圓的離心率,進而確定離心率的取值范圍.【詳解】當(dāng)玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時,水面邊界所形成橢圓的離心率最大.此時橢圓長軸長為,短軸長為6,所以橢圓離心率,所以.故選:C【點睛】本題考查了橢圓的定義及其性質(zhì)的簡單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.6.C【解析】
試題分析:由題意得,自習(xí)時間不少于小時的頻率為,故自習(xí)時間不少于小時的頻率為,故選C.考點:頻率分布直方圖及其應(yīng)用.7.B【解析】
由點的坐標(biāo)滿足方程,可得在圓上,由坐標(biāo)滿足方程,可得在圓上,則求出兩圓內(nèi)公切線的斜率,利用數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】點的坐標(biāo)滿足方程,在圓上,在坐標(biāo)滿足方程,在圓上,則作出兩圓的圖象如圖,設(shè)兩圓內(nèi)公切線為與,由圖可知,設(shè)兩圓內(nèi)公切線方程為,則,圓心在內(nèi)公切線兩側(cè),,可得,,化為,,即,,的取值范圍,故選B.【點睛】本題主要考查直線的斜率、直線與圓的位置關(guān)系以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,屬于綜合題.數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應(yīng)關(guān)系,通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法,尤其在解決選擇題、填空題時發(fā)揮著奇特功效,大大提高了解題能力與速度.運用這種方法的關(guān)鍵是運用這種方法的關(guān)鍵是正確作出曲線圖象,充分利用數(shù)形結(jié)合的思想方法能夠使問題化難為簡,并迎刃而解.8.A【解析】
由余弦定理求出角,再由三角形面積公式計算即可.【詳解】由余弦定理得:,又,所以得,故△ABC的面積.故選:A【點睛】本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用,三角形的面積公式,考查了學(xué)生的運算求解能力.9.D【解析】
設(shè)正四面體的棱長為,取的中點為,連接,作正四面體的高為,首先求出正四面體的體積,再利用等體法求出內(nèi)切球的半徑,在中,根據(jù)勾股定理求出外接球的半徑,利用球的體積公式即可求解.【詳解】設(shè)正四面體的棱長為,取的中點為,連接,作正四面體的高為,則,,,設(shè)內(nèi)切球的半徑為,內(nèi)切球的球心為,則,解得:;設(shè)外接球的半徑為,外接球的球心為,則或,,在中,由勾股定理得:,,解得,,故選:D【點睛】本題主要考查了多面體的內(nèi)切球、外接球問題,考查了椎體的體積公式以及球的體積公式,需熟記幾何體的體積公式,屬于基礎(chǔ)題.10.D【解析】
連接,可得,在中,由余弦定理得,結(jié)合雙曲線的定義,即得解.【詳解】連接,則,,所以,在中,,,故在中,由余弦定理可得.根據(jù)雙曲線的定義,得,所以雙曲線的離心率故選:D【點睛】本題考查了雙曲線的性質(zhì)及雙曲線的離心率,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于中檔題.11.C【解析】
根據(jù)并集的求法直接求出結(jié)果.【詳解】∵,∴,故選C.【點睛】考查并集的求法,屬于基礎(chǔ)題.12.C【解析】因為直三棱柱中,AB=3,AC=4,AA1=12,AB⊥AC,所以BC=5,且BC為過底面ABC的截面圓的直徑.取BC中點D,則OD⊥底面ABC,則O在側(cè)面BCC1B1內(nèi),矩形BCC1B1的對角線長即為球直徑,所以2R==13,即R=二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.-2【解析】
可行域是如圖的菱形ABCD,代入計算,知為最小.14.【解析】由圖可知,當(dāng)直線y=kx在直線OA與x軸(不含它們)之間時,y=kx與y=f(x)的圖像有兩個不同交點,即方程有兩個不相同的實根.15.【解析】
利用集合的補集運算即可求解.【詳解】由全集,,所以.故答案為:【點睛】本題考查了集合的補集運算,需理解補集的概念,屬于基礎(chǔ)題.16.證明見解析.【解析】試題分析:四點共圓,所以,又△∽△,所以,即,得證.試題解析:A.連接,因為為圓的直徑,所以,又,則四點共圓,所以.又△∽△,所以,即,∴.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2).【解析】
(1)對范圍分類整理得:,分類解不等式即可.(2)利用已知轉(zhuǎn)化為“當(dāng)時,”恒成立,利用絕對值不等式的性質(zhì)可得:,問題得解.【詳解】當(dāng)時,,當(dāng)時,由得,解得;當(dāng)時,無解;當(dāng)時,由得,解得,所以的解集為(2)的解集包含等價于在上恒成立,當(dāng)時,等價于恒成立,而,∴,故滿足條件的的取值范圍是【點睛】本題主要考查了含絕對值不等式的解法,還考查了轉(zhuǎn)化能力及絕對值不等式的性質(zhì),考查計算能力,屬于中檔題.18.(1)(2)或【解析】
(1)由已知條件得到方程組,解得即可;(2)由題意得直線的斜率存在,設(shè)直線方程為,聯(lián)立直線與橢圓方程,消元、列出韋達定理,由得到的范圍,設(shè)弦中點坐標(biāo)為則,所以在軸上方,只需位于內(nèi)(含邊界)就可以,即滿足,得到不等式組,解得即可;【詳解】解:(1)由已知橢圓右焦點坐標(biāo)為,離心率為,,,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;(2)由題意得直線的斜率存在,設(shè)直線方程為聯(lián)立,消元整理得,,由,解得設(shè)弦中點坐標(biāo)為,所以在軸上方,只需位于內(nèi)(含邊界)就可以,即滿足,即,解得或【點睛】本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì),直線與橢圓的綜合應(yīng)用,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.19.(1)見解析;(2)見解析.【解析】分析:(1)先證明,再證明FG//平面PBD.(2)先證明平面,再證明BD⊥FG.詳解:證明:(1)連結(jié)PE,因為G.、F為EC和PC的中點,,又平面,平面,所以平面(II)因為菱形ABCD,所以,又PA⊥面ABCD,平面,所以,因為平面,平面,且,平面,平面,∴BD⊥FG.點睛:(1)本題主要考查空間位置關(guān)系的證明,意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握水平和空間想象轉(zhuǎn)化能力.(2)證明空間位置關(guān)系,一般有幾何法和向量法,本題利用幾何法比較方便.20.,;.【解析】
由,公差,有,,成等比數(shù)列,所以,解得.進而求出數(shù)列,的通項公式;當(dāng)時,由,所以,當(dāng)時,由,,可得,進而求出前項和.【詳解】解:由題意知,,公差,有1,,成等比數(shù)列,所以,解得.所以數(shù)列的通項公式.?dāng)?shù)列的公比,其通項公式.當(dāng)時,由,所以.當(dāng)時,由,,兩式相減得,所以.故所以的前項和,.又時,,也符合上式,故.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念,通項公式,前項和公式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識;考查運算求解能力,方程思想,分類討論思想,應(yīng)用意識,屬于中檔題.21.(1)或;(2).【解析】
(1)時,分類討論,去掉絕對值,分類討論解不等式.(2)時,分類討論去絕對值,得到解析式,由函數(shù)的單調(diào)性可得的最小值,通過恒成立問題,得到關(guān)于的不等式,得到的取值范圍.【詳解】(1)因為,所以,所以不等式等價于或或,解得或.所以不等式的解集為或.(2)因為,所以,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)的最小值為,因為恒成立,所以,解得.所以實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查分類討論去絕對值,分段函數(shù)求最值,不等式恒成立問題,屬于中檔題.22.(Ⅰ);(Ⅱ)最小值和最大值.【解析】試題分析:(1
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