2021-2022學(xué)年江西省玉山縣樟村中學(xué)高三最后一卷數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．2．函數(shù)的圖象如圖所示，為了得到的圖象，可將的圖象（）A．向右平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位 D．向左平移個(gè)單位3．已知，則（）A． B． C． D．4．已知，，，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．5．已知三棱柱的所有棱長(zhǎng)均相等，側(cè)棱平面，過(guò)作平面與平行，設(shè)平面與平面的交線為，記直線與直線所成銳角分別為，則這三個(gè)角的大小關(guān)系為()A． B．C． D．6．已知數(shù)列中，，()，則等于（）A． B． C． D．27．甲、乙、丙三人參加某公司的面試，最終只有一人能夠被該公司錄用，得到面試結(jié)果以后甲說(shuō)：丙被錄用了；乙說(shuō)：甲被錄用了；丙說(shuō)：我沒被錄用.若這三人中僅有一人說(shuō)法錯(cuò)誤，則下列結(jié)論正確的是（）A．丙被錄用了 B．乙被錄用了 C．甲被錄用了 D．無(wú)法確定誰(shuí)被錄用了8．我國(guó)古代有著輝煌的數(shù)學(xué)研究成果，其中的《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》，有豐富多彩的內(nèi)容，是了解我國(guó)古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn)．這5部專著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時(shí)期．某中學(xué)擬從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，則所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時(shí)期專著的概率為（）A． B． C． D．9．“哥德巴赫猜想”是近代三大數(shù)學(xué)難題之一，其內(nèi)容是：一個(gè)大于2的偶數(shù)都可以寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)(素?cái)?shù))之和，也就是我們所謂的“1+1”問(wèn)題.它是1742年由數(shù)學(xué)家哥德巴赫提出的，我國(guó)數(shù)學(xué)家潘承洞、王元、陳景潤(rùn)等在哥德巴赫猜想的證明中做出相當(dāng)好的成績(jī).若將6拆成兩個(gè)正整數(shù)的和，則拆成的和式中，加數(shù)全部為質(zhì)數(shù)的概率為（）A． B． C． D．10．如圖，在三棱錐中，平面，，，，，分別是棱，，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為A．0 B． C． D．111．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的，則輸出的()A．9 B．31 C．15 D．6312．在中，，，，則邊上的高為（）A． B．2 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，已知扇形的半徑為1，面積為，則_____.14．的展開式中的系數(shù)為________.15．已知點(diǎn)是拋物線上動(dòng)點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最小值為______________．16．正方形的邊長(zhǎng)為2，圓內(nèi)切于正方形，為圓的一條動(dòng)直徑，點(diǎn)為正方形邊界上任一點(diǎn)，則的取值范圍是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱柱中，平面平面，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．（Ⅲ）在線段上是否存在一點(diǎn)，使直線與平面所成的角正弦值為，若存在求出的長(zhǎng)，若不存在說(shuō)明理由．18．（12分）已知橢圓，上、下頂點(diǎn)分別是、，上、下焦點(diǎn)分別是、，焦距為，點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）若為橢圓上異于、的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作與軸平行的直線，直線與交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，判斷是否為定值，說(shuō)明理由.19．（12分）一種游戲的規(guī)則為拋擲一枚硬幣，每次正面向上得2分，反面向上得1分.（1）設(shè)拋擲4次的得分為，求變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.（2）當(dāng)游戲得分為時(shí)，游戲停止，記得分的概率和為.①求；②當(dāng)時(shí)，記，證明：數(shù)列為常數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列.20．（12分）已知函數(shù)（1）求單調(diào)區(qū)間和極值；（2）若存在實(shí)數(shù)，使得，求證：21．（12分）已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，且.若點(diǎn)為的準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的兩條切線，其中為切點(diǎn).（1）求拋物線的方程；（2）求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求面積的最小值.22．（10分）已知函數(shù)，.（1）若對(duì)于任意實(shí)數(shù)，恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍；（2）當(dāng)時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)，使曲線：在點(diǎn)處的切線與軸垂直？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．A【解析】

由計(jì)算出的取值范圍，利用正弦函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)的值域.【詳解】，，，因此，函數(shù)的值域?yàn)?故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)在區(qū)間上的值域的求解，解答的關(guān)鍵就是求出對(duì)象角的取值范圍，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2．C【解析】

根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象得到，結(jié)合圖像變換知識(shí)得到答案.【詳解】由圖象知：，∴.又時(shí)函數(shù)值最大，所以.又，∴，從而，，只需將的圖象向左平移個(gè)單位即可得到的圖象，故選C.【點(diǎn)睛】已知函數(shù)的圖象求解析式(1).(2)由函數(shù)的周期求(3)利用“五點(diǎn)法”中相對(duì)應(yīng)的特殊點(diǎn)求，一般用最高點(diǎn)或最低點(diǎn)求．3．D【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即當(dāng)?shù)讛?shù)大于1時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)?shù)讛?shù)大于零小于1時(shí)單調(diào)遞減，對(duì)選項(xiàng)逐一驗(yàn)證即可得到正確答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以是減函數(shù)，又因?yàn)?，所以，，所以，，所以A,B兩項(xiàng)均錯(cuò)；又，所以，所以C錯(cuò)；對(duì)于D，，所以，故選D.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查的是應(yīng)用不等式的性質(zhì)和指對(duì)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，兩個(gè)式子比較大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性質(zhì)得到大小關(guān)系，有時(shí)可以代入一些特殊的數(shù)據(jù)得到具體值，進(jìn)而得到大小關(guān)系.4．A【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，借助特殊值即可比較大小.【詳解】因?yàn)椋?因?yàn)?，所以，因?yàn)椋瑸樵龊瘮?shù)，所以所以，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性比較大小，屬于中檔題.5．B【解析】

利用圖形作出空間中兩直線所成的角，然后利用余弦定理求解即可.【詳解】如圖，，設(shè)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，由圖可知過(guò)且與平行的平面為平面，所以直線即為直線，由題易知，的補(bǔ)角，分別為，設(shè)三棱柱的棱長(zhǎng)為2，在中，，；在中，，；在中，，，.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間中兩直線所成角的計(jì)算，考查了學(xué)生的作圖，用圖能力，體現(xiàn)了學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng).6．A【解析】

分別代值計(jì)算可得，觀察可得數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，問(wèn)題得以解決.【詳解】解：∵，()，

，

，

，

，

…，

∴數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，

，

，

故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的周期性和運(yùn)用：求數(shù)列中的項(xiàng)，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7．C【解析】

假設(shè)若甲被錄用了，若乙被錄用了，若丙被錄用了，再逐一判斷即可.【詳解】解：若甲被錄用了，則甲的說(shuō)法錯(cuò)誤，乙，丙的說(shuō)法正確，滿足題意，若乙被錄用了，則甲、乙的說(shuō)法錯(cuò)誤，丙的說(shuō)法正確，不符合題意，若丙被錄用了，則乙、丙的說(shuō)法錯(cuò)誤，甲的說(shuō)法正確，不符合題意，綜上可得甲被錄用了，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了邏輯推理能力，屬基礎(chǔ)題.8．D【解析】

利用列舉法，從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，基本事件有10種情況，所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時(shí)期專著的基本事件有9種情況，由古典概型概率公式可得結(jié)果.【詳解】《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》，這5部專著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時(shí)期．記這5部專著分別為，其中產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時(shí)期．從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，基本事件有共10種情況，所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時(shí)期專著的基本事件有，共9種情況，所以所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時(shí)期專著的概率為．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型概率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題，利用古典概型概率公式求概率時(shí)，找準(zhǔn)基本事件個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵，基本亊件的探求方法有(1)枚舉法：適合給定的基本事件個(gè)數(shù)較少且易一一列舉出的；(2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問(wèn)題中的基本亊件的探求.在找基本事件個(gè)數(shù)時(shí)，一定要按順序逐個(gè)寫出：先，….，再，…..依次….…這樣才能避免多寫、漏寫現(xiàn)象的發(fā)生.9．A【解析】

列出所有可以表示成和為6的正整數(shù)式子，找到加數(shù)全部為質(zhì)數(shù)的只有，利用古典概型求解即可.【詳解】6拆成兩個(gè)正整數(shù)的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),而加數(shù)全為質(zhì)數(shù)的有(3,3),根據(jù)古典概型知，所求概率為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了古典概型，基本事件，屬于容易題.10．B【解析】

根據(jù)題意可得平面，，則即異面直線與所成的角，連接CG，在中，，易得，所以，所以，故選B．11．B【解析】

根據(jù)程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)的運(yùn)算，直至滿足條件退出循環(huán)體，即可得出結(jié)果.【詳解】執(zhí)行程序框；；；；；，滿足，退出循環(huán)，因此輸出，故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)輸出結(jié)果，模擬程序運(yùn)行是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.12．C【解析】

結(jié)合正弦定理、三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式，求得邊長(zhǎng)，由此求得邊上的高.【詳解】過(guò)作，交的延長(zhǎng)線于.由于，所以為鈍角，且，所以.在三角形中，由正弦定理得，即，所以.在中有，即邊上的高為.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

根據(jù)題意，利用扇形面積公式求出圓心角，再根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出，利用向量的數(shù)量積公式求出.【詳解】設(shè)角，則，，所以在等腰三角形中，，則.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查扇形的面積公式和向量的數(shù)量積公式，屬于基礎(chǔ)題.14．80.【解析】

只需找到展開式中的項(xiàng)的系數(shù)即可.【詳解】展開式的通項(xiàng)為，令，則，故的展開式中的系數(shù)為80.故答案為：80.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，涉及到展開式中的特殊項(xiàng)系數(shù)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是一道容易題.15．【解析】

過(guò)點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線，為垂足，則由拋物線的定義可得，則，為銳角.故當(dāng)和拋物線相切時(shí)，的值最小.再利用直線的斜率公式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求得的最小值.【詳解】解：由題意可得，拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，過(guò)點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線，為垂足，則由拋物線的定義可得，則，為銳角.故當(dāng)最小時(shí)，的值最小.設(shè)切點(diǎn)，由的導(dǎo)數(shù)為，則的斜率為，求得，可得，，，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義，性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，直線的斜率公式，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.16．【解析】

根據(jù)向量關(guān)系表示，只需求出的取值范圍即可得解.【詳解】由題可得：，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查求平面向量數(shù)量積的取值范圍，涉及基本運(yùn)算，關(guān)鍵在于恰當(dāng)?shù)貙?duì)向量進(jìn)行轉(zhuǎn)換，便于計(jì)算解題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）線段上是存在一點(diǎn)，，使直線與平面所成的角正弦值為.【解析】

（Ⅰ）取中點(diǎn)，連結(jié)、，推導(dǎo)出四邊形是平行四邊形，從而，由此能證明平面;（Ⅱ）取中點(diǎn)，連結(jié)，，推導(dǎo)出平面，，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的余弦值；（Ⅲ）假設(shè)在線段上是存在一點(diǎn)，使直線與平面所成的角正弦值為，設(shè)．利用向量法能求出結(jié)果．【詳解】（Ⅰ）證明：取中點(diǎn)，連結(jié)、，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，四邊形是平行四邊形，，平面，平面，平面．（Ⅱ）解：取中點(diǎn)，連結(jié)，，在四棱柱中，平面平面，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，平面，，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，1，，，0，，，1，，，0，，，，，，0，，，，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得，，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得，設(shè)二面角的平面角為，則．二面角的余弦值為．（Ⅲ）解：假設(shè)在線段上是存在一點(diǎn)，使直線與平面所成的角正弦值為，設(shè)．則，，，，，，平面的法向量，，解得，線段上是存在一點(diǎn)，，使直線與平面所成的角正弦值為．【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查滿足正弦值的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．18．（1）；（2），理由見解析.【解析】

（1）求出橢圓的上、下焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用橢圓的定義求得的值，進(jìn)而可求得的值，由此可得出橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，求出直線的方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由此計(jì)算出直線和的斜率，可計(jì)算出的值，進(jìn)而可求得的值，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）由題意可知，橢圓的上焦點(diǎn)為、，由橢圓的定義可得，可得，，因此，所求橢圓的方程為；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，得，直線的斜率為，所以，直線的方程為，聯(lián)立，解得，即點(diǎn)，直線的斜率為，直線的斜率為，所以，，，因此，.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解，同時(shí)也考查了橢圓中定值問(wèn)題的求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題.19．（1）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為6；（2）①；②證明見解析【解析】

（1）變量的所有可能取值為4，5，6，7，8，分別求出對(duì)應(yīng)的概率，進(jìn)而可求出變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）①得2分只需要拋擲一次正面向上或兩次反面向上，分別求出兩種情況的概率，進(jìn)而可求得；②得分分兩種情況，第一種為得分后拋擲一次正面向上，第二種為得分后拋擲一次反面向上，可知當(dāng)且時(shí)，，結(jié)合，可推出，從而可證明數(shù)列為常數(shù)列；結(jié)合，可推出，進(jìn)而可證明數(shù)列為等比數(shù)列.【詳解】（1）變量的所有可能取值為4，5，6，7，8.每次拋擲一次硬幣，正面向上的概率為，反面向上的概率也為，則，.所以變量的分布列為：45678故變量的數(shù)學(xué)期望為.（2）①得2分只需要拋擲一次正面向上或兩次反面向上，概率的和為.②得分分兩種情況，第一種為得分后拋擲一次正面向上，第二種為得分后拋擲一次反面向上，故且時(shí)，有，則時(shí)，，所以，故數(shù)列為常數(shù)列；又，，所以數(shù)列為等比數(shù)列.【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望，考查常數(shù)列及等比數(shù)列的證明，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力與推理論證能力，屬于中檔題.20．（1）時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，，函數(shù)單調(diào)遞減，；（2）見解析【解析】

（1）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可得到函數(shù)的極值；（2）易得且，要證明，即證，即證，即對(duì)恒成立，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可得證；【詳解】解：（1）因?yàn)槎x域?yàn)椋?，時(shí)，，即在和上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在單調(diào)遞減，所以在處取得極小值，在處取得極大值；，；（2）易得，要證明，即證，即證即證對(duì)恒成立，令，，則令，解得，即在上單調(diào)遞增；令，解得，即在上單調(diào)遞減；則在取得極小值，也就是最小值，從而結(jié)論得證.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，屬于中檔題．21．（1）（2）見解析，最小值為4【解析